数学校本课程——
数学校本课程——
数学校本课程——
思考的乐趣课时:
第一课——你的钱多少年可以翻一番第二课——是命运还是概率第三课——做一次生活科学家第四课——翘课的代价
第五课——你敢承担风险吗, 第六课——均衡
第七课——有好规矩才不悲剧第八课——思维到底什么样
第一课:你的钱多少年可以翻一番 e的故事
这里的是一个数的代表符号，而我们要说的，便是的故事。这ee倒叫人有点好奇了，要能说成一本书，这个数应该大有来头才是，至少应该很有名吧,但是打开我们的记忆搜索器，大部分人能想到的重要数字，除了0和1外，大概就只有和圆有关的了，我们都知道，,
圆的周长与直径之比是一个常数，这个常数被称为圆周率，记
作,,3.14159？？，了不起的话，再加上虚数单位的。可是如果我i,,1 问你，代表了什么，你能回答吗, e
在高中数学里，大家都学到过对数(logarithm)的概念。教科书里的对数中，有以10为底的，叫做常用对数(common logarithm)。课本里还简略提到，有一种以无理数=2.71828……为底数的对数，e
称为自然对数(natural logarithm)，这个，正是我们故事的主角。e
不知这样子说，是否引起你更大的疑惑呢,在十进位制系统里，用这样奇怪的数为底，难道会比以10为底更「自然」吗,更令人好奇的是，长得这么奇怪的数，会有什么故事可说呢,
不妨先来看看维基百科是怎么说的:
“e是自然对数的底数。”
但是，你去看“ 自然对数”这个条目，得到的解释却是:
ee “自然对数是以为底的对数函数，是一个无理数，约等于2.718281828。”
e这构成了循环定义，完全没有说是什么。在这种情况下，数学家
选择这样一个无理数作为底数，还号称这种对数很"自然"，这难道不是一件很奇怪的事情吗,
e是增长极限
到底什么是,简单说来，就是增长的极限。 ee
下面这个例子就是对直观含义的极好诠释: e
某种类的一群单细胞生物每24小时全部分裂一次。在不考虑死亡与变异等情
况下，那么很显然，这群单细胞生物的总数量每天都会增加一倍。据此我们可以写出它的增量公式:
x增长率G,2，表示天数 x
这个式子可以改写成如下的样子:
x，其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内(24G,(1，100%)
小时)的增长率。
根据细胞生物学，每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，平均会新
产生一半原数量的新细胞，新产生的细胞在之后的12小时内已经在分裂了。
因此一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段的细胞数量都在前一个阶
段的基础上增长50%:
100%2G,(1，),2.25 2
即在一个单位时间内，这些细胞的数量一共可以增至为原数量的2.25倍。
倘若这种细胞每过8小时就可以产生平均1/3的新细胞，新生细胞立即具备独立分裂的能力，那就可以将1天分成3个阶段，在一天
内时间细胞的总数会增至为:
100%3 G,(1，),2.37037？3
即最后细胞数扩大为2.37倍。
实际上，这种分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即
和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢,答案是: 100%n G,lim(1，),2.718281828？n,,n
当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828
倍。数学家把这个数就称为，它的含义是单位时间内，e
持续的翻倍增长所能达到的极限值。
这个值是自然增长的极限，是“自然律”的精髓所在，因此以为e底的对数，
就叫做自然对数。
你不会自成“大款”——到e为止
我们都知道复利计息是怎么回事，就是利息也可以并进本金再生利息。但是本
利和的多寡，要看计息周期而定，以年周期来算的话，可以一年只计息一次，也可
以每半年计息一次，或者一季一次，一月一次，甚至一天一次;当然计息周期愈
短，本利和就会愈高。有人因此而好奇，如果计息周期无限制地缩短，比如说每分
钟计息一次，甚至每秒，或者每一瞬间(理论上来说)，会发生什么状况,本利和会
无限制地加大吗,
假定有一家银行，每年的复利是100%，请问存入100元，一年后可以拿多少钱,如果我们按照刚才的思路，计息周期无限制地缩短。
按照我们刚才细胞分裂的例子，答案是:
100%n lim100(1，),100e,271.8281828？,,nn
但是事实上，存储利息没有这么高，如果复利率只有5%，那么100
元存一年可以拿到多少钱呢:
5%n lim100(1，),?n,,n
我们知道，在100%利息率的情况下，n=1000时，下式的值非常接
近: e
100%10001000 ，，(1，),1，0.1%,e1000
为了便于计算，取n等于50:
5%5050 ，，(1，),1，0.1%50
当利息率是5%时，存款增长率就相当于的20分之一次方: e
11000120，，5%100%,,5020 (1，),1，,e,,,,501000,,,,，，
15%n5%20lim100(1，),100e,100e1/20正好等于5%，所以 ,,nn
我们可以把上式改写成:
rG,e
r表示利率。
再考虑时间因素，如果存款年限t年，那么存款最终增长率为:
trrt，，G,e,e
e这说明可以用于任何连续不断的复合式增长率的计算，而上式也
是这个增长率的通用计算公式。
带着这个结论再回到上面的例子。如果银行的利息率是5%的复利，
求解100元存款翻倍需要多少时间就等价于解下面的方程:
5%t100e,200
计算结果得13.86年:
ln20.69369.372 t,,,,5%5%55
可以看到:用72除以增长率就是翻倍的大致时间。这正是经济学上著名的72法则。
“72法则”
其实所谓的“72法则”就是以1%的复利来计息,经过72年以后,本金会变成原来的一倍。这个公式好用的地方在于它能以一推十,例如:利用8%年报酬率的投资
工具,经过9年(72/8)本金就变成一倍;利用12%的投资工具,则要6年左右(72/12),就能让1元钱变成2元钱。
假设最初投资金额为100元，复息年利率9%，利用72法则，将72除以9，得8，即需约8年时间，投资金额滚存至200元，而准确需时为8.0432年。
虽然利用72法则不像查表计算那么精确，但也已经十分接近了，因此当你手
中少了一份复利表时，记住简单的72法则，或许能够帮你不少的忙。72法则同样还可以用来算贬值速度，例如通货膨胀率是3%，那么72?3=24，24年后你现在的
一元钱就只能买五毛钱的东西了。
例1:某企业平均年收益增长率为20%，那么需要多少年企业才会实现年收益翻一倍的目标,
答:72?20=3.6年
例2:某企业在9年中平均年收益翻了3番，那么9年内的年平均收益增长率为多少,
答:9年财务收益翻了三番，说明企业平均3年翻一番，那么年平均收益增长率为:72?3=24，即财务年平均收益增长率为24%
运用“72法则”也能计算要为养老准备多少钱。假如，你现在30岁，每月的
生活费是1万元。假设今后每年有6%的物价上涨率，那么12年(72?6=12年)之后，你42岁时，要保持同样品质的生活，每月就得2万元。你54岁时，就得4万元;66岁时，每月就得8万元。
如果你给自己确定的财富目标是到60岁时有1000万元的财富，那么你现在需要投资多少钱购买股票型基金呢,假定今后股票型基金年平均收益率为12%，那么
每6年(72?12=6年)你的投资本金就可翻番。所以你54岁时需要本钱500万元;48
岁时需要本钱250万元;42岁时需要本钱125万元;36岁时需要本钱75万元;30岁需要本钱37.5万元。
假设你是一位新闻记者，接到一个统计，你所在城市登记在册的狗的数量逐年增长10%。你会给你的文章取个什么样的标题呢,肯定不是“养狗许可证数量每年上升10%”，这没人会理会，而是:“养狗成灾:仅仅7年，狗屎翻倍～”
练习:试比较目前通过正常投资途径实现翻番目标所需要的时间。
1、储蓄。当前一年期的定期存款利率为2.25%，税后为1.8%，假设利率保持不变，则本金翻一番所需时间多久,
2、国债。因为国债很少有一年期的，所以我们以加息后的三年期凭证式国债计算，利率为3.37%，本金翻一番所需的时间是多久,
3、开放式基金。当前开放式基金的业绩虽然参差不齐，但也有诸多业绩优秀的基金，如果选择一只好的基金，其回报率为8%，如果选择了大部分的基金，其回报率为2.5%。
4、货币基金。货币基金的年平均收益率一般为2.8%左右。
6、人民币理财。除了股份制银行外，目前各国有专业银行也推出了人民币理财产品，若其1年期产品的年收益为3.03%。
后续:从以上数据可以看出，银行储蓄翻番的时间最长，需要40年。因此，要想实现家财的增值，就要转变传统的“有钱存银行”的老观念，根据自己的风险承受能力，尽量选择收益高的理财产品。以人民币理财为例，很多人认为它和定期储蓄的收益差不了一两个百分点，但你别忘了，收益高一个百分点，本金翻番的时间就能缩短 15年。所以，在打理家财上应当锱铢必较，分厘不让。
第二课:是命运,还是概率,
(适合文科生)
回归均值
有位男士经常背痛，疼痛时强时弱。有时他觉得自己充满活力，有时他几乎动弹不得。每次碰上这种情况——幸好很少——他妻子就会开车送他去找心理治疗师。每次这样做的第二天，他就明显好多了。于是他逢人就推荐他的心理治疗师。
另一个年轻人，篮球打得非常好，他逢人便夸他的教练。如果某
天他的球打得糟糕，他就去这位老师那儿学上1小时，下回他就又打得很好了。
我们也有些生活经验，比如，当你状态比较差的时候你的朋友都这样劝你，手里的工作先放一放，走出去放松一下吧。事实证明，大多数情况，放松后状态明显好多了。
将以上三个事联系在一起的其实就是回归均值。
极端成绩与不太极端的成绩总是来回交替。已经连续3年表现优异的股票几乎不可能在接下来的3年继续走强。因此许多运动员在比赛取得好成绩，并因此登上报刊头版后心中往往会产生恐慌的情绪:潜意识中他们预感到，下回比赛时他们可能再也不会取得这一最高成绩了——这当然与头版毫无关系，而是与他们成绩的自然波动有关。
忽视回归均值，可能会造成严重后果:比如老师(或经理)会得出结论，处罚比夸奖更有效。因为通常考试成绩最优秀的学生会受到夸奖，最差的则会遭到处罚。而在下次考试中——纯随机地——可能就会是另一些学生处于成绩最高和最低的位置。老师因此得出结论:处罚有效，夸奖有害。这当然是一个谬论。
赌徒谬误:为什么没有一种平衡命运的力量
超生游击队员李四已经连生4个闺女了，但他实在太想要一个男娃，虽然家产都快被村里计生委的人给罚光，就差没上房揭瓦了，但还是要生，他想，都连生4个了，下个肯定是个男孩。
老赌棍张三没事总喜欢上一个黑赌场里下两注，但今天他赌红眼了，因为庄家已经连开10把大了，他也连输了10把，他不相信第
11把还开大，还想一把就把之前输的全赢回来，于是把唯一的存折都给压上了，买小。
以上两件事的结果会如何呢,他们不一定会赢，但也不会像一些人猜测的一样(虽然很多小说的情节是这样的)，一定会输。他们输赢的概率都是1/2。很明显，结果绝对不会像他们想的那样赢定了，孤注一掷也是非常不明智的选择。
很多人都无法避免一个事实:一枚硬币被连抛3次，每次都是图像朝上。假如有人强迫你，让你自己掏出100元为下一抛下注。你会押图像还是数字呢,如果你像大多数人那样思考，你会押数字，虽然人头同样是有可能的——这就是著名的赌徒谬误。
独立事件:我和你没有半毛钱关系
我们得知道什么叫做独立事件，事件A的结果并不影响事件B，那A和B就是独立事件。国足输球跟万里之外太阳黑子活跃很明显就是独立事件，虽然他们可能会声称太阳黑子改变地球重力场导致他们发挥失常。
那么生孩子是不是独立事件呢，当然是的。这不过是精子卵子结合的生理过程，这一次和上一次能有什么关系(也许偶然生孩子会改变人的生理结构于是影响概率，但这牵涉到科学问题就另说了),掷骰子也是一样，就算是连开100把大，下一把开大的概率还是1/2。
事实上很多人都没有意识到独立事件的概率是毫无关系的，即使它们发生的时间如此接近。
比如说买彩票，很多人喜欢研究走势，他们认为上次开出的数字
这次很可能不出现，事实似乎也证明了他们的想法，于是他们更加相信每次开奖间存在某种规律，只要抓住这个规律就能发大财。可惜的是，每一期彩票间当然也是独立事件。
是命运吗,
将一枚硬币连抛50次，50次都是图像朝上。又有人强迫你为下一抛押100元。你会押图像还是数字呢,你淡定地微微一笑，因为你已经读了刚才的内容，知道之前的结果无关紧要。但如果你足够理智，你肯定会押图像，因为你必然会想到，这枚硬币应该是有问题的。
我们刚才探讨过回归均值。比如:假如你经历了破纪录的严寒，那么接下来的几天气温就有可能会上升。如果我们只看概率，气温将有50%的概率下降，有50%的概率上升。但事实上，极端的气温不会持续太久，总会回到均值。不过，在某些情形下，极端的趋势会持续，例如富人倾向于越来越富。一只暴涨的股票，在到达一定点位后可能依然会受到热捧，就是因为它如此出色——这是一种反向的平衡效应。
结论:请你仔细观看，看你面对的是否是独立的事件——不过这主要存在于赌场、彩票和理论书籍里。现实生活中这些事件大多有着相互联系——已经发生的事情，会影响未来将要发生的事情。因此请你忘记命运的平衡力量(除了回归均值的情形)。
NBA比赛里，经常有球员连续命中，这时候篮球解说一般就会认为这球员手热得发烫，然后认为以后的进攻机会最好都要给这个球员。常看CCTV5的都知道，我们的张指导就是这样。现在，你知道他
有多外行了吧……
第三课:做一次生活科学家
相关性 ? 因果性
如今越来越多的复杂统计数据像潮水般向我们涌来，一批又一批的调查结果，都显得那么铿锵有力，似乎那就是客观事实。
统计数据显示，在铀矿工作的工人居然与其他人的寿命相当，有时甚至更长～难道统计结果表明在铀矿工作对身体无害么,
当然不是～其实，统计数据本身并没有说谎，铀矿工人的寿命真的不比普通人低，难就难在我们如何拨开数据的外表，从中挖掘出正确的信息。事实上，只有那些身强体壮的人才会去铀矿工作，他们的寿命本来就长一些，正是因为去了铀矿工作，才把他们的寿命拉低到了平均水平，造成了数据的“伪独立性”。这种现象常常被称为“健康工人效应”。
有虚假的独立性数据，就有虚假的相关性数据。统计数据显示，去救火的消防员越多，火灾损失越大。初次听到这样的结论，想必大家的反应都一样:这怎么可能呢,仔细想想你就明白了:正因为火灾损失大，才会有很多人去救火。因果关系弄颠倒了。数据只能显示两件事情有相关性，但并不能告诉你它们内部的逻辑关系。
事实上，两个在统计数据上呈现相关性的事件，有可能根本就没有因果关系。统计数据表明，冰淇淋销量增加，鲨鱼食人事件也会同时增加。但这并不意味着，把冰淇淋销售点全部取缔了，就能减小人
被鲨鱼吃掉的概率。真实的情况则是，这两个变量同时增加只不过是因为夏天来了。统计数据显示，足球队的获胜率，竟然与队员的球袜长度成正比。难道把队员的球袜都换长一些，就能增加进球数了吗,显然不是。数据背后真正的因果关系是，球队的获胜率和队员的球袜长度都与队员的身高呈正相关，这导致了获胜率与球袜长度之间表现出虚假的相关性。
类似的例子还有很多。统计数据表明，手指越黄的人，得肺癌的概率越大。但事实上，手指的颜色和得肺癌的概率之间显然没有直接的因果联系。那么为什么统
计数据会显示出相关性呢,这是因为手指黄和肺癌都是由吸烟造成的，于是又营造出一种虚假的相关性。
抽样调查，想说无偏不容易
调查问卷你肯定知道，多半还做过。在统计上，问卷调查属于抽样调查。再大规模的抽样调查，都可能存在着意想不到的陷阱。不妨让我们穿越到 1936 年的美国，看一个被许多书本都引用过的实例吧。
1936 年美国总统大选在即，当时一本著名杂志《文学文摘》就在读者中做了一次问卷调查，断言共和党的兰登即将以 57% 对 43% 的绝对优势大胜民主党的罗斯福——这可是根据 240 万份调查问卷得到的结果。这么大规模的调查，如同宣告了兰登的胜利，可是，最后的结果却让人大跌眼镜:罗斯福以 62% 的支持率成功连任美国总统。出现了这个戏剧性的丑闻后，《文学文摘》业绩直接掉落为零，最后竟然倒闭了。对于《文学文摘》来说，他们的问题出在哪里呢, 现在看来，《文学文摘》的调查问卷虽然数量庞大，但是样本构成大有问题。首先，最可能看到这个调查的是这个杂志的常客，而他们参加调查的动机各有不同。另外，这个话题更能引发人的兴趣，有些则只是很少的人关心。这都会导致最终参加调查的人是一个有偏的样本。结论可能代表了这些人群，却不能推广到全体。
其次，问卷的回收率只有 24% ，忽略那些没有被回收的问卷就等于是忽略了剩余 760 万人的意见。《文学文摘》杂志社还通过电话调查的方式对自己的读者进行了抽样，但在 1936 年，并不是每一个家庭都能装得起电话——那些订阅杂志、用电话的人家往往都是有钱的人，他们并不能代表全美国的选民意见。最终，这些看起来不算起眼的问题对他们的预测结果产生了巨大影响，事情的发展也走向了完全相反的方向。
如果我们现在做一个调查，看一看在最初恢复高考的三年中进入几所名牌大学就读的学生如今的年收入，你一定会得到一个高得吓人的数字。我敢如此肯定并不是我熟悉他们的社会成就，而是因为我了解调查的缺陷。可以想见，当年的那些大学生虽然有案可查，但能够准确联系调查的却只有一部分较为成功的人了。其中有一些人虽然联系上了，却不一定愿意接受调查。最后，还不能排除一些人受赞许倾向的影响，有意无意地提高报告自己的收入水平。最终，调查员只回收了那些成功人士的数据，而沉默的大多数却被“统计式”地忽视了。
辛普森悖论
现实中的统计数据往往会表现出一些更加诡异复杂的反常现象，
带来更多意想不到的麻烦。辛普森(Simpson)悖论是统计学中最有名的悖论:各个局部表现都很好，合起来一看反而更差。统计学在药物实验中的应用相当广泛，每次推出一种新药，我们都需要非常谨慎地进行临床测试。但有时候，药物实验的结果会匪夷所思。假设现在我们有一种可以代替安慰剂的新药。统计数据表明，这种新药的效果并不比安慰剂好:
有效无效总人数
新药 80 120 200
安慰剂 100 100 200
简单算算就能看出，新药只对40%的人有效，而安慰剂则对50%的人有效。新药按理说应该更好啊，那问题出在哪里呢,是否因为这种新药对某一类人有副作用,于是研究人员把性别因素考虑进来，将男女分开来统计:
男性有效男性无效女性有效女性无效
新药 35 15 45 105
安慰剂 90 60 10 40
大家不妨实际计算一下:对于男性来说，新药对高达70%的人都有效，而安慰剂则只对60%的人有效;对于女性来说，新药对30%的人都有效，而安慰剂则只对20%的人有效。滑稽的一幕出现了:我们惊奇地发现，新药对男性更加有效，对女性也更加有效，但对整个人类则无效～
上面的例子再次告诉我们，统计实验的“随机干预”有多么重要。
从上面的数据里我们直接看到，这个实验的操作本身就有问题:新药几乎全是女性在用，男性则大都在用安慰剂。被试者的分组根本没有实现完全的随机化，这才导致了如此混乱的统计结果。不难设想，如果每种药物的使用者都是男女各占一半，上述的悖论也就不会产生了。当然，研究人员也并不笨，这么重大的失误一般还是不会发生的。问题很可能出在一些没人注意到的小细节上。比如说，实验的时候用粉色的瓶子装新药，用蓝色的瓶子装安慰剂，然后让被试人从中随机选一个来用。结果呢，女孩子们喜欢粉色，选的都是新药;男的呢则大多选择了蓝瓶子，用的都是安慰剂。最后，200份新药和200份安慰剂正好都发完，因此不到结果出来时，就没有人会注意到这个微小的性别差异所带来的统计失误。
你被平均了吗,
还不得不考虑，平均数也有一个小小的麻烦，它特别容易受极端数据的影响。回忆一下小学时老师对一个差生拉下全班平均分的愤懑表情。以及，一个月收入五万的老板和五名月收入两千元的员工享受着一万元的月平均工资，而这个平均数居然是一个员工月收入的五倍之多。
这些离奇的统计学现象有时会让人感到恐慌:连统计数字也不可靠了，还有什么能真实地反映这个世界运转的规律呢,
科学方法，现代公民的必修课
上述例子用我们日常学习的统计学知识都可以一一解决。
科学的抽样方法、使用数字正确的方式合理估计样本，分清楚相
关关系与因果(函数)关系，用科学的方法让自己当一个明白人。
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《统计陷阱》达莱尔?哈夫著
该书自1954年出版至今，多次重印并被译成多国文字，是一本影响深远的经典性著作。《统计陷阱》一书之所以能够历久弥新，是因为其实用性。
20世纪50年代，美国的各大媒体和宣传机构越来越重视利用统计——“这个神秘的语言”说话，然而大量的统计数据、统计资料由于主、客观的原因被滥用，很难起到描述事实、传递信息的作用。相反，还往往对读者形成误导。达莱尔?哈夫(Darrell Huff)，一位具有深厚统计背景的新闻记者发现了这一现象。
第四课:翘课的代价
经济学之所以成为一门独立的学科，并且在相当大程度上改变了世界的面貌，是因为经济学家看世界的方式和常人不同，也与其他社会科学，比如社会学和政治学、法学不同，经济学家有一套自己的看问题、看世界的方法。这些方法，帮助人们更科学地认识了外部世界和人类自身，提高了人类解决自身问题的能力。
这里，我们就先说说几个经济学家的特殊思维方式吧，它们有助于矫正甚至可以颠覆你长久以来的思维定势。
吃掉,还是倒掉,
假如小明在买了一份午餐花掉10元，只吃了一口，发现难以下咽，是继续吃掉还是倒掉,类似的例子还有:比如今天晚上要举行建业的
比赛，可是临近比赛的当口，突然下起了瓢泼大雨。有两种情况:一是，你已经买了票，票价还不便宜，100块钱一张，是你近半个月的零花钱，而且不能退票。另一种情况是，别人送了你一张票，可是票不能转手，也不能退。在这两种情况下，你去还是不去看比赛，有没有什么不同呢,
纠缠于沉没成本:你为什么应该忽视过去
说一个狗血的剧情，一位朋友被一段问题恋情折磨多年。那女人一次次欺骗他。每当他逮住她时，她都后悔不迭地回来，恳求他的原谅。虽然再跟这个女人维持关系早就没有意义了，他还是一次次接受了她。当我与他谈论此事时，他向我解释道:“我在这段恋情中投入了那么多感情，现在离她而去是错误的。”这是典型的纠缠于沉没成本。
我们刚才谈的都是沉没成本。
每个决定，不管是私人的还是业务上的，始终是在不确定的情况下作出的。我们的设想，有可能兑现，也有可能落空。任何时候我们都可能离开选取的小道，并承担后果，比如中断项目。这种不确定情形下的权衡是理性行为。然而，在我们已经投入特别多的时间、金钱、能量、爱等因素之后，沉没成本令人难以放手、难以释怀。于是已经投资的钱就成了继续做下去的理由，即使客观来看坚持下去毫无意义。投资越多，沉没成本就越大，将项目继续做下去的理由就越充分。
股市投资人经常成为沉没成本的受害者。他们在决定是否出售股
票时常以买入价作为参照。当股价高于买入价时，就卖掉股票;如果股价低于买入价，就抱住不卖。这是不理智的，绝不可以让买入价处处扮演角色。唯一有效的是股市未来的前景(和可选投资未来的行情)。每个人都会出错，特别是在股市里。纠缠于沉没成本的不幸，其关键就是:你投资一只股票亏的钱越多，你越是抱紧它不放。为什么会有这种荒谬行为呢,因为人类想努力表现得坚韧，坚韧是我们发出的可信信号。我们害怕矛盾。如果我们决定中断一个项目，我们就在制造矛盾:承认从前的想法与今天不同。继续执行一个无意义的项目是在推迟这一疼痛认识。那样我们就显得更坚韧。
放弃就等于投降。“我们已经行驶了这么远……” “我已经读了这本书的这么多页……”从这种句子可以看出，你是如此与沉没成本难舍难分。
有许多好理由支持你继续投资下去，但如果你只是因为舍不得已经作出的投资而决定继续做某件事，这就不是一个好理由了。理性的决定意味着忽视已经投入的成本。你已经投资了什么并不重要，唯一重要的是现在的形势及你对未来的评估。
或者说经济学中的成本应该是关心未来的。
你晚上是不是去看比赛，仅仅取决于从现在开始将要发生的情况，所以看新增加的成本和增加的收益的比较。在这两种情况下，增加的收益都是看比赛带来的愉悦感，新增加的成本都是淋雨带来的不舒服。如果你觉得淋雨不算什么，只要能看到比赛就高兴，则不管你是自己买票还是别人送的票，都会去看;反之，则不会去。这里的核心问题
是，不要再考虑买票的钱，那些事情已经过去了。
天下没有免费的午餐
有一句话，叫“天下没有免费的午餐。”你可真的明了此话的真义, 如果有人请你吃午餐，他出钱，而且不附带任何条件。这是免费的么,你会说当然免费了，他买单嘛。可是你是有代价的。因为你吃这顿饭的时间，可以用于做其他事情，这些事情，对你是有意义、有价值的。你把时间用于白吃这顿饭，就失去了这些本来能有的价值。
这就是机会考虑。它提示我们，做事的真正成本，不是为做一件事已经付出的多少，而是为做它所必须放弃的那些东西。当你面临两难选择的时候，你应该想想哪种选择所放弃的更多，两难也就不难了。机会成本
经济学的独特思维方式是机会成本考虑。
成本是每个人做事时都会考虑的因素，收入减去成本才是利润。可是，经济学家所说的成本，与一般人说的成本差别甚大。
一般人头脑里的成本概念是会计成本，也就是做账用的。会计成本有几个特点:第一，会计成本是直接的成本，即实际发生的成本，跟生产和消费直接相关;第二，会计成本是已经发生的成本。
但是经济学家说的成本却很不一样。经济学意义上的成本只有一个，那就是“机会成本”，在所有经济学的书里，成本的概念一律是指机会成本。
任何一种资源都有多种用途，可以配置到不同的用途上去，投到一个用途，就意味着放弃另外的用途。一件事情的机会成本，就是由
于做这件事情而放弃的其他用途中价值最大的那一个的价值。
一件事情的机会成本，是放弃的最大的价值。也就是根本没有发生过，也跟该事情没有直接关系，这跟会计成本完全不同。
相应地，经济学的利润跟会计利润也就有很大区别。会计利润是全部收入减去会计成本。经济利润是全部收入减去经济成本，也就是减去机会成本。
举例说明，假如你原来在一个政府部门上班，每年有10万收入。现在，你决
定下海经营一家餐馆，每年的全部收入是11万，会计成本是10万，包括买菜、买肉、员工工资、税收和各种其他费用。你的会计利润就是:
11万,10万,1万。
但是，经济学家认为你没有赚钱，反而赔了钱，至少赔了9万。因为你想，如果你的时间不是用于开餐馆，而是继续在政府部门上班，你就会有10万元，现在你只有1万元，所以，你至少赔了9万元。问题出在你少算了成本，不能只算买菜、买肉等的成本，为了开餐馆，你放弃的收入也是成本，而你没有算上。
这里的非同凡响之处在于，在一般人看来，干什么都可以挣钱，都可能有利润;而在经济学家看来，在一定的时期内，只有做一件事情才有利润，做其他任何事情都亏损。
读大学成本计算公式算算虚度一日亏多少钱
现在有许多高校学生晒自己一天的成本多少。校园记者走访了西
安的几所高校，调查显示一名普通本科大学生，4年学费(按每年4500元算):18000元，4年住宿费(按每年1000元算):4000元，伙食费(按每月800元算，去除寒暑假共计36个月):28800元，购买基本生活用品:3000元，上网费:800元，手机话费:2000元，购买衣服及学习辅导资料:4000元，交通费:3200元，其它费用:3000元，大学生平均每天纯花费:66800元?1080天=61.9元/天。这意味着，除去寒暑假3个月的时间，读一年大学最基本的花费大约需要16700元，每个月的花费逾1800元，也就是说在学校一天的花费为60元。而由麦可思研究院发布的《2012年中国大学生就业报告》显示，对2011届大学生毕业半年后的调查显示，全国本科学生平均月工资为3051元。按这个数据计算，4年求学期间将损失至少146448元。取平均数12万元，意味着求学的每一天，就损失工资收入约180元。加上上学花费每天60元，坐在课堂里每一天的成本为240元。
网友“欣湘冰奕”:大学每一天课的平均价值是300元。所以，翘1天等于一周的饭钱，翘10天等于一个苹果iTouch，翘20天等于一个iPad，翘30天等于一部iPhone……亲，你还打算翘课吗,
第五课:你敢承担风险吗, 导数到底是什么,
学生学完导数，也不知道导数到底有什么用，除了求导求切线求极值。
经济学一个独特思维就是边际考虑。
边际原本是个数学概念，其含义是导数，是一个变量的变化对另一个变量变化的影响程度，也就是两个变量改变量的比。
,总成本的变化量边际成本, ,产量变化量
在经济学上，边际的意思是“最后的”，或者“新增加的”。边际
考虑就是只考虑最后的一个或者新增加的一个所引起的变化，从而判断事情的整体本质。
最后的一个和新增加的一个，都是边际的一个。比如现在一共有99个东西，第99个是最后一个，它是边际的一个，而第100个，是新增加的，或者将要增加的，也就是边际。
边际意味着微小的变化，所以，最后的一个，与新增加的一个，相差非常小。它们引起的变化的差异也非常小。在数学上，这叫“连续”。
理论上讲边际成本表示当产量增加1个单位时，总成本的增加量(这个总成本包括不变和可变成本)。
随着产量的增加，边际成本会先减少，后增加。
举个例子:比如，仅生产一辆汽车的成本是极其巨大的，而生产第101辆汽车的成本就低得多，而生产第10000汽车的成本就更低了(这是因为规模经济)。
但是，考虑到机会成本，随着生产量的增加，边际成本可能会增加。
当产量很小时，可以理解为企业的设备没有得到充分利用，因而产量很小，随着企业雇佣更多的员工进行生产，生产设备的利用率也开始变大，假设增加的第一个工人对产量的贡献是10，那么增加的第二个工人对产量的贡献可能是15甚至更高，第三个会是30。随着员工增加到一定程度时，企业变得拥挤，这时候每增加的一个员工依然会提高生产设备的利用率，但是这个利用率的提高会慢慢减慢下来。当员工增加到某一程度，再增加一个员工时，这个员工对产量的贡献将会是0，即边际产量为0，在这一阶段时，产量的增加速率从最大值逐渐减小到零，而成本的增加速率(每个员工的费用，加上每单位产品的成本)大于产量的增加速率，从而边际成本增大。
边际成本和单位平均成本不一样，单位平均成本考虑了全部的产品，而边际成本忽略了最后一个产品之前的成本。例如，每辆汽车的平均成本包括生产第一辆车的很大的固定成本(在每辆车上进行分配)。而边际成本根本不考虑固定成本。
再举一个例子。假定一个农民某年生产了五袋粮食，他要安排这五袋粮食的用途。他一定是按照重要性从大到小的顺序安排。
第一袋，用于吃，这个对他最要紧。
第二袋，用于增强体力和精力。