北京市中考数学专题复习几何变换

图形变换之平移

目的与方向：等腰、直角三角形、全等三角形、相似三角形，即完善图形的关系 什么时候用平移？ （1）平行四边形与平移

由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与之平行且相等的线段。因此，对于已

知条件中有平行四边形的几何题，我们可以考虑用平移变换。

1、 (2012. 5)22．阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，△ABO 和△CDO 均为等腰直角三角形, ∠AOB =∠COD

=90︒．若△BOC 的面积为1， 试求以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形的面积．

图1 图2

小明是这样思考的：要解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他利用图形变换解决了这个问题，其解题思路是延长CO 到E , 使得OE =CO , 连接BE , 可证△OBE ≌△OAD , 从而得到的△BCE 即是以AD 、BC 、OC+OD 的长度为三边长的三角形（如图2）．

请你回答：图2中△BCE 的面积等于 ． 请你尝试用平移、旋转、翻折的方法，解决下列问题： 如图3，已知△ABC , 分别以AB 、AC 、BC 为边向外作正方形

ABDE 、AGFC 、BCHI , 连接EG 、FH 、ID ．

（1）在图3中利用图形变换画出并指明以EG 、FH 、ID 的长

度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

图

2、设P 是矩形ABCD 内一点，请你作出一个四边 形，使它的

两对角线互相垂直，长度分别为AB 、BC ，且四条边长分别等于PA 、PB 、PC 、PD

（2）共线相等线段与平移

因为在平移变换下，与平移方向平行的线段变为与之共线且相等的线段。所以，对于已

知条件中有共线且相等的线段的几何问题，也可以考虑用平移变换处理。 3、设B 、C 是△PAD 的边AD 上的两点，且AB=CD ，求证：PA+PD>PB+PC

（3）不共线线段与平移

两条线段既不平行也不共线，但是我们可以通过平移变换移动其中一条线段，使两条线

段有一个公共端点，并且可以形成等腰三角形或其他特殊三角形，再利用特殊三角形的性质再加上其他相关条件使问题解决。

4、设线段AB 与CD 相等，且夹角为60°，求证AC+BD>AB 解法提示：平移后形成等边三角形

5、 5、在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=1080

，D 为AC 的延长线上一点，M 为BD 的中点，AD=BC 求 求证：AM ⊥MC

注：AD=BC 与AM ⊥MC 两个条件可以互换

解法提示：平移BC ，得到平行四边形BCDE 和等腰△

ADE ，由∠ADE=∠ACB=360

，得到∠EAD=720

，∠EAB=360

∠EBA=∠EBC+∠CBA=720

，∠AEB=720

，

所以AE=AB ，M 为CE 中点，所以AM 与MC 垂直

A D

O B E

B O

C

D A I

H

G

F

A

B

C

D

E

6、（2006北京）25．25．我们给出如下定义：若一个四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为

等对角线四边形。请解答下列问题：

（1）写出你所学过的特殊四边形中是等对角线四边形的两种图形的名称；

（2）探究：当等对角线四边形中两条对角线所夹锐角为60°时，这对60°角所对的两边之和与其中一条对角线的大小关系，并证明你的结论。

7、（2011.5西）25．在Rt △ABC 中，∠C =90°，D ，E 分别为CB ，CA 延长线上的点，BE 与AD 的

交点为P .

（1）若BD=AC ，AE=CD ，在图1中画出符合题意的图形，并直接写出∠APE 的度数； （2

）若AC =

，CD =，求∠APE 的度数.

8.（2010.6西）24．在△ABC 中，点P 为BC 的中点．

（1）如图1，求证：AP ＜

2

1

（AB +AC ）； （2）延长AB 到D ，使得BD =AC ，延长AC 到E ，使得CE =AB ，连结DE ．

①如图2，连结BE ，若∠BAC =60°，请你探究线段BE 与线段AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明； ②请在图3中证明：BC ≥2

1

DE ．

9. ∆ABC 中，∠C ＝90°，点M 在BC 上，且BM=AC,点N 在AC 上，且AN=MC, AM 与BN 相交于点P ，求证：∠BPM ＝45°

C

M N

轴对称

目的：一般是构造：特殊三角形、全等三角形、相似三角形，即完善图形的关系应用信息：直角---（平角的）角平分线---轴对称

共顶点互补角---角平分线---轴对称

二倍角---角平分线---轴对称

1、在△ABC中，AD⊥BC，求证：AB+CE>AC+BE

2、已知△ABC中，AC=3，BC=7，∠C=2∠B，求AB的长. 2、

3、四边形ABCD，∠C=90°，∠ADC=30°，AD=3，，BD=2AB，∠ABC与∠DBC互补，求BC的长。

3、

4、

5、

4、（2010北京）问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内一点，且AD=CD，BD=BA.探

究∠DBC与∠ABC度数的比值.

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明.

（1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图.

观察图形，AB与AC的数量关系为________________；

当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为_________；

可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为_______________.

（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明.

5、B、D、C三个村庄在一条东西走向的公路沿线，CD=2km，BD=3km，在

D村的正北方向有一个A村，测得∠B AC＝45°，今将△ABC区域进行规划，

除其中面积为4km2的水塘外，准备把剩余的作为绿地，试求绿化用地面积．

A

B