数学直觉思维的应用举例
直觉思维在小学数学教学中的应用
一
、
直 觉思维 的整体 性在小学 数学教 学 中的应 用
直 觉恩 维是 在 实践 经验 的基 础 上 ．由高度 的 思 维 活动 而彤 成 对 客观 事 物 一种 比 较 迅 速 的 综 旮 丰 ４ 断 ．它是 在 已有 理性 知 识 的基础 上 ，模 糊 认识 与 直
繁 ， 具 体 茔 抽 象， 豫一 定 步骤 循序 渐进 地 推 导 ， 从 ５ 按 而 直觉 思 维则 是从 整体 入手 ，以学 习过 的 知识 领域 和知 识 结构 为依 据进 行 思 堆 ，县 有跃 进 、越 粳 和取 捷 径 等 思 雏特征 。 目此 ，直 觉思 维 能 够迅 速接 近 问
直 觉 思 维 突 如 其 采 的 领 悟 、理 辉 ，与 善 于 联 想 和 想 象 是 分 不 开 的 ，而 联 想 与 想 象 叉 必 须 以 丰 富 的 实 践 经 验 为 基 础 。 为 此 ，我 们 应 该 充 分 运 用 直 观 教
也 辑 思 维 是 由局 部 入 手 ， 由 浅 入 翠 ， 由 简 到
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维的 思路 ， 能迅 速抓 住 问题 的关键 。这说 明 ， 岳脑 巾 “ 在 的 末西”越 多，直 觉 思维 的基础 就越 雄 厚 。 潜 导 致 的 成 果就越 丰 富。 二 、 觉思 维跳 跃 性在 小 学数 学教 学 中的应 用 直 直 觉思维 的间隔性 、 跳跃 性 ， 常是 一种 突如 其来 的领悟 和理解 ， 而不是按 一 定的逻 辑步骤进 行 的＝
0到2岁直觉行动思维数学活动的案例
0到2岁直觉行动思维数学活动的案例我认为0到2岁是直觉行动思维数学活动的最佳时期，因此教育界把这个阶段定义为数学启蒙关键期。
那在哪些方面给予他们特别重视呢？首先应该是创造力、想像力和注意力三者兼顾况下来培养孩子的数学思考能力。
其次就是需要对0—1岁以及1—5岁两个年龄段进行不同程度上的重点教育。
然后是7—15岁这个年龄区间。
因为7-14岁正值儿童的小学阶段，所以我称之为教育重点时期。
而且经过大量研究发现，从出生开始至少25%的孩子可以很快地适应环境变化并作出反应；超过50%的人更喜欢与成年人相处，20%的人表示自己愿意加入同龄群体。
也就是说每十个新生儿中只有两个可以坚持一天，但绝大多数孩子会哭闹或睡觉。
如果一旦父母放弃，其结果必将导致整个家庭背负沉重的包袱。
一个4个月大的婴儿能够感受到音乐的存在，当第一个音符响起时她便能立即作出反应，向您展露笑容。
事实证明，虽然孩子未满1周岁，却拥有非凡的记忆能力。
可以说孩子是天才，因为他们能敏锐捕捉各类信息并做出回应。
但是仅靠“无所不知”的父母亲难以使他们充分发挥潜力。
于是各国教育工作者都提倡由早教专家通过游戏的方法训练幼儿获得数学技能。
同样，我们把这一课题引申到0到2岁也是一种可供选择的手段。
对于0到6岁（从出生算起）的儿童，通常被看作智力低下者，理解和运用复杂概念显得困难重重，主要表现为，常规问题不易找出答案，学习需借助语言帮助等。
针对这一情况，我曾试图开展一系列计划来矫治，但都遭遇失败。
不久前，我参观了位于纽约的美国婴幼儿教育机构，它向父母传授“婴幼儿数学培训”的方法。
本文介绍的数学方法就是根据这里所采取的游戏方法和目标，所设计的一套完全不同的教材。
游戏是以孩子日常接触的东西为素材，逐步过渡到复杂抽象的内容。
在本书中您会欣赏到，由不会走路到会走路；再到蹒跚学步；再到独立行走，甚至是跑跳的历程。
它的任务既简单又微妙，令人兴奋！例如一条线上有多少点？二元三角形三边之和是多少？3×3矩阵等于多少？电脑控制木偶的左右移动的距离是多少？儿童可以随心所欲地摆弄各种物品，无论他们是否掌握了所有已学到的基础知识。
直觉思维在数学教学应用论文
直觉思维在数学教学中的应用数学思维按照思维过程中是否遵循一定的逻辑规则可划分为分析思维和直觉思维。
分析思维，就是逻辑思维，它主要是以逻辑规则对事物按部就班地认识，对其过程主体有清晰的意识。
在中学数学中，由于数学知识的严谨性，抽象性和系统性，常常掩盖了直觉思维的存在和作用，因而在目前教学中往往偏重于演绎推理的训练，过分强调形式论证的严密逻辑性，而忽视了直觉思维的突发性理解与顿悟作用。
在新课程标准深入课堂的今天，加强学生直觉思维能力的培养是非常有必要的。
本文拟从以下三个方面谈谈个人的看法。
一、数学直觉思维的涵义及其特性数学直觉思维是人脑对教学对象，结构以及关系的敏锐的想象和迅速的判断。
所谓判断就是人脑对于数学对象及其规律性关系的迅速认识、直接的理解、综合的判断，也就是数学的洞察力，有时也称为数学直觉判断。
根据数学直觉思维的涵义，它具有下列特性：（1）直接性。
数学直觉思维是直接反映数学对象、结构以及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接领悟或洞察，这是数学直觉思维的本质属性。
（2）或然性。
由于数学直觉思维是一种跳跃的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出判断，因而直觉思维的结果可能正确，也可能不正确，这一特性称为数学直觉思维的或然性。
（3）不可解释性。
由于直觉思维是在一刹那时间内完成的，许多中间环节被略去了，思维者对其过程没有清晰的意识，所以要对它的过程进行分析研究和追忆，往往是十分困难的，只有当得出结果并转换成逻辑语言时才能为别人所理解。
逻辑思维在数学中虽然据着主导的地位，但直觉思维是思维中最活跃，最积极，最具有创造性的成分。
逻辑思维与直觉思维形成了辨证的互补关系。
直觉思维为逻辑思维提供了动力并指引方向，而逻辑思维则对直觉思维做出检验与反馈，是直觉思维的深入和精化。
二、数学直觉思维的重要地位和作用(一)数学直觉思维是学习数学与创造数学必不可少的思维形式彭加勒认为：“逻辑是证明的工具，直觉是发现的工具”，“没有直觉，数学家只能按语法书写而毫无思想”。
谈数学直觉思维及其在数学教学中的作用
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谈 数 学 直 觉 思 维 及 其在 数 学 教 学 中 的 作 用
王 琴9! 熊惠民’
! 武汉市第十五中学 " 武汉 "! 华中师范大学 " 数学与统计学学院 " 武汉 " $ 9 = " # # $ ## ’= ! " # # $ % 本文通过对直觉思维与逻辑思维的比较 ! 揭示了数学直觉思维及其特征 ! 并讨论了数学 "" 摘要 ! 直觉思维在数学概念理解 " 数学问题解决 " 数 学发现活动中的作用 # 关键词 ! 直觉思维 $ 逻辑思维 $ 数学理解 $ 问题解决 $ 数学发现 中图分类号 ! & ; " "= ;""""""" 文献标识码 ! (
" " 直觉思维 和逻辑思维 对揭 示事 物本 质和 内在 规律 具有同样重 要的作用 " 但是 在长期 的教学 实践 中" 教 师对直觉 思维 重视 不够 % 下 面 就数 学 直觉 思 维的 特征及其在 数学教学中的 作用予以论 述 % ! " 数学 直觉思 维的 概念 及其 特征 直 觉一 词 " 在 各种 论著 中界 说不 一 " 有 许多 种 解 释% 直 觉思 维是 一种 非逻 辑思 维方 式 " 是 人脑 对 于 突然 出现 的新 事物 & 新现 象 & 新 问题 及新 关系 的 一 种迅 速的 识别 & 敏锐 而深 入的 洞察 & 直接 的本 质 理 解和 综合 的整 体判 断 % 换 句话 说 " 直 觉思 维就 是 直 接领 悟的 思维 或认 知 % 这 种思 维没 有完 整的 & 传 统 的逻 辑过 程 " 只是 迅 速 地 对 问 题的 答 案 作 出 的 猜 想& 设 想或 顿悟 % 人 在进 行思 维时 " 存在 着两 种不 同的 方式 % 一 种 是逻 辑思 维 " 在 数学 上 " 逻辑思 维就 是对 命题 的 分 析& 推 理和 证明 的过 程 " 逻辑思 维的 特点 通常 表 现 为从 已知 前提 导 出结 论 " 从 具 体对 象 抽 象 概 括 出 一定 的本 质属 性 " 将 结果 进行 推广 等 % 另 一种 就 是 直觉 思维 % 数学 直觉 思维 是指 对数 学对 象 ! 结构 及 关系 $进 行 某 种 直 接 的领 悟 和 洞 察 的 思 维 " 它 没 有明 显的 根据 和 思索 的 步 骤 " 思维 者 很 难 陈 述 思 维的 过程 % 与 逻辑 思 维 相比 " 数 学直 觉 思 维具 有 如 下 所 述 的一 些特 征 ’ % &跳 跃性 # 数学发 现过程中 的直 觉会径 直指 9 向最 后结论 " 从 整体 上对 事物 的 性 质 & 联 系 作出 初
直觉思维的100个例子
直觉思维的100个例子直觉思维是一种非常重要的思维方式，它能够帮助我们在短时间内做出准确的决策和判断。
下面是100个直觉思维的例子，希望能够帮助你更好地理解和应用直觉思维：1. 在面试中，你凭直觉感觉到某个候选人非常适合这个职位。
\n2. 在购物时，你凭直觉选择了一件衣服，结果它成为了你的新宠。
\n3. 在解决问题时，你突然有了一个灵感，找到了一个简单而有效的解决方案。
\n4. 在交谈中，你凭直觉感知到对方的情绪变化，并做出相应的回应。
\n5. 在开车时，你凭直觉意识到前方有危险，并及时采取了避让措施。
\n6. 在写作时，你凭直觉选择了一个引人入胜的开头句子。
\n7. 在投资时，你凭直觉感受到某个行业即将迎来爆发，并及时进行了投资。
\n8. 在学习新知识时，你凭直觉找到了一种更有效的学习方法。
\n9. 在与他人合作时，你凭直觉判断出对方的意图，并做出相应的调整。
\n10.在做决策时，你凭直觉感觉到某个选项是正确的选择。
\n11. 在解决数学问题时，你凭直觉找到了一个简单而巧妙的解题方法。
\n12. 在创作艺术作品时，你凭直觉选择了一种独特的表现方式。
\n13. 在面对困难时，你凭直觉找到了一种克服困难的方法。
\n14. 在与他人交流时，你凭直觉感知到对方真实的意图，并做出相应的回应。
\n15. 在解决技术问题时，你凭直觉找到了一个有效的解决方案。
\n16. 在设计产品时，你凭直觉选择了一种符合用户需求的设计方案。
\n17. 在演讲中，你凭直觉感知到听众的反应，并做出相应的调整。
\n18. 在面对挑战时，你凭直觉找到了一种突破困境的方法。
\n19. 在判断他人诚信度时，你凭直觉感受到对方是否可信。
\n20. 在解决争议时，你凭直觉找到了一个公正而合理的解决方案。
21. 在制定计划时，你凭直觉感觉到某个方案更加可行。
\n22. 在解决团队冲突时，你凭直觉找到了一种有效的调和方式。
\n23. 在面对危险时，你凭直觉感知到自己应该采取的行动。
数学直觉思维在解题教学中的运用
学生 的数 学 意识 和发 现力 ．
分析 此 题若 用 纯代 数方 法求 解 ， 相 当 困 则 难 ， 而根 据此 不 等 式 的 外形 特 征及Байду номын сангаас直 角 坐 标 系 然 进 行数 形 直觉 ． 造两点 间 的距 离 ， 容 易得 到所 ． 构 很
２ 利用 数形 结 合 。 高 审 美直 觉 提 数 学美 首先 是 自然 美 ， 里 叶有 句 流 传 至 今 傅 的 名言 ： 自然 的深 入 研 究 是 数 学 发 现 的最 富 饶 对 的 源泉 ． 金 比是 自然美 的反映 ； 房 问题 也是极 黄 蜂
分 析 在 题 目的条 件 与结 构 中 ａ ｂ 地 位 ” ， 的“
有 ， 是有 于
（ ） 一 １ 一 （ 。 ３ 一 １ ｎ， ）
３ 巧设情 境 。 启发 直 觉
在 解决 数 学 问 题 中 时 刻 都 要 进 行 大 胆 的选
择、 断 、 判 去伪 存 真 ， 取一 种 最正确 、 优化 的 方 选 最 案； 同时 还要会 在 所学 内容 、 法 的基础 上创 造 出 方 新 的方 法 ， 决 新 的 问题 ． 些 都 依 赖 于 直 觉 思 解 这
人 们 的洞 察 力 、 象 力 有 密切 关 系 ． 数 学解 题 想 在
时， 如果 能 根据 题 目里 的数 学特 征 进行 直觉 思 维 ， 寻 找 突破 口， 往会 收 到很 好 的效果 ． 往
法． 解题 中应 善 于根 据数 与形 之 间关 系 ， 高我 在 提
们 的审美 直觉 ．
三边 上 取点 Ｌ， Ｎ ， （ Ｍ， 使 ２ Ｌ—Ａ， Ｒ一口 Ｒ —Ｂ， Ｌ ，Ｍ
例谈数学直觉与直觉思维能力
后 ， 就 有 ｝ Ｃ Ｏ Ｓ 卢 ＝ 一 ｘ ｌ ／ － ｕ ￣ － － Ｎ 一 丁 ２ ＂ ｋ ／ － （ ｓ ｉ ｎ 卢 ＝ 一 这 射影 面积最小 ． 所 以取值
样 的结论 ，这个过程是没有 “ 具体进程 ”的，是在潜
意识 中发生 “ 直觉 、灵感”的思维活动 ，这种思维活
动就具 备 了上面 说到 的特征 ．
对应 的具体进程 ，则没有意识到” ． 钱教授这一番话 已
经道 明了数学直觉思维的涵义 ，因此 ，数学直觉思维
一
即 ｝ ｃ 。 ｓ 卢 一 丁 ２ Ｘ ／ ６ ｓ ｉ ｎ Ｊ Ｂ ＝ — Ｘ ／ Ｔ １ － ４ Ｘ 一 ／ － ３ － ，
收稿 日期 ：２ ０ １ ３ — ０ ９ — １ ５
一
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一
、
缘起
“ 两角和与差的正弦 、余弦 、正切公
语道破 ：这是好事 啊，这就是学生解题的直觉与直 是啊 ！我们怎么能忽视这一能力的存在 呢？不但
觉 思维 能力 啊 ！
笔者在上完
式”课后 ， 立 即给高一学生布置了一道引例作业．
引 例 已 知 、／ ３均 为 锐 角 ， 且 ｃ ｏ ｓ ＝ ｃ 。 ｓ （ ／＋ ｏ ／ ３ ） ＝— Ｘ ／ － ］－ ｆ ４ Ｘ ／ ３
，
要正视它的存在 ，而且还要大力培养．
，
二 、直 觉与直 觉思维能力
前几年 国内、国外 曾讨论 中国的基础教育与美 国
求角卢 ．
学生上交 的作业 大多数 （ 约 占三分之二）是这样
做 的： 解 ：由题 条件 得 ｓ ｉ ｎ ： ２ Ｘ ／ ６
，
的基础教育区别在 哪里 ，许多人认为区别在美 国的基
例谈直觉思维在初中数学教学中的作用
的重量是 ７克 ，铜丸 的重量是 ５克 ，这袋铜 丸混在十一袋金 丸 丸？ 许 多学生容易陷入直觉性 的思维方式 ， 学生认为这是一个概 率 问题 ， 自己运气不好的话 ， 要 秤十一次 ， 如果十一次都 不是 铜
丸， 那 么最后一袋一定是铜丸 。然而直觉性很强的学生 ， 立刻就
果。然而学生如果直觉思维不强 ，则会不知 以上的已知条件 哪
初 中学生学 习数学时 ， 常常有种学习的困惑 ， 学生觉得 自己
既会做数学题 ，又能熟记数学概念 ，然而一旦在实际生活中应 用 ，却不知道怎么应用 自己已经学过的数学知识 。特别是做应 用题的时候 ， 一涉及到生活的情境 ， 学 生就会忘记 自己学过的抽
象 的数学知识。学生怎么也无法将实际的生活与抽象的知识 结 合起来 。 比如 ： 现在有十一袋金丸 和一袋铜丸 ， 两者外观一样 。金 丸
个 才是关键字 ， 于是学生会 陷入到不停地分析已知条件 ， 不断地 寻找求 得答 案思路 的过程里 。虽然学生最后也能得 出结果 ， 然 而学生得到结果 的时候会走很多弯路 。 如果学生的直觉思维强 ， 就会根 据现有 的已知条件迅速找到最关键 的条件 ，通过最关键
力 进行 培养 。
一
用最简洁的方法思考数学问题。用化繁为简 的方法学习数学是 重要的数学 能力之一 。
三、 在 日常 生 活 中 灵 活 的应 用 数 学 知 识
、
迅 速 找 出 逻 辑 思 路 的关 键 点
初 中数学教师引导学生做题 时 ，会重视引导学生学 习逻辑 思维 ， 比如要 求学生列 出已知一 、 已知二 、 已知三 ， 然后 求得结
那 么将 ８ ４克减去现有 的重量 ５ ， 即能得到该铜 丸的 教 师要培养学生 的直觉思维 ， 就要培养学生的观察能力 ， 让 袋是铜 丸 ， 编号号码。 直觉思维能让学生将形象思维和抽象思维灵活转换 ， 学生通 过观察 了解数学公式的特征 。学生 只有善于观察才能在 将数学知识灵活运用 在实 际生活 中，能在实际生活中巧妙地运 逻辑思考中捕捉 自己思维 的灵感。 用数学知识是学生需要掌握 的重要数学能力之一。
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数学直觉思维的应用举例
数学直觉思维是具有意识的人脑对数学对象的某种直接的领悟和洞察。
它是一种深层次的心理活动，这是从心理学的角度来说，而通俗点说，直觉没有具体的直观形象和可操作的逻辑顺序作思考背景。
在数学教学过程中，老师过于把证明过程分的严格化、程序化。
学生只是见到一具僵硬的逻辑外壳，直觉的光环被掩盖了，学生内在潜能没有被激发出来，学习的兴趣没有被调动起来，得不到思维的真正乐趣。
《中国青年报》曾报道：“约30%的初中学生学习了平面几何推理之后，丧失了对数学学习的兴趣”。
这种现象应该引起数学教育者的反思。
直觉思维和逻辑思维同等重要，直觉思维是逻辑思维的方向。
在数学教学中，既要注重逻辑思维的培养，也要重视直觉思维的培养，偏离任何一方都会制约一个人的思维能力的发展，不符合新课标的课程理念。
依思斯图尔特曾经说过这样一句话：“数学的全部力量就是在于直觉和严格性巧妙的结合在一起，受控制的精神和富有灵感的逻辑。
”受控制的精神和富有灵感的逻辑正是数学的魅力所在，也是数学教育者努力的方向。
本文，笔者主要谈一下数学直觉在中学数学教学中的应用。
（1）直觉猜想，严密论证
在数学研究（包括中学数学的学习）里面，先猜想后论证，几乎是一条规律。
人们在解一道数学难题或证明一个数学定理之前，往往先对解题结果或定理结论作一种大致的估量或猜测，然后再作出解答或详细证明。
例1 设P、Q为线段BC上两定点，且BP=CQ，A为BC外一动点，当点A运动到使∠BAP=∠CAD时，△ABC是什么三角形？为什么？
解析：根据已知条件：“BP=CQ,∠BAP=∠CAQ” ，无法用三段论法推知结论，必须用直觉来体会，凭直觉可猜测AB=AC，即△ABC是等腰三角形。
这种猜测，理由是不是充分？结论是不是可靠？作出以下证明；
∵S△ABP=S△ACQ，∴=1
∴==1∴AB?BP=AC?AQ——（1）
同理，∵S△BAQ=S△CAP∴AB?AQ=AC?AP——（2）
由（1）×（2）得AB2=AC2，∴AB=AC，∴△ABC为等腰三角形。
分析上述解题过程中可知，直觉猜想对发现解题思路，起了重要的作用。
（2）直觉洞察，科学预见
数学直觉能力，取决于人们在数学研究中的直觉洞察力。
直觉洞察题中各已知条件之间的关系，然后再预见解题的方法和途径。
而不是直接进行有关运算或证明。
例2 已知y=2x3+-1，求arctan y的值。
解析：如果不假思索，直接进行反三角函数的运算是无效果的，为了“有效地推导”，必须进行直觉洞察，有眼力的学生观察已知条件，考虑到偶次根式被开方数不小于零和ex＞0，就可发现题设隐含的条件：arcsinx-≥0，再考虑到反正弦函数的值域：arcsinx-≥0。
本题就不难解决了。
上面的例题就是要求我们应用直觉洞察力作出以下的科学预见：
（1）不能直接进行反三角函数的运算；
（2）应该注意偶次根式被开方数的性质；
（3）必须考虑反正弦函数的值域；
（4）先求x的值，再求y的值，最后求arctan y的值。
（3）审美直觉，把握实质
从“繁杂”中区分出简洁明了的、实质性的东西，从而发现解题途径是数学直觉思维的魅力之所在。
例3 已知三正数x2y2z满足x+y+z=1，试求函数f（x2y2z）=（1+）（1+）（1+）的最小值。
解析：直接求最小值，无从下手，但根据x2y2z在条件中“平等”的地位及函数f（x2y2z）中，各变量的对称性，由审美直觉，可以猜测：当时，函数取得最小值64。
只需要进一步检验猜测的结果的正确性，即证明不等式：（1+）（1+）（1+）≥64.問题转化了，难度也随之降低。
事实上，1+=1+=2+≥2+2≥4，同理，1+≥4，1+≥4，将上述三式两边分别相乘便得到要证的不等式。
上例中，变量在条件和结论中的对称性，无区别性，对审美直觉起着重要的作用。
审美直觉对于发现问题的结果及解题途径有机器重要的意义。
有些数学问题的解决，往往可以从审美直觉中获得某种直觉猜测，然后再进行逻辑证明。