深圳二模试卷 理科数学
深圳市2018年高三年级第二次调研考试
数学（理科）
第I卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分）
（1）设集合A={x|x−1<0}，集合B={ x|x2<4}，则A∩B=（）
（A）（-2,1）（B）（-∞，2）（C）（-∞，-2）（D）（-∞，1）∪（2，+∞）
（2）已知i为虚数单位，则复数z=|√3−i|
1+i
的共轭复数z̅为（）
（A）2+2i （B）2-2i （C）1+i （D）1-i
（3）某学校拟从甲、乙等5位同学中随机选派3人去参加国防教育活动，则甲、乙均被选中的概率为（）
（A）3
5（B）1
2
（C）2
5
（D）3
10
（4）设S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1=S3=3，则S4的值为（）（A）-3 （B）0 （C）3 （D）6
（5）已知点P（1，m）在椭圆x 2
4
+y2=1的外部，则直线y=2mx+√3与圆x2+y2=1的位置关系为（）
（A）相离（B）相交（C）相切（D）相交或相切
（6）如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
（A）2
3（B）1（C）4
3
（D）5
3
（7）九连环是我国一种传统的智力玩具，其构造如下图：
要将9个圆环全部从框架上解下（或套上），无论是哪种情形，都需遵守一定的规则，解下（或套上）全部9个圆环所需的最少移动次数可由右图所示的程序框图得到，执行该程序框图，则输出结果为（）
（A）170 （B）256 （C）341 （D）682
（8）已知椭圆x 2
4+m2+y2
m2
=1与双曲线x2
a2
−y2
b2
=1有共同的焦点，且其中的一个焦点F到双
曲线的两条渐近线的距离之和为2√3，则双曲线的离心率为（）
（A）2 （B）3 （C）2√3
3
（D）√3
（9）已知定义在R上的偶函数f（x）对任意实数x都有f（x-4）=f（x+4），当0≤x≤4时，f(x)=x2−2x，则f（x）在区间[12,16]上（）
（A）有最小值f（16）（B）有最小值f（15）
（C）有最小值f（13）（D）有最小值f（12）
（10）已知点P1，P2为曲线y=√2sinwx−coswx(x∈R)（常数w＞0）的两个相邻的对称中心，若该曲线在点P1，P2处的切线互相垂直，则w的值为（）
（A）√3
3（B）√2
2
（C）√2（D）√3
（11）如图，在四棱锥P-ABCD中，顶点P在底面的投影O恰为正方形ABCD的中心，且AB=√2.设点M、N分别为线段PD、PO上的动点。
已知当AN+MN取得最小值时，动点M恰为PD的中点，则该四棱锥的外接球的表面积为（）
（A）9π
2（B）16π
3
（C）25π
4
（D）64π
9
（12）已知对?n∈N∗，关于x的函数f n(x)=x+(1−a n)lnx(n<x<n+1)都不单调，其中a n(n=1,2,…,k,…)为常数，定义[x]为不超过实数x的最大整数，如[]=0，[π]=3.设b n= [√a n
3]，记数列{b n}的前n项和为S n，则S100的值为（）
（A）310 （B）309 （C）308 （D）307
第II卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分
（13）已知向量a=（-3,4），b=（-1，t），若a?b=|a|，则实数t= 。
（14）已知a＜0，实数x，y满足{x+1≥0
x+y+a≤0
x−y−2≤0
，若z=x+2y的最大值为5，则a= 。
（15）若(x−4
x
)n的展开式中各项系数的和为81，则该展开式中的常数项为。
（16）已知A、B、C为某信号（该信号的传播速度为1公里/秒）的三个接收站，其中A、B相距600公里，且B在A的正东方向；A、C相距600√3公里，且C在A的东偏北30°方向。
现欲选址兴建该信号的发射站T，若在T站发射信号时，A站总比B站要迟200秒才能接收到信号，则C站比A站最多迟秒可接收到该信号。
（A、B、C、T站均可视为同一平面上的点）
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
（17）（本小题满分12分）△ABC 的内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，B 为锐角，且acosB+bsinB=c ．
（1）求角C 的大小； （2）若B=
3
，延长线段AB 至点D ，使得CD=3，且△ACD 的面积为334，求线段BD
的长度．
（18）（本小题满分12分）如图，在三棱锥A-BCD 中，△ABD 和△BDC 均为等腰直角三
角形，且∠BAD=∠BDC=900
．已知侧面ABD 与底面BDC 垂直，点E 是AC 的中点，点F 是BD 的中点，点G 在棱BC 上，且BC=4BG ，点M 是AG 上的动点． （1）证明：BC ⊥MF ；
（2）当MF ∥平面ACD 时，求二面角G-MF-E 的余弦值．
（19）（本小题满分12分）为了缓解日益拥堵的交通状况，不少城市实施车牌竞价策略，以控制车辆数量。
某地车牌竞价的基本原则是：①“盲拍”，即所有参与竞拍的人都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道当期竞拍的总人数；②竞拍时间截止后，系统根据当期车牌配额，按照竞拍人的出价从高到低分配名额，某人拟参加2018年4月份的车牌竞价，他为了预测最低成交价，根据竞拍网站的公告，统计了最近5个月参与竞拍的人数（见下表）：
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞拍人数y （万人）与月份编号t 之
间的相关关系，请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：ˆˆˆy
bt a =+，并预测2018年4月份参与竞拍人数。
（2
）某市场调研机构对200位拟参加2018年4月份车牌竞拍人员的报价价格进行了一个（i ）求这200位竞拍人员报价X 的平均值x 和样本方差2s （同一区间的报价可用该区间的中点值代替）；
（ii ）假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布
N （μ，σ2），且μ与σ2可分别由（i ）中所求的样本平均数x 及2s 估值，若2018年4月份实际发放车牌数量为3174，请你合理预测（需说明理由）竞拍的最低成交价。
参考公式及数据：①回归方程ˆˆˆy
bx a =+，其中1
2
2
1
.ˆn
i i
i n
i
i x y nx y
b x
nx ==-=-∑∑，ˆˆa
y bx =-； ②
5
21
55i
i t
==∑，5
1
18.8i i i t y ==∑≈；
③若随机变量Z 服从正态分布 N （μ，σ2），则P （μ-σ＜μ+σ）=， P （μ-2σ＜μ+2σ）=， P （μ-3σ＜μ+3σ）=
（20）（本小题满分12分） 已知实数p >0,且过点M （0，-p
2
）的直线l 与曲线C:x 2=2py 交与A 、B 两点
（1）设O 为坐标原点，直线OA 、OB 的斜率分别为k 1、k 2，若k 1k 2=1，求p 的值 （2）设直线MT 1、MT 2与曲线C 分别相切于点T 1、T 2,点N 为直线 T 1T 2与弦AB 的交点，且MA=λ,MB=μ，证明：μ
λ
1
1
+
为定值
（21）（本小题满分12分）
已知函数f(x ）=xe ax .(其中常数e=…,是自然对数的底数）
（1）求函数f （x ）的极值
（2）当a =1时，若f （x ）-lnx-bx ≥1恒成立，求实数b 的取值范围
请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一题计分。
（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ=√3
1+2sin 2θ，点A （ρ1，π
2），B （ρ2，−π
2），以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系。
（1）在直角坐标系中，求曲线C 的参数方程；
（2）若点A 、B 在曲线C 上，且点M （异于A 、B 两点）为曲线C 上的动点，在直角坐标系中，设直线MA ，MB 在x 轴上的截距分别为a ，b ，求|a+b|的最小值。
（23） （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数f （x ）=a x -+a
a x 1
+
+（a ≠0） （1）证明：f （x ）≥22
（2）若f （2）≤3，求实数a 的取值范围。
广东省深圳中学高考数学二模试卷(理科)
（2）该旅游景点希望在人数达到20人时即不出现亏损，若用提高门票价格的措施，则每张门票至少要多少元（取整数）？注：①利润=门票收入-固定成本-变动成本；
②可选用数据： ， ， ．
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18.难度：中等
设函数 ，其中常数a∈R，e为自然对数的底数．
（1）若a=2求函数f（x）的图象在x=-1处的切线的方程；
广东省深圳中学高考数学二模试卷（理科）
一、选择题
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1.难度：中等
已知全集U={1，2，3，4，5，6}，集合A={1，3，5}，B={1，2}，则A∩（∁UB）（ ）
A．∅
B．{5}
C．{3}
D．{3，5}
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2.难度：中等
设直线l1与l2的方程分别为a1x+b1y+c1=0与a2x+b2y+c2=0，则“a1b2-a2b1=0”是“l1∥l2”的（ ）
（Ⅱ）当∠AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率；
（Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．
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20.难度：中等
已知二次函数f（x）=ax2+bx的图象过点（-4n，0），且f′（0）=2n，n∈N*．
（1）若数列{an} 满足 ，且a1=4，求数列{an} 的通项公式；
（2）若数列{bn}满足：b1=1， ，当n≥3，n∈N*时，求证：① ；② ．
（2）若函数f（x）的极大值为3，求a的值及f（x）的极小值．
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19.难度：中等
如图，已知抛物线C：y2=2px和⊙M：（x-4）2+y2=1，过抛物线C上一点H（x，y）（y≥1）作两条直线与⊙M相切于A、两点，分别交抛物线为E、F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为 ．
深圳市高三年级数学第二次调研考试
深圳市高三年级数学第二次调研考试（理科）本试卷共6页，21小题，满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损.2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上.不按要求填涂的，答案无效. 3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答.漏涂、错涂、多涂的答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回.参考公式：锥体的体积公式, 其中是锥体的底面积, 是锥体的高.一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．已知是虚数单位，则A．B．C．D．2．设集合且，，那么“”是“”的充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件3．已知，，，则的大小关系是4．某铁路客运部门规定甲、乙两地之间旅客托运行李的费用为：不超过按元/ 收费，超过的部分按元/ 收费.相应收费系统的流程图如右图所示，则①处应填5.已知一个四棱锥的高为，其底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图是一个边长为1的正方形, 则此四棱锥的体积为6.已知点在直线上移动,当取最小值时,过点引圆的切线,则此切线长等于7.已知定义在R上的奇函数的图象关于直线对称，则的值为－1 0 1 28.如图，三行三列的方阵中有9个数，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12题为必做题，每道试题考生都必须做答9.已知，则当取最大值时，=_____________.10.已知数列的前项和，则当时，=______.11．为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为，, 由此得到频率分布直方图如图,则由此估计该厂工人一天生产该产品数量在的人数约占该厂工人总数的百分率是.12.已知是抛物线和直线围成的封闭区域(包括边界)内的点，则的最小值为___________.（二）选做题：第13、14、15题为选做题，考生只能选做两题，三题全答的，只计算前两题的得分．13.设为正数,且则的最大值是___________.14.已知过曲线上一点P，原点为O，直线PO的倾斜角为，则点坐标是___________.15.如图, 是两圆的交点, 是小圆的直径, 和分别是和的延长线与大圆的交点,已知,且,则=___________.三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在△中，分别是内角的对边,且．(Ⅰ) 求；(Ⅱ) 求的长.17．（本小题满分12分）某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列；(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为（元），用表示，并求的数学期望.18．（本小题满分14分）如图一，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：（Ⅰ）求两点间的距离；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．19．（本题满分14分）已知是以点为圆心的圆上的动点，定点.点在上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；(Ⅱ)线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围.20．（本题满分14分）已知数列满足：，且（）．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求下表中前行所有数的和．21．（本题满分14分）已知函数(常数.(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．一、选择题：本大题每小题5分，满分40分．1 2 3 4 5 6 7 8C A A BD C A D二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分．9．．10．．11．52.5％．12．. 13．．14．．15．．三、解答题：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）在△中，分别是内角的对边,且．(Ⅰ) 求；(Ⅱ) 求的长.解：(Ⅰ)在中，.. …………………………2分从而…………………………6分∴……9分(Ⅱ)由正弦定理可得，17．（本小题满分12分）某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返回顾客现金100元．某顾客现购买价格为2300的台式电脑一台，得到奖券4张.(Ⅰ)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为，求的分布列；(Ⅱ)设该顾客购买台式电脑的实际支出为（元），用表示，并求的数学期望.解：(Ⅰ) 的所有可能值为0，1，2，3，4.…………………………1分，. …………………………4分其分布列为：0 1 2 3 4…………………………6分(Ⅱ) ，. …………………………8分由题意可知，…………………………10分元. …………………………12分18．如图一，平面四边形关于直线对称，．把沿折起（如图二），使二面角的余弦值等于．对于图二，完成以下各小题：（Ⅰ）求两点间的距离；（Ⅱ）证明：平面；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．（图一）（图二）解：（Ⅰ）取的中点，连接，由，得：就是二面角的平面角，…………………………2分又平面．…………………………8分（Ⅲ）方法一：由（Ⅰ）知平面平面∴平面平面…………………………10分平面平面，作交于，则平面，就是与平面所成的角，…………………………12分．…………………………14分方法二：设点到平面的距离为，∵…………………………10分…………………………12分于是与平面所成角的正弦为．…………………………14分方法三：以所在直线分别为轴，轴和轴建立空间直角坐标系，则．………10分设平面的法向量为n ，则n ，n ，取，则n ，----------12分于是与平面所成角的正弦即．…………………………14分19．(本题满分14分)已知是以点为圆心的圆上的动点，定点.点在上，点在上，且满足．动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；(Ⅱ)线段是曲线的长为的动弦，为坐标原点，求面积的取值范围.解：（Ⅰ）∴为的垂直平分线，∴,又………………………………3分∴动点的轨迹是以点为焦点的长轴为的椭圆.∴轨迹E的方程为………………………………………………………5分(Ⅱ) 解法一∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由，消去，并整理，得设，，则，…………………………………………8分…14分解法二：∵线段的长等于椭圆短轴的长，要使三点能构成三角形，则弦不能与轴垂直，故可设直线的方程为，由，消去，并整理，得设，，则，…………………………………………8分，. ……………………………………………………14分（注：上述两种解法用均值不等式求解可参照此标准给分）20．(本题满分14分)已知数列满足：，且（）．（Ⅰ）求证：数列为等差数列；（Ⅱ）求数列的通项公式；（Ⅲ）求下表中前行所有数的和．解：（Ⅰ）由条件，，得……………………………………2分∴数列为等差数列．……………………………………3分（Ⅱ）由（Ⅰ）得……………………………………4分∴……………………………………7分∴……………………………………8分（Ⅲ）( ) ………………………10分∴第行各数之和（）……………………12分∴表中前行所有数的和. ……………………14分21. (本题满分14分)已知函数(常数.(Ⅰ) 当时，求曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)讨论函数在区间上零点的个数（为自然对数的底数）.解：(Ⅰ)当时，. ………………………………………1分.又，∴曲线在点处的切线方程为.即. ………………………………………3分(Ⅱ)（1）下面先证明：．设，则，且仅当，所以，在上是增函数，故．所以，，即．………………………………………5分（2）因为，所以.因为当时，，当时， .又，所以在上是减函数，在上是增函数.所以，………………………………………9分（3）下面讨论函数的零点情况．①当，即时，函数在上无零点；②)当，即时，，则而，∴在上有一个零点；③当，即时，,由于，，，所以，函数在上有两个零点 (13)分综上所述，在上，我们有结论：当时，函数无零点；当时，函数有一个零点；当时，函数有两个零点. ………………………………14分解法二：(Ⅱ)依题意，可知函数的定义域为，. ………………………………………5分∴当时，，当时，.在上是减函数，在上是增函数.………………………………………6分设（，常数.∴当时，且仅当时，在上是增函数.∴当时，，∴当时，取，得由此得. ………………………………9分取得由此得. …………………………10分(1)当，即时，函数无零点；………………………11分(2)当，即时，，则而，∴函数有一个零点；………………………………12分(3)当，即时， .而，∴函数有两个零点. ………………………………………13分综上所述，当时，函数无零点，当时，函数有一个零点，当时，函数有两个零。
深圳市高三第二次调研考试（数学理）
主(正)视图左(侧)视图广东省深圳市 高三年级第二次调研考试数学试题（理科）本试卷共21小题，满分150分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0.5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损． 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：锥体的体积公式13V Sh =，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高．圆柱的侧面积2S rl π=，其中r 是圆柱的底面半径，l 是圆柱母线长．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设i 是虚数单位，则复数2i 1i +-()()在复平面内对应的点位于 （ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 2．若命题“p 或q ”与命题“非p ”都是真命题，则 （ ） A ．命题p 不一定是假命题 B ．命题q 一定是真命题 C ．命题q 不一定是真命题 D ．命题p 与命题q 同真同假3．在△ABC 中，若sin :sin :sin 3430A B C =ABC ∆是 （ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．不能确定4．直线:10l mx y m -+-=与圆C ：2215x y +-=()的位置关系是 （ ）A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定5．如图1，是一个空间几何体的三视图，其主(正)视图是一个边长为2的正三角形，俯视图是一 个斜边为2的等腰直角三角形，左(侧)视图是31的直角三角形，A B CD开始 结束Na b =a c >a c =输出aa b > YN输入a,b,c图2Y则此几何体的体积为 （ ） A 3 B ．1C 3D ．2 6．设0a >，0b >，则以下不等式中，不恒成立的是（ ）A ．114a b a b ++≥()()B ．22b ba a+>+C ．111a b a ba b a b+<+++++ D ．a b b a a b a b ≥7．已知a 是实数，则函数sin f x ax =()的导函数的图象可能是（ ）8．将长度为1的线段随机折成三段，则三段能构成三角形的概率是 （ ）A ．12 B ．13C ．14 D ．15二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．设全集}}{}{{23 23 2 3 5U U a a a A A =+-==，，，，，，则a 的值为 ． 10．在82x -()的展开式中，62x y 项的系数是 ．11．已知双曲线222210x y a b a b -=>>()的两条渐近线的夹角为3π，则双曲线的离心率为．12．给出以下一个算法的程序框图(图2)，如果sin2a =， 1.1log 0.9b =，0.91.1c =， 则输出的结果是 ．（注：框图中的的赋值符号“＝”也可以写成“←”或“：＝”） 13．设P 是边长为a 的正ABC ∆内的一点，P 点到三边的距离分别为123h h h 、、，则1233h h h =++；类比到空间，设P 是棱长为a 的空间正四面体ABCD 内的一点，E AB C D 图3 则P 点到四个面的距离之和1234h h h h +++= ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若圆C 的极坐标方程为24cos 103πρρθ---=()，若以极点为原点，以极轴为x 轴的正半轴建立相应的平面直角坐标系xOy 中，则在直角坐标系中，圆心C 的直角坐标是 ． 15．（几何证明选讲选做题） 如图3，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，以BC 为直径作半圆交 AB 于D ，过D 作半圆的切线交AC 于E ，若2AD =， AB 4DB =，则DE = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知()cos 3sin m x x =，()cos ,cos n x x =，设()f x m n =⋅． （1）求函数()f x 的最小正周期及其单调递增区间；（2）若b c 、分别是锐角ABC ∆的内角B C 、的对边，且62b c ⋅，()12f A =，试求ABC ∆的面积S ．17．（本小题满分12分）上海世博会深圳馆1号作品《大芬丽莎》是由大芬村507名画师集体创作的999幅油画组合而成的世界名画《蒙娜丽莎》，因其诞生于大芬村，因此被命名为《大芬丽莎》．某部门从参加创作的507名画师中随机抽出100名画师，测得画师年龄情况如下表所示．（1）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（图4），再根据频率分布直方图估计这507个画师中年龄在[)30,35岁的人数（结果取整数）；（2）在抽出的100名画师中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加上海世博会深圳馆志愿者活动，其中选取2名画师担任解说员工作，记这2名画师中“年龄低于30岁”的人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望． 分组（单位：岁）频数 频率[)20,25 5 0.050 [)25,30①0.200频率组距图418．（本小题满分14分）如图5，四边形ABCD 是圆柱OQ 的轴截面，点P 在圆柱OQ 的底面圆周上，G 是DP 的中点，圆柱OQ 的底面圆的半径2OA =，侧面积为83π，120AOP ∠=︒． （1）求证：AG BD ⊥；（2）求二面角P AG B --的平面角的余弦值．19．（本小题满分14分）设函数()()2ln 21f x x a x =-+(1,12x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，0a >)．（1）若函数()f x 在其定义域内是减函数，求a 的取值范围；（2）函数()f x 是否有最小值？若有最小值，指出其取得最小值时x 的值，并证明你的结论．[)30,35 35 ② [)35,40 30 0.300 []40,4510 0.100 合计1001.00OQDBCAGP ．图520．（本小题满分14分）已知抛物线C ：24x y =的焦点为F ，过点F 作直线l 交抛物线C 于A 、B 两点；椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，点F 是它的一个顶点，且其离心率3e =． （1）求椭圆E 的方程；（2）经过A 、B 两点分别作抛物线C 的切线1l 、2l ，切线1l 与2l 相交于点M ．证明：MF AB ⊥； （3） 椭圆E 上是否存在一点M '，经过点M '作抛物线C 的两条切线M A ''、M B ''（A '、B '为切点），使得直线A B ''过点F ？若存在，求出抛物线C 与切线M A ''、M B ''所围成图形的面积；若不存在，试说明理由．21．（本小题满分14分）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且n a 是n S 和2的等差中项． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）当1i j n ≤≤≤（,,i j n 均为正整数）时，求i a 和j a 的所有可能的乘积i j a a 之和n T ； （3）设212222*n n M n N T T T =+++∈()，求证：1324M ≤<．B FAM图6x y O参考答案说明：1、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．2、对于计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DBCAABCC二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题） 9． 2 ． 10．56． 11．233． 12． 1.1log 0.9(填b 也算对)．13．63a ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．3)． 153．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）(本题考查向量的数量积、两角和的正弦公式、三角形的面积公式、三角函数的性质等知识，考查化归转化的数学思想和运算求角能力) 解：由已知可知()2cos 3sin cos f x m n x x x =⋅=⋅ 1cos 2312sin 2262x x x π+⎛⎫==++ ⎪⎝⎭ . ……………3分 （1）()x f 的最小正周期是π. …………4分 由 222262k x k πππππ-≤+≤+( Z k ∈)，解得 36k x k ππππ-≤≤+(Z k ∈).所以()x f 的单调递增区间是 ,36k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(Z k ∈). …………7分（2）∵ ()21=A f ， 即212162sin =+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πA ，组距∴ 062sin =⎪⎭⎫⎝⎛+πA ， ∵ ABC ∆是锐角三角形. ∴02A π<<，∴72666A πππ<+<， ∴ ππ=+62A ，∴125π=A . …………9分 而 4266sin 4cos 6cos 4sin 64sin 125sin+=⋅+⋅=⎪⎭⎫⎝⎛+=πππππππ， ………11分 ∴11621sin 622242S b c A =⋅⋅=⋅⋅= . …………12分 17． (本小题满分12分)(本题主要考查频率分布表、直方图、分层抽样、分布列、期望等统计概率知识，考查学生运用所学知识解决实际应用问题的能力)解：（1）①处填20，②处填0.35；507个画师中年龄在[)35,30的人数为17750735.0≈⨯人……………3分补全频率分布直方图如图所示. …………6分（2）用分层抽样的方法，从中选 取20人,则其中“年龄低于30岁” 的有5人，“年龄不低于30岁” 的有15人。
广东省深圳市2021届高三数学第二次调研测试试题 理（深圳二模）(1)
广东省深圳市2021届高三4月第二次调研考试 数学（理科）一、选择题1.函数)1ln(+=x y 的概念域是A. )0,1(-B. ),0(+∞C. ),1(+∞-D. R2.方程014=-z 在复数范围内的根共有 A.1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个3.两条异面直线在同一个平面上的正投影不．可能是 A.两条相交直线 B.两条平行直线 C.两个点 D.一条直线和直线外一点4.在以下直线中，与非零向量),(B A n = 垂直的直线是A. 0=+By AxB. 0=-By AxC. 0=+Ay BxD. 0=-Ay Bx5.已知函数)(x f y =的图像与函数11+=x y 的图像关于原点堆成，那么=)(x f A. 11+x B. 11-x C. 11+-x D. 11--x 6.已知△ABC 中，C B C B A sin sin sin sin sin 222++=，那么=AA.6π B. 3π C. 32π D. 65π 7.已知不等式x x a y y 224+≤-+对任意实数y x ,都成立，那么常数a 的最小值为 A.1 B. 2 C. 3 D. 48.如图1，咱们明白，圆环也可看做线段AB 绕圆心O 旋转一周所形成的平面图形，又圆环的面积22)()(22r R r R r R S +⨯⨯-=-=ππ.因此，圆环的面积等于是以线段r R AB -=为宽，以AB 中点绕圆心O 旋转一周所形成的圆的周长22r R +⨯π为长的矩形面积.请将上述方式拓展到空间，并解决以下问题： 绕y 轴旋假设将平面区域d)r 0}()(|),{(222<<≤+-=其中r y d x y x M 转一周，那么所形成的旋转体的体积是A. d r 22πB. d r 222π C. 22rd π D. 222rd π二、填空题(一)必做题:9.如图2，在独立性查验中，依照二维条形图回答，抽烟与患肺病 （填“有”或“没有”）. 10.在4)32(+x 的二项展开式中，含3x 项的系数是 .PB11.以抛物线x y 42=的核心为极点，极点为中心，离心率为2的双曲线方程是 .12.设变量y x ,知足⎩⎨⎧≤+≤≤110y y x ，那么y x +的取值范围是 .13.在程序中，RND x =表示将运算机产生的[0,1]区间上的均匀随机数赋给变量x .利用图3的程序框图进行随机模拟，咱们发觉：随着输入N 值的增加,输出的S 值稳固在某个常数上.那个常数是 .(要求给出具体数值) 注:框图中的“=”,即为“←”或为 “:=”.(二)选做题:14.(坐标系与参数方程选做题)极坐标系中,B A ,别离是直线05sin 4cos 3=+-θρθρ和圆θρcos 2=上的动点,那么B A ,两点之间距离的最小值是 .15.(几何证明选讲选做题)如图4,△OAB 是等腰三角形,P 是底边AB延长线上一点,且4,3=•=PB PA PO ,那么腰长OA= .三、解答题:16.(本小题总分值12分)已知函数)6cos(sin )(πωω++=x x x f ,其中R x ∈,ω为正常数. (1) 当2=ω时,求)3(πf 的值; (2) 记)(x f 的最小正周期为T ,假设1)3(=πf ,求T 的最大值. 17.( 本小题总分值12分)某班联欢晚会玩飞镖抛掷游戏,规那么如下:每人持续抛掷5支飞镖,积存3支飞镖掷中目标即可获奖;不然不获奖.同时要求在以下两种情形下中止抛掷:①积存3支飞镖掷中目标;②积存3支飞镖没有掷中目标.已知小明同窗每支飞镖掷中目标的概率是常数)5.0(>p p ,且掷完3支飞镖就中止抛掷的概率为31. (1) 求p 的值； (2) 记小明终止游戏时，抛掷的飞镖支数为X ，求X 的散布列和数学期望.18.( 本小题总分值14分)如图5,已知△ABC 为直角三角形,∠ACB 为直角.以AC 为直径作半圆O,使半圆O 所在平面⊥平面ABC,P 为半圆周异于A,C 的任意一点.(1) 证明:AP ⊥平面PBC(2) 假设PA=1,AC=BC=2,半圆O 的弦PQ ∥AC,求平面PAB 与平面QCB 所成锐二面角的余弦值.19.( 本小题总分值14分)设等差数列}{n a 的公差为d ,n S 是}{n a 中从第12-n 项开始的持续12-n 项的和,即(1) 若1S ,2S ,3S 成等比数列,问:数列}{n S 是不是成等比数列?请说明你的理由;(2) 若04151>=d a ,证明:*),14121(981111321N n d S S S S n n ∈+-≤++++ . 20.( 本小题总分值14分)已知a 为正常数,点A,B 的坐标别离是)0,(),0,(a a -,直线AM,BM 相交于点M,且它们的斜率之积是21a -. (1) 求懂点M 的轨迹方程,并指出方程所表示的曲线;(2) 当2=a 时,过点)0,1(F 作直线AM l ∥,记l 与(1)中轨迹相交于两点P,Q,动直线AM 与y 轴交与点N,证明AN AM PQ为定值.21.( 本小题总分值14分)设f （x ）是概念在［a ，b ］上的函数，假设存在c (,)a b ∈，使得f （x ）在［a ，c ］上单调递增，在［c ，b ］上单调递减，那么称f （x ）为［a ，b ］上单峰函数，c 为峰点。
【附15套精选模拟试卷】广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研(二模)理科数学试卷含解析
广东省深圳市2020届高三下学期第二次调研（二模）理科数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()(1cos )cos tan 2xf x x x =+，那么下列说法正确的是（） A ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为π B ．函数()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π C ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，且最小正周期为π D ．函数()f x 在3,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，且最小正周期为2π2．等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程2410x x -+=的两根，则13S = （） A ．21B ．24C ．25D ．263．Rt ABC ∆的斜边AB 等于4，点P 在以C 为圆心、1为半径的圆上，则PA PB ⋅u u u r u u u r的取值范围是（ ） A ．35,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．55,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[3,5]-D ．123,123⎡⎤-+⎣⎦ 4．如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.95．下图是古希腊数学家阿基米德用平衡法求球的体积所用的图形.此图由正方形ABCD 、半径为r 的圆及等腰直角三角形构成，其中圆内切于正方形，等腰三角形的直角顶点与AD 的中点N 重合，斜边在直线BC 上.已知S 为BC 的中点，现将该图形绕直线NS 旋转一周，则阴影部分旋转后形成的几何体积为（ ）A ．323r πB ．3r πC ．32r πD ．3103r π6．已知函数22(1)()x x e x g x e-=，若实数m 满足515(log )(log )2(2)g m g m g -≤，则m 的取值范围是（ ） A ．(0,25] B ．[5,25] C ．[25,)+∞ D ．1[,5]57．函数f(x)＝x a 满足f(2)＝4，那么函数g(x)＝|log a (x ＋1)|的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，115a =，且满足112325n na a n n +=+--，已知,n m *∈N ，n m >，则n m S S -的最小值为（ ）A ．14-B ．498-C ．494-D ．28-9．已知圆柱的上、下底面的中心分别为1O ，2O ，过直线12O O 的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为 A ．122π B ．12π C ．82πD ．10π10．有如下命题：①函数y=sinx 与y=x 的图象恰有三个交点；②函数y=sinx 与x 点；③函数y=sinx 与y=x 2的图象恰有两个交点；④函数y=sinx 与y=x 3的图象恰有三个交点，其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．411．某学校要将4名实习教师分配到3个班级，每个班级至少要分配1名实习教师，则不同的分配方案有（ ）A ．24种B ．36种C ．48种D ．72种12．不等式10x x->成立的充分不必要条件是（ ） A ．1x >B ．1x >-C ．1x <-或01x <<D ．10x -<<或1x >二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
【附15套精选模拟试卷】广东省深圳市2020届高三第二次调研考试数学(理)试题含解析
广东省深圳市2020届高三第二次调研考试数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将5名教师分配到甲、乙、丙三所学校任教，其中甲校至少分配两名教师，其它两所学校至少分配一名教师，则不同的分配方案共有几种（ ） A ．60B ．80C ．150D ．3602．一个多面体的三视图如图所示，设在其直观图中，是的中点，则三棱锥的高为（ ）A ．B ．C ．D ．3．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题中正确的是 A ．n αβ=I ，m α⊂，//m β//m n ⇒ B ．αβ⊥，m αβ=I ，m n ⊥n β⇒⊥ C ．m n ⊥，m α⊂，n β⊂αβ⇒⊥ D ．//m α，n ⊂α，//m n ⇒4．设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且0)2(=f ,当0>x 时，有2()()xf x f x x'-<恒成立，则不等式2()0x f x >的解集是（ ） A ．(2,0)-∪(2,)+∞ B ．(,2)-∞-∪(0,2) C ．(,2)-∞-∪(2,)+∞ D ．(2,0)-∪(0,2)5．若对圆()()22111x y -+-=上任意一点(),P x y ， 34349x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4a ≤- B ．46a -≤≤C ．4a ≤-或6a ≥D ．6a ≥6．已知圆22:8150C x y x +-+=，直线2y kx =+上至少存在一点P ，使得以点P 为原心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（）A．43-B．54-C．35-D．53-7．某快递公司的四个快递点,,,A B C D呈环形分布（如图所示），每个快递点均已配备快递车辆10辆．因业务发展需要，需将,,,A B C D四个快递点的快递车辆分别调整为5,7,14,14辆，要求调整只能在相邻的两个快递点间进行，且每次只能调整1辆快递车辆，则A．最少需要8次调整，相应的可行方案有1种B．最少需要8次调整，相应的可行方案有2种C．最少需要9次调整，相应的可行方案有1种D．最少需要9次调整，相应的可行方案有2种8．已知复数23(13)izi+=-，z是z的共轭复数，则•z z=A．14B．12C．1 D．29．已知数列n a｛｝是等差数列，12a=，其中公差0d≠.若5a是3a和8a的等比中项，则18S=( ) A．398 B．388 C．189 D．19910．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）A．836πB．16833πC．3236π+D2s gLπ11．假设有两个分类变量X和Y的22⨯列联表如下：注：2K 的观测值2()()()()()()()n ad bc a b a ck n a b c d a c b d a c b d a b c d-==--++++++++.对于同一样本，以下数据能说明X 和Y 有关系的可能性最大的一组是（ ） A ．45,15a c ==B ．40,20a c ==C ．35,25a c ==D ．30,30a c ==12．函数()f x 是定义在R 上的奇函数，对任意两个正数()1212,,x x x x <，都有()()1212f x f x x x >，记()2250.2a f =，()1b f =，513log 3log 5c f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则,,a b c 大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．a c b >>二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科) (含答案解析)
2020年广东省深圳市高考数学二模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足(1+i)·z=3−i，则|z|=()A. 5B. 3C. √5D. √32.已知集合A={1,2}，B={x|x=mn.m∈A,n∈A}，则()A. A∩B=BB. A∩B=⌀C. A∪B⊆AD. A⊆B3.已知直线m⊥平面α，则“直线n⊥m”是“n//α”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为√5，则C的渐近线方程为()A. y=±2xB. y=±12x C. y=±13x D. y=±14x5.已知y=f(x)是定义在R上的函数，且f(x+4)=−f(x)，如果当x∈[−4,0)时，f(x)=3−x，则f(985)=()A. 27B. −27C. 9D. −96.x1，x2…x n的平均数为x，方差为S2，则数据3x1+5，3x2+5，…，3x n+5的方差是()A. S2B. 3S2C. 9S2D. 9S2+30S+257.设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=5，S6=15，则S9=()A. 35B. 30C. 25D. 158.函数f(x)=sinx⋅2x−12x+1部分图像大致为()A.B.C. D.9. 已知F 是椭圆C ：x 23+y 22=1的右焦点，P 为椭圆C 上一点，A(1,2√2)，则|PA|+|PF|的最大值为( ) A. 4+√2 B. 4√2 C. 4+√3 D. 4√310. 下面图1是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图．其阴离子排列如图2所示，图2中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =A. 32B. 28C. 26D. 24 11. 已知数列{a n }的通项公式a n =n−√98n−√99(n ∈N ∗)，则数列{a n }的前30项中最大项为( ) A. a 30B. a 10C. a 9D. a 1 12. 已知ω>0，|φ|<π2，若x =π6和x =7π6是函数f(x)=cos(ωx +φ)的两个相邻的极值点，将y =f(x)的图象向左平移π6个单位得到函数y =g(x)的图象，则下列说法正确的是( )A. y =g(x)是奇函数B. y =g(x)的图象关于点(−π2,0)对称C. y=g(x)的图象关于直线x=π2对称D. y=g(x)的周期为π二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.(1)曲线y=−5e x+3在点(0,−2)处的切线方程为________．(2)已知函数f(x)=xln x，若直线ι过点(0,−1)，并且与曲线y=f(x)相切，则直线ι的方程为________．14.若x，y满足约束条件{x−1≥0x−y≤0x+y−4≤0.则yx的最大值为______．15.某志愿者小组共有高一学生4名，高二5名，高三7名，若各年级各选1人参加青奥会志愿者活动，有________种不同的选法．16.如图，在直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD//BC，AB=BC=12AD=1，点E是线段CD上异于点C，D的动点，EF⊥AD于点F，将沿EF折起到的位置，并使PF⊥AF，则五棱锥P−ABCEF的体积的取值范围为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，D是BC的边上的点，cos∠BAD=35,cos∠ADC=−√55．(1)求sin B的值；(2)若BD=2DC=2，求AC的长．18.如图，三棱柱ABC−A1B1C1中，底面ABC为等腰直角三角形，AB=AC=1，BB1=2，B1C=2，∠ABB1=60°．(1)证明：AB1⊥平面ABC．(2)求AC1与平面BCB1所成角的正弦值．19.如图，直角坐标系中，圆的方程为x2+y2=1,A(1,0),B(−12,√32),C(−12,−√32)为圆上三个定点，某同学从A点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P n(A)，P n(B),P n(C).例如：掷骰子一次时，棋子移动到A，B，C处的概率分别为P1(A)=0,P1(B)=12,P1(C)=12．(1)分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A，B，C处的概率；(2)掷骰子N次时，若以X轴非负半轴为始边，以射线OA，OB，OC为终边的角的余弦值记为随机变量X n，求X4的分布列和数学期望；(3)记P n(A)=a n,P n(B)=b n,P n(C)=c n，其中a n+b n+c n=1.证明：数列{b n−13}是等比数列，并求a2020．20.已知抛物线C:y2=2px(p>0)．(1)已知直线l:2x−y+2=0与抛物线C相切，求抛物线的方程；(2)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F作直线l′交抛物线于A，B两点，AB的中点为E，以E为圆心，AB为直径作圆E，设E与y轴交于点M，N，求的最大值．21.已知函数f(x)=(ax−1)e x，a∈R，e是自然对数底数．(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的极值；(Ⅱ)若函数f(x)在区间(0,1)上是单调增函数，求实数a的取值范围．22.椭圆规是用来画椭圆的一种器械，它的构造如图所示，在一个十字形的金属板上有两条互相垂直的导槽，在直尺上有两个固定的滑块A，B，它们可分别在纵槽和横槽中滑动，在直尺上的点M处用套管装上铅笔，使直尺转动一周，则点M的轨迹C是一个椭圆，其中|MA|=2，|MB|=1，如图，以两条导槽的交点为原点O，横槽所在直线为x轴，建立直角坐标系．(1)将以射线Bx为始边，射线BM为终边的角xBM记为φ(0≤φ<2π)，用φ表示点M的坐标，并求出C的普通方程；(2)已知过C的左焦点F，且倾斜角为α(0≤α<π2)的直线l1与C交于D，E两点，过点F且垂直于l1的直线l2与C交于G，H两点．当1|FE|，|GH|，1|FD|依次成等差数列时，求直线l2的普通方程．23.设函数f(x)=|x|．(1)设f(x−1)+f(x+2)<4的解集为A，求集合A；(2)已知m为(1)中集合A中的最大整数，且a+b+c=m(其中a，b，c均为正实数)，求证：1−a a ⋅1−bb⋅1−cc≥8．。
2020年6月广东省深圳市普通高中2020届高三下学期调研考试(二)(二模)数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省深圳市普通高中2020届高三毕业班下学期第二次调研考试(二模)理科数学试题(解析版)2020年6月一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设z 21(1)i i +=-,则|z |＝（ ）A. 12 C. 1【答案】B【解析】【分析】把已知等式变形,再由商的模等于模的商求解即可.【详解】解：∵z 211(1)2i i i i++==--,∴|z |＝|12i i+-|122i i +==-. 故选：B.【点睛】本题考查复数模的求法,考查数学转化思想方法,是基础题.2.已知集合{}|2x A y y ==,{}2|320B x x x =-+≤则（ ） A. A B =∅B. A B R =C. A B ⊆D. B A ⊆【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的值域化简集合A 的表示,解一元二次不等式化简集合B 的表示,最后根据集合的交集和并集的定义、子集的定义进行判断即可.【详解】因为{}{}|2|0x A y y y y ===>,{}{}2|320|12B x x x x x =-+≤=≤≤, 所以{}|12A B x x =≤≤≠∅,故选项A 不正确；{}|0y y A B R =>≠,故选项B 不正确；根据子集的定义有B A ⊆.故选：D【点睛】本题考查了集合交集、并集的运算,考查了子集的定义,考查了指数函数的值域,考查了解一元二次不等式,考查了数学运算能力.3.设α为平面,m ,n 为两条直线,若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分性和必要性的定义,结合线面垂直的性质进行判断即可.【详解】当m α⊥时,如果m n ⊥,不一定能推出n ⊂α,因为直线n 可以在平面α外,当m α⊥时,如果n ⊂α,根据线面垂直的性质一定能推出m n ⊥,所以若m α⊥,则“m n ⊥”是“n ⊂α”的必要不充分条件.故选：C【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断,考查了线面垂直的性质,考查了推理论证能力.4.已知双曲线C ：22221y x a b -=（0a >,0b >）的两条渐近线互相垂直,则C 的离心率为（ ）B. 2 D. 3。
2023年广东省深圳市高考数学二模试卷【答案版】
2023年广东省深圳市高考数学二模试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A ＝{2，0}，B ＝{2，3}，则∁A ∪B （A ∩B ）＝（ ） A ．{0}B ．{2}C ．{3}D ．{0，3}2．已知函数f(x)={3x ，x ≤1，log 3x ，x ＞1，则f （f （2））＝（ ）A ．2B ．﹣2C ．12D ．−123．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝20，S 20＝10，则S 30＝（ ） A ．0B ．﹣10C ．﹣30D ．﹣404．设表面积相等的正方体、正四面体和球的体积分别为V 1、V 2和V 3，则（ ） A ．V 1＜V 2＜V 3B ．V 2＜V 1＜V 3C ．V 3＜V 1＜V 2D ．V 3＜V 2＜V 15．已知△OAB 中，OC →=CA →，OD →=2DB →，AD 与BC 相交于点M ，OM →=xOA →+yOB →，则有序数对（x ，y ）＝（ ） A ．（12，13）B ．（13，12）C ．（12，14）D ．（14，12）6．从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（ ） A ．13B ．23C ．49D ．597．设椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)）的左、右焦点分别为F 1，F 2，直线l 过点F 1.若点F 2关于l 的对称点P 恰好在椭圆C 上，且F 1P →⋅F 1F 2→=12a 2，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．23C ．12D ．258．已知ε＞0，x ，y ∈(−π4，π4)，且e x +εsin y ＝e y sin x ，则下列关系式恒成立的为（ ） A ．cos x ≤cos yB ．cos x ≥cos yC ．sin x ≤sin yD ．sin x ≥sin y二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年广东省深圳市龙华区中考二模数学试题(解析版)
龙华区2023-2024学年第二学期九年级调研测试试题数学试卷说明：1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好．2．全卷共6页，考试时间90分钟，满分100分．3．作答选择题1~10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，作答非选择题11~22，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内，写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效．4．考试结束后，请将答题卡交回．第一部分（选择题，共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的）1. 为打造极具辨识度的城市环保新名片，深圳市清洁能源环卫作业车辆的外观、标识正逐步改为统一标准．下列四个图标是深圳环卫车身上的环保符号，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解．【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．2. 深圳图书馆北馆是深圳首批建设并完工的新时代重大文化设施，其建筑面积约7.2万平方米，设计藏书量800万册，其中800万用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，解题关键是确定a 和n ．根据科学记数法定义进行表示即可得到答案．【详解】解：∵800万，∴科学记数法表示：，故选：C ．3. 下列运算正确是（ ）A. B. C. D. 【答案】D 【解析】【分析】本题考查了合并同类项，整式乘法以及完全平方公式，平方差公式，熟记相关公式与运算法则是解答本题的关键，分别根据合并同类项法则，单项式乘以多项式运算法则，以及完全平方公式、平方差公式逐一判断即可．【详解】A 、，故本选项不合题意； B 、，故本选项不符合题意；C 、，故本选项不符合题意；D 、，故本选项符合题意；故选：D ．4. 小文根据“赵爽弦图”设计了一个如图所示的的正方形飞镖盘，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）为的2810⨯5810⨯6810⨯70.810⨯10n a ⨯110a ≤<8000000=68.010⨯224m m m +=()11m n mn +=+()222m n m n +=+()()22m n m n m n+-=-22242m m m m +=≠()11m n mn m mn +=+≠+()222222m n m mn n m n +=++≠+()()22m n m n m n +-=-33⨯A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】此题主要考查了几何概率问题，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比．根据概率公式直接求解即可．【详解】解：∵阴影部分的面积占总面积的，∴飞镖落在阴影区域的概率为．故选：B ．5. 一元一次不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ）A. B. C. D.【答案】A 【解析】【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：由得：，由得：，则不等式组的解集为，故选：A ．6. 某一时刻在阳光照射下，广场上的护栏及其影子如图1所示，将护栏拐角处在地面上的部分影子抽象成图2，已知，，则的大小为（ ）1349592349491024x x +≥⎧⎨<⎩10x +≥1x ≥-24x <2x <12x -≤<22MAD ∠=︒23FCN ∠=︒ABC ∠A. B. C. D. 【答案】B 【解析】【分析】本题考查平行投影，熟练掌握平行投影的性质是解题的关键．根据平行线的性质及角的和差即可求得．【详解】解：∵某一时刻在阳光照射下，，且，，∴，，∴．故选：B ．7. 数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．设第一次分钱的人数为x 人，则可列方程为（ ）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】设第一次分钱的人数为x 人，则第二次分钱的人数为（x +6）人，根据两次每人分得的钱数相同，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【详解】解：设第一次分钱的人数为x 人，则第二次分钱的人数为（x +6）人，依据题意，可得．故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．8. 数学活动课上，小亮同学用四根相同的火柴棒，，，在桌面上摆成如图所示的图形，其中点A ，C ，E 在同一直线上，，若，则点B ，D 到直线的距离之和为（ ）44︒45︒46︒47︒AD BE FC ∥∥22MAD ∠=︒23FCN ∠=︒22MAD ABE ∠=∠=︒23EBC FCN ∠=∠=︒45ABC ABE EBC ∠=∠+∠=︒10406x x =-40106x x =-10406x x =+40106x x =+10406x x =+AB BC CD DE BC CD ⊥10AE =AEA. 5B.C.D. 10【答案】A 【解析】【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，点到直线的距离，过于M ，于N ，由等腰三角形的性质推出，，由余角的性质推出，由证明，得到，，于是得到．【详解】解：过于M ，于N ，∵，∴，同理：，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∵，∴，∴，，∴，∴点B ，D 到直线的距离之和为5．故选：A ．9.小明在科普读物中了解到：每种介质都有自己的折射率，当光从空气射入该介质时，折射率为入射角正BM AE ⊥DN AE ⊥12CM AC =12CN CE =DCN CBM ∠=∠AAS DCN CBM ≌DN CM =BM CN =()111105222BM DN CM CN AC CE AE +=+=+==⨯=BM AE ⊥DN AE ⊥AB BC =12CM AC =12CN CE =BC CD ⊥90BCD ∠=︒1809090DCN BCM ∠+∠=︒-︒=︒90BCM CBM ∠+∠=︒DCN CBM ∠=∠90DNC BMC ∠=∠=︒DC BC =()AAS DCN CBM ≌DN CM =BM CN =()111105222BM DN CM CN AC CE AE +=+=+==⨯=AE弦值与折射角正弦值之比，即折射率（为入射角，为折射角）．如图，一束光从空气射向横截面为直角三角形的玻璃透镜斜面，经折射后沿垂直边的方向射出，已知，，，则该玻璃透镜的折射率为（ ）A. B. C. D. 【答案】C 【解析】【分析】本题考查了三角函数，余角性质，利用余角性质可得，进而得，再根据折射率计算即可求解，由余角性质推导出是解题的关键．【详解】解：由题意可得，，∵光线经折射后沿垂直边的方向射出，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故选：．10. 如图，在菱形中，，E 是对角线上一点，连接，作交sin sin in r=i r AC 30i =︒15cm AB =5cm =BC n 1.8 1.6 1.5 1.4r A ∠=∠1sin sin 3r A ==sin sin in r=r A ∠=∠190r ∠+∠=︒AC 190A ∠+∠=︒r A ∠=∠90C ∠=︒51sin 153BC A AB ===1sin sin 3r A ==30i =︒1sin sin 302i =︒=1sin 21.51sin 3i n r ===C ABCD 60ABC ∠=︒AC BE 120BEF ∠=︒边于点F，若，则的值为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，由菱形的性质推出，，判定，是等边三角形，得到，，求出，而，得到，即可证明，推出，令，则，得出，得到，即可求出答案．【详解】解：∵四边形是菱形，∴，，∴，是等边三角形，∴，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，CD 12AE EC =DF FC4354AB BC CD AD ===60D ABC ∠=∠=︒ABC ACD 60BCE ACD ∠=∠=︒BC AC =18060120CBE BEC ∠+∠=︒-︒=︒120CEF BEC ∠+∠=︒CEF CBE ∠=∠CEF CBE ∽△△::CF CE CE BC =AE x =2EC x =43CF x =45333DF x x x =-=ABCD AB BC CD AD ===60D ABC ∠=∠=︒ABC ACD 60BCE ACD ∠=∠=︒BC AC =18060120CBE BEC ∠+∠=︒-︒=︒120BEF ∠=︒120CEF BEC ∠+∠=︒CEF CBE ∠=∠ECF BCE ∠=∠CEF CBE ∽△△∴，∵，∴令，则，∴，∴，∴，∴，∴，∴．故选：D ．第二部分（非选择题，共70分）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11. 化简分式：＝___．【答案】1【解析】【分析】利用同分母分式的加减法则计算即可求出值．【详解】解：原式，，，．故答案为：1．【点睛】此题考查了分式加减法，解题的关键熟练掌握分式的加减法的运算法则．12. 若a 是一元二次方程的一个根，则的值是___________．【答案】6【解析】【分析】将a 代入，即可得出，再把整体代入，即可得的::CF CE CE BC =12AE EC =AE x =2EC x =23AC x x x =+=3BC AC x ==:22:3CF x x x =43CF x =45333DF x x x =-=54DF FC =1211x x x-+++1211x x x -=+++121x x -+=+11x x +=+1=2230x x +-=224a a +2230x x +-=223a a +=223a a +=224a a +出答案．【详解】∵a 是一元二次方程的一个根，∴，∴，∴，故答案为：6．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的定义，整体思想是本题的关键．13. 如图，点A ，B ，C 在⊙上，平分，若，则____°．【答案】70【解析】【分析】本题考查圆周角定理及其推论，解答中涉及角平分线定义，三角形外角的性质，能准确作出辅助线，掌握圆周角定理及其推论是解题的关键．延长交于点E ，连接，由已知条件求出，由角平分线定义，可得到，最后根据“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可求出的度数．【详解】解：延长交于点E ，连接，则，∵，∴，∴，∵平分，∴，∴，2230x x +-=2230a a +-=223a a +=()222422236a a a a +=+=⨯=O AC OAB ∠40OAB ∠=︒CBD ∠=AO O BE 50C E ∠=∠=︒1202CAB OAB ∠=∠=︒CBD ∠AO O BE 90ABE ∠=︒40OAB ∠=︒9050E OAB ∠=︒-∠=︒50C E ∠=∠=︒AC OAB ∠1202CAB OAB ∠=∠=︒205070CBD CAB C ∠=∠+∠=︒+︒=︒故答案为：70．14. 如图1是某种呼气式酒精测试仪的电路原理图，电源电压保持不变，为气敏可变电阻，定值电阻．检测时，可通过电压表显示的读数换算为酒精气体浓度，设，电压表显示的读数与之间的反比例函数图象如图2所示，与酒精气体浓度的关系式为，当电压表示数为时，酒精气体浓度为______．【答案】##0.5【解析】【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的实际应用等知识．先求出与之间的反比例函数为，再根据求出，代入即可求出．【详解】解：设电压表显示的读数与之间的反比例函数为，∵反比例函数图象经过点，∴，∴与之间的反比例函数为，当时，∵，，∴，把代入得，解得．故答案为：,1R 030R =Ω()U V ()3mg /m p 10R R R =+()U V ()ΩR 1R p 16060R p =-+ 4.5V 3mg m 12()U V ()ΩR 270U R =10R R R =+130R =Ω16060R p =-+12p =()U V ()ΩR kU R=()45,6645270k =⨯=()U V ()ΩR 270U R=4.5V =270604.5R ==Ω10R R R =+030R =Ω10603030R R R =-=-=Ω130R =Ω16060R p =-+306060p =-+12p =1215. 如图，在矩形中，，P 是边上一点，将沿折叠，若点D 的对应点E 恰好是的重心，则的长为_______．【答案】【解析】【分析】此题主要考查了矩形的性质，三角形的重心，图形的折叠变换及其性质，勾股定理，延长交于F ，在的延长线上取一点H ，使，连接，，，连接并延长交于点T ，连接，由折叠的性质得P ，，根据点E 是的重心，得是边上的中线，是边上的中线，则，，先证四边形是平行四边形得，进而得是的中位线，则，进而得，在中，由勾股定理得，再判定，得，进而得【详解】解：延长交于F ，在的延长线上取一点H ，使，连接，，，连接并延长交于点T ，连接，如下图所示：∵四边形为矩形，，∴，，，由折叠的性质得：，，，∵点E 是的重心，∴是边上的中线，是边上的中线，即，，又∵，ABCD 6AB =AD PCD CP ABC PD CE AB EF FH FE =AH BH PF AE BC BE PD PE =6CE CD ==ABC AT BC CF AB 132AF BF AB ===CT BT =AEBH BH AE ∥ET CBH 6EH CE ==3FH FE ==Rt BCF BC ==()Rt Rt HL PAF PEF ≌PA PE =12PD PA AD ===CE AB EF FH FE =AH BH PF AE BC BE ABCD 6AB =90BAD D ∠=∠=︒6CD AB ==AD BC =PD PE =6CE CD ==90PEC D ∠=∠=︒ABC AT BC CF AB 132AF BF AB ===CT BT =FH FE =∴四边形是平行四边形，∴，即，∴，∵，∴，∴是的中位线，∴，∴，∴，在中，由勾股定理得：，∴，∵，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∴故答案为：三、解答题（本题共7小题，共55分）16. 计算：．【答案】【解析】【分析】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算．先AEBH BH AE ∥BH ET ∥CT CE BT EH=CT BT =CE EH =ET CBH 6EH CE ==3FH FE ==639CF CE FE =+=+=Rt BCF BC ==AD BC ==3FE =3AF =AF FE =90PEC ∠=︒90BAD ∠=︒90BAD PEF ∠=∠=︒Rt PAF △Rt PEF △AF FE PF PF =⎧⎨=⎩()Rt Rt HL PAF PEF ≌PA PE =12PD PA AD ===()10120242cos 602π-⎛⎫-+︒ ⎪⎝⎭计算零次幂、负整数指数幂、算术平方根和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．【详解】解：原式．17. 如图，在平面直角坐标系中，将直线向右平移5个单位长度得到直线．（1）直接画出直线；（2）的解析式为______；（3）直线与之间的距离为______个单位长度．【答案】（1）见解析（2） （3【解析】【分析】（1）根据平移的性质画出直线；（2）利用平移的规律求得直线的解析式；（3）根据三角形面积公式即可得到结论．【小问1详解】如图，112422=+-+⨯341=-+0=11:22l y x =+2l 2l 2l 1l 2l 1122y x =-2l 2l【小问2详解】将直线向右平移5个单位长度得到直线为；故答案为：；【小问3详解】如图，过O 作于C ，反向延长交于D ，∵与x 轴交于，与y 轴交于，与x 轴交于，与y 轴交于，∵，∴，∵，∴∵，，11:22l y x =+2l ()11152222y x x =-+=-1122y x =-OC AB ⊥OC EF 122y x =+()4,0A -()0,2B 1122y x =-()1,0E 10,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭AB EF ∥CD EF ⊥4,2OA OB =====AB 1OE =12OF =∴∵，∴，∵，∴，∴∴直线与【点睛】此题考查了一次函数图象与几何变换，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，正确把握变换规律是解题关键．18. 随着人们环保意识的增强，电动汽车作为一种绿色交通工具越来越受到消费者的青睐．小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为．该汽车租赁公司有A ，B ，C 三种型号纯电动汽车，每天的租金分别为300元/辆，380元/辆，500元/辆．为了选择合适的型号，小明对三种型号的汽车满电续航里程进行了调查分析，过程如下：【整理数据】EF ===1122EF OD OE OF ⋅=⋅OA OB OC AB ⋅===1122EF OD OE OF ⋅=⋅OD ==CD =1l 2l 420km（1）小明共调查了_____辆A 型纯电动汽车，并补全上述的条形统计图；（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为_______°；【分析数据】型号平均里程（km ）中位数（km ）众数（km ）A400400410B432m 440C 453450n（3）由上表填空：_______，_______；【判断决策】（4）结合上述分析，你认为小明选择哪个型号的纯电动汽车较为合适，并说明理由．【答案】（1）20，图见解析；（2）；（3）430；450；（4）选择B 型，见解析【解析】【分析】（1）用“”的数量除以其占比可得A 型纯电动汽车的样本容量，再用样本容量分别减去其它续航里程的数量可得“”的数量，再补全条形统计图即可；（2）用360°乘续航里程为390km 的占比即可；（3）分别根据中位数和众数的定义解答即可；（4）结合平均里程、中位数、众数以及每天的租金解答即可．【详解】解：（1）（辆），的数量为：（辆），补全条形统计图如下：的390km m =n =72︒410km 400km 630%20÷=400km 2034625----=故答案为：20；（2）在A 型纯电动汽车满电续航里程的扇形统计图中，“”对应的圆心角度数为：，故答案为：72；（3）由题意得，．故答案为：430，450；（4）小明打算从某汽车租赁公司租一辆纯电动汽车使用一天，预计总行程约为，故A 型号的平均数、中位数和众数均低于420，不符合要求；B 、C 型号符合要求，但B 型号的租金比C 型号的租金优惠，所以选择B 型号的纯电动汽车较为合适．【点睛】本题考查的是条形统计图，扇形统计图，众数和中位数的定义．平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．掌握定义是解题的关键．19. 投壶是中国古代的一种弓箭投掷游戏，弓箭投入壶内、壶耳会得到不同的分数，落在地上不得分．小龙与小华每人拿10支箭进行游戏，游戏结果如下：投入壶内投入壶耳落在地上总分小龙3支4支3支27分390km 43607220︒⨯=︒,4304304304502m n +===420km小华3支3支4支24分（1）求一支弓箭投入壶内、壶耳各得几分？（2）小丽也加入游戏，投完10支箭后，有2支弓箭落到了地上，若小丽赢得了比赛，则她至少投入壶内几支箭？【答案】（1）一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分（2）她至少投入壶内2支箭【解析】【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是解答本题的关键．（1）设一支弓箭投入壶内得x 分，投入壶耳得y 分，根据小龙得了27分，小华得了24分列方程组求解即可；（2）根据小丽赢得了比赛列不等式求解即可．【小问1详解】设一支弓箭投入壶内得x 分，投入壶耳得y 分，根据题意得解得答：一支弓箭投入壶内得5分，投入壶耳得3分；【小问2详解】设投入壶内m 支箭，根据题意可得解得：∵m 需取整数答：她至少投入壶内2支箭．20. 如图，以为直径的⊙交于点D ，，垂足为E ．34273324x y x y +=⎧⎨+=⎩53x y =⎧⎨=⎩()5310227m m +-->32m >∴min 2m =AB O BC DE AC ⊥（1）在不添加新的点和线的前提下，请增加一个条件：______，使直线为⊙的切线，并说明理由；（2）在（1）的条件下，若，，求⊙的半径．【答案】（1）增加条件：，见解析（2）【解析】【分析】本题考查切线的判定，解直角三角形，圆周角定理等知识，解题的关键是掌握切线的判定方法，属于中考常考题型．（1）添加条件：（答案不唯一）．证明，推出即可；（2）解直角三角形分别求出，，再证明，得出，进而可得答案．【小问1详解】增加条件：．证明：连接，∵为的直径，，∵，，，∵，，，又∵，，DE O 6DE =2tan 3ADE ∠=O AB AC =132AB AC =OD AC ∥OD DE ⊥AE EC C ABD ∠=∠13AB AC ==AB AC =OD AB O ∴90ADB ∠=︒AB AC =90ADB ∠=︒∴BD CD =AO BO =BD CD =∴OD AC ∥DE AC ⊥∴90ODE DEC ∠=∠=︒即，∵为半径，为的切线；【小问2详解】在中，，，， ∵，，∵，，，，，，又∵，，，，，即的半径为．21. 【项目式学习】项目主题：合理设计 智慧泉源项目背景：为加强校园文化建设，学校计划在原有的喷泉池内增设一块矩形区域，安装LED 发光地砖灯，用于展示校园文化标语，要求该矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，因此需要对原有喷泉的喷头竖直高度进行合理调整．围绕这个问题，某数学学习小组开展了“合理设计智慧泉源”为主题的项目式学习．任务一 测量建模（1）如图1，在水平地面上的喷泉池中心有一个可以竖直升降的喷头，它向四周喷出的水柱为抛物线．经过测量，水柱的落点均在水平地面半径为2米的圆上，在距池中心水平距离0.75米处，水柱达到最高，高度为1.25米．学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为x 轴，竖直方向为y 轴建OD DE ⊥OD ∴DE O Rt ADE △6DE =2tan 3ADE ∠=∴2tan 643AE DE ADE =∠=⨯=90ADB ADC ∠=∠=︒∴90ADE EDC ∠+∠=︒DE AC ⊥∴90DEC ∠=︒∴90EDC C ∠+∠=︒∴C ADE ∠=∠∴692tan tan 3DE DE EC C ADE ====∠∠∴4913AC AE EC =+=+=C ADE ∠=∠ADE ABD ∠=∠∴C ABD ∠=∠∴13AB AC ==∴132AO OB ==O 132立平面直角坐标系，画出如图2所示的函数图象，求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式（不需写自变量的取值范围）；任务二 推理分析（2）学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加h 米，水柱落点形成的圆半径相应增加d 米，h 与d 之间存在一定的数量关系，求出h 与d 之间的数量关系式；任务三 设计方案（3）现计划在原有喷水池内增设一块矩形区域，米，米，增设后的俯视图如图3所示，与原水柱落点形成的圆相切，切点为的中点P ．若要求增设的矩形区域被喷泉喷出水柱完全覆盖，则喷头竖直高度至少应该增加______米．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】本题考查二次函数的应用，简单几何体的三视图，掌握待定系数法求二次函数的关系式是正确解答的关键．（1）根据题意可得第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线关系式的顶点式，代入计算即可；（2）根据抛物线的形状不变，即a 的值不变，顶点坐标变为，抛物线与x 轴的交点坐标变为，代入即可得出h 与d 的还是关系式；（3）根据勾股定理求出的长，进而得出d 的值，再代入h 与d 的函数关系式进行计算即可．【详解】（1）解：ABCD 1.4AB =0.4BC =AB AB ABCD 2435544y x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2425h d d =+ 1.2()0.75,1.25()2,0()0.75, 1.25h +()2,0d +OC由题意可知，第一象限中的抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线的关系式为，将代入得，，解得，∴第一象限中抛物线的关系式为；（2）由于喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，喷头竖直高度增加h 米，其抛物线的关系式为，过点，∴，即，（3）如图，延长交于点Q ，则米，米，米，连接，在中，米，米，∴（米），即水柱落点形成的圆半径相应增加0.5米，，将代入得，（米），故答案为：．22. 如图1，在正方形中，点E 是边上一点，F 为的中点，将线段绕点F 顺时针旋转至线段，连接．某数学学习小组成员发现线段与之间存在一定的数量关系，并运用“特殊到一般”的思想开展了探究．()0.75,1.25()2,0()20.75 1.25y a x =-+()2,0()220.75 1.250a -+=45a =-()2244350.75 1.255544y x x⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()240.75 1.255y x h =--++()2,0d +()2420.75 1.2505d h -+-++=()22441.25 1.25255h d d d =+-=+OP CD 0.4PQ AD == 2.4OQ =10.72CQ AB ==OC Rt COQ △ 2.4OQ =0.7CQ =2.5OC ==0.5d =0.5d =()24 1.25 1.255h d =+-()240.5 1.25 1.25 1.25h =+-=1.2ABCD AB CE AF 90︒GF CG CE CG【特例分析】当点E 与点B 重合时，小组成员经过讨论得到如下两种思路：思路一思路二第一步如图2，连接，，证明；如图3，将线段绕点F 逆时针旋转至，连接，证明；第二步利用相似三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．利用全等三角形的性质及线段与之间的关系，得到线段与之间的数量关系．图形表达（1）①在上述两种思路中，选择其中一种完成其相应的第一步的证明：②写出线段与之间的数量关系式：______；【深入探究】（2）如图1，当点E 与点B 不重合时，（1）中线段与之间的数量关系还成立吗？若成立，请加以证明：若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）连接，记正方形的面积为，的面积为，当是直角三角形时，请直接写出的值．AG AC ACG AEF △∽△CF 90 HF AH AFH GFC △≌△CE EF CE CG CE AH CE CG CE CG CE CG AG ABCD 1S AFG 2S △FCG 12S S【答案】（1）①选择思路一，证明见解析；选择思路二，证明见解析；②或；（2）成立，证明见解析；（3）4【解析】【分析】（1）①选择思路一：连接， 如图所示，根据正方形的性质得到，，由旋转的性质证明是等腰直角三角形，进而得到，即可推出，，据此可证明；选择思路二：将线段绕点F 逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，再证明，即可证明；②选择思路一：利用相似三角形的性质即可得到答案；选择思路二：由全等三角形的性质得到，过点H 作于M ， 证明四边形是正方形，推出，进而得到，即可得到；（2）连接，同理可证明；得到；再由直角三角形的性质得到，则；（3）由于，则，进而得到 ，故当为直角三角形，不能作为斜边；当时，和共线，则E 和A 重合，G 和D 重合，由正方形的性质可得，则；当时，连接，过B 作于M ，如图：证明，设，则，，由勾股定理得，则；证明是等腰直角三角形，得到，则CE=CG =AC AG ，AC =45BAC ∠=︒AFG45FAGAG =︒=∠，AC AG AB AF==BAF CAG ∠=∠ABF ACG ∽△△CF 90︒HF AH 9090HF FC HFC AF FG AFG =∠=︒=∠=︒，，，AFH GFC ∠=∠()SAS AFH GFC ≌AH CG =HM AB ⊥MBFH AM MH =AH BC =CG CE =AC AG BF ，，ABF ACG ∽△△CG AC BF AB==12BF CE =CG CE =90AEC ∠≥︒AF EF >FG CF >△FCG CF FG CF ⊥AF CF 14AFG ABCD S S =△正方形124S S =CF CG ⊥AC AG BF ，，BM CE ⊥45EFB ∠=︒CF EF x ==CG =2CE x =FG =2221322S FG x ==BFM BM MF ===，由勾股定理得，则，据此可得【详解】解：（1）①选择思路一：证明：连接， 如图所示，∵四边形是正方形∴，，由旋转得，∴是等腰直角三角形 ，∴，∴，∵，，∴，∴；选择思路二：证明：将线段绕点F 逆时针旋转至，连接，如图所示，由旋转的性质可得，∴，∴，∴；CM CF MF x =+=(22222BC BM CM x =+=+(2212S BC x ==+12S S =AC AG ，ABCD AC =45BAC ∠=︒90AF FG AFG =∠=︒，AFG 45FAG AG =︒=∠，AC AG AB AF==45BAF BAC CAF CA =-=︒-∠∠∠∠45CAG FAG CAF CAF =-=︒-∠∠∠∠BAF CAG ∠=∠ABF ACG ∽△△CF 90︒HF AH 9090HF FC HFC AF FG AFG =∠=︒=∠=︒，，，AFG HFC ∠=∠AFH GFC ∠=∠()SAS AFH GFC ≌②思路一：由（1）①知，∴∵为的中点，∴ ∴，∴，即；思路二：由（1）①知，∴，如图所示，过点H 作于M ，则四边形是矩形，又∵，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，即；ABF ACG ∽△△CG AG BF AF==F BC 12CF BC =12CG BC =CG BC =CG CE =()SAS AFH GFC ≌AH CG =HM AB ⊥MBFH BF CF HF ==MBFH 1122BM MH BF BC AB ====AM MH =AM MH AH ==AH =CG BC =CG CE =综上所述，；（2）如图所示，连接，∵四边形是正方形∴，，由旋转得，∴是等腰直角三角形 ，∴，∴，∵，，∴，∴；∴；∵在中，点F为的中点，∴，∴∴；CG CE =AC AG BF ，，ABCD AC =45BAC ∠=︒90AF FG AFG =∠=︒，AFG 45FAG AG =︒=∠，AC AG AB AF==45BAF BAC CAF CA =-=︒-∠∠∠∠45CAG FAG CAF CAF =-=︒-∠∠∠∠BAF CAG ∠=∠ABF ACG ∽△△CG AC BF AB==Rt EBC CE 12BF CE =12CG CE =CG CE =（3）∵E 在边上，∴，∴，∵，∴ ，∵为直角三角形，∴不能作为斜边，①当时，∵，∴和共线，∴E 和A 重合，G 和D 重合，如图：∴由正方形的性质可得，∴；当时，连接，过B 作于M ，如图：由（2）知，，∴，∵，AB 90AEC ∠≥︒AF EF >AF FG CF EF ==，FG CF >△FCG CF FG CF ⊥AF FG ⊥AF CF 14AFG ABCDS S =△正方形124S S =CF CG ⊥AC AG BF ，，BM CE ⊥ABF ACG ∽△△ABF ACG ∠=∠9090ACG ACE ABF FBC ∠+∠=︒∠+∠=︒，∴，∵，∴，设，则，，在中，由勾股定理得，∴；在中，F 是中点，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴，∴；综上所述，或【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，全等三角形的性FBC ACE ∠=∠45ACB ACE BCE ACB ∠=︒∠+∠=∠，45EFB FBC FCB ACB ∠=∠+∠=∠=︒CF EF x ==CG =2CE x =Rt CFG △FG ==222113222S AF FG FG x =⋅==Rt BCE CE BF CF x ==45BFM ∠=︒BFM BM MF x ===CM CF MF x =+=Rt BCM △(222222122BC BM CM x x x =+=+=+(2212S BC x ==1232S S ==124S S =12S S =质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和全等三角形是解题的关键．。