电磁场与微波技术 第 章
电磁场微波技术第一章解读
第一章高斯定理物理含义：1、电场强度通过任一封闭曲面的电通量等于该封闭曲面所包围的电量与真空介电常数之比。
2、电场强度在某点的散度等于该点的电荷体密度与真空介电常数之比。
环路定理物理意义：1、在静电场中将单位电荷沿任一闭合路径移动一周，静电力做功为零——静电场为保守场。
2、真空中静电场的电场强度的旋度处处为零。
由此可见，真空中静电场是有散无旋场。
电位（标量）选择场中某点P 作为参考零电位点,单位正电荷在电场力的作用下，自该点沿任一条路径移至P 点的过程中电场力作的功 等位面：电位相等的曲面 电场线与等位面一定处处保持垂直，等位面分布的疏密程度也可表示电场强度的强弱，（规定相邻的等位面之间的电位差保持恒定），那么等位面密集处表明电位变化较快，场强较强电位梯度( ) 电位：大小等于(d φ/dl)max,方向为使d φ/dl 获得最大增量的方向的矢量电场强度和电位梯度的关系：1.梯度方向总是垂直于等位面2.电场强度的方向为电位梯度的负方向3.梯度的大小等于电场强度的大小介质极化极化：在电场作用下，介质中束缚电荷发生位移的现象χe 称为极化率，它是一个正实数 介质中的高斯定理积分形式：物理意义：介质中穿过任一闭合面的电位移的通量等于该闭合面包围的自由电荷，而与束缚电荷无关。
微分形式： 物理意义：介质中微分形式的高斯定律表明，某点电位移的散度等于该点自由电荷的体密度。
两种介质的边界条件 1、切向边界条件 物理意义：在两种介质形成的边界上，两侧的电场强度的切向分量相等，或者说，电场强度的切向分量是连续的。
2、法向分量边界条件 物理意义：在两种介质边界上电位移的法向分量相等，或者说，电位移的法向分量是连续的。
介质与导体的边界条件 ：1.静电平衡：当孤立导体放入静电场中以后，导体中自由电子发生运动，电荷重新分布产生与原电场方向相反的二次电场，使导体中的合成电场消失为零。
2.边界上电场分布：3.空腔内外电荷分布：做恒定电场：将一块导体与电源的两个极板相连，由于两个电极之间始终存在一定的电位差，在导体中形成电场，使电子维持持续不断的定向运动，若外加电压与时间无关，导体中的电流就是恒定的，导体中的电场也是恒定的。
电磁场与微波技术第一二三章课后习题及部分答案
第 1 章 习 题1、 求函数()D Cz By Ax u +++=1的等值面方程。
解：根据等值面的定义：标量场中场值相同的空间点组成的曲面称为标量场的等值面，其方程为)( ),,(为常数c c z y x u =。
设常数E ，则，()E D Cz By Ax =+++1， 即：()1=+++D Cz By Ax E针对不同的常数E （不为0），对应不同的等值面。
2、 已知标量场xy u =，求场中与直线042=-+y x 相切的等值线方程。
解：根据等值线的定义可知：要求解标量场与直线相切的等值线方程，即是求解两个方程存在单解的条件，由直线方程可得：42+-=y x ，代入标量场C xy =，得到： 0422=+-C y y ，满足唯一解的条件：02416=⨯⨯-=∆C ，得到：2=C ，因此，满足条件的等值线方程为：2=xy3、 求矢量场z zy y y x xxy A ˆˆˆ222++=的矢量线方程。
解：由矢量线的微分方程：zy x A dz A dy A dx ==本题中，2xy A x =，y x A y 2=，2zy A z =， 则矢量线为：222zy dzy x dy xy dx ==，由此得到三个联立方程：x dy y dx =，z dz x dx =，zy dz x dy =2，解之，得到： 22y x =，z c x 1=，222x c y =，整理， y x ±=，z c x 1=，x c y 3±=它们代表一簇经过坐标原点的直线。
4、 求标量场z y z x u 2322+=在点M (2,0,-1)处沿z z y xy xx t ˆ3ˆˆ242+-=方向的方向导数。
解：由标量场方向导数的定义式：直角坐标系下，标量场u 在可微点M 处沿l 方向的方向导数为γβαcos cos cos zu y u x u l u ∂∂+∂∂+∂∂=∂∂α、β、γ分别是l 方向的方向角，即l 方向与z y xˆˆˆ、、的夹角。
电磁场与微波技术
电磁场与微波技术电磁场与微波技术引言电磁场和微波技术是现代科学与技术领域中重要的研究方向。
电磁场是由电磁波构成的物理现象，其在无线通信、电磁隔离、能量传输等方面具有广泛应用。
微波技术作为电磁波的一种，其频率范围在0.3 GHz到300 GHz之间，被广泛应用于通信、雷达、医疗、材料处理等领域。
本文将探讨电磁场的基本概念、特性以及微波技术在不同领域中的应用。
第一部分电磁场的基本概念与特性1. 电磁场的概念电磁场，顾名思义，是由电场和磁场组成的物理现象。
电场是由电荷引起的一种物理现象，磁场则是由电流引起的物理现象。
当电流变化时，会产生磁场。
电磁场可以通过电磁波的方式传播，包括无线电波、微波、可见光等。
2. 电磁场的特性电磁场具有许多特性，包括电磁波的强度、频率、相位等。
电磁波的强度代表了电磁辐射的能量大小，频率代表了电磁波的振动次数，相位则表示了电磁波在空间中的相对位置。
此外，电磁波还具有传导性、辐射性以及相对论效应等特性。
第二部分微波技术的应用领域1. 通信领域微波技术在通信领域中有着重要应用，尤其是无线通信和卫星通信。
无线通信利用微波进行信号传输，实现了人与人之间的远程通信，比如手机通话、无线网络等。
卫星通信则利用微波将信号从地面传输到卫星，再由卫星传输到其他地方，实现了全球通信的覆盖。
2. 医疗领域微波技术在医疗领域中也有广泛应用。
微波能够穿透物体，因此可以用于医学影像学中的透视、断层扫描等技术。
此外，微波技术还可以用于治疗，比如微波物理疗法、微波治疗仪等，可以用于疼痛治疗、肿瘤治疗等。
3. 雷达技术雷达技术是微波技术的重要应用之一。
雷达是利用微波进行距离测量和目标探测的装置。
它通过向目标发射微波信号，并接收其反射信号来实现目标的探测和定位。
雷达在军事、民航、气象等领域中起着重要作用，比如飞机导航、天气预报等。
4. 材料处理微波技术还可以用于材料处理，包括物体加热、干燥、焙烧等。
微波加热可以快速、均匀地加热物体，用于食品加热、橡胶硫化等。
电磁场与微波技术实验教程 第1章
如果入射波波长为λ， 两波的波程差为δ, 当δ=kλ(k=0， ±1， ±2， …)时, 接收天线检波后电流 表有极大指示; 当δ=(2k+1)/2λ(k=±1， ±2， ±3, …)时， 接收天线检 波后电流表有极小指示。
B板固定不变， 从端点移动A板改变波程差δ， 当出现 电流表指示极小时， A板位置在某处(由千分尺读出)， 再同 方向继续移动A板又再次出现电流表指示极小时， A板的移 动位置改变恰好为λ/2。 继续同方向移动A板， 当出现m+1 个电流表指示极小时， 移动距离就为m/2个波长， 由此可测 出微波源的波长。
图1.1.2 静电场测试电路
五、 1.
2. 本实验方法很简单， 但它是工程上很有效的一种方法。 因此， 除测出所需点电位分布外， 还要深入理解有关的一 些问题。 在做实验报告时除一般要求内容数据外， 还要回 答下列问题： (1) 将平行板电容器的被测模型所测的数据画成距离－ 电位图， 与平行板电容器理论上的距离－电位比较， 并解 释为什么在Y=0及Y=10 cm附近(“电极”附近)电位有急剧变 化。 (2) 若要模拟有边缘效应的情况， 其被测模型应如何改
(3) 调节可移动反射板A， 测出电流表指示极小点时A板 的位置S0、 S1、 S2、 S3、 S4， 求出电磁波的波长λ。
在实验时也可以测量其极大点， 但通常测量极小点比 测量极大点准确。
使用微波干涉仪也可以测量介质的相对介电常数Er。 在图1.2.1中， 固定反射板B前插入一块介电常数为Er、 厚度 为d的介质板。 这时在这一路径中电磁波传播的波程改变了， 由于插有介质板的这一路电磁波波程增加了Δδ， 即
Δ 2d ( r 1) (1.2.1)
(1.1.1)
在恒定电流场中， 电场强度E、 电流密度J及电位Ф满 足下列方程：
电磁场与微波技术(第1章)
ˆ ˆ ˆ e , e , e
x y z
ˆ e
ˆ ˆ , e , ez
qi＝qi x , y , x C
曲面单位法矢量：
ˆ eqi 曲面单位法矢量
ˆ eqi
qi x, y, x qi x, y, x qi x, y, x ˆ ˆ ˆ ex ey ez x y z qi x, y, x qi x, y, x qi x, y, x x y z
(混合积)
5. 并矢
AB 二阶张量 3 AB Ai B j ei e j
i , j 1
§1.3 标量场的梯度
1.场的概念 任何物理过程总是在一定空间上发生，对应 的物理量在空间区域按特定的规律分布。如 电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布 在空间区域上每一点有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了该物理量的场
台湾海峡表面流速场数值分布
关于的场三个基本问题：
（1）场的基本性质及其分析方法
（2）场与激励源的关系及相互作用
（3）场与场的相互联系与相互作用
2. 标量场的等值面
标量场同一数 值各点在空间 形成的曲面
u x , y , z C
3. 方向导数
实际应用中不仅需要了解宏 观上场在空间的数值，还需 要知道场在不同方向变化。
P , , z
三维空间中同一点可以用不同的 正交曲线坐标系描述。不同坐标 系之间存在相互变换关系，这种 变换关系只能是一一对应的
在任何正交曲线坐标系有一组 与坐标轴对应的单位矢量。如 直角坐标系和圆柱坐标系等。 坐标变量单位矢量特点： 空间某点坐标变量的单位 矢量的方向为对应坐标变 量为常数的曲面的法矢
电磁场与微波技术2篇
电磁场与微波技术电磁场与微波技术（第一篇）导引电磁场是物理学中一个重要的概念，它在我们日常生活中扮演着重要的角色。
微波技术作为一种应用电磁场的技术，也在现代社会中得到广泛应用和发展。
本文将探讨电磁场的基本概念、性质以及微波技术的原理、应用和发展趋势。
电磁场的基本概念与性质电磁场是一种具有电场和磁场相互耦合而成的物理场。
电场是由电荷构成的粒子在空间中产生的力场，具有电荷之间相互作用的性质。
磁场则是由电流在空间中产生的力场，具有磁性物质与外磁场相互作用的性质。
电磁场具有许多基本性质。
首先，电磁场具有连续性。
在空间中任何一点，电磁场的数值和方向都是连续变化的，不存在突变。
其次，电磁场具有叠加性。
即多个电荷或电流所产生的电磁场可以叠加在一起，形成一个合成的电磁场。
此外，电磁场的传播速度是有限的，即光速。
根据麦克斯韦方程组的推导，电磁波在真空中传播的速度为光速，约为每秒300000公里。
微波技术的原理与应用微波技术是一种应用电磁场的技术，其原理基于电磁波的特性和传播规律。
微波指的是频率介于300MHz至300GHz之间的电磁波，其具有波长短、穿透力强等特点。
微波技术具有广泛的应用。
首先，微波技术在通信领域中有重要的应用。
无线电通信、卫星通信等都离不开微波技术的支持。
其次，微波技术在雷达和无线电导航系统中也有广泛应用。
雷达通过发送和接收微波信号来测量目标的距离和速度，实现目标探测和定位。
此外，微波技术还应用于微波炉、无线电频率识别等领域。
微波技术的发展趋势随着科技的进步和需求的不断增长，微波技术正在不断发展和创新。
未来，微波技术将朝着以下几个方向发展。
首先，微波技术的频率范围将进一步扩展。
随着物联网和5G通信的兴起，对更高频率的微波技术需求增加。
因此，微波技术将向毫米波甚至太赫兹波段发展，以满足更高速率、更大容量的通信需求。
其次，微波技术将越来越多地与其他技术结合。
例如，微波与纳米技术的结合，可以实现更小尺寸、更高性能的微波器件。
电磁场与微波技术(场论)
交通管制：监测道 路交通状况，实现 智能交通管理
无线通信：电磁波在空间中传播，实现无线通信 卫星通信：利用卫星转发信号，实现全球通信 雷达系统：利用微波反射原理，实现对目标距离、速度、方位的测量 移动通信：手机、平板等移动设备通过电磁波进行通信
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测量技术中的应用：利用电磁波的传播特性，可以实现对物体位置、速 度、距离等参数的测量，如雷达测距、激光测距等。
通信领域：利用 微波进行无线通 信，包括移动通 信、卫星通信等
雷达探测：利用 微波的反射和散 射特性，探测目 标的位置、速度 和形状等信息
导航定位：利用 微波信号的传播 特性，进行全球 定位系统（GPS） 等导航定位
遥感遥测：利用 微波辐射和散射 特性，进行气象 观测、资源调查 和环境监测等
电磁场与微波技术的起源 20世纪的发展和应用 21世纪的最新进展和趋势 未来展望
纳米技术：利 用纳米尺度的 特性，开发出 更小、更快、 更省能的电子 器件和系统。
生物技术：结合 电磁场与微波技 术，开发出用于 医疗、生物检测 和生物成像等领 域的先进技术和
设备。
电磁场与微波技术与通信技术的结合，实现高速、大容量、低延迟的通信。 电磁场与微波技术与生物医学的交叉，应用于生物医学成像、微波热疗等领域。 电磁场与微波技术与新材料技术的结合，开发新型微波介质材料、超材料等。 电磁场与微波技术与新能源技术的交叉，研究微波在太阳能、风能等新能源领域的应用。
电磁场的基本理论
简介：麦克斯韦方程组是描述电磁场运动和变化的经典方程组，由麦克斯韦在19世纪 提出。
内容：包括四个方程，分别描述电场、磁场、电荷密度和电流密度的关系，以及电 磁场的变化规律。
应用：麦克斯韦方程组在电磁波传播、电磁场与物质相互作用等领域有着广泛的应用。
电磁场与微波技术(1)
填空题1、电场强度E r 的切向分量应满足的边界条件是： 或写为 ；2、在自由空间中，均匀平面电磁波的相位常数为0.524rad/m 。
当该波进入理想介质后，相位常数变为1.81rad/m 。
若设1=r μ，则相对介电常数=r ε ，电磁波在该介质中的传播速度=v 。
3、把位于坐标原点的点电荷q 置于介电常数为ε的无界空间中，其电位分布()r ϕr 满足的偏微分方程为 ，且位函数()r ϕr必须满足自然边界条件即 4、均匀平面波在自由空间的相速p v 与介电常数0ε和磁导率0μ的关系式为 ；通常把电场振幅与磁场振幅之比称为 阻抗；5. 均匀平面波在自由空间的相速p v 与介电常数0ε和磁导率0μ的关系式为 ；通常把电场振幅与磁场振幅之比称为 阻抗，若用0η表示则它与介电常数0ε和磁导率0μ的关系式为 。
若电磁波在传播中遇到良导体则会迅速衰减，因而通常把良导体中的电磁波局限于表面薄层的现象称为 。
6、已知双曲线族为2222by a x u −=，则该曲线上任意点的单位法向矢量为 ；任何电磁场都存在于一定媒质中，媒质中B r 和H r 的关系由本构关系给出。
若媒质是线性、各向同性的，它们的关系为 ；7、对一般的时变电磁场，麦克斯韦（微分）方程组的复矢形式的四个方程分别为（1） 、（2） 、（3） 、（4） ；8、矢量分析中，除散度定理外，另一个重要的定理是斯托克斯定理，其表示式为 ；9、已知标量场()()2/1222,,z y x z y x u ++=，则空间一点P （1，1，0）的梯度为和沿方向212z y x e e e l r r r r ++=的方向导数为3/22；10、磁场强度H r 的切向分量应满足的边界条件是： 或写为 ；11、均匀平面电磁波从自由空间进入理想介质后，传播速度降为原来的1/4。
当介质的1=r μ时，则相对介电常数=r ε ；电磁波在这种介质中的波长是 。
12、若传输线在796MHz 时的分布参数为mm m R /4.10Ω=，pF C 00835.0=，mm nH L /67.3=，mm n G /8.0Ω=。
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M r l M r
方向性导数表示场沿 l 方向的空间变化率
| lim u
u u u u 1
l
M0
l 0
l
x
dx
y
dy
z
dz
dl
eˆ x
u x
eˆ y
u y
eˆ z
u z
eˆ x
dx
eˆ ydy dl
eˆ zdz
u cos u cos u cos
x
y
z
cos ,cos ,cos 为 l 的方向余弦
z
1. 正交曲线坐标系
P (x, y, z)
三维空间任意点的位置可通过 三条相互正交曲线的交点来确
定。该三条正交曲线组成确定
三维空间任意点位置的体系称
为正交曲线坐标系，三条正交
y 曲线称为坐标轴，描述坐标轴
x
的量称为坐标变量.
2. 正交曲线坐标系的变换
P (x, y, z)
q1 q1 x, y, x
Fx z
Fz x
eˆ z
Fy x
Fx y
F
x Fx
y Fy
z Fz
3.旋度与漩涡源的关系
为了给出空间任意点矢量场与旋
J
涡源的关系，当闭合曲线L 所围 n
F
的面积趋于零时，矢量场对回路
L 的环量与旋涡源对于L 所围的
面积的通量成正比，即：
s
Ñ lim F dl lim J s
7. 正交曲线坐标系中梯度的表达式
u
eˆq1
u s1
eˆq2
u s2
eˆq3
u s3
ds1 h1dq1, ds2 h2dq2 , ds3 h3dq3
u
eˆ q1
u h1q1
eˆq2
u h2q2
eˆq3
u h3q3
§1.4 矢量场的散度
1. 矢量场与矢量线 在确定空间区域上的 每一点有确定矢量与 对应，称该空间区域 上定义了一个矢量场
只有数值的大小而没有方向的场称为标量场 既有数值的大小又有方向的场称为矢量场 如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场
静态标量场用 u x, y,z 时变场标量场用 u x, y,z,t
静态矢量场 F x, y,z 时变矢量场 F x, y,z,t
福建省
台 湾 岛
台湾海峡表面流速场数值分布
旋度的定义为：矢量场在M点处的旋度为一矢 量，其数值为包含M点在内的小面元边界的环 量与小面元比值极限的最大值，其方向为极限 取得最大值时小面积元的法线方向，即：
lim Ñ rotF
nˆ
s0
1 s
l
F dl
Max
根据线积分的公式，直角坐标系中旋度的表达式为:
蜒 ? rotF
eˆ x
有净的矢量线流出 有产生发散力线源
有净的矢量线流入 有产生汇聚力线源
3 矢量场的散度
考虑空间任意点（包含该点在内的小体积元）单位 体积闭合曲面矢量场发散和汇聚力线强度，利用极 限方法得到：
F x, y, zds
divF x, y, z lim s V 0
V
为矢量场的散度。散度是矢量通过包含该点的任 意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限
根据通量的物理意义，矢量场相对于小体 积元的通量与体积元内的通量源成正比：
lim
V 0
Ò
F
x
,
y
,
z
ds
பைடு நூலகம்
x
,
y
,
z
V
s
其中 x, y,z 为通量源密度。于是有：
divF＝ Fx, y,z＝x, y,z
κ为比例常数，一般由实验获得。
4. Gauss定理
直接从散度的定义出发，不难 得到矢量场在空间任意闭合曲 面的通量等于该闭合曲面所包 含体积中矢量场散度的积分。
4. 三矢量乘积
A
B
C
B
C
A
C
A
B
ABC ABC
A
B
C
BA
C
CA
B
(混合积 )
5. 并矢
AB
二阶张量
AB
3 Ai B jeiej
i1, j 1
§1.3 标量场的梯度
1.场的概念 任何物理过程总是在一定空间上发生，对应 的物理量在空间区域按特定的规律分布。如 电荷在其周围空间激发电场的分布 电流在周围空间激发磁场的分布 地球上太阳及其他原因激发温度的分布 在空间区域上每一点有确定物理量与之对应， 称在该区域上定义了该物理量的场
Fx, y, z ds
S
Fx
zy
|
x
x
x
Fx
zy
|
x
x
x
2
2
Fy
zx
|
y
y
y
Fyzx |y y y
2
2
Fz
yx
|
zz
z
Fz
yx
|
z
z
z
2
2
Fx x
Fy y
Fz z
xyz
divF F Fx Fy Fz x y z
z z 2 y y 2
x x
F
2
0
divF x,
y, z
Fx x
关于的场三个基本问题：
（1）场的基本性质及其分析方法 （2）场与激励源的关系及相互作用 （3）场与场的相互联系与相互作用
2. 标量场的等值面
标量场同一数 值各点在空间 形成的曲面
ux, y,z C
3. 方向导数
实际应用中不仅需要了解宏 观上场在空间的数值，还需 要知道场在不同方向变化。
方向性导数可以描述标量场 在空间某个方向上变化情况
ψ dψ＝ Fx, y, zds
dψ＝Fx, y, z nˆs
如果曲面 s 是闭合的，并规定曲面
法矢由闭合曲面内指向外，矢量场 对闭合曲面的通量是：
0
Q F x, y, zds＝ 0
s
0
0
Q F x, y, zds＝ 0
s
0
流入流出闭合曲面矢 量线相等或没有矢量 线流入和流出 发散和汇聚力线源相 等或没有产生力线源
(2)
cos A B
| A||B|
36
0.80
32 42 22 22 42 72
（3）
ex ey ez A B Ax Ay Az
Bx By Bz
= ex(4×7－2×4) + ey(2×2 － 3×7) + ez(3×4 － 4×2) = ex20 － ey17 + ez4
电磁场与微波技术
Electromagnetic and Microwave Technology
江汉大学 柯璇
第一章
电磁场理论的数学基础
主要内容：
正交曲线坐标系及其转换 矢量的表示及其运算 场论基础（梯度、散度和旋度） 矢量场的Helmholtz定理 常用坐标系
§1.1正交曲线坐标系及其转换
矢量线不能定量描述矢量场
的大小，但过单位曲面积的
ds
矢量线的根数描述了矢量线
F x, y,z
的多少。引入通量的概念。
在场区域的某点选取面元，
穿过该面元矢量线的总数称 为矢量场对于面积元 ds 的
F x, y, z lim nˆ dψ
s0 ds Max
通量。
矢量场对于曲面 s 的 通量为曲面 s 上所有 小面积元通的叠加：
☻标量场在某个方向上的方向导 数，是梯度在该方向上的投影
☻ 标量场的梯度函数 建立了标量场与矢 量场的联系，这一 联系使得某一类矢 量场可以通过标量 函数来研究，或者 说标量场可以通过 矢量场的来研究。
☻ 标量场的梯度垂直
于通过该点的等值 面（或切平面）
6. 梯度运算的基本公式
c 0
cuuvcuu v uv uv vu f u f ' uu
Fy y
Fz z
0 0
散度的三个结果的物理原因是什么？
4. 散度与源的关系
物理上的场 (矢量场或标量场）都是相应的源 激发的结果。矢量场通过闭合曲面通量的三种 可能结果一定与闭合曲面内有无产生矢量场的 源直接相关。使闭合曲面通量不为零的激励源 为通量源。矢量场对闭合曲面的通量与闭合曲 面内的通量源之间存在某种确定的关系。
q2
q2
x, y,x
q3 q3 x, y, x
x x q1 ,q2 ,q3
y
y q1 ,q2 ,q3
z z q1 ,q2 ,q3
P,, z
三维空间中同一点可以用不同的 正交曲线坐标系描述。不同坐标 系之间存在相互变换关系，这种 变换关系只能是一一对应的
在任何正交曲线坐标系有一组 与坐标轴对应的单位矢量。如 直角坐标系和圆柱坐标系等。
坐标变量单位矢量特点： 空间某点坐标变量的单位 矢量的方向为对应坐标变 量为常数的曲面的法矢
eˆx , eˆy , eˆz
eˆ ,eˆ ,eˆz
qi＝qi x, y, x C
曲面单位法矢量eˆqi
曲面单位法矢量：
eˆqi
eˆx
qi x, y,
x
x
eˆy
qi x, y,
y
x
eˆz
qi
x, y,
s0
s0
l
4. Stokes定理
利用旋度的定义式，可得到一般曲线和曲 面积分之间的变换关系式，即Stokes定理
A B A B sin
ex ey ez A B A1 A2 A3 B1 B2 B3 A B B A