FLAC3D原理..
FLAC3D基本原理及简单实例
FLAC3D基础知识
• 其中，体积模量K和剪切模量G与杨氏模量E和泊松比v有以下关系：
E 3(1 2 ) E G 2(1 ) K
9 KG 3K G 3K 2G G 2(3K G ) E
或
摩尔-库伦塑性模型需要材料参数有： （1）密度 （2）体积模量 （3）剪切模量 （4）内摩擦角 （5）粘聚力 （6）抗拉强度 如果不指定这些材料参数，其值将会自动默认为零。
3D
生成网格
执行变更
定义材料本构关系和 性质 定义边界、初始条件
计算结果保存及调用
图形绘制及结果输出
FLAC3D基础知识
指定材料模型
• 一旦完成了网格的生成，就必须给模型中的所有单元指定一种或者更 多的材料模型及相应的性质。这可以用两个命令MODEL和 PROPERTY来完成。FLAC中有十种内置的材料模型，一般只用三种 模型：MODEL null，MODEL elastic和MODEL mohr。 • MODEL null指的是从模型中去除的或开挖的材料； MODEL elastic 指的是各向同性弹性材料行为； MODEL mohr指的是摩尔-库伦塑性 行为。 • MODEL elastic和MODEL mohr需要通过PROPERTY命令指定材料的 性质，弹性模型需要的材料参数有： • （1）密度 • （2）体积模量 • （3）剪切模量
f t 3 t
式中， 是摩擦角，C是粘聚力， t 是张拉强度，且有：
N
3
张拉强度不超过 值，最大值由下式给定：
1 sin 1 sin
t max
c tan
2.2 FLAC3D常用材料本构模型
Mohr-Coulomb模型
流动法则
Flac3d中文说明
岩土工程软件FLAC3D的基本知识介绍岩土工程结构的数值解是建立在满足基本方程（平衡方程、几何方程、本构方程）和边界条件下推导的。
由于基本方程和边界条件多以微分方程的形式出现，因此，将基本方程近假发改用差分方程（代数方程）表示，把求解微分方程的问题改换成求解代数方程的问题，这就是所谓的差分法。
差分法由来已久，但差分法需要求解高阶代数方程组，只有在计算机的出现，才使该法得以实施和发展。
一、FLAC3D简介FLAC3D（Fast Lagrangian Analysis of Continua）由美国Itasca公司开发的。
目前，FLAC 有二维和三维计算程序两个版本，二维计算程序V3.0以前的为DOS版本，V2.5版本仅仅能够使用计算机的基本内存（64K），所以，程序求解的最大结点数仅限于2000个以内。
1995年，FLAC2D已升级为V3.3的版本，其程序能够使用护展内存。
因此，大大发护展了计算规模。
FLAC3D是一个三维有限差分程序，目前已发展到V2.1版本。
FLAC3D的输入和一般的数值分析程序不同，它可以用交互的方式，从键盘输入各种命令，也可以写成命令（集）文件，类似于批处理，由文件来驱动。
因此，采用FLAC程序进行计算，必须了解各种命令关键词的功能，然后，按照计算顺序，将命令按先后，依次排列，形成可以完成一定计算任务的命令文件。
FLAC3D是二维的有限差分程序FLAC2D的护展，能够进行土质、岩石和其它材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析。
调整三维网格中的多面体单元来拟合实际的结构。
单元材料可采用线性或非线性本构模型，在外力作用下，当材料发生屈服流动后，网格能够相应发变形和移动（大变形模式）。
FLAC3D采用的显式拉格朗日算法和混合-离散分区技术能够非常准确发模拟材料的塑性破坏和流动。
由于无须形成刚度矩阵，因此，基于较小内存空间就能够求解大范围的三维问题。
FLAC3D采用ANSI C++语言编写的。
(完整word版)FLAC3D原理..
2.2 三维数值模拟方法及其原理2.2.1 FLAC3D工程分析软件特点FLAC3D是由美国Itasca Consulting Group, Inc. 为地质工程应用而开发的连续介质显式有限差分计算机软件。
FLAC即Fast Lagrangian Analysis of Continua 的缩写。
该软件主要适用于模拟计算岩土体材料的力学行为及岩土材料达到屈服极限后产生的塑性流动，对大变形情况应用效果更好。
FLAC3D程序在数学上采用的是快速拉格朗日方法，基于显式差分来获得模型全部运动方程和本构方程的步长解，其本构方程由基本应力应变定义及虎克定律导出，运动平衡方程则直接应用了柯西运动方程，该方程由牛顿运动定律导出。
计算模型一般是由若干不同形状的三维单元体组成，也即剖分的空间单元网络区，计算中又将每个单元体进一步划分成由四个节点构成的四面体，四面体的应力应变只通过四个节点向其它四面体传递，进而传递到其它单元体。
当对某一节点施加荷载后，在某一个微小的时间段内，作用于该点的荷载只对周围的若干节点（相邻节点）有影响。
利用运动方程，根据单元节点的速度变化和时间，可计算出单元之间的相对位移，进而求出单元应变，再利用单元模型的本构方程，可求出单元应力。
在计算应变过程中，利用高斯积分理论，将三维问题转化为二维问题而使其简单化。
在运动方程中，还充分考虑了岩土体所具有的粘滞性，将其视作阻尼附加于方程中。
FLAC3D具有一个功能强大的网格生成器，有12种基本形状的单元体可供选择，利用这12种基本单元体，几乎可以构成任何形状的空间立体模型。
FLAC3D主要是为地质工程应用而开发的岩土体力学数值评价计算程序，自身设计有九种材料本构模型：（1）空模型（Null Model）（2）弹性各向同性材料模型（Elastic, Isotropic Model）（3）弹性各向异性材料模型（Elastic, anisotropic Model）（4）德拉克-普拉格弹塑性材料模型（Drucker-Prager Model）（5）莫尔-库伦弹塑性材料模型（Mohr-Coulomb Model）—29 —（6）应变硬化、软化弹塑性材料模型（Strain-Hardening/Softening Mohr-Coulomb Model）（7）多节理裂隙材料模型（Ubiquitous-Joint Model）（8）双曲型应变硬化、软化多节理裂隙材料模型（Bilinear Strain-Hardening/Softening Ubiquitous-Joint Model）（9）修正的Cam粘土材料模型（Modified Cam-clay Model）除上述本构模型之外，FLAC3D还可进行动力学问题、水力学问题、热力学问题等的数值模拟。
FLAC3D基本原理
FLAC3D基本原理FLAC3D，全称为Fast Lagrangian Analysis of Continua in 3D，是一种强大的三维领域连续介质数值计算软件。
它在计算地下开挖、岩土工程、地震灾害、地下水等领域具有广泛的应用。
FLAC3D的基本原理是使用有限差分法对岩土体进行离散化建模，然后通过求解平衡方程来分析介质的力学和流体特性。
首先，FLAC3D将岩土体或其他连续介质划分为许多网格单元，每个网格单元称为控制体。
然后通过定义每个控制体的初始状态，例如形状、几何特征、材料属性等，来描述问题的初始条件。
在FLAC3D中，力学分析通过求解平衡方程来描述。
平衡方程包括动量平衡方程和能量平衡方程。
动量平衡方程描述了物体的运动规律和受力情况，能量平衡方程描述了物体内部的能量转换和耗散过程。
求解平衡方程需要将控制体离散化为一个个单元，然后对每个单元应用数值方法进行求解。
FLAC3D使用有限差分法进行离散化。
具体来说，FLAC3D使用控制体网格中心点的控制方程和边界条件，通过差分近似的方式将偏导数转化为有限差分方程。
然后，通过迭代求解这些方程来计算出每个网格点的力学和流体特性。
在求解过程中，FLAC3D考虑了岩土体的非线性、弹性、塑性、渗流和破裂等特性。
通过选择适当的材料模型和边界条件，可以模拟不同类型的问题，并获取相关的力学和流体特征。
另外，FLAC3D还提供了丰富的后处理功能，可以对模拟结果进行可视化和分析。
用户可以根据自己的需求选择合适的分析工具，例如生成应力、位移、变形等等的图表或动画，以便更好地理解和评估解决方案。
总的来说，FLAC3D通过离散化建模和求解平衡方程，能够有效地分析岩土体和其他连续介质的力学和流体特性。
其基本原理为了进一步提高模拟效果和准确性，还需要适当地选择模型和参数，以及对结果进行合理的解释和验证。
FLAC3D原理.pdf
称为表面力。
若用 ti 表示 T 的分量，则在三维直角坐标系中可有关系式 t i ni ij
（1）
这个关系式称为柯西公式，其中， ij 称为柯西应力张量。
（二）应变速率和旋转速率
如果介质质点具有运动速度矢量 [ v] ，则在一个无限小的时间
产生一个由 vi dt 决定的无限小应变，对应的应变速率分量
式中， 为质点密度。（ 4）式称为柯西运动方程。
— 31 —
兖州矿区建筑物下厚煤层安全开采方法关键问题研究
当质点的加速度为零时，上式变为静力平衡方程
ij
bi 0 xj
（5）
（四）本构方程
上述（ 4）式与（ 5）式组成的方程组中含有 9 个方程， 15 个未知量，其中
12 个是应力与应变速率分量， 3 个是速度分量。其余 6 个关系式则由本构方程
2.2 三维数值模拟方法及其原理
2.2.1 FLAC 3D 工程分析软件特点
FLAC 3D 是由美国 Itasca Consulting Group, Inc. 为地质工程应用而开发的连
续 介 质 显 式 有 限 差 分 计 算 机 软 件 。 FLAC 即 Fast Lagrangian Analysis of
t Ml
Fi l
同理，节点的坐标差分公式与位移差分公式分别为
xi l (t
t ) xi l (t)
tvi l (t
t )
2
ui l (t
t ) ui l (t)
导出。
计算模型一般是由若干不同形状的三维单元体组成，也即剖分的空间单元网
络区，计算中又将每个单元体进一步划分成由四个节点构成的四面体，四面体的
应力应变只通过四个节点向其它四面体传递，进而传递到其它单元体。当对某一
浅论FLAC3D的应用现状
浅论FLAC3D的应用现状作者：胡杨朱昱杨露来源：《科技创新与应用》2016年第21期摘要：FlAC3D作为数值模拟软件已经被越来越多的应用于工程地质学方面的研究，文章主要阐述了FLAC3D软件的基本原理和特征，通过对FLAC3D在工程地质学方面的应用现状进行分析，指出了其应用中的不足之处，认为其在工程地质学方面大有可为。
关键词：FLAC3D；应用现状；工程地质1 FLAC3D原理FLAC3D是利用显示差分方法来求解运动方程以及动力方程的一种软件。
在计算的时候，首先要把想要计算的区域进行离散化处理，将其分解成为若干个单元，单元与单元之间由节点进行联结，当节点受到荷载的作用之后，就可以将其运动方程表示成为时间步长为Vt的形式。
表示的意思是指在某一个很小的时间段以内，该节点上受到的荷载作用只对其周围的若干个节点存在影响。
然后可以根据节点速度的变化，求解出来单元与单元之间的相对位移，从而进一步求解出单元的应变状态。
之后，随着设定的时间段的不断增长，上述的影响过程将向整个区域进行扩展，进而求解出单元与单元之间的不平衡力。
然后，将求解得到的不平衡力重新作用到相应的节点上，再进行下一步的迭代过程，直到计算出来的平衡力足够小的程度或者节点的位移渐渐达到平衡为止。
FLAC3D软件中有10种内置的本构模型，在进行相关计算的时候，可以有针对性根据不同材料对本构模型进行选取，从而使其能够相对真实地反映出来实际材料的力学动态。
FLAC3D软件的计算特征：一是在模拟材料塑性破坏和流动的时候，其采用的主要是“混合离散法”；二是在求解的时候，既可以采用模拟静态系统，也可以采用动态运动方程，从而使得FLAC3D软件在模拟物理不稳定过程中不会存在着数值上的障碍；三是求解微分方程时采用的是显式差分法。
2 FLAC3D应用2.1 在应力方面的应用大型岩土工程施工设计前必须对岩体初始地应力和围岩稳定性进行分析。
曾范永等[1]通过对FLAC3D计算模型施加自重力和在模型边界施加切向和法向力的方法，分析了断层构造及埋深对地层主应力的影响。
FLAC3D原理
实用标准2.2 三维数值模拟方法及其原理2.2.1 FLAC3D工程分析软件特点FLAC3D是由美国Itasca Consulting Group, Inc. 为地质工程应用而开发的连续介质显式有限差分计算机软件。
FLAC即Fast Lagrangian Analysis of Continua 的缩写。
该软件主要适用于模拟计算岩土体材料的力学行为及岩土材料达到屈服极限后产生的塑性流动，对大变形情况应用效果更好。
FLAC3D程序在数学上采用的是快速拉格朗日方法，基于显式差分来获得模型全部运动方程和本构方程的步长解，其本构方程由基本应力应变定义及虎克定律导出，运动平衡方程则直接应用了柯西运动方程，该方程由牛顿运动定律导出。
计算模型一般是由若干不同形状的三维单元体组成，也即剖分的空间单元网络区，计算中又将每个单元体进一步划分成由四个节点构成的四面体，四面体的应力应变只通过四个节点向其它四面体传递，进而传递到其它单元体。
当对某一节点施加荷载后，在某一个微小的时间段内，作用于该点的荷载只对周围的若干节点（相邻节点）有影响。
利用运动方程，根据单元节点的速度变化和时间，可计算出单元之间的相对位移，进而求出单元应变，再利用单元模型的本构方程，可求出单元应力。
在计算应变过程中，利用高斯积分理论，将三维问题转化为二维问题而使其简单化。
在运动方程中，还充分考虑了岩土体所具有的粘滞性，将其视作阻尼附加于方程中。
FLAC3D具有一个功能强大的网格生成器，有12种基本形状的单元体可供选择，利用这12种基本单元体，几乎可以构成任何形状的空间立体模型。
FLAC3D主要是为地质工程应用而开发的岩土体力学数值评价计算程序，自身设计有九种材料本构模型：（1）空模型（Null Model）（2）弹性各向同性材料模型（Elastic, Isotropic Model）（3）弹性各向异性材料模型（Elastic, anisotropic Model）（4）德拉克-普拉格弹塑性材料模型（Drucker-Prager Model）（5）莫尔-库伦弹塑性材料模型（Mohr-Coulomb Model）文档大全（6）应变硬化、软化弹塑性材料模型（Strain-Hardening/Softening Mohr-Coulomb Model）（7）多节理裂隙材料模型（Ubiquitous-Joint Model）（8）双曲型应变硬化、软化多节理裂隙材料模型（Bilinear Strain-Hardening/Softening Ubiquitous-Joint Model）（9）修正的Cam粘土材料模型（Modified Cam-clay Model）除上述本构模型之外，FLAC3D还可进行动力学问题、水力学问题、热力学问题等的数值模拟。
岩土工程计算软件FLAC3D基本原理与在工程上的应用
岩土工程计算软件FLAC3D基本原理与在工程上的应用摘要：本文介绍了岩土工程计算软件FLAC3D背景、理论依据和软件优缺点，详细讲解FLAC3D软件的理论模型计算分析的一般步骤以及方法技巧，说明了FLAC3D计算软件可广泛用于广泛岩土工程领域。
关键词：岩土工程，计算软件，基本原理，应用一、FLAC软件背景介绍FLAC（Fast Lagrangian Analysis of Continua）由Itasca公司开发的。
目前，有二、三维两个版本，二维V3.0以前的为DOS版本，V2.5版本仅能够使用计算机的基本内存64K），所以，程序求解的最大结点数仅限于2000个以内。
1995年，FLAC2D升为V3.3版本，程序能够使用护展内存。
FLAC-3D(Three Dimensional Fast Lagrangian Analysis of Continua)也Itasca Consulting Goup lnc开发的三维快速拉格朗日分析程序，该程序能较好地模拟地质材料在达到强度极限或屈服极限时发生的破坏或塑性流动的力学行为，特别适用于分析渐进破坏和失稳以及模拟大变形。
它包含10种弹塑性材料本构模型，有静力、动力、蠕变、渗流、温度五种计算模式，各种模式间可以互相藕合，可以模拟多种结构形式，如岩体、土体或其他材料实体，梁、锚元、桩、壳以及人工结构如支护、衬砌、锚索、岩栓、土工织物、摩擦桩、板桩、界面单元等，可以模拟复杂的岩土工程或力学问题。
FLAC3D的输入和一般的数值分析程序不同，它可以用交互的方式，从键盘输入各种命令，也可以写成命令（集）文件，类似于批处理，由文件来驱动。
二、FLAC3D计算软件的理论依据FLAC3D是FLAC2D的扩展，能够进行土质、岩石和其它材料的三维结构受力特性模拟和塑性流动分析。
单元材料可采用线性或非线性本构模型，在外力作用下，当材料发生屈服流动后，网格能够相应发生变形和移动（大变形模式）。
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2、2 三维数值模拟方法及其原理2、2、1 FLAC3D工程分析软件特点FLAC3D就是由美国Itasca Consulting Group, Inc、为地质工程应用而开发得连续介质显式有限差分计算机软件。
FLAC即Fast Lagrangian Analysis of Continua 得缩写。
该软件主要适用于模拟计算岩土体材料得力学行为及岩土材料达到屈服极限后产生得塑性流动,对大变形情况应用效果更好。
FLAC3D程序在数学上采用得就是快速拉格朗日方法,基于显式差分来获得模型全部运动方程与本构方程得步长解,其本构方程由基本应力应变定义及虎克定律导出,运动平衡方程则直接应用了柯西运动方程,该方程由牛顿运动定律导出。
计算模型一般就是由若干不同形状得三维单元体组成,也即剖分得空间单元网络区,计算中又将每个单元体进一步划分成由四个节点构成得四面体,四面体得应力应变只通过四个节点向其它四面体传递,进而传递到其它单元体。
当对某一节点施加荷载后,在某一个微小得时间段内,作用于该点得荷载只对周围得若干节点(相邻节点)有影响。
利用运动方程,根据单元节点得速度变化与时间,可计算出单元之间得相对位移,进而求出单元应变,再利用单元模型得本构方程,可求出单元应力。
在计算应变过程中,利用高斯积分理论,将三维问题转化为二维问题而使其简单化。
在运动方程中,还充分考虑了岩土体所具有得粘滞性,将其视作阻尼附加于方程中。
FLAC3D具有一个功能强大得网格生成器,有12种基本形状得单元体可供选择,利用这12种基本单元体,几乎可以构成任何形状得空间立体模型。
FLAC3D主要就是为地质工程应用而开发得岩土体力学数值评价计算程序,自身设计有九种材料本构模型:(1)空模型(Null Model)(2)弹性各向同性材料模型(Elastic, Isotropic Model)(3)弹性各向异性材料模型(Elastic, anisotropic Model)(4)德拉克-普拉格弹塑性材料模型(Drucker-Prager Model)(5)莫尔-库伦弹塑性材料模型(Mohr-Coulomb Model)(6)应变硬化、软化弹塑性材料模型(Strain-Hardening/Softening Mohr-Coulomb Model)(7)多节理裂隙材料模型(Ubiquitous-Joint Model)(8)双曲型应变硬化、软化多节理裂隙材料模型(Bilinear Strain-Hardening/Softening Ubiquitous-Joint Model)(9)修正得Cam粘土材料模型(Modified Cam-clay Model)除上述本构模型之外,FLAC3D还可进行动力学问题、水力学问题、热力学问题等得数值模拟。
在边界条件及初始条件得考虑上,FLAC3D软件十分灵活方便,可在数值计算过程中随时调整边界条件与初始条件。
FLAC3D具有强大得后处理功能,用户可以直接在屏幕上绘制或以文件形式创建或输出打印多种形式得图形、文字,用户还可根据各自得需要,将若干个变量合并在同一幅图形中进行研究分析。
FLAC3D软件还可对各种开挖工程或施加支护工程等进行数值仿真模拟,软件自身设计有锚杆、锚索、衬砌、支架等结构元素,可以直接模拟这些支护于围岩(土)体得相互作用。
FLAC3D拥有可以自行设计得FISH语言,用户可根据自身需求,自己设计材料得本构模型、屈服准则、支护方案、复杂形状得开挖方式等工作。
特别注意得就是,岩石就是一种脆性材料,当外荷载达到岩石强度后,材料发生断裂破坏,产生弱化现象,应属于弹塑性体。
在FLAC3D中,一般对于弹塑性材料,判断其破坏与否得基本准则有两个,即Drucker-Prager准则与Mohr-Coulomb准则。
根据室内岩石力学性质试验结果,其典型应力应变曲线反映出岩体破坏包络线符合莫尔—库伦屈服准则,故本次建立得本构力学模型选择莫尔—库伦弹塑性材料模型为宜。
2、2、2 FLAC3D分析计算原理计算所采用得数学模型就是根据弹塑性理论得基本原理(应变定义、运动定律、能量守衡定律、平衡方程及理想材料得连续性方程等)而建立得。
2、2、2、1 基本约定在数学及数值模型得表达式中,符号有一定得约定含义,一般[A]表示张量,A ij 表示张量[A ]得(i,j )分量,[a ]表示矢量,a i 表示矢量[a ]得i 分量,α,i 表示α对x i 得偏导数。
x i ,u i ,v i 与dv i /dt ,(i=1,3)分别表示一点得位置矢量分量、位移矢量分量、速度矢量分量与加速度矢量分量。
2、2、2、2 数学模型(一)柯西(Cauchy)应力张量与柯西公式对于一个具有体积V 得封闭曲面s 得物体,在其上取一表面元素∆s ,这个表面元素得单位外法向矢量为n ,在某一时刻t ,在表面元素对于连续介质中一点,作用着对称得应力张量σij ,根据∆s 上作用有力∆P ,则极限dsdPs P T s ==→∆∆∆0lim称为表面力。
若用t i 表示T 得分量,则在三维直角坐标系中可有关系式ij i i n t σ= (1) 这个关系式称为柯西公式,其中,σij 称为柯西应力张量。
(二)应变速率与旋转速率如果介质质点具有运动速度矢量[v ],则在一个无限小得时间dt 内,介质会产生一个由v i dt 决定得无限小应变,对应得应变速率分量ξij 为)(21ijj i ij x v x v ∂∂+∂∂=ξ (2)而其旋转速率分量ωij 为)(21ijj i ij x v x v ∂∂-∂∂=ω (3) (三)运动及平衡方程根据牛顿运动定律与柯西应力原理,如果质点作用着应力σij 与体力b i ,且具有速度v i ,则在无限小时间段dt 内,它们之间得关系为dtdvb x i i j ij ρρσ=+∂∂ (4) 式中,ρ为质点密度。
(4)式称为柯西运动方程。
当质点得加速度为零时,上式变为静力平衡方程0=+∂∂i jijb x ρσ (5) (四)本构方程上述(4)式与(5)式组成得方程组中含有9个方程,15个未知量,其中12个就是应力与应变速率分量,3个就是速度分量。
其余6个关系式则由本构方程提供,本构方程一般具有如下形式),,(][κξσσij ij ij ij H =(6) 式中,][σ为应力变化速率,H 表示一个特定得函数关系,κ为与荷载历史有关得参数。
2、2、2、3 数值模型FLAC 3D 得数值剖分网格在计算中就是按照四面体进行得,四面体得节点也既就是网格剖分得节点,因此,每个计算单元有4个面与4个节点(见图2-1)。
(一)空间微分得有限差分逼近对于一个计算单元,若内部各质点速度为一连续得矢量场[v ],则根据高斯(Gauss)积分原理有⎰⎰=∂∂S j i V j ids n v dv x v (7)式中,[n ]为外法向单位矢量场。
由于单元体得应变速率就是连续得,因此可以近似认为速度就是线性变化得,则(7)式可用下面得求与公式近似逼近∑==∂∂41)()()(f f f j f i j i S n v x v V (8) 单元面单元节点图2-1 四面体单元示意图式中,V 为单元体体积,)(f S 为单元体某一面得面积,f 为单元体面数,f =1,4,)f (iv 为面平均速度得i 分量。
由于速度场就是线性得,则有∑≠==4,1)(31fl l l i f i v v (9)式中,l 为单元体节点数,l=1,4;v i l 为l 节点得i 速度分量。
将(9)式代入(8)式可得∑∑≠===∂∂4,1)()(4131lf f f f jl l ij i S nv x v V (10)根据正交原理有041)()(=∑=f f f jS n(11)则将(10)式两边除以V,并将(11)式代入可得)()(4131l l j l l i j i S n v V x v ∑=-=∂∂ (12) 因此有)(41)()()(61l l l i l j l j l iij S n v nv V∑=+-=ξ (13)(二)运动方程得节点公式根据前面对质点运动方程得讨论,对于连续介质,当处于平衡状态时,其平衡方程为0=+∂∂i jij B x ρσ (14))(dtdv b B ii i -=ρ (15) 介质可由若干个作用着体力[B ],各自产生一定变形得四面体组成,设节点力为[f ]n ,n =1,4,利用虚功原理,假定单元体节点具有速度δ[v ]n ,内部具有变形速率δ[ξ],则由节点力[f ]n 与体力[B ]所做得外功率与σij 所做得内功率应当相等。
外功率E 可用下式表示dV B v f v E i Vi n i n n i ⎰∑+==δδ41(16)而内功率I 为⎰=Vij ij dV I σδξ (17)由(13)式,对于恒定应变速率单元体可有()()()∑=+-=41)(61i l l i ij l j l j ij l i S n v n v I σδσδ (18)由于应力张量就是对称得,定义矢量Tl()()l l j ij l i S n T σ= (19) 可得∑=-=4131l li l i T v I δ (20)将(15)式代入(16)式得∑=++=41n I b n i n i E E f v E δ (21)式中,E b 与E I 分别就是体力ρb i 与惯性力产生得外功率,对于单元体内恒定得体力ρb i ,E b 可写成⎰=Vi i b dV v b E δρ (22)而E I 可以写成⎰-=ViiI dV dtdv v E ρδ (23) 如前所述,单元体内部速度场以线性变化,为方便描述,选取单元体质心为原点,1x '、2x '、3x '为坐标轴,可有 ∑==41n n n i i N v v δδ (24)式中,N n (n =1,4)就是具有如下形式得线性函数3322110x c x c x c c N nn n n n '+'+'+= (25) nc 0、n c 1、nc 2、nc 3(n=1,4)则由下面方程决定()nj j j j n x x x N δ='''321,, (26) δnj 为克罗内克尔(Kronecker)记号,根据质心定义可得∑==410n n n i i bV c v b E δρ (27) 用克莱默(Cramer ’s)法则解得41=nc ,则∑==414n i ni bVb v E ρδ (28)而∑⎰=-=41n Vinn i IdV dtdv N v E ρδ (29) 则∑⎰=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=414n V i n i n i n i dV dt dv N V b f v E ρρδ (30)在稳定状态下,内功率与外功率必定相等,则有⎰-+=-V i n i n i ni dV dtdvN V b T f ρρ43 (31)上式最后一项,如果单元体内ρ恒定,则根据质心定义有ni Vi ndt dv V dV dt dv N )(4ρρ=⎰(32) 若将ρV /4瞧作就是假定得节点质量m n ,则上式变为n i n Vi ndtdvm dV dt dv N )(=⎰ρ (33) 故n i n i n i nidtdv m V b T f )(43-+=-ρ (34) 根据牛顿定律有n l i l l i n l dtdv M F ,1 )(==><><>< (35) 式中,F i <l >为节点l 所受力得i 分量,M <l >为节点l 得质量,><l i dtdv )(为节点l 在F i <l >作用下产生得加速度,n n 为包含在全部连续介质中单元节点总数。