等差数列与等比数列的证明方法
等差等比数列的性质总结
一、等差数列1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；2．等差数列通项公式：*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=；3．等差中项（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0）特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4）数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．7.提醒：（1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。
等差数列和等比数列的证明方法
等差数列和等比数列的证明方法证明等差数列的和的方法：设等差数列的首项为a，公差为d，有n项。
1.直接求和法：等差数列的和可以通过将所有的项相加来求得。
数列的第1项是a，第2项是a+d，第3项是a+2d，以此类推，第n 项是a+(n-1)d。
将所有的项相加得S=a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n-1)d)可以发现，每一对括号中的两项加起来都是2a+(n-1)d。
由于一共有n对括号，所以有S=n(2a+(n-1)d)S=n/2(2a+(n-1)d)这个公式是等差数列和的公式。
2.差值法：将等差数列的所有项按顺序排列，并将数列翻转再相加，得到的和是a+(a+d)+(a+2d)+...+(a+(n-1)d)。
将两个和相加得到2S=(2a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+...+((a+(n-1)d)+a)化简得2S=n(a+a+(n-1)d)S=n/2(a+a+(n-1)d)这个公式也是等差数列和的公式。
3.数学归纳法：首先证明当n=1时，等差数列的和为a。
然后假设等差数列的前n项和为Sn=n/2(2a+(n-1)d)。
考虑等差数列的前n+1项和Sn+1Sn+1 = Sn + (a+nd)代入假设的公式得Sn+1 = n/2(2a+(n-1)d) + (a+nd)化简得Sn+1 = (n+1)/2(2a+nd)由此可以得到等差数列和的通项公式。
证明等比数列的和的方法：设等比数列的首项为a，公比为r，有n项。
1.直接求和法：等比数列的和可以通过将所有的项相加来求得。
数列的第1项是a，第2项是ar，第3项是ar^2，以此类推，第n 项是ar^(n-1)。
将所有的项相加得S = a + ar + ar^2 + ... + ar^(n-1)可以发现，这是一个等比数列，乘以r再减去自身，有rS = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^nS - rS = a - ar^n化简得S(1-r)=a(1-r^n)当r不等于1时，可以除以(1-r)得到S=a(1-r^n)/(1-r)当r等于1时，n项的和为n。
(完整版)等差等比数列知识点总结
1.等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数d ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数d 叫做等差数列的公差，即d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）；.2.等差中项：（1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2ba A +=或b a A +=2 （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a3.等差数列的通项公式：一般地，如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，可以得到等差数列的通项公式为：()d n a a n 11-+=推广： d m n a a m n )(-+=． 从而mn a a d mn --=； 4．等差数列的前n 项和公式：1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 5．等差数列的判定方法（1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列． （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=⇔+n a a a n n n 212+++=⇔n n n a a a ．（3） 数列{}n a 是等差数列⇔b kn a n +=（其中b k ,是常数）。
（4） 数列{}n a 是等差数列⇔2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。
6．等差数列的证明方法定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )⇔ {}n a 是等差数列．（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=.(2) 若{n a }是等差数列，则232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列（3）设数列{}n a 是等差数列，d 为公差，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和 1.当项数为偶数n 2时，()121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++⋅⋅⋅+==奇 ()22246212n n n n a a S a a a a na ++=+++⋅⋅⋅+==偶 ()11=n n n n S S na na n a a nd ++-=-=-偶奇 11n n n n S na a S na a ++==奇偶2、当项数为奇数12+n 时，则21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +⎧=+=+=+⎧+⎪⎪⇒⇒=⎨⎨-==⎪⎪⎩⎩n+1n+1奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 （其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项）． 1、等比数列的定义：()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且，q 称为公比 2、通项公式：()11110,0n nn n a a a q q A B a q A B q-===⋅⋅≠⋅≠，首项：1a ；公比：q推广：n m n m n n n m m a a a q q q a --=⇔=⇔=3、等比中项：（1）如果,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，即：2A ab =或A = 注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列{}n a 是等比数列211n n n a a a -+⇔=⋅ 4、等比数列的前n 项和n S 公式：（1）当1q =时，1n S na = （2）当1q ≠时，()11111n n n a q a a qS qq--==-- 11''11n n n a aq A A B A B A q q=-=-⋅=---（,,','A B A B 为常数）5、等比数列的判定方法：（1）用定义：对任意的n ，都有11(0){}n n n n n na a qa q q a a a ++==≠⇔或为常数，为等比数列（2）等比中项：21111(0){}n n n n n n a a a a a a +-+-=≠⇔为等比数列 （3）通项公式：()0{}n n n a A B A B a =⋅⋅≠⇔为等比数列 6、等比数列的证明方法：依据定义：若()()*12,nn a q q n n N a -=≠≥∈0且或1{}n n n a qa a +=⇔为等比数列 7、等比数列的性质：（1）若*(,,,)m n s t m n s t N +=+∈，则n m s t a a a a ⋅=⋅。
证明或判断等差(等比)数列的四种方法
证明或判断等差(等比)数列的四种方法
判断等差数列的四种方法：
公差相等法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。
通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1+(n-1)d，则该数列为等差数列。
前后项差值法：如果一个数列中任意两项之间的差值相等，则该数列为等差数列。
证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 - an = d，则可以通过归纳法证明该数列是等差数列。
判断等比数列的四种方法：
公比相等法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。
通项公式法：如果一个数列的通项公式是an=a1*r^(n-1)，则该数列为等比数列。
前后项比值法：如果一个数列中任意两项之间的比值相等，则该数列为等比数列。
证明法：对于一个数列，如果它满足an+1 / an = r，则可以通过归纳法证明该数列是等比数列。
以上是判断等差数列和等比数列的四种常见方法，它们都比较简单易行，可以帮助我们快速判断一个数列是否为等差数列或等比数列。
同时，在具体应用中，我们还可以根据题目要求选择合适的方法，从而更好地解决问题。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法等差数列和等比数列是数学中常见的数列形式，它们在数学和实际问题中都有重要的应用。
下面我们来介绍等差数列和等比数列的证明方法。
等差数列是指数列中每两个相邻的数之间的差值都相等的数列。
等差数列的通项公式为An=a1+(n-1)d，其中a1是首项，d是公差，n是项数。
1. 通过公式法证明等差数列：假设有数列{an}，首项为a1，公差为d，我们可以使用数列的通项公式An = a1 + (n-1)d。
通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的差值都为d，从而证明这是一个等差数列。
2. 通过递推法证明等差数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公差d，我们可以通过递推关系式an = an-1 + d来证明这是一个等差数列。
我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等差数列。
3.通过数列的性质证明等差数列：等差数列有很多重要的性质，例如，等差数列的中项等于首项与末项的平均数，等差数列的前n项和等于n倍首项与末项和的平均数。
如果我们通过对这些性质进行验证，可以得出结论这是一个等差数列。
等比数列是指数列中每两个相邻的数之间的比值都相等的数列。
等比数列的通项公式为An=a1*r^(n-1)，其中a1是首项，r是公比，n是项数。
1. 通过公式法证明等比数列：假设有数列{an}，首项为a1，公比为r，我们可以使用数列的通项公式An = a1 * r^(n-1)。
通过将通项公式代入证明，我们可以得到每一项与前一项之间的比值都为r，从而证明这是一个等比数列。
2. 通过递推法证明等比数列：假设有数列{an}，如果我们知道数列的首项a1和公比r，我们可以通过递推关系式an = an-1 * r来证明这是一个等比数列。
我们可以通过验证递推关系式对于所有项都成立，从而证明这是一个等比数列。
3.通过数列的性质证明等比数列：等比数列有很多重要的性质，例如，等比数列的任意两项的比值都相等，等比数列的前n项和等于首项与末项和的乘积与公比的差的商。
等差数列与等比数列的证明
3.2.3 证明数列是等差、等比数列证明一个数列是等差数列或者等比数列是高考的常考题型，是近几年出现的高频考点。
证明一个数列是等差数列的方法有（1）定义法：1()n n a a d n N ++-=∈，其中d 为常数；则数列}{n a 是等差数列（2）等差中项法：112(2)n n n a a a n -+=+≥，则数列}{n a 是等差数列；（3）通项公式法：若一个数列的通项公式为n a qn p =+，其中,p q 则数列}{n a 是等差数列。
证明一个数列是等比数列的方法：（1）定义法：1(0)n na q q a +=≠其中q 为常数，则数列}{n a 为等比数列（2）定比中项法：211n n n a a a +-=(2)n ≥，则数列}{n a 为等比数列。
例1、数列{}n a 满足12211,2,22n n n a a a a a ++===-+.（1）设1n n n b a a +=-，证明{}n b 是等差数列；（2）求{}n a 的通项公式.解：2122n n n a a a ++=-+Q ，2112n n n n a a a a +++∴-=-+，即112,2n n n n b b b b ++=+∴-=1211b a a =-=，1(1)221n b n n ∴=+-⨯=-（2）1213221,1,3n n n a a b n a a a a +-==-∴-=-=Q 1...23n n a a n --=- 21(1)n a a n ∴-=-，222n a n n ∴=-+例2、已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，111,0,1,n n n n a a a a S λ+=≠=-其中λ为常数（1）证明：2n n a a λ+-=；（2）是否存在λ，使得}{n a 为等差并说明理由解：1121(1)1,(2)1n n n n n n a a S a a S λλ++++=-=-Q ，(2)(1)∴-得：121()n n n n a a a a λ+++-=0n a ≠Q 2n n a a λ+∴-=（2）112121,1,1a a a S a λλ==-∴=-Q 31a λ=+Q ，令2132a a a =+，4λ∴= 由（1）可知：2n n a a λ+∴-=，}{21n a -∴是首项为1，公差为4的等差数列，2143n a n -=-}{2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =-，121,2n n n a n a a +∴=--=∴存在4λ=，使得数列}{n a 为等差数列例3设数列}{n a 的前n 项和为n S ，已知121,2,a a ==且2133n n n a S S ++=-+，n N +∈（1）证明：23n n a a +=；解：2133,(1)n n n a S S ++=-+Q 当2n ≥时，2133,(2)n n n a S S +-=-+(1)(2)-得：2113n n n n a a a a +++-=-，2(2)n n a a n +∴=≥ 123121121,2,333()3a a a S S a a a ===-+=-++Q ，23n n a a +∴=（n N +∈） 设等差数列}{n a 的公差为d ，点(,)n n a b 在函数()2x f x =的图象上，（1）证明：数列}{n b 为等比数列解：(,)n n a b Q 在函数()2x f x =的图象上，2n a n b ∴=，112n a n b ++=，1122n n a a d n nb b +-+== ∴数列}{n b 为等比数列。
等差数列与等比数列的证明方法
等差数列与等比数列的证明方法高考题中，有关证明、判断数列是等差（等比）数列的题型比比皆是，如何处理这些题目呢？证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a qa -==（常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==（常数0≠）．例1. 设数列12,,,,n a a a 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=。
证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则当d=0时，显然命题成立当d≠0时，∵111111n n n na a d a a++⎛⎫=-⎪⎝⎭∴再证充分性：∵122334111a a a a a a++⋅⋅⋅1111n n nna a a a++++=⋅⋅………①∴122334111a a a a a a++⋅⋅⋅11212111n n n n nna a a a a a++++++++=⋅⋅⋅………②②﹣①得：12121111n n n nn na a a a a a+++++=-⋅⋅⋅两边同以11n na a a+得：112(1)n na n a na++=+-………③同理：11(1)n na na n a+=--………④③—④得：122()n n nna n a a++=+即：211n n n na a a a+++-=-{}n a为等差数列例2.设数列}{na的前n项和为n S，试证}{na为等差数列的充要条件是)(,2)(*1NnaanS nn∈+=。
高考数学：证明等差等比数列的解法
高考数学：证明等差等比数列的解法
我们在数列部分常碰到这样的问题：证明某个复杂数列为等差或者等比数列。
比如下面这道题：
从求证出发，我们回顾等比数列的定义：从第2项开始，数列的后一项除以前一项等于同一个不为零的常数，则这个数列为等比数列。
这就是我们证明等比数列的主要办法，也称定义法.即只需证明后项/前项为常数即可。
使用定义法的技巧，就是在化简过程中，保持前项不变，然后后项用题中给定的关系式代入。
道理也是显然的，要使得计算结果为常数，必须要出现消项、约分，所以把后项朝前项去靠近，才能最终通过消项、约分得到常数。
根据条件中给定的关系式，代入上式。
结果还真是一个常数，神奇吗？
其实一点也不神奇，只要方法正确，常数是命题者设计好了的，你不用担心。
下面，增加一点难度，看这一道分段形式给出的数列递推式。
请自觉做题3分钟.不要往下看。
分析：首先来理解数列递推式传递的信息.我们用具体的例子来理解它。
通过这种方式，我们对数列有了一些感性的认识。
不管怎样，还是采用定义法来证明。
还是采用前面介绍的技巧：保持前项不变，把后项用题中给定的关系式代入。
注意看，分子项和分母项的脚标相差2，我们根据题目所给递推式，可以分两步来。
咦！结果又是一个常数。
废话，要不是常数，那就是题目出错了。
总结：定义法来真好用，证明等比显奇功。
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等差数列与等比数列的证明方法证明或判断等差（等比）数列的方法常有四种：定义法、等差或等比中项法、数学归纳法、反证法。
一、 定义法01.证明数列是等差数列的充要条件的方法：{}1()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列{}2222()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列 {}3333()n n n a a d a +-=⇔常数是等差数列02.证明数列是等差数列的充分条件的方法：{}1(2)n n n a a a d n --=≥⇒是等差数列 {}11(2)n n n n n a n a a a a +--=-≥⇒是等差数列03.证明数列是等比数列的充要条件的方法：{}1(00)n n na q q a a +=≠≠⇔1且为常数，a 为等比数列 04.证明数列是等比数列的充要条件的方法：1nn a q a -=（n>2，q 为常数且≠0）{}n a ⇒为等比数列 注意事项：用定义法时常采用的两个式子1n n a a d --=和1n n a a d +-=有差别，前者必须加上“2n ≥”，否则1n =时0a 无意义，等比中一样有：2n ≥时，有1nn a q a -==L （常数0≠）；②n *∈N 时，有1n na q a +==L （常数0≠）． 例1. 设数列12,,,,n a a a L L 中的每一项都不为0。
证明：{}n a 为等差数列的充分必要条件是：对任何n ∈N ，都有1223111111n n n na a a a a a a a +++++=L 。
证明：先证必要性设{}n a 为等差数列，公差为d ，则 当d =0时，显然命题成立当d ≠0时， ∵111111n n n n a a d a a ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭再证充分性：∵122334111a a a a a a ++⋅⋅⋅1111n n n na a a a ++++=⋅⋅L ………①∴122334111a a a a a a ++⋅⋅⋅11212111n n n n n n a a a a a a ++++++++=⋅⋅⋅L ………②②﹣①得：12121111n n n n n na a a a a a +++++=-⋅⋅⋅两边同以11n n a a a +得：112(1)n n a n a na ++=+- ………③ 同理：11(1)n n a na n a +=-- ………④ ③—④得：122()n n n na n a a ++=+即：211n n n n a a a a +++-=- {}n a 为等差数列例2. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试证}{n a 为等差数列的充要条件是)(,2)(*1N n a a n S n n ∈+=。
证：⇒）若}{n a 为等差数列，则=+=+=+--23121n n n a a a a a a ……，故)(.......)()(21221a a a a a a S n n n n ++++++=-2)(1n n a a n S +=（⇐）当n ≥2时，由题设，2)(,2))(1(1111n n n n a a n S a a n S +=+-=--所以2))(1(2)(11211--+--+=-=n n n n a a n a a n S S a 同理有2)(2))(1(1111n n n a a n a a n a +-++=++从而2))(1()(2))(1(111111-+++-++-++=-n n n n n a a n a a n a a n a a整理得：a n +1－a n =a n －a n －1，对任意n ≥2成立. 从而{a n }是等差数列.例3.已知数列{}n a 是等比数列（1q ≠-），n S 是其前n 项的和，则232k k k k k S S S S S --，，，…，仍成等比数列。
证明一：（1）当q =1时，结论显然成立；（2）当q ≠1时， ()()()2311123111,,111k k k k k k a q a q a q S S S q qq---===---()()21121111k k k k a q a q S S qq---=---()111k k a q q q -=-()()3211321111k k k k a q a q S S qq---=---()2111k k a q q q-=-()()22221221(1)k k k k a q q S S q -∴-=-()()2113211()11k k k k k k a q a q q S S S q q--⋅-=⋅--()222121(1)k k a q q q -=- ∴()22k k S S -=32()k k k S S S ⋅- ∴232k k k k k S S S S S --，，成等比数列.证明二：2k S －k S =1232()k a a a a +++L －123()k a a a a +++L =1232k k k k a a a a ++++++L =123()k k q a a a a +++L =k k q S 0≠ 同理，3k S －2k S =2122233k k k k a a a a ++++++L = 2k k q S 0≠ ∴232k k k k k S S S S S --，，成等比数列。
练习：二、中项法(1).(充要条件)若{}122n n n n a a a a ++=+⇔是等差数列(注：三个数c b a ,,为等差数列的充要条件是:c a b +=2)(充分条件)211-++=n n n a a a (2≥n ){}n a ⇒是等差数列，（2）.(充要条件)若 221(0)n n n n a a a a ++=≠ {}n a ⇔是等比数列(充分条件)112-+⋅=n n n a a a （n ≥1）{}n a ⇒是等比数列，注:(0)b a c =⋅>⇒是a 、b 、c 等比数列的充分不必要条件b =⇒是a 、b 、c 等比数列的必要不充分条件.(0)b a c =⋅>⇔是a 、b 、c 等比数列的充要条件.任意两数a 、c 不一定有等比中项，除非有ac ＞0，则等比中项一定有两个.三、通项公式与前n 项和法 1. 通项公式法（1）.若数列通项n a 能表示成n a an b =+（a b ，为常数）的形式， 则数列{}n a 是等差数列。
(充要条件)(2).若通项n a 能表示成n n a cq =(c q ，均为不为0的常数，n +∈N )的形式， 则数列{}n a 是等比数列．(充要条件) 2. 前n 项和法(1).若数列{}n a 的前n 项和S n 能表示成2n S an bn =+ (a ，b 为常数)的形式， 则数列{}n a 是等差数列；(充要条件)(2).若S n 能表示成n n S Aq A =-(A q ，均为不等于0的常数且q ≠1)的形式， 则数列{}n a 是公比不为1的等比数列． (充要条件)四、归纳—猜想---数学归纳证明法先根据递推关系求出前几项，观察数据特点，猜想、归纳出通项公式，再用数学归纳法给出证明。
这种方法关键在于猜想要正确，用数学归纳法证明的步骤要熟练，从“n k =时命题成立”到“1n k =+时命题成立”要会过渡． 五、反证法解决数学问题的思维过程，一般总是从正面入手，即从已知条件出发，经过一系列的推理和运算，最后得到所要求的结论，但有时会遇到从正面不易入手的情况，这时可从反面去考虑．六、等差数列与等比数列的一些常规结论 若数列{}n a 是公比为q 的等比数列（1）数列{}n a {}n a λ（λ为不等于零的常数）仍是公比为q 的等比数列； （2）若{}n b 是公比为q '的等比数列，则数列{}n n a b g 是公比为qq '的等比数列；（3）数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是公比为1q 的等比数列；（4）{}n a 是公比为q 的等比数列；（5）在数列{}n a 中，每隔()k k *∈N 项取出一项，按原来顺序排列，所得新数列仍为等比数列且公比为1k q +；（6）若()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等比数列； （7）232n n n n n S S S S S --，，均不为零时，则232n n n n n S S S S S --，，成等比数列； （8）若{log }b n a 是一个等差数列，则正项数列{}n a 是一个等比数列．若数列{}n a 是公差为d 等差数列，则（1）{}n ka b +成等差数列，公差为kd （其中0k k b ≠，，是实常数）； （2）(1){}n k kn S S +-，（k k ∈N ，为常数），仍成等差数列，其公差为2k d ；（3）若{}{}n n a b ，都是等差数列，公差分别为12d d ，，则{}n n a b ±是等差数列，公差为12d d ±；（4）当数列{}n a 是各项均为正数的等比数列时，数列{lg }n a 是公差为lg q 的等差数列； （5）()m n p m n p *∈N ，，，，成等差数列时，m n p a a a ，，成等差数列．作业。