高考数学直线与圆

[课时跟踪检测] [A 级——基础小题提速练]一、选择题1．已知直线l ：y ＝k (x ＋3)和圆C ：x 2＋(y －1)2＝1，若直线l 与圆C 相切，则k ＝( )A ．0 B. 3 C.33或0D.3或0解析：选D 因为直线l 与圆C 相切，所以圆心C (0,1)到直线l 的距离d ＝|－1＋3k |k 2＋(－1)2＝1，解得k ＝0或k ＝3，故选D.2．(2019·宁波模拟)直线3x ＋y －23＝0截圆x 2＋y 2＝4所得劣弧所对的圆心角的大小为( )A.π6B.π4C.π3D.π2解析：选C 因为圆心(0,0)到直线的距离为d ＝|23|3＋1＝3，圆的半径为2，所以可知直线截圆所得弦长为2，所以可知该直线截圆所得劣弧所对的圆心角的大小为π3，故选C.3．直线l ：y ＝kx ＋1与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，则“k ＝1”是“|AB |＝2”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 依题意，注意到|AB |＝2＝|OA |2＋|OB |2等价于圆心O 到直线l 的距离等于22，即有1k 2＋(－1)2＝22，k ＝±1.因此，“k ＝1”是“|AB |＝2”的充分不必要条件．4．若三条直线l1：4x＋y＝3，l2：mx＋y＝0，l3：x－my＝2不能围成三角形，则实数m的取值最多有()A．2个B．3个C．4个D．6个解析：选C三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三条直线相交于同一点．若l1∥l2，则m＝4；若l1∥l3，则m＝－14；若l2∥l3，则m的值不存在；若三条直线相交于同一点，则m＝1或－53.故实数m的取值最多有4个，故选C.5．在直角坐标系xOy中，已知点A(0，－1)，B(2,0)，过A的直线交x轴于点C(a,0)，若直线AC的倾斜角是直线AB倾斜角的2倍，则a＝()A.14 B.34C．1 D.4 3解析：选B设直线AC的倾斜角为β，直线AB的倾斜角为α，即有tan β＝tan 2α＝2tan α1－tan2α.又tan β＝1a，tan α＝12，所以1a＝2×121－14，解得a＝34.6．与直线x＋y－2＝0和曲线x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半径最小的圆的标准方程是()A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2D ．(x －2)2＋(y －2)2＝2解析：选D 由题意知，曲线方程为(x －6)2＋(y －6)2＝(32)2，过圆心(6,6)作直线x ＋y －2＝0的垂线，垂线方程为y ＝x ，则所求的最小圆的圆心必在直线y ＝x 上，又圆心(6,6)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|6＋6－2|2＝52，故最小圆的半径为52－322＝2，圆心坐标为(2,2)，所以所求圆的标准方程为(x －2)2＋(y－2)2＝2.7．若直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )被圆C ：(x －1)2＋y 2＝4所截得的弦为MN ，则|MN |的最小值是( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：选C 直线方程(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )可化为λ(2x ＋y ＋1)＋(－x ＋2y ＋2)＝0(λ∈R )，若⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋y ＋1＝0，－x ＋2y ＋2＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝－1，所以直线恒过圆C ：(x －1)2＋y 2＝4内的定点P (0，－1)，当直线(2λ－1)x ＋(λ＋2)y ＋λ＋2＝0(λ∈R )与直线CP 垂直时，|MN |最小，此时|MN |＝2r 2－|CP |2＝24－(2)2＝2 2.故选C.8.(2019·绍兴调研)设圆M 、圆N 的半径分别为1,2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M 、圆N 上的两动点，则P A →·P B →的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－8，12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，34 C ．[－8,1]D ．[－16,1]解析：选C 连接MN 并延长，分别交两圆于点E ，F ，因为两圆相切于点P ，所以点P 在直线MN 上，由题意得当点A 与点E 重合，点B 与点F 重合时，P A →·P B →取得最小值(P A →·P B →)min ＝P E →·P F→＝－2×4＝－8.设∠APB ＝ α，∠APE ＝β，∠BPF ＝γ，则α＋β＋γ＝π，P A →·P B →＝2cos α×cos β×4cos γ＝8cos αcos βcos γ，因为8cos αcos βcos γ＝4cos α[cos(β－γ)＋cos(β＋γ)]＝4cos α[cos(β－r )－cos α]≤4cos α(1－cos α)≤1，所以P A →·P B →∈[－8,1]，故选C.9．两个圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条公切线，则a ＋b 的最小值为( )A ．3 2B ．－3 2C ．6D ．－6解析：选B 两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C 1：(x ＋a )2＋y 2＝4，圆C 2：x 2＋(y －b )2＝1，所以C 1(－a,0)，C 2(0，b )，||C 1C 2＝a 2＋b 2＝2＋1＝3，即a 2＋b 2＝9.由⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22，得(a ＋b )2≤18，所以－32≤a ＋b ≤32，当且仅当“a ＝b ”时等号成立．所以a ＋b 的最小值为－3 2.10．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围是( )A ．(4,6)B ．[4,6]C ．(4,5)D ．(4,5]解析：选A 设直线4x －3y ＋m ＝0与直线4x －3y －2＝0之间的距离为1，则有|m ＋2|5＝1，m ＝3或m ＝－7.圆心(3，－5)到直线4x －3y ＋3＝0的距离等于6，圆心(3，－5)到直线4x －3y －7＝0的距离等于4，因此所求圆半径的取值范围是(4,6)，故选A.二、填空题11．直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )恒过定点________，P (1，1)到直线l 的距离的最大值为________．解析：直线l ：x ＋λy ＋2－3λ＝0(λ∈R )，即λ(y －3)＋x ＋2＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧y －3＝0，x ＋2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝3，∴直线l 恒过定点(－2,3)．不妨记Q (－2,3)，则P (1,1)到直线l的距离的最大值为|PQ |＝(－3)2＋22＝13.答案：(－2,3)1312．若直线l 1：y ＝x ＋a 和直线l 2：y ＝x ＋b 将圆(x －1)2＋(y －2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a 2＋b 2＝________.解析：由题意得直线l 1和l 2截圆所得弦所对的圆心角相等，均为90°，因此圆心到两直线的距离均为22r ＝2，即|1－2＋a |2＝|1－2＋b |2＝2，得a 2＋b 2＝(22＋1)2＋(1－22)2＝18.答案：1813．已知点M (2,1)及圆x 2＋y 2＝4，则过M 点的圆的切线方程为________，若直线ax －y ＋4＝0与该圆相交于A ，B 两点，且|AB |＝23，则a ＝________.解析：若过点M 的圆的切线斜率不存在，则切线方程为x ＝2，经验证满足条件．若切线斜率存在，可设切线方程为y ＝k (x －2)＋1，由圆心到直线的距离等于半径得|－2k ＋1|k 2＋1＝2，解得k ＝－34，故切线方程为y ＝－34(x －2)＋1，即3x＋4y －10＝0.综上，过M 点的圆的切线方程为x ＝2或3x ＋4y －10＝0.由4a 2＋1＝4－3，得a ＝±15.答案：x ＝2或3x ＋4y －10＝0 ±1514．已知⊙C 的方程为x 2－2x ＋y 2＝0，直线l ：kx －y ＋x －2k ＝0与⊙C 交于A ，B 两点，当|AB |取最大值时，k ＝________；当△ABC 的面积最大时，k ＝________.解析：圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝1，圆心C (1,0)，半径为1，当直线过圆心时，弦AB 为直径，|AB |最大，此时k ＝1.设∠ACB ＝θ，则S △ABC ＝12×1×1×sin θ＝12sin θ，当θ＝90°时，△ABC 的面积最大，此时圆心到直线的距离为22，由d ＝|1－k |(k ＋1)2＋1＝22，解得k ＝0或k ＝6.答案：1 0或615．已知圆O ：x 2＋y 2＝r 2与圆C ：(x －2)2＋y 2＝r 2(r >0)在第一象限的一个公共点为P ，过点P 作与x 轴平行的直线分别交两圆于不同两点A ，B (异于P 点)，且OA ⊥OB ，则直线OP 的斜率是________，r ＝________.解析：两圆的方程相减得，4x －4＝0，则点P 的横坐标x ＝1.易知P 为AB 的中点，因为OA ⊥OB ，所以|OP |＝|AP |＝|PB |，所以△OAP 为等边三角形，所以∠APO ＝60°，因为AB ∥x 轴，所以∠POC ＝60°，所以直线OP 的斜率为 3.设P (1，y 1)，则y 1＝3，所以P (1，3)，代入圆O ，解得r ＝2.答案：3 216．(2019·绍兴上虞区调测)已知直线l ：mx －y ＝1，若直线l 与直线x －my －1＝0平行，则实数m ＝________；圆x 2＋2x ＋y 2－15＝0被直线mx －y ＝1截得的最短弦长为________．解析：当l 平行于直线mx －y ＝1时，则1m ＝－m －1≠－1－1，即m ＝－1；又直线mx －y ＝1恒过点A (0，－1)，圆x 2＋2x ＋y 2－15＝0的半径r ＝4，过圆心B (－1,0)作直线mx －y ＝1的垂线，则由垂径定理，知弦长L ≥2r 2－|AB |2＝214，即弦长的最小值为214.答案：－1 21417．设A 是直线y ＝x －4上一点，P ，Q 是圆C ：x 2＋(y －2)2＝17上不同的两点，若圆心C 是△APQ 的重心．则△APQ 面积的最大值为________．解析：如图，∵圆心C 是△APQ 的重心，∴AC ⊥PQ ， 设C 到PQ 的距离为x ，则PQ ＝217－x 2，则A 到PQ 的距离为3x ， ∴S △P AQ ＝12×217－x 2×3x＝317－x 2·x ≤3·17－x 2＋x 22＝512.当且仅当17－x 2＝x ，即x ＝342时等号成立．∴△APQ 面积的最大值为512. 答案：512[B 级——能力小题保分练]1．若a ，b 是正数，直线2ax ＋by －2＝0被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为23，则t ＝a 1＋2b 2取得最大值时a 的值为( )A.12B.32C.34D.34解析：选D 因为圆心到直线的距离d ＝24a 2＋b2，则直线被圆截得的弦长L ＝2r 2－d 2＝24－44a 2＋b2＝23，所以4a 2＋b 2＝4.则t ＝a 1＋2b 2＝122·(22a )·1＋2b 2≤122×12×⎣⎡⎦⎤(22a )2＋(1＋2b 2)2＝142·[8a 2＋1＋2(4－4a 2)]＝942，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧8a 2＝1＋2b 2，4a 2＋b 2＝4时等号成立，此时a ＝34，故选D. 2．已知直线x ＋y －k ＝0(k >0)与圆x 2＋y 2＝4交于不同的两点A ，B ，O 是坐标原点，且有|OA→＋OB →|≥33|AB →|，那么k 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．[2，＋∞)C ．[2，22)D ．[3，22)解析：选C 当|OA →＋OB →|＝33|AB →|时，O ，A ，B 三点为等腰三角形AOB 的三个顶点，其中OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝120°，从而圆心O 到直线x ＋y －k ＝0(k >0)的距离为1，即|k |2＝1，解得k ＝2；当k >2时，|OA→＋OB →|>33|AB →|，又直线与圆x 2＋y 2＝4有两个不同的交点，故|k |2<2，即k <2 2.综上，k 的取值范围为[2，22)．3．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2(r >0)．设条件p ：0<r <3，条件q ：圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1，则p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 圆C ：(x －1)2＋y 2＝r 2的圆心(1,0)到直线x －3y ＋3＝0的距离d ＝|1－3×0＋3|12＋(－3)2＝2.当2－r >1，即0<r <1时，直线在圆外，圆上没有点到直线的距离为1； 当2－r ＝1，即r ＝1时，直线在圆外，圆上只有1个点到直线的距离为1； 当0<2－r <1，即1<r <2时，直线在圆外，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当2－r ＝0，即r ＝2时，直线与圆相切，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当0<r －2<1，即2<r <3时，直线与圆相交，此时圆上有2个点到直线的距离为1；当r －2＝1，即r ＝3时，直线与圆相交，此时圆上有3个点到直线的距离为1；当r －2>1，即r >3时，直线与圆相交，此时圆上有4个点到直线的距离为1.综上，当0<r <3时，圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1；由圆C 上至多有2个点到直线x －3y ＋3＝0的距离为1可得0<r <3.故p 是q 的充要条件，故选C.4．已知圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋1＝0的圆心在直线ax －by ＋1＝0上，则ab 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，14 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，14 D.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，18 解析：选B 把圆的方程化为标准方程得，(x ＋1)2＋(y －2)2＝4，∴圆心坐标为(－1,2)，根据题意可知，圆心在直线ax －by ＋1＝0上，把圆心坐标代入直线方程得，－a －2b ＋1＝0，即a ＝1－2b ，则ab ＝(1－2b )b ＝－2b 2＋b ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫b －142＋18≤18，当b ＝14时，ab 有最大值18，故ab 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，18.5．已知点A (3,0)，若圆C ：(x －t )2＋(y －2t ＋4)2＝1上存在点P ，使|P A |＝2|PO |，其中O 为坐标原点，则圆心C 的横坐标t 的取值范围为________．解析：设点P (x ，y )，因为|P A |＝2|PO |，所以(x －3)2＋y 2＝2x 2＋y 2，化简得(x ＋1)2＋y 2＝4，所以点P 在以M (－1,0)为圆心，2为半径的圆上．由题意知，点P (x ，y )在圆C 上，所以圆C 与圆M 有公共点，则1≤|CM |≤3，即1≤ (t ＋1)2＋(2t －4)2≤3，开方得1≤5t 2－14t ＋17≤9.不等式5t 2－14t ＋16≥0的解集为R ；由5t 2－14t ＋8≤0，得45≤t ≤2.所以圆心C 的横坐标t 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，2.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，26．设点M (x 0,1)，若在圆O ：x 2＋y 2＝1上存在点N ，使得∠OMN ＝45°，则x 0的取值范围是________．解析：由题意可知M 在直线y ＝1上运动，设直线y ＝1与圆x 2＋y 2＝1相切于点P (0,1)．当x0＝0即点M 与点P 重合时，显然圆上存在点N (±1，0)符合要求；当x 0≠0时，过M 作圆的切线，切点之一为点P ，此时对于圆上任意一点N ，都有∠OMN ≤∠OMP ，故要存在∠OMN ＝45°，只需∠OMP ≥45°.特别地，当∠OMP ＝45°时，有x 0＝±1.结合图形可知，符合条件的x 0的取值范围为[－1,1]．答案：[－1,1]。