2010江苏省高考数学真题(含答案)

2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析数学Ⅰ试题参考公式：锥体的体积公式: V 锥体=13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是高。

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

请把答案填写在答题卡相应的．．．．．．位置上．．．. 1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a 2+4},A ∩B={3}，则实数a =______▲_____.2、设复数z 满足z(2-3i)=6+4i （其中i 为虚数单位），则z 的模为______▲_____.3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同的概率是_ ▲__.4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___根在棉花纤维的长度小于20mm 。

5、设函数f(x)=x(e x +ae -x)(x ∈R)是偶函数，则实数a =_______▲_________6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是3，则M 到双曲线右焦点的距离是___▲_______7、右图是一个算法的流程图，则输出S 的值是______▲_______8、函数y=x 2(x>0)的图像在点(a k ,a k 2)处的切线与x 轴交点的横坐标为a k+1,k 为正整数，a 1=16，则a 1+a 3+a 5=____▲_____9、在平面直角坐标系xOy 中，已知圆422=+y x 上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1，则实数c 的取值范围是______▲_____10、定义在区间⎪⎭⎫⎝⎛20π,上的函数y=6cosx 的图像与y=5tanx 的图像的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y=sinx 的图像交于点P 2,则线段P 1P 2的长为_______▲_____。

11、已知函数21,0()1,0x x f x x ⎧+≥=⎨<⎩,则满足不等式2(1)(2)f x f x ->的x 的范围是__▲___。

12、设实数x,y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是 ▲ 。

13、在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C CA B+=____▲_____。

14、将边长为1m 正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记2(S =梯形的周长）梯形的面积,则S 的最小值是____▲____。

二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤. 15、（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。

(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(t -)·=0，求t 的值。

16、（本小题满分14分）如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，PD=DC=BC=1，AB=2，AB ∥DC ，∠BCD=900。

(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求点A 到平面PBC 的距离。

17、（本小题满分14分）某兴趣小组测量电视塔AE 的高度H(单位：m ），如示意图，垂直放置的标杆BC 的高度h=4m ，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tan α=1.24，tan β=1.20，请据此算出H 的值； (2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m ），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m ，试问d 为多少时，α-β最大？18、（本小题满分16分）在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F 。

设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y 。

（1）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹；（2）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （3）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）。

19、（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3122a a a +=，数列{}nS 是公差为d 的等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式（用d n ,表示）；（2）设c 为实数，对满足n m k n m ≠=+且3的任意正整数k n m ,,，不等式k n m cS S S >+都成立。

求证：c 的最大值为29。

20、（本小题满分16分）设)(x f 是定义在区间),1(+∞上的函数，其导函数为)('x f 。

如果存在实数a 和函数)(x h ，其中)(x h 对任意的),1(+∞∈x 都有)(x h >0，使得)1)(()('2+-=ax x x h x f ，则称函数)(x f 具有性质)(a P 。

(1)设函数)(x f 2ln (1)1b x x x +=+>+，其中b 为实数。

(i)求证：函数)(x f 具有性质)(b P ； (ii)求函数)(x f 的单调区间。

(2)已知函数)(x g 具有性质)2(P 。

给定1212,(1,),,x x x x ∈+∞<设m 为实数，21)1(x m mx -+=α，21)1(mx x m +-=β，且1,1>>βα，若|)()(βαg g -|<|)()(21x g x g -|，求m 的取值范围。

数学Ⅱ（附加题）21.[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，请选定其中两题．．．．．．．，并在相应的答题区域内作．．．．．．．．．．．答．。

若多做，则按作答的前两题评分。

解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

A ． 选修4-1：几何证明选讲 （本小题满分10分）AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ，若DA=DC ，求证：AB=2BC 。

B ． 选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。

设k 为非零实数，矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110，点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1，△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍，求k 的值。

C ． 选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切，求实数a 的值。

D ． 选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）设a 、b是非负实数，求证：3322)a b a b +≥+。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。

请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、（本小题满分10分）某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等品率为90%，二等品率为10%。

生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2万元。

设生产各种产品相互独立。

（1）记X （单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X 的分布列；（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。

23、（本小题满分10分） 已知△ABC 的三边长都是有理数。

（1）求证cosA 是有理数；（2）求证：对任意正整数n ，cosnA 是有理数。

2010年答案填空题1、[解析] 考查集合的运算推理。

3∈B, a+2=3, a=12、[解析] 考查复数运算、模的性质。

z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z 的模为2。

3、[解析]考查古典概型知识。

3162p==4、[解析]考查频率分布直方图的知识。

100×（0.001+0.001+0.004）×5=305、[解析]考查函数的奇偶性的知识。

g(x)=e x+ae-x为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。

6、[解析]考查双曲线的定义。

422MFed===，d为点M到右准线1x=的距离，d=2，MF=4。

7、[解析]考查流程图理解。

2412223133,++++=<输出25122263S =++++=。

8、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。

在点(a k ,a k 2)处的切线方程为：22(),k k k y a a x a -=-当0y =时，解得2ka x =， 所以1135,1641212kk a a a a a +=++=++=。

9、[解析]考查圆与直线的位置关系。

圆半径为2， 圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，||113c <，c 的取值范围是（-13，13）。

10、[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。

线段P 1P 2的长即为sinx 的值， 且其中的x 满足6cosx=5tanx ，解得sinx=23。

线段P 1P 2的长为2311、[解析]考查分段函数的单调性。

2212(1)10x x x x ⎧->⎪⇒∈-⎨->⎪⎩ 12、[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。

22()[16,81]x y ∈，2111[,]83xy ∈，322421()[2,27]x x y y xy=⋅∈，43y x 的最大值是27。

13、[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。

一题多解。

（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A 、B 和边a 、b 具有轮换性。

当A=B 或a=b 时满足题意，此时有：1cos 3C =，21cos 1tan21cos 2C C C -==+，tan22C =，1tan tan tan 2A B C===，tan tan tan tan C CA B+= 4。

（方法二）226cos 6cos b aC ab C a b a b+=⇒=+，2222222236,22a b c c ab a b a b ab +-⋅=++=2tan tan sin cos sin sin cos sin sin()1sin tan tan cos sin sin cos sin sin cos sin sin C C C B A B A C A B C A B C A B C A B C A B+++=⋅=⋅=⋅由正弦定理，得：上式=22222214113cos()662c c ccC ab a b=⋅===+⋅14、[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。