2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷17

2020’新课标·名师导学·高考第一轮总复习同步测试卷文科数学(十七) 【p 285】 (圆锥曲线的综合问题) 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分．每小题所给的四个选项中只有一项是符合题目要求的．)1．已知点A(3，4)，F 是抛物线y 2＝8x 的焦点，M 是抛物线上的动点，当|MA|＋|MF|最小时， M 点的坐标是( )A ．(0，0)B ．(3，26)C ．(2，4)D ．(3，－26)【解析】 设M 到准线的距离为|MK|，则|MA|＋|MF|＝|MA|＋|MK|，当K ，M ，A 三点共线时，|MA|＋|MK|最小，此时M 点的坐标是(2，4)，选C .【答案】C2．不论k 为何值，直线y ＝kx ＋b 与椭圆x 29＋y 24＝1总有公共点，则b 的取值范围是( )A ．[－2，2]B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．[2，＋∞)D ．(－∞，－2]【解析】点(0，b)在椭圆上或其内部时恒有公共点，则－2≤b ≤2.【答案】A3．当点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动时，它与定点Q(3，0)所连线段PQ 的中点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －3)2＋y 2＝1C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝1【解析】设P 点坐标为(m ，n)，M 点坐标为(x ，y)， 则由条件得：m ＋3＝2x ，n ＋0＝2y ， 所以m ＝2x －3，n ＝2y.又点P 在圆x 2＋y 2＝1上运动， 所以m 2＋n 2＝1，于是有(2x －3)2＋(2y)2＝1⇒(2x －3)2＋4y 2＝1. 故选C . 【答案】C4．已知直线y ＝k ()x ＋2()k>0与抛物线C ：y 2＝8x 相交于A ，B 两点，F 为C 的焦点，若||FA ＝2||FB ，则k ＝( )A .13B . 23C . 23D .223【解析】抛物线C ：y 2＝8x 的准线为l ：x ＝－2，直线y ＝k(x ＋2)(k ＞0)恒过定点P(－2，0)，设点B 的坐标为(x 0，y 0)，如图，过A 、B 分别作AM ⊥l 于M ，BN ⊥l 于N ，由|FA|＝2|FB|，则|AM|＝2|BN|，点B 为AP 的中点，连接OB ，则2|OB|＝|AF|，∴|OB|＝|BF|，即x 0＋2＝x 20＋y 20＝x 20＋8x 0，解得x 0＝1，y 0＝22，故点B 的坐标为(1，22)， ∵P(－2，0)，∴k ＝22－01＋2＝223.故选D .【答案】D5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，若存在过右焦点F 的直线与双曲线C 相交于A ，B 两点且AF →＝3BF →，则双曲线离心率的最小值为( )A . 2B . 3C ．2D ．2 2【解析】由题意，A 在双曲线的左支上，B 在右支上， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，右焦点F(c ，0)， ∵AF →＝3BF →， ∴c －x 1＝3(c －x 2)， ∴3x 2－x 1＝2c.∵x 1≤－a ，x 2≥a ， ∴3x 2－x 1≥4a ， ∴2c ≥4a ， ∴e ＝ca≥2，∴双曲线离心率的最小值为2，故选C . 【答案】C6．抛物线y 2＝2px(p>0)的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB ＝2π3.设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是( )A . 3B .32C .33D .34【解析】过A 作AG ⊥l ，G 为垂足；过B 作BE ⊥l ，E 为垂足．由抛物线的定义知：GA ＝AF ，BE ＝BF ，MN ∥AG ∥BE ，因为M 是AB 的中点，所以MN 是梯形ABEG 的中位线，所以|MN|＝12()|AG|＋|BE|＝12(|AF|＋|BF|)由余弦定理：|AB|＝|AF|2＋|BF|2－2|AF|·|BF|cos2π3＝|AF|2＋|BF|2＋|AF|·|BF|， 所以⎝⎛⎭⎫|MN||AB|2＝14（|AF|＋|BF|）2|AF|2＋|BF|2＋|AF||BF|＝14⎝⎛⎭⎫1＋|AF|·|BF||AF|2＋|BF|2＋|AF||BF| ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1|AF||BF|＋|BF||AF|＋1 ≤14⎝⎛⎭⎫1＋12＋1＝13， 当且仅当|AF|＝|BF|时等号成立． 所以|MN||AB|≤33，故选C .【答案】C 二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分．将各小题的结果填在题中横线上．) 7．抛物线y ＝－x 2上的点到直线4x ＋3y －8＝0距离的最小值是________． 【解析】设抛物线y ＝－x 2上一点为(m ，－m 2)，该点到直线4x ＋3y －8＝0的距离为|4m －3m 2－8|5＝⎪⎪⎪⎪－3⎝⎛⎭⎫m －232－2035，当m ＝23时，取得最小值为43.【答案】438．已知直线l 与抛物线C: y 2＝4x 相交于A, B 两点，若线段AB 的中点为()2，1，则直线l 的方程为______________．【解析】设A ()x 1，y 1，B ()x 2，y 2，代入抛物线方程得⎩⎨⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，两式相减得()y 1＋y 2()y 1－y 2＝4()x 1－x 2， 即y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝42＝2，即直线AB 的斜率为2， 由点斜式得y －1＝2()x －2， 化简得y ＝2x －3. 【答案】y ＝2x －39．己知F 1，F 2是椭圆C: x 2a 2＋y 2b 2＝1()a>b>0的焦点， P 是椭圆C 上一点，若|PF 1|＝2|PF 2|，则椭圆C 的离心率的取值范围是__________ .【解析】因为||PF 1＝2||PF 2， ||PF 1＋||PF 2＝2a ，所以||PF 2＝2a3，又a －c ≤||PF 2≤a ＋c ，故a －c ≤2a 3≤a ＋c ，所以c a ≥13，即离心率的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1. 【答案】⎣⎡⎭⎫13，110．已知直线y ＝kx －1与双曲线x 2－y 2＝1的左、右两支各交于一点，则k 的取值范围是____________．【解析】设两个交点坐标分别为A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，联立直线与双曲线方程⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2－y 2＝1，化简得(1－k 2 ) x 2＋2kx －2＝0(1－k 2≠0)．因为直线y ＝kx －1和双曲线x 2－y 2＝1的左右两支各交于一点， 所以两个交点的横坐标符号相反，即x 1·x 2＝－21－k 2<0，解不等式可得－1<k<1.所以k 的取值范围是(－1，1)． 【答案】(－1，1)三、解答题(本大题共3小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)11．(13分)如图所示，已知圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝8，定点A(1，0)，M 为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，点N 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程；(2)若过定点F(0，2)的直线交曲线E 于不同的两点G ，H(点G 在点F ，H 之间)，且满足FG →＝λFH →，求λ的取值范围．【解析】(1)∵AM →＝2AP →，NP →·AM →＝0，∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|. 又∵|CN|＋|NM|＝22，∴|CN|＋|AN|＝22＞2.∴动点N 的轨迹是以点C(－1，0)，A(1，0)为焦点的椭圆， 且椭圆长轴长2a ＝22，焦距2c ＝2. ∴a ＝2，c ＝1，b 2＝1. ∴曲线E 的方程为x 22＋y 2＝1.(2)当直线GH 的斜率存在时，设直线GH 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程x 22＋y 2＝1，得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋4kx ＋3＝0. 由Δ＞0得k 2＞32.设G(x 1，y 1)，H(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－4k 12＋k 2，x 1x 2＝312＋k 2.又∵FG →＝λFH →，∴(x 1，y 1－2)＝λ(x 2，y 2－2)， ∴x 1＝λx 2，∴x 1＋x 2＝(1＋λ)x 2，x 1x 2＝λx 22.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 21＋λ2＝x 22＝x 1x 2λ， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－4k 12＋k 22（1＋λ）2＝312＋k 2λ，整理得163⎝⎛⎭⎫12k 2＋1＝（1＋λ）2λ.∵k 2＞32，∴4＜1632k2＋3＜163，∴4＜λ＋1λ＋2＜163，解得13＜λ＜3且λ≠1.又∵0＜λ＜1，∴13＜λ＜1.又当直线GH 的斜率不存在时，方程为x ＝0，FG →＝13FH →，λ＝13.∴13≤λ＜1，即所求λ的取值范围是⎣⎡⎭⎫13，1.12．(13分)已知双曲线C 的实轴在x 轴，且实轴长为2，离心率e ＝3，l 是过定点P(1，1)的直线．(1)求双曲线C 的标准方程；(2)判断l 能否与双曲线C 交于A ，B 两点，且线段AB 恰好以点P 为中点，若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．【解析】(1)∵2a ＝2，∴a ＝1，又ca ＝3，∴c ＝3，∴b 2＝c 2－a 2＝2，a 2＝1，∴双曲线C 的标准方程为：x 2－y 22＝1.(2)①若过点P 的直线斜率不存在，则l 的方程为：x ＝1， 此时l 与双曲线只有一个交点，不满足题意．② 若过点P 的直线斜率存在且设为k ，则l 的方程可设为：y －1＝k(x －1)， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，AB 的中点M(x ，y)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1－k ，x 2－y 22＝1得(2－k 2)x 2－2k(1－k)x －(1－k)2－2＝0 ① 显然，要有两个不同的交点，则2－k 2≠0. 所以x ＝x 1＋x 22＝k （1－k ）2－k 2，要以P 为中点，则有x ＝x 1＋x 22＝k （1－k ）2－k 2＝1，解得k ＝2，当k ＝2时，方程①为：2x 2－4x ＋3＝0，该方程无实数根，即l 不会与双曲线有交点，所以，不存在过点P 的直线l 与双曲线有两交点A 、B ，且线段AB 以点P 为中点． 13.(14分)如图，P 是直线x ＝4上一动点，以P 为圆心的圆Γ经过定点B(1，0)，直线l 是圆Γ在点B 处的切线．过A(－1，0)作圆Γ的两条切线分别与l 交于E 、F 两点． (1)求证：|EA|＋|EB|为定值； (2)设直线l 交直线x ＝4于点Q ， 证明：|EB|·|FQ|＝|FB|·|EQ|.【解析】(1)设AE 切圆Γ于M ，直线x ＝4与x 轴的交点为N ，故EM ＝EB.从而||EA ＋||EB ＝||AM ＝AP 2－PM 2＝AP 2－PB 2 ＝AN 2－BN 2＝25－9＝4， 所以||EA ＋||EB 为定值4.(2)由(1)同理可知||FA ＋||FB ＝4，故E 、F 均在椭圆x 24＋y 23＝1上．设直线EF 的方程为x ＝my ＋1(m ≠0)． 令x ＝4，求得y ＝3m ，即Q 点纵坐标y Q ＝3m .由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，x 24＋y 23＝1得(3m 2＋4)y 2＋6my －9＝0. 设E(x 1，y 1)、F(x 2，y 2) 则有y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4. 因为E 、B 、F 、Q 在同一条直线上， 所以||EB ·||FQ ＝||FB ·||EQ 等价于(y B －y 1)(y Q －y 2)＝(y 2－y B )(y Q －y 1)， 即－y 1·3m ＋y 1y 2＝y 2·3m －y 1y 2等价于2y 1y 2＝(y 1＋y 2)·3m .代入y 1＋y 2＝－6m 3m 2＋4，y 1y 2＝－93m 2＋4知上式成立．所以||EB ·||FQ ＝||FB ·||EQ .。