2006年高考第一轮复习数学：7.6 直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系知识点及例题
直线与圆的位置关系知识点及例题Prepared on 22 November 2020直线与圆的位置关系一、知识点梳理1、直线与圆的位置关系：图形名称相离相切相交判定d>r d=r d<r交点个数无1个2个例1、下列判断正确的是（）①直线上一点到圆心的距离大于半径，则直线与圆相离；②直线上一点到圆心的距离等于半径，则直线与圆相切；③直线上一点到圆心的距离小于半径，•则直线与圆相交．A．①②③ B．①② C．②③ D．③例2、过圆上一点可以作圆的______条切线；过圆外一点可以作圆的_____条切线；•过圆内一点的圆的切线______．例3、以三角形一边为直径的圆恰好与另一边相切，则此三角形是_______．例4、下列直线是圆的切线的是（）A．与圆有公共点的直线 B．到圆心的距离等于半径的直线C．垂直于圆的半径的直线 D．过圆直径外端点的直线例5．如图所示，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CA=6，CB=8，以C为圆心，r为半径作⊙C，当r为多少时，⊙C与AB相切2、切线的判定：（1）根据切线的定义判定：即与圆有一个公共点的直线是圆的切线.（2）根据圆心到直线的距离来判定：即与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. （3）根据切线的判定定理来判定：即经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.判定切线时常用的辅助线作法：（1）若直线与圆有公共点时，辅助线的作法是“连结圆心和公共点”，再证明直线和半径垂直.（2）当直线与圆并没有明确有公共点时，辅助线的作法是“过圆心向直线作垂线”再证明圆心到直线的距离等于圆的半径.例6、判断下列命题是否正确（1）经过半径的外端的直线是圆的切线（2）垂直于半径的直线是圆的切线；（3）过直径的外端并且垂直于这条直径的直线是圆的切线；（4）和圆有一个公共点的直线是圆的切线；（5）以等腰三角形的顶点为圆心，底边上的高为半径的圆与底边相切.例7．OA平分∠BOC，P是OA上任一点（O除外），若以P为圆心的⊙P与OC相离，•那么⊙P与OB的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切例8、如图所示，在直角坐标系中，⊙M的圆心坐标为（m，0），半径为2，•如果⊙M与y轴所在直线相切，那么m=______，如果⊙M与y轴所在直线相交，那么m•的取值范围是_______．例9、如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点M，过点B作BE∥CD，交AC•的延长线于点E，连结BC．（1）求证：BE为⊙O的切线；（2）如果CD=6，tan∠BCD=12，求⊙O的直径．例10、如图，已知：△ABC内接于⊙O，点D在OC的延长线上，sinB=12，∠D=30°．（1）求证：AD是⊙O的切线；（2）若AC=6，求AD的长．例11、如图，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，过⊙O上一点A作弦AB⊥PO于E，若∠EAC=∠CAP，求证：PA是⊙O的切线．3、切线的性质：1、经过切点的半径垂直于圆的切线，经过切点垂直于切线的直线必经过圆心对于切线的性质可分解为：过圆心、过切点、垂直于切线这三个条件中任意两个作为条件，就可以推出第三个作为结论4、切线长定理：切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角．例12、如图1，PA、PB是⊙O的两条切线、A、B为切点。
高考数学第一轮知识点总复习 第四节 直线与圆的位置关系
∵｜PC｜= 112 1 22 5 r 6
∴点P恒在圆C内，∴直线 与l 圆C恒交于两点.
（2）由（1）及平面几何知识知，当l 垂直于PC时，直线l 被圆C截得的弦
长最小，又 kPC
2 1 1 1
1 2
,
k，l
1 kPC
2
∴所求直线 l的方程为y-1=2(x-1),即2x-y-1=0.
题型二 圆与圆的位置关系
2k 6 5 2
3
由点C到直线AB的距离公式 k2 12 ,得k= . 4
l
又直线 的斜率不存在时也满足题意，此时方程为x=0.
3
当k=4
时，直线
l
的方程为3x-4y+20=0.
∴所求直线的方程为x=0或3x-4y+20=0. 方法二：设所求直线的斜率为k,
则直线l的方程为y-5=kx,即y=kx+5,
【例】求过A(3,5)且与圆C: x2 -4yx2-4y+7=0相切的直线方程.
错解 设所求直线 的l 斜率为k，方程为y-5=k(x-3)，
即kx-y+5-3k=0,已知圆C的圆心（2，2），r=1.
则圆心到 l的距离为
2k 2 5 ,3即k ｜1k-3｜=
1 k2
， 1 k2
4
∴ k-26k+9= k+2 1，解得k= 3.
∵A到l的距离为 5 ,2
∴所求圆B的直径
即 r2 2.
2r
2
5
2 r,1 2
2
r r 又｜OB｜=｜OA｜- 2 , 2
2
1
由 OA与x轴正半轴成45°角,∴B(2,2).
∴所求圆的标准方程为 (x2)2 ( y.2)2 2
高三一轮复习直线与圆、圆与圆的位置关系
栏目 导引
第八章
平面解析几何
(1)本题主要考查集合的运算及圆与圆相切的相关知识， 考查 考 生综 合运 用知 识解 决问 题的 能力 ．在求 解时 要注 意对 M∩N≠∅的理解，当题中未指明集合非空时，要考虑到空集 的可能性，例如 A⊆ B，则有 A＝∅和 A≠∅两种可能，应分类 讨论， 本题的设计亮点在于将集合的关系与圆的位置关系较 好地结合起来． (2)求解圆的切线方程时， 有时要对切线斜率存在情况进行分 类讨论．
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第八章
平面解析几何
(1) 求 过一点的 圆的切线 方程，首 先要判断 此点是 否在圆 上．若在圆上，该点为切点，切线只有一条；若不在圆上， 切线应该有两条， 设切线的点斜式方程， 用待定系数法求解， 注意，需考虑无斜率的情况． (2)求解与圆的弦长有关的计算问题时，常利用圆的半径 r，
2 l 弦长 l 与弦心距 d 之间的关系：r2＝d2＋ ，一般不用代数法 4
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第八章
平面解析几何
2．若圆 x2＋y2＝4 与圆 x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的
1 长为 2 3，则 a＝________ ．
1 【解析】 两圆的方程相减， 得公共弦所在的直线方程为 y＝ . a 又 a>0，结合图象 (图略 )，再利用半径、弦长的一半及弦心 距所构成的直角三角形， 1 可知 ＝ 22－（ 3） 2＝ 1⇒a＝ 1. a
[课堂笔记]
栏目 导引
第八章
平面解析几何
【解析】 (1)设 A(3， 1)，易知圆心 C(2， 2)，半径 r＝ 2，当 弦过点 A(3，1)且与 CA 垂直时为最短弦． |CA| ＝ （ 2－ 3） 2＋（ 2－ 1） 2 ＝ 2 . ∴ 半 弦 长 ＝ r2－ |CA|2 ＝ 4－2＝ 2.∴最短弦长为 2 2. (2)设 P(3， 1)，圆心 C(1，0)，切点为 A、B，则 P、 A、 C、 B 四点共圆，且 PC 为圆的直径，∴四边形 PACB 的外接圆 1 5 方程为 (x－ 2)2＋(y－ )2＝ ① .圆 C：(x－1)2＋ y2＝ 1②，①－ 2 4 ②得 2x＋ y－3＝ 0，此即为直线 AB 的方程．
高中数学一轮复习直线与圆的位置关系
有公共点，则实数a的取值范围是(
A．[－3，－1] C．[－3,1]
)
B．[－1,3] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
【解析】 (1)∵x2＋y2＝2 的圆心(0,0)到直线 y＝kx＋1 的距离 |0－0＋1| 1 d＝ ＝ ≤1.又∵r＝ 2， 2 2 1＋k 1＋k ∴0＜d＜r.∴直线与圆相交但直线不过圆心． (2)由题意知，圆心为(a,0)，半径 r＝ 2. 若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离小于或等于半径， |a－0＋1| 即 ≤ 2，∴|a＋1|≤2.∴－3≤a≤1，故选 C. 2
又直线 l 的斜率不存在时，也满足题意， 此时方程为 x＝0. ∴所求直线的方程为 3x－4y＋20＝0 或 x＝0. 解法二： 设所求直线的斜率为 k， 则直线的方程为 y－5＝kx， 即 y＝kx＋5，
y＝kx＋5， 联立直线与圆的方程 2 2 x ＋y ＋4x－12y＋24＝0，
消去 y，得(1＋k )x ＋(4－2k)x－11＝0，① 设方程①的两根为 x1，x2，
y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线 l 过 P 且被圆 C 截得的线 段长为 4 3，求 l 的方程； (2)求过 P 点的圆 C 的弦的中点的 轨迹方程． 【思路分析】 (1)根据弦长求法，求
直线方程中的参数； (2)由垂直关系 找等量关系．
【解析】
(1)解法一：如图所示，AB＝4
3 ，D是AB的 中
解：方法一
(1)证明
消去 y 得(k2＋1)x2－(2－4k)x－7＝0，
因为 Δ＝(2－4k)2＋28(k2＋1)>0， 所以不论 k 为何实数，直线 l 和圆 C 总有两个交点．
|k＋2| 方法二 (1)证明 圆心 C(1，－1)到直线 l 的距离 d＝ 2， 1＋k k2＋4k＋4 11k2－4k＋8 圆 C 的半径 R＝2 3，R2－d2＝12－ ，而 2 ＝ 2 1＋k 1＋k 在 S＝11k2－4k＋8 中，Δ＝(－4)2－4×11×8<0，
直线与圆、圆与圆的位置关系高三复习课
即15x+8y-36=0.
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(2)若直线斜率不存在， 圆心C(3，1)到直线x=4的距离也为1， 这时直线与圆也相切，所以另一条切线方程是 x=4. 综上，所求切线方程是15x+8y-36=0或x=4.
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【高考链接】
（2014,浙江卷）1．经过点（3，4）的
圆 x2 y2 25 的切线方程为
________．
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(1) 点到直线距离公式：
d=
|Ax0+By0+C| √A2+B2
(2)圆的标准方程： (x-a)2+(y-b)2=r2
(3)圆的一般方程：
x2+ y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)
- - 圆心坐标 ：(
D ,
E ) ，半径： 1 D2 E2 4F
22
2
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一轮复习讲义 直线与圆、圆与圆的位置关系
一个公共点 相切
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没有公共点 相离
直线与圆的位置关系的判定
思考4:在平面直角坐标系中，我们用方程表示直 线和圆，如何根据直线与圆的方程判断它们之间 的位置关系？
判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： 代数法：根据直线与圆的联立方程组的公共解个数 判断； Δ＜0,相交； Δ＝0，相切； Δ＞0，相离.
2x
3
0
x1
1 2
7
,x2
1 2
7
y B
1 7
1 7
y1 2 ,y2 2
A
O
x
A( 1 7 , 1 7 ),B( 1 7 , 1 7 )
高考一轮复习直线与圆、圆与圆的位置关系
圆O2的方程.
2 例4 已知以点C(t, )(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴 t
交于点O、A,与y轴交于点O、B,其中O为原点.
(1)求证:△AOB的面积为定值; (2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M、N,若|OM|=|ON| 求圆C的方程; (3)在(2)的条件下,设P、Q分别是直线l:x+y+2=0和圆 C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
直线与圆、圆与圆 的位置关系
一、直线与圆的位置关系
1.常用研究方法 ①判别式法;
②考查圆心到直线的距离与半径的大小关系.
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a) +(y-b) =r 的位置关系有 | Aa Bb C | 三种: 若d 2 2 A B
2 2 2
则d____r⇔相切⇔Δ____0; = =
d____r⇔相交⇔Δ____0; < < < d____r⇔相离⇔Δ____0; >
3.直线和圆相切
(1)过圆上一点的圆的切线方程:圆(x-a) +(y-b) =r 的以P( x0,y0)为切点的切线方程是______________________. (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r (2)一般地,圆x +y +Dx+Ey+F=0的以点P(x0,y0)为切点的
例2 已知点P(0,5)及圆C:x +y 3 +4x-12y+24=0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为4 ,
求l的方程;
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程.
高考数学一轮复习第八章第二节第1课时系统知识__圆的方程直线与圆的位置关系圆与圆的位置关系讲义含解析
第二节圆与方程第1课时系统知识——圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系1．圆的定义及方程点M(x0，y0)，圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2.[提醒] 不要把形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的结构都认为是圆，一定要先判断D2＋E2－4F的符号，只有大于0时才表示圆．[谨记常用结论]若x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆，则有：当F＝0时，圆过原点.当D＝0，E≠0时，圆心在y轴上；当D≠0，E＝0时，圆心在x轴上.当D＝F＝0，E≠0时，圆与x轴相切于原点；E＝F＝0，D≠0时，圆与y轴相切于原点.当D2＝E2＝4F时，圆与两坐标轴相切.[小题练通]1.[人教A版教材P124A组T4]圆C的圆心在x轴上，并且过点A(－1，1)和B(1,3)，则圆C的方程为____________．答案：(x－2)2＋y2＝102.[教材改编题]经过点(1,0)，且圆心是两直线x＝1与x＋y＝2的交点的圆的方程为________________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝13.[教材改编题]圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋(y －1)2＝24.[易错题]已知圆的方程为x 2＋y 2＋ax ＋2y ＋a 2＝0，一定点为A (1,2)，要使过定点A 的圆的切线有两条，则a 的取值范围是________．答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－233，2335．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是________． 答案：(－2，2)6．在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________________． 答案：x 2＋y 2－2x ＝01．直线与圆的位置关系(半径r ，圆心到直线的距离为d )2．圆的切线(1)过圆上一点的圆的切线①过圆x 2＋y 2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.②过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点M (x 0，y 0)的切线方程是(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(2)过圆外一点的圆的切线过圆外一点M (x 0，y 0)的圆的切线求法：可用点斜式设出方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率k ，从而得切线方程；若求出的k 值只有一个，则说明另一条直线的斜率不存在，其方程为x ＝x 0.(3)切线长①从圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)外一点M (x 0，y 0)引圆的两条切线，切线长为 x 20＋y 20＋Dx 0＋Ey 0＋F .②两切点弦长：利用等面积法，切线长a 与半径r 的积的2倍等于点M 与圆心的距离d 与两切点弦长b 的积，即b ＝2ard.[提醒] 过一点求圆的切线方程时，要先判断点与圆的位置关系，以便确定切线的条数． 3．圆的弦问题直线和圆相交，求被圆截得的弦长通常有两种方法：(1)几何法：因为半弦长L2、弦心距d 、半径r 构成直角三角形，所以由勾股定理得L ＝2r 2－d 2.(2)代数法：若直线y ＝kx ＋b 与圆有两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则有： |AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1k2|y 1－y 2|.[谨记常用结论]过直线Ax ＋By ＋C ＝0和圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝D 2＋E 2－4F ＞交点的圆系方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＋λAx ＋By ＋C ＝0.,[小题练通]1.[教材改编题]若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)答案：C2.[教材改编题]直线y ＝ax ＋1与圆x 2＋y 2－2x －3＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交C ．相离D ．随a 的变化而变化解析：选B ∵直线y ＝ax ＋1恒过定点(0,1)，又点(0,1)在圆(x －1)2＋y 2＝4的内部，故直线与圆相交．3.[教材改编题]已知点M (a ，b )在圆O ：x 2＋y 2＝1外，则直线ax ＋by ＝1与圆O 的位置关系是________．解析：由题意知点M 在圆外，则a 2＋b 2＞1，圆心到直线的距离d ＝1a 2＋b 2＜1，故直线与圆相交．答案：相交4.[易错题]过点(2,3)且与圆(x －1)2＋y 2＝1相切的直线的方程为________________． 解析：当切线的斜率存在时，设圆的切线方程为y ＝k (x －2)＋3，由圆心(1,0)到切线的距离为1，得k ＝43，所以切线方程为4x －3y ＋1＝0；当切线的斜率不存在时，易知直线x＝2是圆的切线，所以所求的直线方程为4x －3y ＋1＝0或x ＝2.答案：x ＝2或4x －3y ＋1＝05．以M (1,0)为圆心，且与直线x －y ＋3＝0相切的圆的方程是________． 答案：(x －1)2＋y 2＝86．直线y ＝x ＋1与圆x 2＋y 2＋2y －3＝0交于A ，B 两点，则|AB |＝________. 解析：由x 2＋y 2＋2y －3＝0，得x 2＋(y ＋1)2＝4.∴圆心C (0，－1)，半径r ＝2.圆心C (0，－1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|1＋1|2＝2，∴|AB |＝2r 2－d 2＝24－2＝2 2. 答案：2 2圆与圆的位置关系(两圆半径为r 1，r 2，d ＝|O 1O 2|)[提醒] 涉及两圆相切时，没特别说明，务必要分内切和外切两种情况进行讨论．[谨记常用结论]圆C 1：x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＝0与C 2：x 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0相交时：将两圆方程直接作差，得到两圆公共弦所在直线方程； 两圆圆心的连线垂直平分公共弦；x 2＋y 2＋D 1x ＋E 1y ＋F 1＋λx 2＋y 2＋D 2x ＋E 2y ＋F 2＝0表示过两圆交点的圆系方程不包括C 2[小题练通]1.[人教A 版教材P133A 组T9]圆x 2＋y 2－4＝0与圆x 2＋y 2－4x ＋4y －12＝0的公共弦的长为________．答案：2 22.[教材改编题]若圆x 2＋y 2＝1与圆(x ＋4)2＋(y －a )2＝25相切，则实数a ＝________.答案：±25或03.[教材改编题]圆x2＋y2＝r2与圆(x－3)2＋(y＋1)2＝r2外切，则半径r＝________.解析：由题意，得2r＝32＋－2，所以r＝10 2.答案：10 24.[易错题]若两圆x2＋y2＝m和x2＋y2＋6x－8y－11＝0有公共点，则实数m的取值范围是________．答案：[1,121]5．若圆C1：x2＋y2＝1与圆C2：x2＋y2－6x－8y＋m＝0外切，则m＝( )A．21 B．19C．9 D．－11解析：选C 圆C1的圆心为C1(0,0)，半径r1＝1，因为圆C2的方程可化为(x－3)2＋(y －4)2＝25－m，所以圆C2的圆心为C2(3,4)，半径r2＝25－m(m＜25)．从而|C1C2|＝32＋42＝5.由两圆外切得|C1C2|＝r1＋r2，即1＋25－m＝5，解得m＝9，故选C.6．与圆C1：x2＋y2－6x＋4y＋12＝0，C2：x2＋y2－14x－2y＋14＝0都相切的直线有( ) A．1条 B．2条C．3条 D．4条解析：选A 两圆分别化为标准形式为C1：(x－3)2＋(y＋2)2＝1，C2：(x－7)2＋(y－1)2＝36，则两圆圆心距|C1C2|＝7－32＋[1－－2]2＝5，等于两圆半径差，故两圆内切．所以它们只有一条公切线．故选A.。
高考数学一轮总复习课件：圆的方程及直线与
(2)(2021·辽宁大连模拟)在直线l：y＝x－1上有两个点A， B，且A，B的中点坐标为(4，3)，线段AB的长度|AB|＝8，则过 A，B两点且与y轴相切的圆的方程为____(_x_－_4_)_2＋__(y_－__3)_2＝__1_6___
解析 (x＋2m)2＋(y－1)2＝4m2－5m＋1表示圆，则 4m2－5m＋1>0，解得m<14或m>1.
3．(2021·成都七中月考)圆心在y轴上，且过点(3，1)的圆与
x轴相切，则该圆的方程是( B )
A．x2＋y2＋10y＝0
B．x2＋y2－10y＝0
C．x2＋y2＋10x＝0
D．x2＋y2－10x＝0
第3课时 圆的方程及直线与 圆的位置关系
[复习要求] 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方 程和一般方程.3.掌握直线与圆的位置关系．
课前自助餐
圆的定义 平面内到定点的距离__等_于__定_长___的点的集合(轨迹)是圆，定点 是圆心，定长是半径． 注：平面内动点 P 到两定点 A，B 距离的比值为 λ，即||PPAB||＝ λ， ①当 λ＝1 时，P 点轨迹是线段 AB 的垂直平分线； ②当 λ≠1 时，P 点轨迹是圆．
A＝B≠0，
__D_2＋__E_2_－_4_A_F_>_0.
圆的参数方程 圆心为(a，b)，半径为 r 的圆的参数方程为xy＝＝ab＋＋rrcsoinsθθ，(θ 为参数)．
确定圆的方程的方法和步骤 确定圆的方程的主要方法是待定系数法，大致步骤为： (1)根据题意，选择标准方程或一般方程； (2)根据条件列出关于 a，b，r 或 D，E，F 的方程组； (3)解出 a，b，r 或 D，E，F 代入标准方程或一般方程．
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7.6 直线与圆的位置关系●知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系的判定方法一是方程的观点，即把圆的方程和直线的方程联立成方程组，利用判别式Δ来讨论位置关系. ①Δ＞0，直线和圆相交.②Δ=0，直线和圆相切. ③Δ＜0，直线和圆相离.方法二是几何的观点，即把圆心到直线的距离d 和半径R 的大小加以比较. ①d ＜R ，直线和圆相交. ②d =R ，直线和圆相切.③d ＞R ，直线和圆相离.2.直线和圆相切，这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况，而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交，这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题. ●点击双基1.（2005年北京海淀区期末练习题）设m >0，则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 的位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析：圆心到直线的距离为d =21m +，圆半径为m .∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=21（m －1）2≥0，∴直线与圆的位置关系是相切或相离. 答案：C2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得的弦长等于 A.6 B.225 C.1 D.5解析：圆心到直线的距离为22，半径为2，弦长为222)22()2(-=6.答案：A3.（2004年全国卷Ⅲ，4）圆x 2+y 2－4x =0在点P （1，3）处的切线方程为 A.x +3y －2=0 B.x +3y －4=0 C.x －3y +4=0 D.x －3y +2=0 解法一：x 2+y 2－4x =0 y =kx －k +3⇒x 2－4x +（kx －k +3）2=0.该二次方程应有两相等实根，即Δ=0，解得k =33.∴y －3=33（x －1），即x －3y +2=0.解法二：∵点（1，3）在圆x 2+y 2－4x =0上， ∴点P 为切点，从而圆心与P 的连线应与切线垂直. 又∵圆心为（2，0），∴1230--²k =－1.解得k =33，∴切线方程为x －3y +2=0.答案：D4.（2004年上海，理8）圆心在直线2x －y －7=0上的圆C 与y 轴交于两点A （0，－4）、B （0，－2），则圆C 的方程为____________.解析：∵圆C 与y 轴交于A （0，－4），B （0，－2），∴由垂径定理得圆心在y =－3这条直线上. 又已知圆心在直线2x －y －7=0上，y =－3，2x －y －7=0.∴圆心为（2，－3）， 半径r =|AC |=22)]4(3[2---+=5. ∴所求圆C 的方程为（x －2）2+（y +3）2=5.答案：（x －2）2+（y +3）2=55.若直线y =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k =－2●典例剖析【例1】 已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点，且OP ⊥OQ （O 为坐标原点），求该圆的圆心坐标及半径.剖析：由于OP ⊥OQ ，所以k OP ²k OQ =－1，问题可解.解：将x =3－2y 代入方程x 2+y 2+x －6y +m =0，得5y 2－20y +12+m =0. 设P （x 1，y 1）、Q （x 2，y 2），则y 1、y 2满足条件 y 1+y 2=4，y 1y 2=512m +.∵OP ⊥OQ ，∴x 1x 2+y 1y 2=0. 而x 1=3－2y 1，x 2=3－2y 2，∴联立 解得x =2，∴x 1x 2=9－6（y 1+y 2）+4y 1y 2. ∴m =3，此时Δ＞0，圆心坐标为（－21，3），半径r =25.评述：在解答中，我们采用了对直线与圆的交点“设而不求”的解法技巧，但必须注意这样的交点是否存在，这可由判别式大于零帮助考虑.【例2】 求经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点，且圆心在直线x －y －4=0上的圆的方程.剖析：根据已知，可通过解方程组（x +3）2+y 2=13，x 2+（y +3）2=37由圆心在直线x －y －4=0上，三个独立条件，用待定系数法求出圆的方程；也可根据已知，设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0，再由圆心在直线x －y －4=0上，定出参数λ，得圆方程.解：因为所求的圆经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37的交点，所以设所求圆的方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0. 展开、配方、整理，得（x +λ+13）2+（y +λλ+13）2=λλ++1284+22)1()1(9λλ++.圆心为（－λ+13，－λλ+13），代入方程x －y －4=0，得λ=－7.故所求圆的方程为（x +21）2+（y +27）2=289.评述：圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0，圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0，若圆C 1、C 2相交，那么过两圆公共点的圆系方程为（x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1）+λ（x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2）=0（λ∈R且λ≠－1）.它表示除圆C 2以外的所有经过两圆C 1、C 2公共点的圆.特别提示在过两圆公共点的图象方程中，若λ=－1，可得两圆公共弦所在的直线方程.【例3】 已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）.∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－21，∴l 的方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？得圆上两点，∵m ∈R ，∴得思考讨论求直线过定点，你还有别的办法吗？●闯关训练 夯实基础1.若圆（x －3）2＋（y +5）2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y =2的距离等于1，则半径r 的范围是A.（4，6）B.［4，6）C.（4，6］D.［4，6］解析：数形结合法解. 答案：A2.（2003年春季北京）已知直线ax +by +c =0（ab c ≠0）与圆x 2+y 2=1相切，则三条边长分别为｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜的三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在 解析：由题意得22|00|bac b a ++⋅+⋅=1，即c 2=a 2+b 2，∴由｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜构成的三角形为直角三角形.答案：B3.（2005年春季北京，11）若圆x 2+y 2+mx －41=0与直线y =－1相切，且其圆心在y 轴的左侧，则m 的值为____________.解析：圆方程配方得（x +2m ）2+y 2=412+m，圆心为（－2m ，0）.由条件知－2m <0，即m >0.又圆与直线y =－1相切，则0－（－1）=412+m，即m 2=3，∴m =3.答案：34.（2004年福建，13）直线x +2y =0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得的弦长等于____________.解析：由x 2+y 2－6x －2y －15=0，得（x －3）2+（y －1）2=25. 知圆心为（3，1），r =5.由点（3，1）到直线x +2y =0的距离d =5|23|+=5.可得21弦长为25，弦长为45.答案：455.自点A （－3，3）发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，其反射光线所在的直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切，求光线l 所在直线的方程.解：圆（x －2）2＋（y －2）2＝1关于x 轴的对称方程是（x －2）2＋（y ＋2）2＝1.设l 方程为y －3＝k （x ＋3），由于对称圆心（2，－2）到l 距离为圆的半径1，从而可得k 1＝－43，k 2＝－34．故所求l 的方程是3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0.6.已知M （x 0，y 0）是圆x 2+y 2=r 2（r >0）内异于圆心的一点，则直线x 0x +y 0y =r 2与此圆有何种位置关系?分析：比较圆心到直线的距离与圆半径的大小. 解：圆心O （0，0）到直线x 0x +y 0y =r 2的距离为d =20202y x r+.∵P （x 0，y 0）在圆内，∴2020y x +<r .则有d >r ，故直线和圆相离.培养能力7.方程ax 2+ay 2－4（a －1）x +4y =0表示圆，求a 的取值范围，并求出其中半径最小的圆的方程.解：（1）∵a ≠0时，方程为［x －aa )1(2-］2+（y +a2）2=22)22(4aa a+-，由于a 2－2a +2＞0恒成立， ∴a ≠0且a ∈R 时方程表示圆. （2）r 2=4²2222aa a+-=4［2(a1－21)2+21］，∴a =2时，r min 2=2.此时圆的方程为（x －1）2+（y －1）2=2.8.（文）求经过点A （－2，－4），且与直线l ：x +3y －26=0相切于（8，6）的圆的方程. 解：设圆为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0，依题意有方程组 3D －E =－36， 2D +4E －F =20， 8D +6E +F =－100. D =－11， E =3，F =－30.∴圆的方程为x 2+y 2－11x +3y －30=0.（理）已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点，定点Q （4，0）. （1）求线段PQ 中点的轨迹方程；（2）设∠POQ 的平分线交PQ 于R ，求R 点的轨迹方程.解：（1）设PQ 中点M （x ，y ），则P （2x －4，2y ），代入圆的方程得（x －2）2+y 2=1. （2）设R （x ，y ），由||||RQ PR =||||OQ OP =21，设P （m ，n ），则有∴m =243-x ，n =23y ，代入x 2+y 2=4中，得 （x －34）2+y 2=916（y ≠0）.探究创新9.已知点P 到两个定点M （－1，0）、N （1，0）距离的比为2，点N 到直线PM 的距离为1，求直线PN 的方程.解：设点P 的坐标为（x ，y ）， 由题设有||||PN PM =2，即22)1(y x ++=2²22)1(y x +-， 整理得x 2+y 2－6x +1=0.①因为点N 到PM 的距离为1，|MN |=2， 所以∠PMN =30°，直线PM 的斜率为±33. 直线PM 的方程为y =±33（x +1）.②将②代入①整理得x 2－4x +1=0. 解得x 1=2+3，x 2=2－3.代入②得点P 的坐标为（2+3，1+3）或（2－3，－1+3）；（2+3，－1－3）或（2－3，1－3）.直线PN 的方程为y =x －1或y =－x +1.●思悟小结1.直线和圆的位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法，比较圆心到直线的距离与圆的半径间的大小；代数法，看直线与圆的方程联立所得方程组的解的个数.2.解决直线与圆的位置关系的有关问题，往往充分利用平面几何中圆的性质使问题简化. ●教师下载中心 教学点睛1.有关直线和圆的位置关系，一般要用圆心到直线的距离与半径的大小来确定.2.当直线和圆相切时，求切线方程一般要用圆心到直线的距离等于半径，求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成的直角三角形；与圆相交时，弦长的计算也要用弦心距、半径及弦长的一半构成的直角三角形.3.有关圆的问题，注意圆心、半径及平面几何知识的应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，经常要用到距离，因此，两点间的距离公式、点到直线的距离公式等应熟练掌握，灵活运用.拓展题例【例1】 已知圆的方程为x 2+y 2+ax +2y +a 2=0，一定点为A （1，2），要使过定点A （1，2）作圆的切线有两条，求a 的取值范围.解：将圆的方程配方得（x +2a ）2+（y +1）2=4342a-，圆心C 的坐标为（－2a ，－1），半径r =4342a-，条件是4－3a 2＞0，过点A （1，2）所作圆的切线有两条，则点A 必在圆外，即22)12()21(+++a ＞4342a-.化简得a 2+a +9＞0.4－3a 2＞0， a 2+a +9＞0， －332＜a ＜332，a ∈R . ∴－332＜a ＜332.故a 的取值范围是（－332，332）.【例2】 已知⊙O 方程为x 2+y 2=4，定点A （4，0），求过点A 且和⊙O 相切的动圆圆心的轨迹. 剖析：两圆外切，连心线长等于两圆半径之和，两圆内切，连心线长等于两圆半径之差，由此可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P （x ，y ），因为动圆过定点A ，所以|PA |即动圆半径.当动圆P 与⊙O 外切时，|PO |=|PA |+2； 当动圆P 与⊙O 内切时，|PO |=|PA |－2. 综合这两种情况，得||PO |－|P A ||=2. 将此关系式坐标化，得|22y x +－22)4(y x +-|=2. 化简可得（x －2）2－32y=1.解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系||OP |－|P A ||=2，即P 点到两定点O 、A 的距离差的绝对值为定值2，所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点，2为实轴长的双曲线，中心在OA 中点（2，0），实半轴长a =1，半焦距c =2，虚半轴长b =22ac -=3，所以轨迹方程为（x －2）2－32y=1.由 解之得。