山东省枣庄市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一上册期末数学试题一、单选题1．命题“,sin 2R αα∀∈<”的否定为（）A ．,sin 2R αα∃∈<B ．,sin 2R αα∃∈≥C ．,sin 2R αα∀∈≥D ．,sin 2R αα∀∈>【正确答案】B【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定，即可选择.【详解】命题“,sin 2R αα∀∈<”的否定为“,sin 2R αα∃∈≥”.故选.B2．已知集合{}2{2,1,0,1,2},1,R A B yy x x =--==+∈∣，则A B = （）A ．∅B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{2,1}--【正确答案】B【分析】先化简集合A ，再利用交集定义即可求得A B ⋂【详解】{}[)21,R 1,B yy x x ==+∈=+∞∣，则A B = [){2,1,0,1,2}1,{1,2}--⋂+∞=故选：B3．已知点(1,2)P -是角α终边上一点，则sin cos αα+=（）A B C ．5-D ．5-【正确答案】D直接根据三角函数的定义即可得结果.【详解】因为点(1,2)P -是角α终边上一点，所以sin αα==，所以sin cos 5αα+=-，故选：D.4．函数()3log 3f x x x =+-的零点所在的一个区间是（）A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(3，4)D ．(4，5)【正确答案】B【分析】求出各区间的端点的函数值，再根据零点的存在性定理即可得解.【详解】解：函数()3log 3f x x x =+-在()0,∞+是连续不断的，由()()()()33120,2log 210,310,4log 410f f f f =-<=-<=>=+>，()35log 520f =+>，所以函数()3log 3f x x x =+-的零点所在的一个区间是()2,3.故选：B.5．已知a =3.20.1，b =log 25，c =log 32，则（）A ．b >a >c B ．c >b >aC ．b >c >aD ．a >b >c【正确答案】A【分析】由指数函数和对数函数得单调性即可得出结果.【详解】00.10.51=3.2 3.2 3.2212<<<⇒<<a 22log 5log 422>=⇒>b 3330=log 1<log 2log 3101<=⇒<<c 所以b a c >>故选：A6．若函数()()()()sin 20,f x x ϕϕ=+∈π图像的一条对称轴为π6x =，则ϕ=（）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【正确答案】A 【分析】首先根据π6x =为对称轴，得到()ππZ 6k k ϕ=+∈，然后对k 取值，结合ϕ的取值范围即可求解.【详解】因为π6x =为()f x 的一条对称轴，则()ππ2πZ 62k k ϕ⋅+=+∈，所以()ππZ 6k k ϕ=+∈，当0k =时，π6ϕ=，此时()0,πϕ∈，符合题意.故选：A7．已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A ．403π⎛⎤⎥⎝⎦，B ．2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭，D ．2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，【正确答案】B【分析】用换元法转化为cos y t =在[]33a ππ+，上的值域为112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，画图观察列式可得结果.【详解】由题意可得()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，令3t x π=+则cos y t =,如图所示，∵()f x 的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，0x a ，∴333x a πππ++，即：33t a ππ+∴由图可知533aπππ+，解得2433aππ，所以实数a 的取值范围为2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.故选：B.8．若关于x 的函数()()22222sin 0tx x t x xtf x t x +++=>+的最大值为M ，最小值为N ，且4M N +=，则实数t 的值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】构造奇函数()()g x f x t =-，利用奇函数的最大值和最小值互为相反数求解．【详解】由题意设()()g x f x t =-222sin x x x x t +=+，222sin ()()x x xg x g x x t---==-+，所以()g x 是奇函数，max max ()()g x f x t M t =-=-，min min ()()g x f x t N t =-=-，∴max min ()()20g x g x M N t +=+-=，又4M N +=，∴2t =．故选：B.本题考查函数的奇偶性，考查函数的最值．解题关键是构造新函数()()g x f x t =-，利用奇函数性质求解．二、多选题9．下列各组函数为同一个函数的是（）A ．()f x x =，()2x g x x=B ．()1f x =，()()1g x x =-C ．()()2f x x=，()()2xg x =D ．()2164t f t t -=-，()4g t t =+()4t ≠【正确答案】CD【分析】逐项判断即可，A 项定义域不同；B 项定义域不同；CD 项化简后三要素相同；【详解】对于A ：()f x x =的定义域为R ，()2x g x x=的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故A 错误；对于B ：()1f x =的定义域为R ，()()01g x x =-的定义域为()(),11,-∞+∞ ，因为这两个函数的定义域不同，所以这两个函数不是同一函数，故B 错误；对于C ：()()2f xx=的定义域为()0,∞+，()()2xg x =的定义域为()0,∞+，()()21f x x==，()()21xg x ==，所以这两个函数是同一函数，故C 正确；对于D ：()2164t f t t -=-的定义域为()(),44,-∞⋃+∞，()4g t t =+()4t ≠的定义域为()(),44,-∞⋃+∞，()21644t f t t t -==+-，所以这两个函数是同一函数，故D 正确；故选：CD.10．已知0a b >>，则下列说法中正确的有（）A ．2a ab >B ．b b m a a m +<+C ．()()ln 1ln 1a b ->-D ．11a b +>【正确答案】AD【分析】根据不等式的性质即可判断A ；利用作差法，举出反例即可判断B ，如0a m -<<；根据对数真数的特征即可判断C ；利用基本不等式即可判断D.【详解】解：对于A ，因为0a b >>，所以2a ab >，故A 正确；对于B ，()()m b a b b m a a m a a m -+-=++，当0a m -<<时，b b m a a m +>+，故B 错误；对于C ，当1,1a b >>时，()()ln 1,ln 1a b --无意义，故C 错误；对于D ，11a b +≥a b =时，取等号，又因0a b >>，所以11a b +>D 正确.故选：AD.11．已知函数()()()sin cos cos sin f x x x =+，下列关于该函数结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于直线2x π=对称B ．()f x 的一个周期是2πC ．()f x 的最大值为2D ．()f x 是区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的减函数【正确答案】BD根据正弦函数与余弦函数的性质，逐项判断，即可得出结果.【详解】由()()()sin cos cos sin f x x x =+，对于A ，()()()()()()()()πsin cos πcos sin πsin cos cos sin f x x x x x f x -=-+-=-+≠，故A 不正确；对于B ，()()()()()()()()2πsin cos 2πcos sin 2πsin cos cos sin f x x x x x f x +=+++=+=，故B 正确；对于C ，1cos 1x -≤≤，所以()sin cos y x =的最大值为sin1，当cos 1x =时，()cos sin cos 01y x ===，取得最大值，所以()f x 的最大值为sin11+，故C 不正确；对于D ，cos y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，且()πcos 0,10,2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，所以()sin cos y x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数；sin y x =在区间π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上是增函数，且()πsin 0,10,2x ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，所以()cos sin y x =在区间π0,2⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，故D 正确；故选：BD.思路点睛：求解三角函数性质相关的题目时，通常需要利用三角函数的性质（单调性、奇偶性、对称性、周期性等），由函数解析式，结合选项进行判断即可.12．已知函数()3log ,092sin ,91744x x f x x x ππ⎧<<⎪=⎨⎛⎫+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，若()()()()f a f b f c f d ===，且a b c d <<<，则（）A ．1ab =B ．26c d π+=C ．abcd 的取值范围是()153,165D ．+++a b c d 的取值范围是31628,9⎛⎫ ⎪⎝⎭【正确答案】ACD作出函数()f x 的图象，利用对数的运算性质可判断A 选项的正误，利用正弦型函数的对称性可判断B 选项的正误；利用二次函数的基本性质可判断C 选项的正误；利用双勾函数的单调性可判断D 选项的正误.【详解】由3log 2x ≤可得32log 2x -≤≤，解得199x ≤≤.作出函数()f x的图象如下图所示：由图象可得1191115179a b c d <<<<<<<<<，由33log log a b =，可得33log log a b -=，即()333log log log 0a b ab +==，得1ab =，A 选项正确；令()442x k k Z ππππ+=+∈，解得()41x k k Z =+∈，当()9,17x ∈时，令94117k <+<，解得24k <<，由于Z k ∈，3k ∴=，所以，函数[]()2sin 9,1744x y x ππ⎛⎫=+∈⎪⎝⎭的图象关于直线13x =对称，则点()(),c f c 、()(),d f d 关于直线13x =对称，可得26c d +=，B 选项错误；()()()22613169153,165abcd c c c =-=--+∈，C 选项正确；126a b c d a a+++=++，下面证明函数1y x x =+在()0,1上为减函数，任取1x 、()20,1x ∈且12x x <，则()12121212121111y y x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()1212211212121x x x x x x x x x x x x ---=-+=，1201x x <<< ，则120x x -<，1201x x <<，所以，12y y >，所以，函数1y x x=+在()0,1上为减函数，119a << ，则13162628,9a b c d a a ⎛⎫+++=++∈ ⎪⎝⎭，D 选项正确.故选：ACD.方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.三、填空题13．若幂函数()22y x ααα=+在（0，+∞）上单调递减，则α=___________.【正确答案】1-【分析】解方程221αα+=，再检验即得解.【详解】221αα+=，解得1α=-或12α=.当12α=时，12y x =，在（0，+∞）上单调递增，与已知不符，所以舍去.当1α=-时，1y x -=，在（0，+∞）上单调递减，与已知相符.故1-14．扇形面积为16，圆心角为2弧度，则该扇形的弧长为__________.【正确答案】8【分析】先由已知求出半径，从而可求出弧长【详解】设扇形所在圆的半径为r ，因为扇形的面积为16，圆心角为2弧度，所以212162r ⨯=，得4r =，所以该扇形的弧长为248⨯=，故815．若lg 2a =，103b =，则5log 24=___________．（用a 、b 表示）【正确答案】31a ba+-【分析】先转化指数式103b =为对数式，再利用换底公式即可求解.【详解】因为103b =，所以lg 3b =因此5lg 24lg8lg 33lg 2lg 3log 24lg 51lg 21lg 231a ba++===+---.故31a b a+-16．已知0,0x y >>且111211x y +=++，则x y +的最小值为___________.【分析】令21a x =+，1b y =+，将已知条件简化为111a b+=；将x y +用,a b 表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．【详解】解：令21a x =+，1b y =+，因为0,0x y >>，所以1,1a b >>，则12a x -=，1y b =-，所以111a b+=,所以13113122222a a a x yb b b a b -⎛⎫⎛⎫+=+-=+-=++- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1312222b a b a a b a b =+++-=+≥=当且仅当2111b a a b a b⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，即22b =，1a =，即2x y ==时取“=”，所以x y +故答案为四、解答题17．已知π3πsin cos tan(2π)22()tan(π)sin(π)f αααααα⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=--+．(1)化简()f α；(2)若34π3α=-，求()f α的值．【正确答案】(1)cos α-(2)12【分析】（1）利用三角函数诱导公式即可化简()f α；（2）利用三角函数诱导公式和特殊角三角函数值即可求得34π3α=-时()f α的值．【详解】（1）π3ππ3πsin cos tan(2π)sin cos tan()2222()tan(π)sin(π)tan()sin(π)f ααααααααααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫------- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭==--+-+()()()cos sin tan cos tan sin αααααα---==---.（2）34π3α=-时，34π34π34π2π1cos cos 12πcos 33332f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=--+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.18．已知sin 2cos αα+=（Ⅰ）求tan α的值；（Ⅱ）求sin 2cos 2sin cos αααα++的值．【正确答案】（Ⅰ）1tan 2α=（Ⅱ）sin 2cos 52sin cos 4αααα+=+【分析】（Ⅰ）由条件结合22sin cos 1αα+=，可得sin α和cos α，从而得解；（Ⅱ）由sin 2cos tan 22sin cos 2tan 1αααααα++=++，结合（Ⅰ）的值即可得解.【详解】（Ⅰ）因为sin 2cos αα+=,所以sin 2cos αα=-,代入22sin cos 1αα+=可得25cos 40αα-+=，所以)220α-=，故cos α=sin α=，所以1tan 2α=．（Ⅱ）因为sin 2cos tan 22sin cos 2tan 1αααααα++=++，所以12sin 2cos 5212sin cos 4212αααα++==+⨯+．本题主要考查了同角三角函数的基本关系，属于基础题.19．设函数()π2cos 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求()f x 的最小正周期和单调增区间；(2)当[]0,2πx ∈时，求()f x 的最大值和最小值．【正确答案】(1)4π，4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Zk ∈(2)最大值2，最小值1-【分析】（1）利用最小正周期公式求得()f x 的周期；利用余弦函数的单调性求得()f x 的单调增区间；（2）由条件利用余弦函数的定义域和值域，求得()f x 的最大值和最小值．【详解】（1）∵函数()π2cos 23x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，∴()f x 的最小正周期为2π4π12=，令π2ππ2π23x k k -≤-≤，Z k ∈，求得4π2π4π4π33k x k -≤≤+，Z k ∈故函数()f x 的单调增区间为4π2π4π,4π33k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．（2）当[]0,2πx ∈时，ππ2π,2333x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，∴π1cos ,1232x ⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故当π023x -=，即2π3x =时，函数()f x 取得最大值2，当π2π233x -=，即2πx =时，函数()f x 取得最小值为1-．20．已知函数2()(1),()1f x x g x kx =+=+（其中R k ∈）．(1)设关于x 的函数(),()(),()(),()().f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩当1k =时，在如图所示的坐标系中画出函数()h x 的图象，并写出()h x 的最小值（无需过程）；(2)求不等式()()f x g x ≤的解集．【正确答案】(1)图象见解析，最小值为0；(2)答案见解析【分析】（1）利用描点法即可得到函数()h x 的图象，进而得到()h x 的最小值；（2）按k 分类讨论，即可求得该一元二次不等式的解集.【详解】（1）k ＝1时，()h x 的图象如图所示：当x ＝－1时，函数()h x 取得最小值0．（2）因为()()f x g x ≤，故2(1)1x kx +≤+，即()20x x k --≤⎡⎤⎣⎦．①当k ＞2时，可得02x k ≤≤-；②当k ＝2时，可得x ＝0；③当k ＜2时，可得20k x -≤≤．综上所述：当k ＜2时，不等式的解集为[]2,0k -；当k ＝2时，不等式的解集为{}0；当k ＞2时，不等式的解集为[]0,2k -．21．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()e x f x x =．(1)求()f x 的解析式并判断函数的单调性（无需证明）；(2)若对任意的()22R,31(5)(3)40x f ax x f ax ax a x ∈--+-+-++>恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)22e ,0()e ,0x x x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩，单调递增；(2)()1,9【分析】（1）先利用奇函数定义求得x ＜0时()f x 的解析式，进而得到()f x 的解析式并判断该函数的单调性；（2）构造新函数()()h x f x x =+，利用()h x 的单调性将题给不等式转化为2(3)40ax a x -++>对任意的x ∈R 恒成立，进而求得实数a 的取值范围．【详解】（1）因为()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，2()e x f x x =，设x ＜0，则－x ＞0，则22()()()e e x x f x f x x x --=--=--=-．故22e ,0()e ,0x x x x f x x x -⎧-<=⎨≥⎩，函数()f x 在定义域R 上单调递增．（2）因为函数()f x 在定义域R 上的单调递增．原不等式恒成立等价于()223131(5)5f ax x ax x f ax ax --+-->--+-对任意的x ∈R 恒成立．即()223131(5)5f ax x ax x f ax ax --+-->-+-对任意的x ∈R 恒成立．构造函数()()h x f x x =+，则()h x 也是R 上的增函数.故原不等式恒成立等价于2315ax x ax -->-对任意的x ∈R 恒成立，即2(3)40ax a x -++>对任意的x ∈R 恒成立．①当a<0时，2(3)4y ax a x =-++为开口向下的二次函数，2(3)40ax a x -++>不恒成立；②当0a =时，3x 40-+>不恒成立；③当a ＞0时，由2(3)40ax a x -++>对任意的x ∈R 恒成立，可得()23160a a +-<，解得1＜a ＜9．综上，实数a 的取值范围是()1,9．22．已知函数2()lg ,R 1f x a a x ⎛⎫=+∈ ⎪-⎝⎭．(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)当[1,2)x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()lg 42x y =-的图象上方，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)a ＝1(2)()3-+∞【分析】（1）利用奇函数定义列出关于实数a 的方程，解之即可求得实数a 的值；（2）先将题给条件转化为关于实数a 的不等式恒成立，再利用换元法和均值定理即可求得实数a 的取值范围.【详解】（1）因为()f x 为奇函数，所以对于定义域内任意x ，都有()()0f x f x +-=，即22lg lg 011a a x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭．即22111a a x x ⎛⎫⎛⎫+⋅-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，即[][]2(1)2(1)21a x a x x -+⋅+-=-，化简得()()2221430a x a a ---+=．上式对定义域内任意x 恒成立，所以必有2210430a a a ⎧-=⎨-+=⎩，解得a ＝1．（2）要使[)1,2x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()lg 42x y =-的图象的上方，必须使24221x x a +>--在[)1,2x ∈上恒成立．令21x t =-，则[)1,3t ∈，上式整理得23a t t ⎛⎫>-+ ⎪⎝⎭，[)1,3t ∈．由基本不等式可知2t t +≥=（当且仅当[)1,3t =时，等号成立）即min 2t t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以max 233t t ⎡⎤⎛⎫-+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦所以a的取值范围是()3-+∞．。
山东省枣庄八中2022年高一数学第一学期期末教学质量检测试题含解析
而 .
故答案为：
14、
【解析】根据奇函数的性质及定义域的对称性，求得参数a，b的值，求得函数解析式，并判断单调性. 等价于 ，根据单调性将不等式转化为自变量的大小关系，结合定义域求得解集.
【详解】由题知， ，
则 恒成立，即 ， ，
又定义域应关于原点对称，则 ，解得 ，
因此 ， ，易知函数 单增，
设AO与平面ABCD所成角为α，
则sinα＝|cos | ，
cosα ，
∴tanα .
∴AO与平面ABCD所成角的正切值为 .
（3）C（0，1，0）， （ ）， （0，1，0）， （﹣1，1，0），
设平面AOB的法向量 （x，y，z），
则 ，取x＝1，得 （1，0，1），
设平面AOC的法向量 （a，b，c），
【详解】（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，
A（1，0，0），O（ ）， （1，0，1），C′（0，1，1），
（ ，1， ）， （﹣1，1，0），
设AO与A′C′所成角为θ，
则cosθ ，∴θ＝30°，
∴AO与A′C′所成角为30°.
（2）∵ （ ），面ABCD的法向量为 （0，0，1），
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．
山东省枣庄市高一数学上学期期末试卷(含解析)
2015-2016学年山东省枣庄市高一（上）期末数学试卷一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）A．{1} B．{1，4} C．{2，3} D．{1，2，3，4}2．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）A．30° B．60° C．120°D．150°3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）A．f（x）=1，f（x）=x0B．f（x）=|x|，f（t）=C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=•，g（x）=4．圆锥的底面半径为2，高为，则圆锥的侧面积为（）A．3πB．12π C．5πD．6π5．函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在区间为（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若m∥α，n∥α，则m∥n④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β其中正确命题的序号是（）A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④7．有两件事和四个图象，两件事为：①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家找到作业本再上学；②我出发后，心情轻松，缓缓前行，后来为了赶时间开始加速，四个图象如下：与事件①，②对应的图象分别为（）A．a，b B．a，c C．d，b D．d，c8．已知指数函数y=（2a﹣1）x在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．．…（6分）（2）因为A∩B=A，所以A⊆B．…（8分）所以m+1≥1．…（10分）解得m≥0．所以实数m的取值范围是，即y=x+3①…（8分）因为BC边上的高所在直线的方程为x+2y+3=0，所以其斜率为﹣．…（9分）所以直线BC的斜率k AC=2．…（10分）所以直线BC的方程为y+2=2（x+1），即y=2x ②…（11分）联立①②，解得x=3，y=6，所以C（3，6）．…（12分）【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．如图，平面DCBE⊥平面ABC，四边形DCBE为矩形，且BC=AB=AC，F、G分别为AD、CE的中点．（1）求证：FG∥平面ABC；（2）求证：平面ABE⊥平面ACD．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离．【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明FG∥平面ABC；（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABE⊥平面ACD．【解答】证明：（1）连接BD．因为四边形DCBE为矩形，且G为CE的中点，所以BD∩CE=G，且G为线段BD的中点．…（2分）又因为F为AD的中点，所以FG为△DAB的中位线．所以FG∥AB．…（4分）又因为FG⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，所以FGP∥平面ABC．…（5分）（2）因为DCBE为矩形，所以DC⊥CB．又因为平面DCBE⊥平面ABC，平面DCBE∩平面ABC=BC，DC⊂平面DCBE，所以DC⊥平面ABC．…（7分）所以DC⊥AB．…（8分）因为BC=AB=AC，所以AB=AC，且AB2+AC2=BC2．所以∠BAC=90°，即AB⊥AC．…（10分）又因为AC∩DC=C，AC⊂平面ACD，DC⊂平面ACD，所以AB⊥平面ACD．…（11分）又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACD． (12)【点评】本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．20．已知函数f（x）=log2（2x）•log2（4x），且≤x≤4．（1）求f（）的值；（2）若令t=log2x，求实数t的取值范围；（3）将y=f（x）表示成以t（t=log2x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最小值与最大值及与之对应的x的值．【考点】对数函数的图象与性质；函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．【分析】（1）代值计算对数即可；（2）由函数t=log2x在上是增函数，代值计算对数可得；（3）换元可得f（x）=t2+3t+2，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（1）∵函数f（x）=log2（2x）•log2（4x），且≤x≤4．∴f（）=log2（2）•log2（4）=log2•log2==；（2）∵函数t=log2x在上是增函数，∴当≤x≤4时，﹣2=log2≤t=log2x≤log24=2，故实数t的取值范围为；（3）f（x）=log2（2x）•log2（4x）=（1+log2x）（2+log2x）=（log2x）2+3log2x+2=t2+3t+2，令g（t）=t2+3t+2=（t+）2﹣，t∈，由二次函数可知当t=﹣时，函数取最小值﹣，此时log2x=﹣，解得x=；当t=2时，函数取最大值12，此时log2x=2，解得x=4．【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题．21．已知圆C的圆心在直线x﹣2y=0上．（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2，求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，直线l：y=﹣2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值；（3）已知点N（0，3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使MN=2MO （O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围．【考点】直线和圆的方程的应用．【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；直线与圆．【分析】（1）设圆心为（2a，a），通过圆C与y轴的正半轴相切，得到半径r=2a．利用该圆截x轴所得弦的长为2，列出方程求解即可．（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及判别式，结合直线的斜率关系，即可求出b的值．（3）设圆C的圆心为（2a，a），圆C的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9，设M点的坐标为（x，y），利用|3﹣2|≤，且a＞0，求出圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]．【解答】解：（1）因为圆C的圆心在直线x﹣2y=0上，所以可设圆心为（2a，a）．因为圆C与y轴的正半轴相切，所以a＞0，半径r=2a．又因为该圆截x轴所得弦的长为2，所以a2+（）2=（2a）2，解得a=1．…（2分）因此，圆心为（2，1），半径r=2．所以圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．…（4分）（2）由消去y，得（x﹣2）2+（﹣2x+b﹣1）2=4．整理得5x2﹣4bx+（b﹣1）2=0．（★）…（5分）由△=（﹣4b）2﹣4×5（b﹣1）2＞0，得b2﹣10b+5＜0（※）…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=（7分）因为以AB为直径的圆过原点O，可知OA，OB的斜率都存在，且k OA•k OB==﹣1整理得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（﹣2x1+b）（﹣2x2+b）=0．化简得5x1x2﹣2b（x1+x2）+b2=0，即（b﹣1）2﹣2b•+b2=0．整理得2b2﹣10b+5=0．解得b=．…（9分）当b=时，2b2﹣10b+5=0，b2﹣10b+5=﹣b2．③由③，得b≠0从而b2﹣10b+5=﹣b2＜0可见，b=时满足不等式（※）．b=均符合要求．…（10分）（3）圆C的半径为3，设圆C的圆心为（2a，a），由题意，a＞0．则圆C的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9．…（11分）又因为MN=2MD，N（0，3），设M点的坐标为（x，y），则=，整理得x2+（y+1）2=4．…（12分）它表示以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，记为圆D．由题意可知，点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点．所以|3﹣2|≤，且a＞0．…（13分）即1，且a＞0．所以即解得0＜a≤2．所以圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]．…（14分）【点评】本题考查圆的方程的综合应用，圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．。
2019-2020学年山东省枣庄市高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年山东省枣庄市高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合{}2,{|13}A x x B x x ==<<，则A B ⋂=（ ） A ．{}2x x B ．{}1x xC ．{|23}x x <<D ．{|13}x x <<【答案】C【解析】试题分析：由交集的定义可得{}/23A B x x ⋂=<<,故选C. 【考点】集合交集 2．3tan 4π=( )A ．1B ．-1CD ．【答案】B【解析】利用正切的诱导公式和特殊角的正切值求值即可. 【详解】3tantan()tan 1444ππππ=-=-=-. 故选：B 【点睛】本题考查了正切的诱导公式和特殊角的正切值，属于基础题.3．设2log 0.3,a =0.53,b =0.50.3c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a b c >> B ．c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >>【答案】D【解析】运用对数函数、指数函数的单调性，利用中间值法进行比较即可. 【详解】22log 0.3log 10,a =<=0.50331,b =>=050.00.30.0131c <=∴<<<Q ，因此可得b c a >>.故选：D 【点睛】本题考查了对数式、指数式之间的大小比较问题，考查了对数函数、指数函数的单调性，考查了中间值比较法，属于基础题.4．在下列区间中，函数26()log f x x x=-的零点所在的区间为（ ） A ．1(,1)2B ．（1，2）C ．（3，4）D ．（4，5）【答案】C【解析】根据函数的零点存在定理得到结果即可. 【详解】 函数()26log f x x x =-,是单调递减的函数，()232log 30f =->,()3 4202f =-<根据零点存在定理得到在区间（3，4）上存在零点. 故答案为：C 【点睛】这个题目考查了函数零点存在定理的应用，即在区间（a,b ）上，若f(a)f(b)<0,则在此区间上函数一定存在零点，但是零点个数不确定；如果判断出函数是单调的，再判断出f(a)f(b)<0，即可得到函数存在唯一的零点.5．要得到函数cos(21)y x =+的图象，只要将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位 C ．向左平移 12个单位 D ．向右平移12个单位 【答案】C【解析】y ＝cos2x 向左平移12个单位得y ＝cos2(x ＋12)＝cos(2x ＋1)，选C 项．6．如图，质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为()02,2P -,角速度为1，那么点P 到x 轴距离d 关于时间t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】【详解】通过分析可知当0t =时，点 P 到 轴距离d 2，于是可以排除答案A ，D ； 再根据当14t π=时，可知点 P 在 x 轴上此时点 P 到 x 轴距离 d 为 0 ，排除答案 B 故选C.7．已知0,a >0b >，则“1120192020420192020a b a b+++=”是“11(20192020)20192020a b a b ⎛⎫++⎪⎝⎭4=”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】根据充分性和必要性的定义，结合基本不等式可以选出正确答案. 【详解】 因为1111201920192,20202202022019201920202020a a b a a a b a+≥⋅=+≥⋅=（当且仅当11,20192020a b ==分别取等号），所以1120192020420192020a b a b +++≥，而当1120192020420192020a b a b +++=成立时，则必有11,20192020a b ==同时成立，此时1111(20192020)411201920202019202020192020⎛⎫⎪⨯+⨯+= ⎪ ⎪⨯⨯⎝⎭显然成立，因此由1120192020420192020a b a b+++=能推出11(20192020)20192020a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭4=成立；当11(20192020)420192020a b a b ⎛⎫++=⎪⎝⎭成立时，11(20192020)224201920202019202020202019a b a b a b b a ⎛⎫++=++≥+= ⎪⎝⎭（当且仅当20192020a b =取等号），而当11(20192020)20192020a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭4=成立时，则必有20192020a b =成立，此时不一定能推出11,20192020a b ==同时成立，因此由11(20192020)20192020a b a b ⎛⎫++ ⎪⎝⎭4=不一定能推出1120192020420192020a b a b+++=成立.故选：A 【点睛】本题考查了充分不必要条件的判断，考查了基本不等式的应用，注意在运用基本不等式时要注意到等号成立的条件.8．已知函数()sin sin3,f x x x =-[0,2]x πÎ，则函数()f x 的所有零点之和等于( ) A ．4π B ．5πC ．6πD ．7π【答案】D【解析】问题可以转化为sin sin 3,x x =[0,2]x πÎ，利用二倍角的正弦、余弦公式和两角和的正弦公式、同角的三角函数关系式化简方程，最后求出所有零点之和即可. 【详解】()sin sin30sin sin3sin sin(2)cos cos(2)sin f x x x x x x x x x x =-=⇒=⇒=+，222232sin 2sin cos (12sin )sin sin 2sin (1sin )(12sin )sin sin 3sin 4sin sin (2sin 1)0x x x x x x x x x x x x x x x ⇒=+-⇒=-+-⇒=-⇒-=所以sin 0,x =或sin 2x =或sin 2x =-，因为[0,2]x πÎ，所以有12345673570,,2,,,,4444x x x x x x x ππππππ=======，所以函数()f x 的所有零点之和为：3570274444πππππππ++++++=. 故选：D 【点睛】本题考查了零点概念，考查了二倍角的正弦、余弦公式，考查了两角和的正弦公式，考查了同角的三角函数关系式，考查了特殊角的正弦值，考查了数学运算能力.二、多选题9．最小正周期为π的函数有( ) A ．2cos2x y = B ．|sin |y x = C ．cos |2|y x =D ．tan 24y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭【答案】BC【解析】利用降幂公式，三角函数的图象特征，最小正周期公式进行判断即可选出正确答案. 【详解】选项A ：21cos cos 22x x y +==，它的最小正周期为：221ππ=，不符合题意； 选项B ：函数|sin |y x =的图象是把sin y x =的图象中横轴下方的部分以横轴为对称轴翻折上去，而sin y x =的最小正周期是2π，所以|sin |y x =的最小正周期为π，符合题意；选项C ：函数cos |2|y x =的图象与cos(2)y x =的图象一样，而cos(2)y x =的最小正周期为22ππ=，故cos |2|y x =的最小正周期也是π，符合题意； 选项D ：tan 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为：22ππ=，不符合题意. 故选：BC 【点睛】本题考查了正弦型、余弦型函数、正切型函数的最小正周期公式，考查了图象的变换，考查了数学运算能力. 10．设函数()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()f x ( )A ．是偶函数B ．在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 C ．最大值为2 D ．其图像关于直线2x π=对称【答案】ABD【解析】利用辅助角公式、诱导公式化简函数()f x 的解析式，然后根据余弦函数的性质对四个选项逐一判断即可. 【详解】()sin 2cos 2224444f x x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.选项A ：()2))()f x x x f x -=-==，它是偶函数，本说法正确；选项B ：0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,x π∈，因此()f x 是单调递减，本说法正确；选项C ：()2f x x =，本说法不正确；选项D ：当2x π=时，()22f x π=⨯=2x π=时，函数有最小值，因此函数图象关于2x π=对称，本说法正确.故选：ABD 【点睛】本题考查了辅助角公式、诱导公式、考查了余弦型函数的性质，属于基础题. 11．某同学在研究函数()1||xf x x =+()x R ∈时，给出下面几个结论中正确的有( )A ．()f x 的图象关于点(1,1)-对称B ．若12x x ≠，则()()12f x f x ≠C ．()f x 的值域为(1,1)-D ．函数()()g x f x x =-有三个零点【答案】BC【解析】先判断函数的奇偶性，再利用绝对值性质化简函数的解析式，判断函数的值域，然后再根据零点的定义判断即可. 【详解】函数()f x 的定义域为全体实数，()()1||1||x xf x f x x x --==-=-+-+，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，,01()1,01xx x xf x x x x x⎧≥⎪⎪+==⎨+⎪<⎪-⎩. 选项A ：由上分析函数关于原点对称，若函数关于(1,1)-对称，原点关于(1,1)-对称的点是(2,2)-，而22(2)21|2|3f --==-≠+-，显然(2,2)-不在该图象上，故函数不关于(1,1)-对称，本选项是错误的；选项B ：当0x ≥时，1()111x f x x x ==-++，显然函数单调递增，此时0()1f x ≤<；当0x <时，1()111x f x x x==-+--，显然函数单调递增，此时1()0f x -<<，因此函数在整个实数集上是单调递增的，因此若12x x ≠，则()()12f x f x ≠是正确的，本选项是正确的；选项C ：由选项B 的分析可以知道本选项是正确的；选项D ：001()()0(||1|)|g x f x x f x x x x xx x x x -=⇒=⇒=++=-=⇒=⇒，只有一个零点，故本选项是错误的. 故选：BC 【点睛】本题考查了函数的奇偶性、值域、零点、对称性、单调性，属于基础题. 12．具有性质：1()f f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的函数，我们称为满足“倒负”变换的了函数下列函数中了函数有( )A ．1y x x=-B ．1y x x=+C ．,010,11,1x x x y x x<<⎧⎪=⎪=⎨⎪->⎪⎩D ．1ln(0)1xy x x-=≠+ 【答案】AC【解析】根据所给的倒负变换的定义逐一判断即可. 【详解】选项A ：11111():()()1f x x f x f x x x x xx=-=-=-+=-，所以函数1y x x=-符合题意；选项B ：11111():()()1f x x f x f x x x x xx=+=+=+=，所以函数1y x x=+不符合题意；选项C ：当01x <<时，11x>，所以有11()1f x f x x x⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭， 当1x =时，(1)0f =， 当1x >时，101x <<，所以有111()()f f x x xx ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭，所以函数,010,11,1x x x y x x<<⎧⎪=⎪=⎨⎪->⎪⎩符合题意；选项D ：1()ln(0):1x y f x x x -==≠+11111()ln ln ln 1111x x x f x x x x---==≠-+++，所以不符合题意. 故选：AC 【点睛】考查了新定义题，考查了数学运算能力.三、填空题13．若扇形圆心角为120o ，扇形面积为43π，则扇形半径为__________. 【答案】2【解析】先将角度转化为弧度，然后利用扇形面积公式列方程，由此求得扇形的半径. 【详解】依题意可知，圆心角的弧度数为2π3，设扇形半径为r ，则212π4π,2233r r ⨯==. 【点睛】本小题主要考查角度制和弧度制的转化，考查扇形面积公式212S r α=⋅⋅，属于基础题.14．若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为1m （，），则实数m =____________. 【答案】12【解析】由不等式2x 2﹣3x +a ＜0的解集为（ m ，1）可知：x ＝m ，x ＝1是方程2x 2﹣3x +a ＝0的两根．根据韦达定理便可分别求出m 和a 的值． 【详解】由题意得：1为2230x x a -+=的根，所以1a =， 从而2112310122x x x m -+<⇒<<⇒= 故答案为12【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，属于基础题． 15．若函数()2sin()f x x ωϕ=+0,||2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图像如图所示，则ω=________；ϕ=________.【答案】23π【解析】根据最高点的坐标和函数的零点，可以求出周期，进而可以求出ω的值，再把最高点的坐标代入函数解析式中，最后求出ϕ的值. 【详解】通过函数的图象可知函数最高点的坐标为：(,2)12π，与它隔一个零点的零点是56π，设函数的最小正周期为T ，则354612T T πππ=-⇒=，而 2,0,2T ππωωω==>∴=Q ，把(,2)12π代入函数解析式中，得 2sin(2)222212122332k k ππππππϕϕπϕπϕϕ⋅+=⇒⋅+=+⇒=<∴=+Q .故答案为：2ω=；3πϕ=【点睛】本题考查了利用图象求正弦型函数解析式，考查了数形结合能力. 16．已知34,1()3,1xx x f x x ->⎧=⎨≤⎩,若a b <，()()f a f b =，则3a b +的取值范围是_________ 【答案】(],8-∞【解析】本道题结合分段函数,绘制图像,结合图像可知要使得()()f a f b =,关键使得做一条直线平行于x 轴，能使得与()f x 有两个交点，计算a,b 的范围，即可。
山东省枣庄市第十五中学中学高一数学理上学期期末试卷含解析
山东省枣庄市第十五中学中学高一数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数在[2，3]上最小值是（）A．1 B．2 C．3D．5参考答案：B2. 设，则“”是“”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件参考答案：A【详解】由题意得，不等式，解得或，所以“”是“”的充分而不必要条件，故选A．考点：充分不必要条件的判定．3. 已知，则下列不等式成立的是( )A. B. C. D.参考答案：D【分析】依次判断每个选项得出答案.【详解】A. ，取，不满足，排除B. ，取，不满足，排除C. ，当时，不满足，排除D. ，不等式两边同时除以不为0的正数，成立故答案选D【点睛】本题考查了不等式的性质，意在考查学生的基础知识.4. 函数的定义域为A．B．C．D．参考答案：A5. 设函数，用二分法求方程的解，则其解在区间A.(1,1.5)B.(1.5,2)C.(2,2.5)D. (2.5,3)参考答案：A6. 化简（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】减法先变为加法，利用向量的三角形法则得到答案.【详解】故答案选A【点睛】本题考查了向量的加减法，属于简单题.7. 已知集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，5}，P={2，4}，则下列结论正确的是（）A．1∈?U（M∪P）B．2∈?U（M∪P）C．3∈?U（M∪P）D．6??U（M∪P）参考答案：C【考点】元素与集合关系的判断．【分析】首先计算M∪P，并求其补集，然后判断元素与集合的关系．【解答】解：由已知得到M∪P={1，5，2，4}；所以?U（M∪P）={3，6}；故A、B、D错误；故选：C．8. 若直线x=3的倾斜角为，则=（）A. B. C. D.不存在参考答案：C略9. 设函数f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），当，x∈（0，2）时，f（x）=2x，则fA．﹣2 B．﹣1 C．D．参考答案：A【考点】抽象函数及其应用；函数的值．【分析】由于对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），则4为f（x）的周期，从而f=f（﹣1）=﹣f （1），再由已知解析式代入计算即可得到．【解答】解：由f（x）是定义在R上的奇函数，得f（﹣x）=﹣f（x），又x∈（0，2）时，f（x）=2x，所以f（1）=2，因为对任意x∈R都有f（x）=f（x+4），所以4为f（x）的周期，所以f=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2．故选：A．10. 如图，已知l1⊥l2，圆心在l1上，半径为1m的圆O在t=0时与l2相切于点A，圆O沿l1以1m/s的速度匀速向上移动，圆被直线l2所截上方圆弧长记为x，令y=，则y与时间t（0≤t≤1，单位：s）的函数y=f（t）的图象大致为（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】函数的图象．【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用．【分析】通过t=0时y=0，排除选项C、D，利用x的增加的变化率，说明y=sin2x的变化率，得到选项即可．【解答】解：因为当t=0时，x=0，对应y=0，所以选项C，D不合题意，当t由0增加时，x的变化率先快后慢，又y=sin2x在[0，1]上是增函数，所以函数y=f（t）的图象变化先快后慢，所以选项B满足题意，C正好相反，故选：B．【点评】本题考查函数图象的变换快慢，考查学生理解题意以及视图能力，属于中档题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 直线被圆截得的弦长为．参考答案：12. 函数满足对任意x1≠x2都有成立，则a的取值范围是．参考答案：[﹣1，3）【考点】函数的连续性；函数单调性的性质．【专题】计算题；转化思想．【分析】函数满足对任意x1≠x2都有成立，由增函数的定义知，此函数是一个增函数，由此关系得出a的取值范围【解答】解：根据题意，由增函数的定义知，此函数是一个增函数；故有，解得﹣1≤a＜3则a的取值范围是[﹣1，3）故答案为[﹣1，3）【点评】本题考查函数的连续性，解题本题关键是根据题设中的条件得出函数是一个增函数，再有增函数的图象特征得出参数所满足的不等式，这是此类题转化常的方式，本题考查了推理论证的能力及转化的思想13. 若数列满足，且，则参考答案：略14. 若函数是偶函数时,,则满足的实数x取值范围是．参考答案：(－5,4)∵函数f(x)是偶函数，且x≥0时, f(x)=lg(x+1),∴x≥0时, f(x)单调递增，∴x＜0时, f(x)单调递减．又f(9)=lg(9+1)=1,∴不等式f(2x+1)＜1可化为f(2x+1)＜f(9),∴|2x+1|＜9，∴－9＜2x+1＜9，解得－5＜x＜4，∴实数取值范围是(－5,4)．15. 已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）=，则关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的所有根之和为．参考答案：1﹣2a【考点】根的存在性及根的个数判断；函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数性质作出函数的图象，依次标出零点，根据对称性得到零点的值满足x1+x2，x4+x5的值，运用对数求解x3满足：log2（x3+1）=﹣a，可出x3，可求解有根之和．【解答】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x），∵当x≥0时，f（x）=，∴当x＜0时，f（x）=作出图象：∵关于x的方程f（x）+a=0（0＜a＜1）的根转化为f（x）的图象与y=﹣a（0＜a＜1）图象的交点问题．从图象上依次零点为：x1，x2，x3，x4，x5，根据对称性得到零点的值满足x1+x2=﹣6，x4+x5=6，x3满足：log（1﹣x3）=﹣a，解得：故得x1+x2+x3+x4+x5=1﹣2a故答案为：1﹣2a．16. 幂函数的图象经过点)，则其解析式是 ▲．参考答案：5_ 略17. 把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是___________。
2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省枣庄市第九中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合，，则（ ）{1,0,1,2}A =-{|lg(1)}B x y x ==+A B = A ．B ．C ．D ．{1,0,1,2}-{0,1,2}{1,2}{2}【答案】B【解析】求出函数的定义域确定集合，然后由交集定义计算．B 【详解】，∴.{1,0,1,2},{|1}A B x x =-=>-{0,1,2}A B ⋂=故选：B ．2．命题“，”的否定是 [)x 0,∞∀∈+22x x 0-≥()A ．，B ．，[)x 0,∞∀∉+22x x 0-<[)x 0,∞∀∉+22x x 0-≥C ．，D ．，[)x 0,∞∃∈+22x x 0-<[)x 0,∞∃∈+22x x 0-≥【答案】C【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行判断即可．【详解】命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，据此可得命题“，”的否定是，，[)0,x ∞∀∈+220x x -≥[)0,x ∃∈+∞220x x -<故选C ．【点睛】本题主要考查全称命题的否定，属于基础题.3．下列函数中，既是其定义域上的单调函数，又是奇函数的是（ ）．A ．B ．C ．D ．tan y x =3xy =y =3y x=【答案】D【分析】根据函数的解析式直接判断函数的奇偶性和单调性即可．【详解】对A: 它是奇函数，它在区间上递增，但在定义域上不是tan y x =(,)()22k k k Z ππππ-+∈单调函数;对B: 是非奇非偶函数；3xy =对C: y =对D:是奇函数，在定义域内是增函数．3y x =4． 设则“且”是“”的,,x y R ∈2x ≥2y ≥224x y +≥A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．即不充分也不必要条件【答案】A【详解】试题分析：若x≥2且y≥2，则x 2≥4，y 2≥4，所以x 2+y 2≥8，即x 2+y 2≥4；若x 2+y 2≥4，则如（-2，-2）满足条件，但不满足x≥2且y≥2．所以“x≥2且y≥2”是“x 2+y 2≥4”的充分而不必要条件．故选A ．【解析】本题考查充分、必要、冲要条件．点评：本题也可以利用几何意义来做：“”表示为以原点为圆心，2为半径的圆外的点，224x y +≥包括圆周上的点，“且”表示横坐标和纵坐标都不小于2的点．显然，后者是前者的一部分，2x ≥2y ≥所以选A ．这种做法比分析中的做法更形象、更直观．5．若，，，则（ ）202112020a ⎛⎫= ⎪⎝⎭120202021b =20201log 2021c =A ．B ．C ．D ．a b c >>a c b >>c a b >>b a c>>【答案】D【分析】根据对数函数、指数函数的单调性比较大小即可.【详解】由函数，，的单调性可知，12020x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭2021xy =2020log y x =20211012020a ⎛⎫<=< ⎪⎝⎭，，故.1202020211b =>20201log 02021c =<b a c >>故选：D6．函数在区间的图象大致是（）sin cos xxy x+=[]2,2ππ-A ．B ．C ．D ．【解析】判断函数非奇非偶函数，排除选项A 、B ，在计算时的函数值可排除选项D ，进而x π=-可得正确选项.【详解】因为，且，()sin cos x xf x x-+-=()()f x f x -≠-()()f x f x -≠所以既不是奇函数也不是偶函数，排除选项A 、B ，sin cos x xy x+=因为，排除选项D ，()()()sin cos 10f πππππ-+---==<-故选：C【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.7．如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ､直角边AB ､AC ，已知以直角边AC ､AB 为直径的半圆的面积之比为，记，则的值为（ ）14ABC θ∠=sin 2cos cos sin θθθθ-+A ．-1B ．-2C ．0D ．1【答案】A【分析】由圆的面积公式及半圆面积比可得，即有，将目标式由弦化切求值即可.12AC AB =1tan 2θ=【详解】以直角边AC ，AB 为直径的半圆的面积分别为：，()221228AC AC ππ⋅⎛⎫⨯⨯=⎪⎝⎭，()221228AB AB ππ⋅⎛⎫⨯⨯= ⎪⎝⎭由面积之比为，得：，即，14()()2214AC AB =12AC AB =在中，，则，Rt ABC 1tan tan 2AC ABC AB θ=∠==12sin 2cos tan 2211cos sin 1tan 12θθθθθθ---===-+++故选：A.8．已知函数是定义在上的偶函数，且当时， ()f x (,0)(0,)-∞+∞ 0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩，则方程解的个数为（ ）()1f x =A ．B ．C ．D ．46810【答案】D【分析】当时，作出函数的图象，把方程解的个数，转化为函数与0x >()f x ()1f x =()y f x =的图象交点的个数，结合图象和函数的奇偶性，得到图象交点的个数，即可求解.1y =【详解】由题意，函数当时，，0x >()()()22,0414,42x x f x f x x ⎧-<≤⎪=⎨->⎪⎩作出函数的图象，如图所示，()f x 又由方程解的个数，即为函数与的图象交点的个数，()1f x =()y f x =1y =当时，结合图象，两函数与的图象有5个交点，0x >()y f x =1y =又由函数为偶函数，图象关于轴对称，()y f x =y 所以当时，结合图象，两函数与的图象也有5个交点，0x <()y f x =1y =综上可得，函数与的图象有10个交点，()y f x =1y =即方程解的个数为10.()1f x =故选：D.二、多选题9．设、、为实数且，则下列不等式一定成立的是（ ）a b c a b >A ．B ．11a b >ln ln a b>C ．D ．()20221a b ->()()2211a c b c +>+【答案】CD【分析】取，可判断A 选项；利用对数函数的基本性质可判断B 选项；利用指数函数0a b >>的单调性可判断C 选项；利用不等式的基本性质可判断D 选项.【详解】对于A ，若，则，所以A 错误；0a b >>11a b <对于B ，函数的定义域为，而、不一定是正数，所以B 错误；ln y x =()0,∞+a b 对于C ，因为，所以，所以C 正确；0a b ->()20221a b ->对于D ，因为，所以，所以D 正确.210c +>()()2211a c b c +>+故选：CD10．设函数的图象为曲线，则下列结论中正确的是（ ）π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E A ．是曲线的一个对称中心π(,0)12-E B ．若，且，则的最小值为12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -2πC ．将曲线向右平移个单位长度，与曲线重合sin 2y x =π3E D ．将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，与曲线重合πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12E 【答案】BD【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论.sin()y A x ωϕ=+【详解】函数的图象为曲线，π()sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭E 令，求得，为最小值，故的图象关于直线对称，故A 错误；12x π=-()1f x =-()f x 12x π=-若，且，则的最小值为，故B 正确；12x x ≠12()()0f x f x ==12||x x -122222T ππ=⨯=将曲线向右平移个单位长度，可得的图象，故C 错误；sin 2y x =π32sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭将曲线上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，可得的图象，πsin 3y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭12sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭与曲线E 重合，故D 正确，故选：BD.11．已知函数，关于函数的结论正确的是（ ）()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩()f x A ．B ．的值域为()13f =()f x (),4-∞C ．的解集为D ．若，则()1f x <()1,1-()3f x =x 【答案】BD【分析】将代入可知A 错误；分别在和的情况下，结合一次函数和1x =()2f x x =1x ≤-12x -<<二次函数的值域求法可知B 正确；分别在和的情况下，根据解析式构造不等式和1x ≤-12x -<<方程求得CD 正误.【详解】对于A ，，A 错误；()2111f ==对于B ，当时，；当时，；1x ≤-()2121f x x =+≤-+=12x -<<()[)20,4f x x =∈的值域为，B 正确；()f x \(),4-∞对于C ，当时，，解得：；1x ≤-()21f x x =+<-3x <-当时，，解得：；12x -<<()21f x x =<11x -<<的解集为，C 错误；()1f x ∴<()(),31,1-∞-- 对于D ，当时，，解得：（舍）；1x ≤-()23f x x =+=1x =当时，，解得：12x -<<()23f x x ==x =x =的解为D 正确.()3f x ∴=x =故选：BD.12．已知函数，且，则（ ）()221xf x a =-+()113f =A ．1a =B ．为非奇非偶函数()f x C ．函数的值域为()f x ()1,1-D ．不等式的解集为()()23130f x f x -+-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】ACD 【分析】由求得可判断A ；利用奇偶性定义可判断B ；由的范围可得的范围，()113f =a x 2121-++x可判断C ；利用的单调性可判断D.()f x 【详解】，求得，A 正确；()211213f a =-=+1a =时，，1a =()22112121x x x f x -=-=++∵，∴为奇函数，B 不正确；()()21122112x x x x f x f x -----===-++x R ∈()f x ∵，∴，∴，，20x >211x+>10121x <<+22021x --<<+∴，C 正确；211121x --<+<+，因为是上单调递增函数，是上单调递减函数，()2121x f x =-+21xy =+R 221x y =+R 所以是上单调递增函数，()2121xf x =-+R ∴，()()()()()2231303133f x f x f x f x f x -+-<⇒-<--=-∴，∴，∴解集为，D 正确.2313x x -<-2340x x +-<4,13⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：ACD.三、填空题13．已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为___________.π24π3【答案】π6【分析】由扇形的圆心角与面积求得半径再利用弧长公式即可求弧长.【详解】设扇形的半径为r ，由扇形的面积公式得：，解得，该扇形的弧长为2π1π3224r =⨯4r =.ππ4246⨯=故答案为：.π614．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么＝________.12x -【分析】从外向里一层一层的求出对数的真数，求出x 的值【详解】∵log 7[log 3(log 2x )]＝0，∴log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴23＝x ，∴()113222x --==＝【点睛】利用对数式与指数式的相互转化从外向里求出真数，属于基础题．15．已知（，为常实数），若，则())2021log sin 8f x a x b x =--a a ()54f -=___________.()5f =【答案】20-【分析】由得出，进而得出.()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-()5f【详解】，()()2021log sin 8f x a x b x ⎫-=----⎪⎭，())2021log sin 8f x a x b x -=-++-∴，∴，()()16f x f x -+=-()()5516f f -+=-∵，∴.()54f -=()520f =-故答案为：20-四、双空题16．已知正实数满足，则当__________时，的最小值是,x y 22412x y xy +=+x =121x y xy ++__________．【答案】 612【解析】利用基本不等式可知，当且仅当“”时取等号.而运用基本不等式12xy ≤122y x ==121x y xy ++后，结合二次函数的性质可知恰在时取得最小值，由此得解.122y x ==【详解】解：由题意可知：，即，当且仅当“”224124x y xy xy+=+≥=12xy ≤122y x ==时取等号，，当且仅2121112x yxy xy xy++≥=+=-∴226≥-=当“”时取等号.122y x ==故答案为：，6.12【点睛】本题考查基本不等式的应用，同时也考查了配方法及二次函数的图像及性质，属于基础题.五、解答题17．已知集合，，，全集{A x y =={}260B x x x =--<{}C x x a =<U =R(1)求，；A B ⋃()U A B⋂ (2)若，求实数的取值范围．A C ⋂≠∅a 【答案】(1)；(]2,8A B =- ()()2,2U A B =- (2)()2,+∞【分析】（1）根据偶次根式被开方数大于等于零，进而解一元二次不等式分别求得集合，由并,A B 集、补集和交集的定义可得结果；（2）由可得的范围，取补集即可得到时的范围.A C ⋂=∅a A C ⋂≠∅a 【详解】（1）由得：，即；210160x x -+-≥28x ≤≤[]2,8A =由得：，即，；260x x --<23x -<<()2,3B =-(]2,8A B ∴=- ，.()(),28,U A =-∞+∞ ()()2,2U A B ∴=-（2）由题意知：；(),C a =-∞若，则，时，的取值范围为.A C ⋂=∅2a ≤A C ∴≠∅ a ()2,+∞18．已知函数（且）.()()()log 2log 2a a x x f x =+--0a >1a ≠(1)判断的奇偶性并予以证明；()f x (2)若一元二次不等式的解集为，求不等式的解集.20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦()f x c >【答案】(1)奇函数，证明见解析(2){}20x x -<<【分析】（1）先求定义域，再由奇偶性定义证明即可；（2）根据解集得出，，再利用对数函数的单调性解不等式即可.12a =0c =【详解】（1）要使有意义，必须且，()f x 20x +>20x ->解得，所以的定义域为.22x -<<()f x ()2,2-是奇函数.()f x 证明如下：的定义域为，关于原点对称，()f x ()2,2-∵，()()()()()()log 2log 2log 2log 2a a a a f x x x x x f x -=-+-+=-+--=-⎡⎤⎣⎦∴为奇函数.()f x （2）由不等式的解集为，20x ax c -+≤10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦∴得，，10,210,2c a ⎧⨯=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩12a =0c =∴，得，()()()1122log 2log 20f x x x =+-->()()1122log 2log 2x x +>-∵为减函数，12log y x =∴20,20,22,x x x x +>⎧⎪->⎨⎪+<-⎩解得：，所以解集为.20x -<<{}20x x -<<19．已知.3sin cos αα=(1)若为锐角，求的值；αcos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求的值.tan 24πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】(2)7【分析】（1）由已知结合同角三角函数的平方关系可解得，然后由余弦的两角和可得；sin ,cos αα（2）由已知可得，由二倍角公式可得，最后由正切的两角和可得.tan αtan 2α【详解】（1）由，为锐角223sin cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩α解得sin αcos α=∴cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭cos cos sin sin 33ππαα=-12==（2）由3sin cos αα=得1tan 3α=则22122tan α33tan2α1tan α4113⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭31πtan2α14tan 2α7341tan2α14++⎛⎫∴+=== ⎪-⎝⎭-20．目前全球新冠疫情严重，核酸检测结果成为是否感染新型冠状病毒的重要依据，某核酸检测机构，为了快速及时地进行核酸检测，花费36万元购进核酸检测设备.若该设备预计从第1个月到第个月的检测费用和设备维护费用总计为万元，该设备每月检测收入为20万元.n ()*n ∈N ()25n n +(1)该设备投入使用后，从第几个月开始盈利？（即总收入减去成本及所有支出费用之差为正值）；(2)若该设备使用若干月后，处理方案有两种：①月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出；②盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.哪一种方案较为合算？请说明理由.【答案】(1)第4个月开始盈利(2)方案①较为合算，理由见解析【分析】（1）求出利润表达式然后解不等式可得答案；（2）分别计算出两种方案的利润比较可得答案.【详解】（1）由题意得，即，()2203650n n n --+>215360n n -+<解得，∴.312n <<()*3n n >∈N ∴该设备从第4个月开始盈利.（2）该设备若干月后，处理方案有两种：①当月平均盈利达到最大值时，以20万元的价格卖出，.()22036536153n n n n n n --+⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭当且仅当时，取等号，月平均盈利达到最大，6n =∴方案①的利润为：（万元）.()2063636302038⨯--++=②当盈利总额达到最大值时，以16万元的价格卖出.，()222158120365153624y n n n n n n ⎛⎫=--+=-+-=--+ ⎪⎝⎭∴或时，盈利总额最大，7n =8n =∴方案②的利润为20+16=36（万元），∵38>36，∴方案①较为合算.21．已知函数的图像向右平移个单位长度得到的图像， ()()2sin 0,22x f x ωϕωπϕ=≥<⎛⎫+ ⎪⎝⎭6π()g x 图像关于原点对称，的相邻两条对称轴的距离是.()g x ()f x 2π（1）求在上的增区间;()f x []0,π（2）若在上有两解，求实数的取值范围.()230f x m -=+0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦m【答案】（1）；（2）.70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦12⎛ ⎝【解析】（1）由的相邻两条对称轴的距离是，可得函数的周期，从而得出的值，由平移()f x 2πω得出的解析式，根据图像关于原点对称，可求出的值，从而可求单调增区间,得出()g x ()g x ϕ()f x 答案.（2）令 则，则，根据有两解，即23t x π=+4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈()230f x m -=+有两解，从而可得答案.2sin 32t m =-【详解】解:由的相邻两条对称轴的距离是，则，()f x 2π22T ππω==1,ω∴=()()2sin 2f x x ϕ∴=+()2sin 2sin 2326x g x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫-+ ⎪⎢⎛⎫==-+ ⎪⎝⎥⎝⎣⎦⎭⎭函数的图像关于原点对称，， ()g x 3k πϕπ-+= ,2πϕ< 所以3πϕ=()2sin 23f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭（1）由， 222232k x k πππππ-≤+≤+Z k ∈得，51212k x k ππππ-≤≤+Z k ∈令得0k =51212x ππ-≤≤得1k =7131212x ππ≤≤在增区间是()f x \[]0,π70,,,1212ππ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦令，则()223t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 4,33t ππ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦所以[2s n 2]i t ∈若有两解，即在上有两解，()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦由，即2sin y t =322m ≤-<123m <≤12m ∴<≤的取值范围是m ∴12⎛ ⎝【点睛】关键点睛：本题考查求正弦型函数的单调增区间和根据方程的解个数求参数的范围问题，解答本题的关键是设，由则所以若23t x π=+0,,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[2s n 2]i t ∈有两解，即在上有两解，然后数形结合求解，属于中档()230f x m -=+2sin 32t m =-4,33t ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦题.22．对于函数，若的图象上存在关于原点对称的点，则称为定义域上的“伪奇函数”．()f x ()f x ()f x （1）试判断是否为“伪奇函数”，简要说明理由；()|cos |f x x =（2）若是定义在区间上的“伪奇函数”，求实数的取值范围；2()log (sin )1f x x m =++[,]33ππ-m （3）试讨论在上是否为“伪奇函数”？并说明理由．22()4243x x f x m m +=-+- R【答案】（1）是“伪奇函数”，理由见解析；（2；（3）答案见解析.1m <≤【分析】（1）由“伪奇函数”的定义判断即可；（2）由题意可知，，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解，结合三角函数的性质即可求解；221sin 4m x -=[,]33ππ-（3）由题意可知，在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，从而在有解，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-224880t mt m -+-=[2,)+∞再分类讨论即可得出结果【详解】（1） ，()0()22f f ππ-==．((022f f ππ∴-+=是“伪奇函数”．()|cos |f x x ∴=（2）为“伪奇函数”，()f x ，()()0f x f x ∴+-=即，22log (sin )1log (sin )10x m x m +++-++=即在有解．221sin 4m x -=[,]33ππ-，sin [x ∈ ．2211sin [,1]44m x ∴=+∈又在恒成立，sin 0m x +> [,33ππ-max (sin )m x ∴>-=．1m <≤（3）当为定义域上的“伪奇函数”时，22()4243x x f x m m +=-+- R 则在上有解，()()f x f x -=-R 可化为在上有解，2444(22)860x x x x m m --+-++-=R 令，则，22x x t -=+22,442x x t t -≥+=-从而在有解，224880t mt m -+-=[2,)+∞即可保证为“伪奇函数”，()f x 令，22()488F t t mt m =-+-则当时，在有解，①(2)0F ≤224880t mt m -+-=[2,)+∞即，22210m m --≤m ≤≤当时，在有解等价于②(2)0F >224880t mt m -+-=[2,)+∞22164(88)0,22,(2)0,m m m F ⎧∆=--≥⎪>⎨⎪>⎩m <时，为定义域上的“伪奇函数”，否则不是．m ≤≤22()4243x x f x m m +=-+- R。
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一上册期末测试数学试题(含解析)
2023-2024学年山东省枣庄市滕州市高一上册期末测试数学试题一、单选题1．已知集合{}24xA x =>，{}ln 1B x x =<，则集合A B = （）A ．(,e)-∞B ．(2,e)C ．(,1)-∞D ．(0,2)【正确答案】B【分析】解不等式求得集合A 、B ，由此求得A B ⋂.【详解】()224222,x x A >=⇒>⇒=+∞，()ln 1ln e 0e 0,e x x B <=⇒<<⇒=，所以()2,e A B ⋂=.故选：B2．记0cos(80)k -=，那么0tan100=A ．kB ．kC D ．【正确答案】B【详解】()cos 80k -= ,cos80k ∴= ,从而sin80sin 80tan 80cos80∴==，那么tan100tan(18080)tan 80k=-=-=-，故选B ．3．使不等式101x<<成立的一个充分不必要条件是（）.A ．102x <<B ．1x >C ．2x >D ．0x <【正确答案】C解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】解：不等式101x<<，∴011x x>⎧⎪⎨<⎪⎩，解得1x >，故不等式的解集为：(1,)+∞，则其一个充分不必要条件可以是2x >，故选：C ．本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．4．已知函数||()2x f x =，记131(())4a f =，37(log 2b f =，13(log 5)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．c a b>>【正确答案】A首先判断函数()f x 的性质，再比较133317,log ,log 542⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，从而利用单调性比较a ，b ，c 的大小关系.【详解】()2xf x =是偶函数，并且当0x >时，2x y =是增函数，()133log 5log 5c f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1310()14<<，3371log log 52<<，即1333170log log 542⎛⎫<<< ⎪⎝⎭又因为()y f x =在()0,∞+是增函数，所以a b c <<.故选：A.关键点点睛：本题考查利用函数的单调性和奇偶性比较函数值的大小，本题的关键是判断函数()2xf x =的性质，后面的问题迎刃而解.5．十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“>”和“<”符号，并逐步被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若实数1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，则3131x y x y +--的最小值为（）A ．6B ．4C ．3D ．2【正确答案】A 【分析】将3131x y x y +--分离常数为112131x y ++--，由1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，可得1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，再结合基本不等式求解即可.【详解】由311311112131131131x y x y x y x y x y -+-++=+=++------，又1331,3x y x y ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭，所以1311x y -+-=，且10x ->，310y ->，所以()11111311311124131131311x y x y x y x y y x ⎛⎫--+=-+-+=+++≥+= ⎪------⎝⎭，当且仅当131311x y y x --=--，即32x =，12y =时，等号成立，故3131x y x y +--的最小值为6.故选：A.6．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图像来研究函数的性质，也常用函数的解析式来分析函数的图像的特征，函数322--=-x xy x x的图像大致是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】A【分析】先判断函数的奇偶性，可排除D ；当01x <<时，()0f x <，可排除C ；由()()()238f f f ><，可排除B.【详解】函数()()()3222211x x x xf x x x x x x ----==--+，由30x x -≠，即0x ≠且1x ≠-且1x ≠，故函数的定义域为()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞，由()()332222x x x xx x x x x---+---===-，所以函数()322x xf x x x--=-为偶函数，其图象关于y 轴对称，可排除D ；当01x <<时，22x x ->，3x x <，所以()0f x <，可排除C ；由()528f =，()21364f =，()21845843008f =，即()()()238f f f ><，可排除B.故选：A.7．已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对于任意的x 都满足f (x ＋1)＝－f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝x 3，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是()A ．1(0,5∪(5，＋∞)B ．1(0,5∪[5,)+∞C ．11(,75∪(5，7)D ．11(,)75∪[5，7)【正确答案】A【详解】由f(x＋1)＝－f(x)得f(x＋1)＝－f(x＋2)，因此f(x)＝f(x＋2)，即函数f(x)是周期为2的周期函数．函数g(x)＝f(x)－log a |x|至少有6个零点可转化成y＝f(x)与h(x)＝log a |x|两函数图象交点至少有6个，需对底数a 进行分类讨论．若a＞1，则h(5)＝log a 5＜1，即a＞5.若0＜a＜1，则h(－5)＝log a 5≥－1，即0＜a ≤15.所以a 的取值范围是10,5⎛⎤⎥⎝⎦∪(5，＋∞)．故选A .点睛：对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．8．沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图， AB 是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是AB 的中点，D 在 AB 上，CD AB ⊥．“会圆术”给出 AB 的弧长的近似值s 的计算公式：2CDs AB OA=+．当2,60OA AOB =∠=︒时，s =（）A B ．112-C D ．92-【正确答案】B【分析】连接OC ，分别求出,,AB OC CD ，再根据题中公式即可得出答案.【详解】解：如图，连接OC ，因为C 是AB 的中点，所以OC AB ⊥，又CD AB ⊥，所以,,O C D 三点共线，即2OD OA OB ===，又60AOB ∠=︒，所以2AB OA OB ===，则OC =2CD =所以(22222CD s AB OA -=+=+故选：B .二、多选题9．下列说法正确的是（）A ．()f x x =与()xg x lne =为同一函数B ．已知,a b 为非零实数，且a b >，则2211ab a b>恒成立C ．若等式的左、右两边都有意义，则442sin cos 2sin 1ααα-=-恒成立D ．函数()2311x f x x =+-有且仅有一个零点，在区间()1,2内【正确答案】ABC【分析】根据题意，分别利用函数的概念，不等式的性质，同角三角函数的基本关系和零点存在性定理逐项进行检验即可判断.【详解】对于A ，因为函数()f x x =与()ln e xg x x ==的定义域相同，对应法则相同，所以是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，因为a ，b 为非零实数，且a b >，所以2222110a b ab a b a b --=>，故选项B 成立；对于C ，因为442222sin cos (sin cos )(sin cos )αααααα-=+-222sin cos 2sin 1ααα=-=-，故选项C 正确；对于D ，因为函数2()311x f x x =+-的零点个数等价于()3x g x =与2()11h x x =-图象交点的个数，作出图象易知，交点的个数为2，所以函数2()311x f x x =+-有两个零点，故选项D 错误，故选：ABC.10．已知函数()f x 是定义在[]12,1a a -+上的偶函数，当01x a ≤≤+时，3()1f x x x =-+，若()2log 1f m >，则（）A ．2a =B ．3a =C ．m 的值可能是4D ．m 的值可能是6【正确答案】AD【分析】根据偶函数的定义域关于原点对称求得a ，结合函数的单调性、奇偶性解不等式()2log 1f m >，求得m 的取值范围.【详解】由题意可得1210a a -++=，则2a =．所以A 选项正确.()f x 的定义域为[]3,3-，因为()f x 是偶函数，所以()()221f f -==．当[]0,3x ∈时，()f x 单调递增．因为()f x 是偶函数，所以当[]3,0x ∈-时，()f x 单调递减．因为()2log 1f m >，所以()()2log 2f m f >，所以223log 3log 2m m -≤≤⎧⎨>⎩，23log 2m -≤<-或22log 3m <≤，解得1184m ≤<或48m <≤．所以D 选项符合.故选：AD11．已知函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，下述正确的是（）A ．函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数B ．函数()y f x =的最小正周期为πC ．函数()y f x =在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1D ．函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦【正确答案】ACD【分析】对于A ，代入，由余弦函数的奇偶性可判断；对于B ，由函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的周期，求得函数()y f x =的最小正周期；对于C ，由已知求得52366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，根据正弦函数的性质可求得函数()y f x =在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值；对于D ，由+22+2232k x k πππππ-≤-≤，求解即可得函数()y f x =的单调递增区间.【详解】解：因为()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以对于A ，2sin 22cos 212231x x y f x πππ⎡⎤⎛⎫--=- ⎪⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎭⎢⎥⎝⎣⎦，又()cos 2cos 2x x -=，所以函数12y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭为偶函数，故A 正确；对于B ，函数()2sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为22ππ=，所以函数()y f x =的最小正周期为2π，故B 不正确；对于C ，当,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，52366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎣⎦，所以1sin 21,32x π⎛⎫⎡⎤-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 22,13x π⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，所以函数()y f x =在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为1，故C 正确；对于D ，令+22+2232k x k πππππ-≤-≤，解得51212+k x +k ππ-π≤≤π，所以函数()y f x =的单调递增区间为()5,1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦，故D 正确，故选：ACD.12．（多选题）已知函数()()()[)22,,0ln ,0,143,1,x x f x x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-+-∈+⎩，若函数()()g x f x m =-恰有2个零点，则实数m 可以是（）A ．-1B ．0C ．1D ．2【正确答案】ABC【分析】令()0g x =转化为()f x m =，采用数形结合法可求参数m 范围，结合选项即可求解.【详解】令()0g x =得()f x m =，令y m =，由()()()[)22,,0ln ,0,143,1,x x f x x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-+-∈+⎩画出图象得：由图可知，要使()()g x f x m =-恰有2个零点，则直线y m =与()f x 要有两个交点，1m =或0m ≤，故ABC 都符合.故选：ABC三、填空题13．函数()lg sin y x =+________.【正确答案】|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭由题意得sin 01cos 02x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，解得即可.【详解】由题意，要使函数有意义，则sin 01cos 02x x >⎧⎪⎨-≥⎪⎩，即sin 01cos 2x x >⎧⎪⎨≥⎪⎩，解得()()22,22,33k x k k Z k x k k Z πππππππ⎧<<+∈⎪⎨-+≤≤+∈⎪⎩，所以()223k x k k Z πππ<≤+∈所以函数的定义域为|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭.故答案为.|22,3x k x k k Z πππ⎧⎫<≤+∈⎨⎬⎩⎭本题考查了三角函数的图象与性质，属于中档题.14．已知函数()()21ln 11f x x x=+-+，若实数a 满足()()313log log 21f a f a f ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是______．【正确答案】1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】根据奇偶性定义可判断出()f x 为定义在R 上的偶函数，从而将所求不等式化为()()32log 21f a f ≤；根据复合函数单调性的判断以及单调性的性质可确定()f x 在[)0,∞+上单调递增，由偶函数性质可知()f x 在(],0-∞上单调递减，由此可得3log 1a ≤，解不等式即可求得结果.【详解】()f x 的定义域为R ，()()()21ln 11f x x f x x-=+-=+，()f x \为定义在R 上的偶函数，()()()()313333log log log log 2log f a f a f a f a f a⎛⎫∴+=+-= ⎪⎝⎭；当0x ≥时，21y x =+单调递增，()2ln 1y x ∴=+在[)0,∞+上单调递增；又11y x=+在[)0,∞+上单调递减，()f x \在[)0,∞+上单调递增，()f x 图象关于y 轴对称，()f x \在(],0-∞上单调递减；则由()()32log 21f a f ≤得：3log 1a ≤，即31log 1a -≤≤，解得：133a ≤≤，即实数a 的取值范围为1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故答案为.1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦15．已知函数()322x f x =+，则()1113571432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值为___________.【正确答案】214##5.25【分析】根据函数满足()()322f x f x +-=即可求解.【详解】因为()()2333326323(22)322222222(22)2(22)2(22)2x x x xx x x x x f x f x -⨯+⨯++-=+=+===++++++,所以()1113571432234f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1715131443322f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭()39321312244f =⨯+=+=,故答案为:214.16．函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的图象在[]0,2上恰有两个最大值点，则ω的取值范围为___________.【正确答案】9π17π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】首先求出πππ,2444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，根据题意则有π5π9π2,422ω⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，解出即可.【详解】当[0,2]x ∈时，πππ,2444x ωω⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦，()π2sin (0)4f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭ 的图象在[]0,2上恰有两个最大值点,π5π9π9π17π2,,,42288ωω⎡⎫⎡⎫∴+∈∴∈⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭.故答案为.9π17π,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭四、解答题17．（1）计算20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）计算31log 242766194log 3log 8log 82log 3--⋅+-【正确答案】（1）0；（2）3【分析】（1）利用有理数指数幂性质以及运算法则求解；（2）利用对数性质及运算法则求解.【详解】（1）20.5231103522216274--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯÷ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭12223816442216273-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭22933220444⎛⎫⎛⎫=-⨯-⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（2）31log 242766194log 3log 8log 82log 3--⋅+-3212log 2323662134log 3log 2log 22log 33=-⨯++3log 42366134log 3log 2log 2log 32=-⨯⨯++()642log 23213=-+⨯=+=.18．设x ∈R ，函数()cos()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>-< ⎪⎝⎭的最小正周期为π，且4f π⎛⎫⎪⎝⎭(1)求ω和ϕ的值；(2)在给定坐标系中作出函数()f x 在[]0,π上的图像；(3)若()22f x >，求x 的取值范围．【正确答案】(1)2ω=，3πϕ=-(2)作图见解析(3)7{|,Z}2424x k x k k ππππ+<<+∈【分析】（1）利用最小正周期和342f π⎛⎫= ⎪⎝⎭解ωφ，即可；（2）利用列表，描点画出()f x 图像即可；（3）由余弦函数的图像和性质解不等式即可.【详解】（1）∵函数()f x 的最小正周期2T ππω==，∴2ω=．∵3cos 2cos sin 4422f πππϕϕϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+=+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭且02πϕ-<<，∴3πϕ=-．（2）由（1）知()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，列表如下：x6π512π23π1112ππ23x π-3π-2ππ32π53π()f x 1210－112()f x 在[]0,π上的图像如图所示：（3）∵()2f x >，即cos 232x π⎛⎫-> ⎪⎝⎭，∴222()434k x k k πππππ-<-<+∈Z ，则7222()1212k x k k ππππ+<<+∈Z ，即7()2424k x k k ππππ+<<+∈Z ．∴x 的取值范围是7{|,Z}2424x k x k k ππππ+<<+∈19．已知2(2)f x x bx c =++，不等式()12f x <-的解集是(2,3).(1)求()f x 的解析式；(2)不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解仅有2个，求实数k 取值范围；(3)若对于任意[1x ∈-，1]，不等式()2t f x ⋅恒成立，求t 的取值范围.【正确答案】(1)2()210f x x x=-(2)[3,2)--(3)11[,]46-【分析】（1）结合根与系数关系求得b ，c ；（2）根据不等式组()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩的正整数解仅有2个，可得到758k <-，即可求解；（3）对t 进行分类讨论，结合函数的单调性求得t 的取值范围.【详解】（1）因为2(2)f x x bx c =++，不等式()12f x <-的解集是(2,3)，所以2，3是一元二次方程22120x bx c +++=的两个实数根，可得23212232b c ⎧+=-⎪⎪⎨+⎪⨯=⎪⎩，解得100b c =-⎧⎨=⎩，所以2()210f x x x =-；（2）不等式()0()0f x f x k >⎧⎨+<⎩，即2221002()10()0x x x k x k ⎧->⎨+-+<⎩，解得5,05x x k x k ><⎧⎨-<<-⎩，因为正整数解仅有2个，可得该正整数解为6､7，可得到758k <-，解得32k -<-，则实数k 取值范围是[3-，2)-；（3）因为对于任意[1x ∈-，1]，不等式()2t f x ⋅恒成立，所以2510tx tx --≤，当0=t 时，10-<恒成立；当0t >时，函数251y tx tx =--在[1x ∈-，1]上单调递减，所以只需满足()()()2115110f t t -=⋅--⋅--≤，解得106t<；当0t <时，函数251y tx tx =--在[1x ∈-，1]上单调递增，所以只需满足f （1）215110t t =⋅-⋅-≤，解得104t -<，综上，t 的取值范围是11[,]46-.20．已知函数()π26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在区间ππ,42⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值，并求此时x 的值．【正确答案】(1)增区间π5ππ,π1212k k ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，k ∈Z ；减区间7,1212k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z(2)π12x =；最小值为32-，π2x =【分析】（1）将π26x -整体代入cos y x =的单调区间，求出x 的范围即可；（2）通过x 的范围，求出π26x -的范围，然后利用cos y x =的最值的取值求解即可.【详解】（1）()ππ2cos 266f x x x ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令π2ππ<22π6k x k --<，k ∈Z ，得5ππππ1212k x k -<<+，k ∈Z ，令π2π2π2ππ6k k <-<+，k ∈Z ，得π7πππ1212k x k +<<+，k ∈Z ，故函数()f x 的单调递增区间为π5ππ,π1212k k ⎛⎫-+ ⎝⎭，k ∈Z ；单调递减区间为7,1212k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z ；（2）当ππ,42x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2π5π26π63x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，所以当26π0x -=，即π12x =时，()f x 当π5π266x -=，即π2x =时，()f x 取得最小值32-．21．截至2022年12月12日，全国新型冠状病毒的感染人数突破人.疫情严峻，请同学们利用的数学模型解决生活中的实际问题.【主题一】【科学抗疫，新药研发】(1)我国某科研机构新研制了一种治疗新冠肺炎的注射性新药，并已进入二期临床试验阶段．已知这种新药在注射停止后的血药含量c （t ）（单位：mg/L ）随着时间t （单位：h ）的变化用指数模型()0ktc t c e-=描述，假定某药物的消除速率常数0.1k =（单位：1h -），刚注射这种新药后的初始血药含量02000mg /L c =，且这种新药在病人体内的血药含量不低于1000mg/L 时才会对新冠肺炎起疗效，现给某新冠病人注射了这种新药，则该新药对病人有疗效的时长大约为（）（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）A ．5.32hB ．6.23hC ．6.93hD ．7.52h【主题二】【及时隔离，避免感染】(2)为了抗击新冠，李沧区需要建造隔离房间．如图，每个房间是长方体，且有一面靠墙，底面积为48a 平方米()0a >，侧面长为x 米，且x 不超过8，房高为4米．房屋正面造价400元/平方米，侧面造价150元/平方米．如果不计房屋背面、屋顶和地面费用，则侧面长为多少时，总价最低．【正确答案】(1)C(2)当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低【分析】（1）利用已知条件0.10()e 2000e kt t c t c --==，求解指数不等式得答案．（2）根据题意表达出总造价()768001200,08ay x x x=+<≤，再根据基本不等式，结合对勾函数的性质分类讨论分析即可.【详解】（1）解：由题意得，0.10()e 2000e kt t c t c --==，设该药在病人体内的血药含量变为1000mg/L 时需要是时间为1t ，由10.11()2000e 1000t c t -=≥，得10.12e 1t -≥，故0.1ln 2t -≥-，ln 26.93h 0.1t ∴≤≈．∴该新药对病人有疗效的时长大约为6.93h ．故选：C ．（2）解：由题意，正面长为48a x 米，故总造价48400421504ay x x=⨯⨯+⨯⨯，即()768001200,08ay x x x=+<≤.由基本不等式有768001200a y x x =+≥，当且仅当768001200a x x =，即x =.故当8≤，即1a ≤，x =时总价最低；当8>，即1a >时，由对勾函数的性质可得，8x =时总价最低；综上，当01a <≤时，x =1a >时，8x =时总价最低.22．已知函数()2lgxf x ax b =+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求()f x 的表达式及定义域；（2）若方程()lg f x t =有解，求实数t 的取值范围；（3）若方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，求实数m 的取值范围．【正确答案】（1）2()lg1xf x x =+，()(),10,-∞-+∞ ；（2）()()0,22,+∞U ；（3）018m ≤<．【分析】（1）由已知中函数()2lg x f x ax b =+，()10f =，当0x >时，恒有()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，我们可以构造一个关于,a b 方程组，解方程组求出,a b 的值，进而得到()f x 的表达式；（2）转化为21x t x =+，解得2tx t =-，可求出满足条件的实数t 的取值范围.（3）根据对数的运算性质，转化为一个关于x 的分式方程组，进而根据方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，则方程组至少一个方程无解或两个方程的解集的交集为空集，分类讨论后，即可得到答案.【详解】（1）∵当0x >时，()1lg f x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．22lglg lg xxx a ax b b x -=++，即22lglg lg x x ax b a bx-=++，即2lg lg 2x a bx x ax b+⎛⎫⋅= ⎪+⎝⎭，22x a bx x ax b +⋅=+．整理得()()20a b x a b x ---=恒成立，∴a b =，又()10f =，即2a b +=，从而1a b ==．∴2()lg 1xf x x =+，∵201xx >+，∴1x <-，或0x >，∴()f x 的定义域为()(),10,-∞-+∞ ．（2）方程()lg f x t =有解，即2lg lg 1xt x =+，∴21x t x =+，∴()2x t t -=，∴2tx t =-，∴12tt<--，或02t t >-，解得2t >或02t <<，∴实数t 的取值范围()()0,22,+∞U ．（3）方程()()lg 8f x x m =+的解集为∅，∴()2lglg 81xx m x =++，∴281x x m x =++，∴()2860x m x m +++=，方程的解集为∅，故有两种情况：①方程()2860x m x m +++=无解，即∆<0，得218m <<，②方程()2860x m x m +++=有解，两根均在[]1,0-内，()()286g x x m x m =+++，则()()010*******g g m ∆≥⎧⎪-≥⎪⎪≥⎨⎪--⎪-≤≤⎪⎩解得02m ≤≤．综合①②得实数m 的取值范围是018m ≤<．关键点点睛：函数与方程、对数函数的单调性解不等式以及一元二次方程根的分布，综合性比较强，根据转化思想，不断转化是解题的关键，考查了分类讨论的思想，属于难题.。
2023-2024学年山东省枣庄市高一上册期末数学质量检测试题(含解析)
2023-2024学年山东省枣庄市高一上册期末数学质量检测试题一、单选题1．cos120 =A ．12B ．2C ．12-D ．【正确答案】C【详解】()1cos120cos 18060cos 602=-=-=-，故选C.2．已知命题:0,2p x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan x x >，则p 的否定是（）A ．0,2x π⎛⎫∀∉ ⎪⎝⎭，tan x x>B ．0,2x π⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，tan x x≤C ．0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，tan x x>D ．0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，tan x x≤【正确答案】D【分析】由否定的定义写出即可.【详解】p 的否定是0,2x π⎛⎫∃∈ ⎪⎝⎭，tan x x ≤.故选：D3．“α是钝角”是“α是第二象限角”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可.【详解】因为α是钝角，所以90180α︒︒<<，因此α是第二象限角，当α是第二象限角时，例如451︒是第二象限角，但是显然90180α︒︒<<不成立，所以“α是钝角”是“α是第二象限角”的充分不必要条件，故选：A4．如图，一质点在半径为1的圆O 上以点1,22P ⎫⎪⎪⎝⎭为起点，按顺时针方向做匀速圆周运动，角速度为/6rad s π，5s 时到达点()00,M x y ，则0x =（）A ．-1B ．32C ．12-D ．12【正确答案】C【分析】由正弦、余弦函数的定义以及诱导公式得出0x .【详解】设单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，则1sin ,26AOP AOP π∠=∠=，所以56MOP π∠=，52663AOM πππ∠=-=，故021cos cos cos 3332x ππππ⎛⎫⎛⎫=-=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C5．已知偶函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，且()30f =，则()20f x ->的解集是（）A ．{}33x x -<<B ．{1x x <-或}5x >C ．{3x x <-或}3x >D ．{5x x <-或}1x >【正确答案】B【分析】由已知和偶函数的性质将不等式转化为(2)(3)f x f ->，再由其单调性可得23x ->，解不等式可得答案【详解】因为()30f =，则()20f x ->，所以(2)(3)f x f ->，因为()f x 为偶函数，所以(2)(3)f x f ->，因为()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以23x ->，解得1x <-或5x >，所以不等式的解集为{1x x <-或}5x >，故选：B6．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（）A ．45-B ．45C ．35-D ．35【正确答案】D【分析】根据对称关系可得()22k k παβπ+=+∈Z ，利用诱导公式可求得结果.【详解】y x = 的倾斜角为4π，α\与β满足()22242k k k ππαβππ+=⨯+=+∈Z ，3cos cos 2cos sin 225k ππβπααα⎛⎫⎛⎫∴=+-=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：D.7．已知1sin cos ,(0,)3αααπ+=∈，则sin cos αα-的值为A ．B ．C ．3D ．13-【正确答案】C直接利用同角三角函数关系式的应用求出结果.【详解】解：已知1sin cos ,(0,)3αααπ+=∈，所以112sin cos 9αα+=，即4sin cos 9αα=-，所以,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin cos 0αα->，所以sin cos αα-=故选：C.本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，同角三角函数基本关系的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型.8．现实生活中，空旷田野间两根电线杆之间的电线与峡谷上空横跨深涧的观光索道的钢索有相似的曲线形态，这类曲线在数学上常被称为悬链线.在合适的坐标系中，这类曲线可用函数()()2e 0,e 2.71828e x xa bf x ab +=≠= 来表示.下列结论正确的是（）A ．若0ab >，则函数()f x 为奇函数B ．若0ab >，则函数()f x 有最小值C ．若0ab <，则函数()f x 为增函数D ．若0ab <，则函数()f x 存在零点【正确答案】D【分析】根据函数奇偶性、单调性、最值以及零点的判断和求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：取1a b ==，满足0ab >，此时()e e x xf x -=+，其定义域为R ，关于原点对称，且()()f x f x =-，此时()f x 为偶函数，故A 错误；对B ：()e e x x f x a b -=+，令e ,0xt t =>，故b a y a t t ⎛⎫ ⎪=+ ⎪ ⎪⎝⎭若存在最小值，则()f x 有最小值，因为0ab >，故0ba>，根据对勾函数的单调性可知，,0ba y t t t=+>有最小值，无最大值，故当0a <时，,0b a y a t t t ⎛⎫ ⎪=+> ⎪ ⎪⎝⎭有最大值没有最小值，故B 错误；对C ：当0,0a b 时，满足0ab <，又e x y a =是单调减函数，e x y b -=是单调减函数，故()e e x xf x a b -=+是单调减函数，故C 错误；对D ：令()0f x =，即e e 0x x a b -+=，则2e xb a =-，因为0ab <，故0ba->，解得1ln 2b x a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故当0ab <，1ln 2b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭即为函数零点，故D 正确.故选：D.关键点点睛：本题综合考查函数的性质，处理问题的关键是充分把握函数单调性和奇偶性的判断方法以及函数零点的求解过程，属综合中档题.二、多选题9．已知角α的终边与单位圆相交于点43(,)55P -，则（）A ．4cos 5α=B ．3tan 4α=-C ．3sin(π)5α+=D ．π3cos()25α-=【正确答案】ABC【分析】根据三角函数定义得到正弦，余弦及正切值，进而利用诱导公式进行计算，作出判断.【详解】根据三角函数的定义得：4cos 5α=，3sin 5α=-，3tan 4α=-，故AB 正确；3sin(π)sin 5αα+=-=，C 正确；π3cos()sin 25αα-==-，D 错误.故选：ABC10．已知a R ∈，关于x 的不等式()10a x x a->-的解集可能是（）A ．()1,aB ．()(),1,a -∞⋃+∞C ．()(),1,a -∞⋃+∞D ．∅【正确答案】BCD【分析】分a<0，0a =，01a <<，1a =，1a >，利用一元二次不等式的解法求解.【详解】当a<0时，不等式等价于()()10x x a --<，解得1<<a x ；当0a =时，不等式的解集是∅；当01a <<时，不等式等价于()()10x x a -->，解得1x >或x a <；当1a =时，不等式等价于()210x ->，解得1x ≠；当1a >时，不等式等价于()()10x x a -->，解得x a >或1x <.故选：BCD11．已知a ，b ∈R ，则1≥ab 的必要不充分条件可以是（）A ．2a b a ≥B ．338a b ≥C ．221a b ≥D ．222a b +≥【正确答案】CD【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】解：对于A ：由2a b a ≥，即20a b a -≥，即()10ab a -≥，所以01a ab ≥⎧⎨≥⎩或01a ab ≤⎧⎨≤⎩，故充分性不成立，由1≥ab ，若a<0时，则2a b a ≤，故必要性不成立，故A 错误；对于B ：由338a b ≥，可得2ab ≥，由2ab ≥推得出1≥ab ，故充分性成立，故B 错误；对于C ：由221a b≥可得221a b ≥，所以1≥ab 或1ab ≤-，故充分性不成立，反之当1≥ab 时，可得221a b ≥，所以221a b ≥，故必要性成立，故C 正确；对于D ：由222a b +≥得不到1≥ab ，如2a =，0b =满足222a b +≥但0ab =，即充分性不成立，反之当1≥ab 时可得2222a b ab +≥≥故必要性成立，即222a b +≥是1≥ab 的必要不充分条件，故D 正确；故选：CD12．已知函数22()9xf x x =+，则（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 是偶函数C ．函数(2022)y f x =+的零点为0D ．当0x >时，()f x 的最大值为13【正确答案】AD【分析】根据函数的解析式，分别从定义域、奇偶性、零点、最值考察即可求解.【详解】对A ，由解析式可知()f x 的定义域为R ，故A 正确；对B ，因为2222()()099x xf x f x x x -+-=+=++，可知()f x 是奇函数，故B 不正确；对C,22(2022)(2022)0(2022)9x y f x x +=+==++，得2022x =-，故C 不正确；对D,当0x >时，22210()993x f x x x x <==≤++，当且仅当3x =时取等号，故D 正确.故选：AD三、填空题13．已知弧长为3πcm 的弧所对圆心角为6π，则这条弧所在圆的半径为___________cm ．【正确答案】2由弧度制公式lrα=求解.【详解】已知弧长为3πcm 的弧所对圆心角为6π，因为lrα=，所以326lr ππα===，故214．已知正数a ，b 满足1a b +=，则19a b+最小值为______．【正确答案】16【分析】根据题意可知，利用基本不等式中“1”的妙用即可求得结果.【详解】由题可知，()19199191016a a b a b b b a b a ⎛⎫+=++=+++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当13,44a b ==时，等号成立；故1615．若命题“x ∃∈R 使()2110x a x +-+<”是假命题，则实数a 的取值范围为_____，【正确答案】[]1,3-【分析】原命题等价于命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题【详解】由题意得若命题“2R,(1)10x x a x ∃∈+-+<”是假命题，则命题“2R,(1)10x x a x ∀∈+-+≥，”是真命题，则需()2014013a a ∆≤⇒--≤⇒-≤≤,故本题正确答案为[]1,3-．本题主要考查全称量词与存在量词以及二次函数恒成立的问题．属于基础题．四、双空题16．设()()201x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，＞．（1）当12a =时，f （x ）的最小值是_____；（2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____．【正确答案】14[0]【分析】（1）先求出分段函数的每一段的最小值，再求函数的最小值；（2）对a 分两种情况讨论，若a ＜0，不满足条件．若a ≥0，f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤.【详解】（1）当12a =时，当x ≤0时，f （x ）＝（x 12-）2≥（12-）214=，当x ＞0时，f （x ）＝x 1x +≥=2，当且仅当x ＝1时取等号，则函数的最小值为14，（2）由（1）知，当x ＞0时，函数f （x ）≥2，此时的最小值为2，若a ＜0，则当x ＝a 时，函数f （x ）的最小值为f （a ）＝0，此时f （0）不是最小值，不满足条件．若a ≥0，则当x ≤0时，函数f （x ）＝（x ﹣a ）2为减函数，则当x ≤0时，函数f （x ）的最小值为f （0）＝a 2，要使f （0）是f （x ）的最小值，则f （0）＝a 2≤2，即0≤a ≤即实数a 的取值范围是[0]本题主要考查分段函数的最值的求法，考查分段函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.五、解答题17．（1）已知02a π<<，4sin 5α=，求tan α的值；（2）若tan 4α=，求()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++的值.【正确答案】（1）43；（2）43.【分析】(1)由条件利用同角三角函数的基本关系求出3cos 5α=,即可求得tan α的值；(2)把要求的式子利用诱导公式化为sin sin cos ααα-,进而而求得结果.【详解】解：（1）∵π02α<<，4sin 5α=，∴cos α=35==∴sin 4tan cos 3ααα==（2）若tan 4α=，则()()()πsin π2cos 2sin cos παααα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭--++sin 2sin sin cos αααα-+=-sin tan 4sin cos tan 13ααααα===--.18．已知全集U =R ，集合{}2230A x x x =--<，{}1216xB x =<<．(1)求A B ⋃；(2)设集合{}32,D x a x a a =<<-∈R ，若()D A B ⊆⋃，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1){}14A B x x ⋃=-<<(2)12a ≥-【分析】（1）将集合,A B 化简，然后根据集合的交集运算，即可得到结果；（2）根据题意，分D =∅与D ≠∅两种情况分类讨论，列出不等式，即可得到结果.【详解】（1）因为{}2230A x x x =--<，{}1216x B x =<<所以{}13A x x =-<<，{}04B x x =<<．所以{}14A B x x ⋃=-<<．（2）当32a a -≤，即1a ≥时，D =∅，所以()D A B ⊆⋃；当D ≠∅，()D A B ⊆⋃，则323241a aa a ->⎧⎪-≤⎨⎪≥-⎩，解得112a -≤<．综上可得，12a ≥-．19．在①()210log 33f =；②函数()f x 为偶函数：③0是函数()2y f x =-的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题．问题：已知函数()22xxaf x =+，a R ∈，且______．(1)求函数()f x 的解析式；(2)判断函数()f x 在区间[)0,∞+上的单调性，并用定义证明．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【正确答案】(1)()122xxf x =+(2)单调递增，证明见解析【分析】（1）若选条件①，根据()210log 33f =及指数对数恒等式求出a 的值，即可求出函数解析式；若选条件②，根据()()=f x f x -，即可得到()()1220x xa ---=，从而求出a 的值，即可求出函数解析式；若选条件③，直接代入即可得到方程，求出a 的值，即可求出函数解析式；（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；【详解】（1）解：若选条件①．因为()210log 33f =，所以22log 3log 310223a +=，即10333a +=．解得1a =．所以()122xxf x =+．若选条件②．函数()f x 的定义域为R ．因为()f x 为偶函数，所以x ∀∈R ，()()=f x f x -，即x ∀∈R ，2222x x x x a a --+⋅=+⋅，化简得x ∀∈R ，()()1220x xa ---=．所以10a -=，即1a =．所以()122xxf x =+．若选条件③．由题意知，()020f -=，即002202a +-=，解得1a =．所以()122xx f x =+．（2）解：函数()f x 在区间()0,∞+上单调递增．证明如下：1x ∀，()20,x ∈+∞，且12x x <，则()()()()()12122112121212121222211122222222222x x x x x x x x x x x x x x x x f x f x +---⎛⎫-=+-+=-+= ⎪⋅⎝⎭．因为1x ，()20,x ∈+∞，12x x <，所以1222x x <，即12220x x -<．又因为120x x +>，所以1221x x +>，即12210x x +->．所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <．所以()f x 在区间()0,∞+上单调递增．20．已知函数()()222f x x m x m =-++，R m ∈.(1)若()f x 在(),3-∞上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)解关于x 的不等式()0f x >．【正确答案】(1)4m ≥(2)答案见解析【分析】（1）求出二次函数的对称轴和单调递减区间，从而列出不等式，求出m 的取值范围；（2）因式分解后，分2m =，m>2和2m <三种情况，求出不等式的解集.【详解】（1）因为函数()()222f x x m x m =-++，的图象为开口向上的抛物线，其对称轴为直线22m x +=．由二次函数图象可知，()f x 的单调递减区间为2,2m +⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭．因为()f x 在(),3-∞上单调递减，所以232m +≥．所以4m ≥．（2）由()()2220f x x m x m =-++>得：()()20x m x -->．由()()20x m x --=得x m =或2x =．①当2m =时，有()220x ->，解得2x ≠；②当m>2时，解得x >m 或2x <；③当2m <时，解得x m <或2x >．综上，①当2m =时，不等式的解集是{}2x x ≠；②当m>2时，不等式的解集是()(),2,m -∞⋃+∞；③当2m <时，不等式的解集是()(),2,m -∞⋃+∞．21．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()0,x ∈+∞时，()()21f x x =+．(1)求函数()f x 的解析式；(2)若()()20x x f a e f e -⋅+--<对任意x 恒成立，求实数a 的取值范围．【正确答案】(1)()()221,(,0)()0,01,(0,)x x f x x x x ⎧--∈-∞⎪⎪==⎨⎪+∈+∞⎪⎩(2)(],0-∞【分析】（1）利用奇函数的定义求解函数()f x 的解析式；（2）根据第一问的解析式，得到函数()f x 是定义在R 上单调性，结合奇偶性，得到2x x a e e -⋅<+对任意x 恒成立，通过参变分离求出答案【详解】（1）设0x <，则0x ->∴2()(1)f x x -=-∵函数()f x 是定义在R 上的奇函数∴()()f x f x -=-∴2()(1)f x x -=-∴2()(1)f x x =--又()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =∴()()221,(,0)()0,01,(0,)x x f x x x x ⎧--∈-∞⎪⎪==⎨⎪+∈+∞⎪⎩（2）∵()(2)0x x f a e f e -⋅+--<∴()(2)x x f a e f e -⋅<---恒成立∵()f x 是定义在R 上的奇函数，∴(2)(2)x x f e f e ---=+∴()(2)x x f a e f e -⋅<+·画出()()221,(,0)()0,01,(0,)x x f x x x x ⎧--∈-∞⎪⎪==⎨⎪+∈+∞⎪⎩的图象如下：故()f x 在R 上单调递增∴2x x a e e -⋅<+·∴2()2x xa e e <+令,(0)x e t t =>∴22a t t <+恒成立∵()22211t t t +=+-在()0,t ∈+∞上单调递增∴()()2222110110t t t +=+->+-=∴0a ≤故实数a 的取值范围为(],0-∞22．已知函数()21log 1x f x x -=+．(1)若()1f a =，求a 的值；(2)判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；(3)若()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，求实数m 的范围．【正确答案】(1)3-(2)奇函数，证明见解析(3)(],1-∞-【分析】（1）代入x a =，得到21log 11a a -=+，利用对数的运算即可求解；（2）先判断奇偶性，然后分析定义域并计算()(),f x f x -的数量关系，由此完成证明；（3）将已知转化为()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，求出()f x 在[)3,+∞的最小值，即可得解.【详解】（1）()1f a = ，21log 11a a -∴=+，即121a a -=+，解得3a =-，所以a 的值为3-（2）()f x 为奇函数，证明如下：由10110x x x -⎧>⎪+⎨⎪+≠⎩，解得：1x >或1x <-，所以定义域为()(),11,-∞-⋃+∞关于原点对称，又()()122221111log log log log 1111x x x x f x f x x x x x ---+--⎛⎫-====-=- ⎪-+-++⎝⎭，所以()f x 为奇函数；（3）因为()2221122log log log 1111x x f x x x x -+-⎛⎫===- ⎪+++⎝⎭，又外部函数2log y u =为增函数，内部函数211y x =-+在[)3,+∞上为增函数，由复合函数的单调性知函数()f x 在[)3,+∞上为增函数，所以()()22min 3113log log 1312f x f -====-+，又()f x m ≥对于[)3,x ∈+∞恒成立，所以()min m f x ⎡⎤≤⎣⎦，所以1m ≤-，所以实数m 的范围是(],1-∞-。
2023届山东省枣庄市高一数学第一学期期末复习检测试题含解析
所以 ，当且仅当 ，即 时等号成立
故答案为：
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、 (1)见解析；(2) .
【解析】（1）由圆柱易知 平面 ，所以 ，由圆的性质易得 ，进而可证 平面 ；
（2）由已知得三棱锥 的高 ,当直角 的面积最大时,三棱锥 的体积最大,当点 在弧 中点时 最大, 此时外接球的直径 即可得解.
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13、
【解析】化简函数 ，由 ，得到 ，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】由题意，函数 ，
因为 ，可得 ，
当 时，即 时，函数取得最小值 .
故答案为： .
14、
【解析】先求出函数 的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.
【详解】依题意，由 得： 或 ，即函数 的定义域是 ，
A.0或1B.
C. D. 或
8．函数 是（）
A.奇函数，且 上单调递增B.奇函数，且在 上单调递减
C.偶函数，且在 上单调递增D.偶函数，且在 上单调递减
9．若 和 都是定义在 上的奇函数，则 （）
A.0B.1
C.2D.3
10．某学生离家去学校，由于怕迟到，一开始就跑步，等跑累了再步行走完余下的路程，若以纵轴表示离家的距离，横轴表示离家后的时间，则下列四个图形中，符合该学生走法的是（）
14．函数 的单调递增区间为_____________
15．已知函数 则 ___________.
16．已知 ， ，且 ，则 的最小值为___________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．如图所示, 是圆柱的母线, 是圆柱底面圆的直径, 是底面圆周上异于 的任意一点, .
2020-2021学年枣庄市高一上学期期末数学试卷(含解析)
2020-2021学年枣庄市高一上学期期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分） 1.设集合A ={x|1<x <3}，集合B ={x|x 2>4}，则集合A ∩B 等于( )A. {x|2<x <3}B. {x|x >1}C. {x|1<x <2}D. {x|x >2}2.下列结论错误的是( )A. 若“p 且q ”与“￢p 或q ”均为假命题，则p 真q 假B. 命题“存在x ∈R ，x 2−x >0”的否定是“对任意的x ∈R ，x 2−x ≤0”C. “若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题为真D. “x =1”是“x 2−3x +2=0”的充分不必要条件3.已知函数f(x)=sin(x +ϕ)满足f(x)≤f(a)对于x ∈R 恒成立，则函数( )A. f(x −a)一定是偶函数B. f(x −a)一定是奇函数C. f(x +a)一定是偶函数D. f(x +a)一定是奇函数4.已知函数f(x)=ax 3−32x 2+1存在唯一的零点x 0，且x 0<0，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−√22) B. (−∞,−2)C. (12,+∞)D. (√22,+∞) 5.若sin(π−α)=13，且π2≤α≤π，则tan(2π−α)=( )A. −√24B. −2√2C. √24D. 2√26.若将函数f(x)=2sin(x +π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向下平移一个单位得到的函数g(x)的图象，函数g(x)( )A. 图象关于点(−π12,0)对称 B. 最小正周期是π2 C. 在(0,π6)上递增D. 在(0,π6)上最大值是17.纳斯卡线条是一种巨型的地上绘图，有着广大宽阔的直线，看起来就像机场跑道一样，描绘的大多是动植物，于南美洲西部的秘鲁南部的纳斯卡荒原上，是存在了2000年的谜局：究竟是谁创造了它们并且为了什么而创造，至今仍无人能解，因此被列入“十大谜团”.在这些图案中，最清晰的图案之一是一只身长50米的大蜘蛛(如图)，据说这是一种学名为“节腹目”的蜘蛛的形状.这种蜘蛛十分罕见，只有亚马逊河雨林中最偏远隐秘的地区才能找到.现用视角为30°的摄像头(注：当摄像头和所拍摄的圆形区域构成一圆锥时，该圆锥的轴截面的顶角称为该摄像头的视角)在该蜘蛛的上方拍摄，使得整个蜘蛛图案落在边长为50米的正方形区域内，则该摄像头距地面的高度的最小值是()A. 50米B. 25(2√2+√6)米C. 50(2+√3)米D. 50(2√2+√6)米8.设函数()A. 0B. 1C.D. 5二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x−3)=−f(x)，当x∈[0,3]时，f(x)=x2−3x，则()A. f(2019)+f(2020)=f(2021)B. f(2019)+f(2021)=f(2020)C. 2f(2019)+f(2020)=f(2021)D. f(2019)=f(2020)+f(2021)10.下列说法正确的是()A. “|x|=2019”是“x=2019”的充分条件B. “x=−1”的必要不充分条件是“x2−2x−3=0”C. “m是实数”的充分必要条件是“m是有理数”D. 若b<a<0，则1a <1b11.设a，b，c分别为锐角△ABC三个内角A，B，C的对边，且(2csinB−√3a)sinA=√3(csinC−bsinB)，则下列结论正确的是()A. B=π6B. B=π3C. ac 的取值范围是(0,32) D. ac的取值范围是(12,2)12.关于函数f(x)=sinx+1sinx，则下列结论中正确的有()A. f(x)的图象关于y轴对称B. f(x)的图象关于原点对称C. f(x)的图象关于直线x=π2对称 D. f(x)的最小值为2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 已知函数f(x)={log 3x,x >0(13)x ,x ≤0，则f(f(−1))的值______ ．14. 扇形的圆心角为π3，其内切圆的面积S 1与扇形的面积S 2的比值S1S 2=______．15. 已知f(x)={log 2(x +1),x >2f(x +1),x ≤2，则f(1)=______16. 若两个正实数x ，y 满足x +4y =1，且不等式1x +1y >m 2−8m 恒成立，则实数m 的取值范围是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. (本小题满分10分) 设命题，命题，若“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．18. 设函数f(x)=sin2x −cos(2x −π6). (1)求f(x)在区间[0,π2]上的最大值和最小值； (2)设α是锐角，f(α2+π4)=35，求sinα的值．19. 化简求值：20. 已知函数f(x)为R 上的偶函数，g(x)为R 上的奇函数，且f(x)+g(x)=log 4(4x +1)． (1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)若函数ℎ(x)=f(x)−12log 2(a ⋅2x +2√2a)(a >0)在R 上只有一个零点，求实数a 的取值范围．21. (本题满分13分)如图，某巡逻艇在处发现北偏东相距海里的处有一艘走私船，正沿东偏南的方向以海里/小时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以海里/小时的速度沿着正东方向直线追去，小时后，巡逻艇到达处，走私船到达处，此时走私船发现了巡逻艇，立即改变航向，以原速向正东方向逃窜，巡逻艇立即加速以海里/小时的速度沿着直线追击．(Ⅰ)当走私船发现了巡逻艇时，两船相距多少海里⋅(Ⅱ)问巡逻艇应该沿什么方向去追，才能最快追上走私船⋅22. 已知f(x)=log a1−mx是奇函数(其中a>0且a≠1)x−1(1)求出m的值；(2)根据(1)的结果，求出f(x)在(1,+∞)上的单调性；(3)当x∈(r,a−2)时，f(x)的取值范围恰为(1,+∞)，求a与r的值．参考答案及解析1.答案：A解析：解：集合A={x|1<x<3}，集合B={x|x2>4}={x|x<−2或x>2}，则集合A∩B={x|2<x<3}．故选：A．解不等式求出集合B，根据交集的定义写出A∩B．本题考查了解不等式与交集的运算问题，是基础题．2.答案：C解析：解：若“p且q”为假命题，则p与q中必有一个为假命题，若“￢p或q”为假命题，则￢p与q都为假命题，即p为真命题，q为假命题，故选项A正确；含有一个量词的命题的否定，即：改变量词，再否定结论，所以命题“存在x∈R，x2−x>0”的否定是“对任意的x∈R，x2−x≤0”，故选项B正确；“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为“若a<b，则am2<bm2”，当m=0时，若a<b，但am2=bm2，故“若am2<bm2，则a<b”的逆命题为假命题，故选项C错误；若x2−3x+2=0，则x=1或x=2，所以“x=1”是“x2−3x+2=0”的充分不必要条件，故选项D正确．故选：C．利用复合命题真假的判定法则判断选项A，利用含有一个量词的否定判断选项B，利用不等式的基本性质即可判断选项C，利用充分条件和必要条件的定义判断选项D．本题考查了命题真假的判断，涉及了复合命题真假的判断、含有一个量词的命题的否定、四种命题的关系、充分条件与必要条件的判断，综合性较强，属于中档题．3.答案：C解析：解：函数f(x)=sin(x+ϕ)满足f(x)≤f(a)对于x∈R恒成立，则：f(a)=sin(a+ϕ)=1，解得：a+φ=2kπ+π2(k∈Z)．所以：f(x+a)=sin(x+a+φ)=sin(x+2kπ+π2)=cosx．所以：函数f(x+a)一定是偶函数．故选：C首先确定f(a)的值，进一步确定a和φ的关系，最后代入f(a+x)，在利用诱导公式进行化简，最后验证求出结果．本题考查的知识要点：三角函数的基本性质的应用，三角函数的奇偶性应用，属于基础题型．4.答案：D解析：本题考查了函数的零点问题，考查分类讨论思想以及数形结合思想，是一道中档题．通过讨论a=0，a<0，a>0的情况，结合函数的单调性从而确定a的范围即可．解：当a=0得f(x)=−32x2+1，函数有两个零点，不合题意；当a≠0时，f′(x)=3ax2−3x=3x(ax−1)，由f′(x)=0，得x1=0,x2=1a，①若a<0，则1a <0，由f′(x)<0得x<1a或x>0；由f′(x)>0得1a<x<0，故函数f(x)在(−∞,1a ),(0,+∞)上单调递减，在(1a,0)上单调递增，又f(0)=1，故函数f(x)存在零点x0>0，如图12−1，此情况不合题意；②若a>0，则1a >0，由f′(x)<0得0<x<1a；由f′(x)>0得x<0或x>1a，故函数f(x)在(0,1a )上单调递减，在(−∞,0),(1a,+∞)上单调递增，如图12−2，要使函数f(x)存在唯一的零点x0，且x0<0，则必须满足f(1a )>0，由f(1a)=1−12a2>0得a>√22．故选：D．5.答案：C解析：解：由sin(π−α)=13，得sinα=13，因π2≤α≤π，所以cosα=−√1−sin2α=−2√23，所以tan(2π−α)=−tanα=−sinαcosα=√24．故选：C．又已知利用诱导公式可求sinα=13，结合角的范围利用同角三角函数基本关系式可求cosα，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可计算得解tan(2π−α)的值．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.答案：C解析：解：若将函数f(x)=2sin(x+π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，则y=2sin(2x+π6)，再向下平移一个单位得到函数g(x)的图象，则g(x)=2sin(2x+π6)−1，A.2×(−π12)+π6=0，则函数g(x)关于(−π12,−1)对称，故A错误，B.函数的最小正周期T=2π2=π，故B错误，C.当x∈(0,π6)时，2x+π6∈(π6,π2)，此时函数g(x)为增函数，故C正确，D.由C知当x∈(0,π6)时，2x+π6∈(π6,π2)，此时函数无最大值，故D错误，故选：C．根据三角函数的图象变换关系求出g(x)的解析式，结合三角函数的性质分别进行判断即可．本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数的图象变换法则求出函数的解析式，以及利用三角函数的性质是解决本题的关键，属于中档题．7.答案：B解析：解：由题意可知当正方形为圆锥地面圆的内接正方形时，摄像头距离地面的高度最小，因正方形的边长为50米，所以圆锥底面圆的半径为25√2米，圆锥的截面图如图：O为底面圆的圆心，∠PBO=90°−15°=75°，在△POB中，tan∠PBO=POOB =PO25√2=2+√3，∴PO=25(2√2+√6)米，故选：B．利用题中的条件，当正方形为圆锥地面圆的内接正方形时，摄像头距离地面的高度最小，再利用解三角形知识，即可解出．本题考查了函数的实际应用，解三角形，学生的数学运算能力，属于基础题．8.答案：C解析：试题分析：，所以，=.故选C．考点：1.函数的奇偶性；5.抽象函数．9.答案：ABC解析：解：根据题意，函数f(x)满足f(x−3)=−f(x)，则f(x−6)=−f(x−3)=f(x)，故函数f(x)是周期为6的周期函数，则f(2019)=f(3+336×6)=f(3)=−f(0)，f(2020)=f(4+336×6)=f(4)=−f(1)，f(2021)=f(−1+337×6)=f(−1)=−f(1)，又由f(x)为定义在R上的奇函数，则f(0)=0，当x∈[0,3]时，f(x)=x2−3x，则f(1)=1−3=−2，故f(2019)=0，f(2020)=−2，f(2021)=−2，分析选项：对于A，f(2019)+f(2020)=f(2021)，成立；对于B，f(2019)+f(2021)=f(2020)，成立；对于C，2f(2019)+f(2020)=f(2021)，成立；对于D，f(2019)=f(2020)+f(2021)，不成立；故选：ABC．根据题意，分析可得f(x)是周期为6的周期函数，则f(2019)=f(3+336×6)=f(3)=−f(0)，f(2020)=f(4+336×6)=f(4)=−f(1)，f(2021)=f(−1+337×6)=f(−1)=−f(1)，结合函数奇偶性和解析式求出f(2019)、f(2020)、f(2021)的值，据此分析选项即可得答案．本题考查抽象函数的求值，涉及函数奇偶性、周期性的性质以及应用，属于综合题．10.答案：BD解析：本题考查充分条件与必要条件的应用以及不等式的基本性质．根据充分条件必要条件的定义和不等式性质可逐一判断正误．解：|x|=2019⇔x=±2019，|x|=2019无法推出x=2019，所以选项A错误；当x=−1时，有x2−2x−3=0成立；x2−2x−3=0时，x=−1或3，所以“x=−1”的必要不充分条件是“x2−2x−3=0”，故选项B正确；若m是有理数，那么一定是实数，反之不一定，所以选项C错误；根据不等式的性质：若a>b，且a，b同号，那么1a <1b，所以选项D正确．故答案选BD．11.答案：BD解析：解：因为(2csinB−√3a)sinA=√3(csinC−bsinB)，所以由正弦定理可得2acsinB−√3a2=√3c2−√3b2，即2acsinB=√3(c2+a2−b2)，所以2acsinB=2√3accosB，可得sinB=√3cosB，即tanB=√3，由B为锐角，可得B=π3，故A错误，B正确，可得a c=sinA sinC=sin(2π3−C)sinC=√32cosC+12sinC sinC =√32×1tanC+12， 因为锐角△ABC 中，{0<C <π20<A =2π3−C <π2，解得π6<C <π2， 所以tanC >√33，所以0<1tanC <√3，所以a c=√32×1tanC+12∈(12,2)，故C 错误，D 正确．故选：BD ．先根据正、余弦定理转化已知条件，得关于角B 的表达式，即可求得角B ，然后结合锐角三角形与三角形内角和定理，得ac 的表达式，进而利用三角函数的知识解决．本题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理的应用，考查化归与转化能力、运算求解能力，渗透对数学运算核心素养的考查，属于中档题．12.答案：BC解析：解：由于函数函数f(x)=sinx +1sinx 满足f(−x)=−f(x)， 故该函数为奇函数，图象关于原点对称，故A 错误，B 正确； 由于f(π−x)=sin(π−x)+1sin(π−x)=sinx +1sinx =f(x)， 故f(x)的图象关于直线x =π2对称，故C 正确；由于f(x)的值可正可负，故2不是f(x)的最小值，故D 错误， 故选：BC ．由题意利用三角函数的图象和性质，得出结论． 本题主要考查三角函数的图象和性质，属于基础题．13.答案：1解析：解：由分段函数可知，当x ≤0时，f(x)=(13)x ， ∴f(−1)=(13)−1=3f(f(−1))=f(3)=1 故答案为：1根据分段函数，直接代入即可求f(f(−1))的值．本题主要考查分段函数求值问题，注意分段函数中自变量的取值范围，比较基础．14.答案：23解析：解：如图，扇形的圆心角为π3，设其半径为r ，设扇形的内切圆的半径为R ， 则有：Rr−R =sin π6=12，可得：R =r 3， 可得：内切圆的面积S 1=πR 2=πr 29，可得：扇形的面积S 2=12αr 2=12×π3×r 2=π6r 2， 可得：内切圆的面积S 1与扇形的面积S 2的比值S 1S 2=πr 29πr 26=23．故答案为：23．设扇形半径为r ，设扇形的内切圆的半径为R ，有题意有Rr−R =12，可得：R =r3，可求内切圆的面积S 1，扇形的面积S 2，即可得解．本题考查扇形面积的计算，考查学生的计算能力，属于基础题．15.答案：2解析：解：根据题意，f(x)={log 2(x +1),x >2f(x +1),x ≤2，则f(1)=f(2)=f(3)=log 2(3+1)=2； 故答案为：2根据题意，由函数的解析式可得f(1)=f(2)=f(3)，进而计算可得答案． 本题考查分段函数的求值，注意分析分段函数解析式的形式，属于基础题．16.答案：(−1,9)解析：解：根据题意，若两个正实数x ，y 满足x +4y =1，则(1x +1y )=(1x +1y )(x +4y)=1+xy +4y x+4≥9，当且仅当x =2y =13时等号成立；若不等式1x +1y >m 2−8m 恒成立，则有m 2−8m <9， 解可得：−1<m <9，即m 的取值范围为(−1,9)； 故答案为：(−1,9)．根据题意，由基本不等式的性质求出1x +1y 的最小值为9，进而可得m 2−8m <9，解可得m 的取值范围，即可得答案．本题考查基本不等式的性质以及应用，涉及不等式恒成立问题，属于基础题．17.答案：。
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2015-2016学年山东省枣庄市高一（上）期末数学试卷
一、本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设集合A={1，2，3}，集合B={2，3，4}，则A∩B=（）
A．{1} B．{1，4} C．{2，3} D．{1，2，3，4}
2．直线x﹣y+1=0的倾斜角的大小为（）
A．30° B．60° C．120°D．150°
3．下列四组函数中，表示相等函数的一组是（）
A．f（x）=1，f（x）=x0B．f（x）=|x|，f（t）=
C．f（x）=，g（x）=x+1 D．f（x）=•，g（x）=
4．圆锥的底面半径为2，高为，则圆锥的侧面积为（）
A．3πB．12π C．5πD．6π
5．函数f（x）=lnx+x﹣3的零点所在区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）
6．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n
②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
③若m∥α，n∥α，则m∥n
④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
其中正确命题的序号是（）
A．①和②B．②和③C．③和④D．①和④
7．有两件事和四个图象，两件事为：①我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是返回家找到作业本再上学；②我出发后，心情轻松，缓缓前行，后来为了赶时间开始加速，四个图象如下：
与事件①，②对应的图象分别为（）
A．a，b B．a，c C．d，b D．d，c
8．已知指数函数y=（2a﹣1）x在（1，+∞）上是减函数，则实数a的取值范围是（）A．（，1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，1）D．．…（6分）
（2）因为A∩B=A，所以A⊆B．…（8分）
所以m+1≥1．…（10分）
解得m≥0．
所以实数m的取值范围是，即y=x+3①…（8分）
因为BC边上的高所在直线的方程为x+2y+3=0，所以其斜率为﹣．…（9分）
所以直线BC的斜率k AC=2．…（10分）
所以直线BC的方程为y+2=2（x+1），即y=2x ②…（11分）
联立①②，解得x=3，y=6，所以C（3，6）．…（12分）
【点评】本题考查了角平分线的性质、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19．如图，平面DCBE⊥平面ABC，四边形DCBE为矩形，且BC=AB=AC，F、G分别为AD、CE的中点．
（1）求证：FG∥平面ABC；
（2）求证：平面ABE⊥平面ACD．
【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．
【专题】整体思想；定义法；空间位置关系与距离．
【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明FG∥平面ABC；
（2）根据面面垂直的判定定理即可证明平面ABE⊥平面ACD．
【解答】证明：（1）连接BD．因为四边形DCBE为矩形，且G为CE的中点，
所以BD∩CE=G，且G为线段BD的中点．…（2分）
又因为F为AD的中点，所以FG为△DAB的中位线．
所以FG∥AB．…（4分）
又因为FG⊄平面ABC，AB⊂平面ABC，
所以FGP∥平面ABC．…（5分）
（2）因为DCBE为矩形，所以DC⊥CB．
又因为平面DCBE⊥平面ABC，
平面DCBE∩平面ABC=BC，DC⊂平面DCBE，
所以DC⊥平面ABC．…（7分）
所以DC⊥AB．…（8分）
因为BC=AB=AC，所以AB=AC，且AB2+AC2=BC2．
所以∠BAC=90°，即AB⊥AC．…（10分）
又因为AC∩DC=C，AC⊂平面ACD，DC⊂平面ACD，
所以AB⊥平面ACD．…（11分）
又AB⊂平面ABE，所以平面ABE⊥平面ACD． (12)
【点评】本题主要考查空间直线和平面平行和垂直的判定，利用相应的判定定理是解决本题的关键．
20．已知函数f（x）=log2（2x）•log2（4x），且≤x≤4．
（1）求f（）的值；
（2）若令t=log2x，求实数t的取值范围；
（3）将y=f（x）表示成以t（t=log2x）为自变量的函数，并由此求函数y=f（x）的最小值与最大值及与之对应的x的值．
【考点】对数函数的图象与性质；函数的最值及其几何意义．
【专题】分类讨论；换元法；函数的性质及应用．
【分析】（1）代值计算对数即可；
（2）由函数t=log2x在上是增函数，代值计算对数可得；
（3）换元可得f（x）=t2+3t+2，由二次函数区间的最值可得．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=log2（2x）•log2（4x），且≤x≤4．
∴f（）=log2（2）•log2（4）=log2•log2==；
（2）∵函数t=log2x在上是增函数，
∴当≤x≤4时，﹣2=log2≤t=log2x≤log24=2，
故实数t的取值范围为；
（3）f（x）=log2（2x）•log2（4x）
=（1+log2x）（2+log2x）=（log2x）2+3log2x+2=t2+3t+2，
令g（t）=t2+3t+2=（t+）2﹣，t∈，
由二次函数可知当t=﹣时，函数取最小值﹣，
此时log2x=﹣，解得x=；
当t=2时，函数取最大值12，
此时log2x=2，解得x=4．
【点评】本题考查对数函数的图象和性质，涉及换元法和二次函数区间的最值，属中档题．
21．已知圆C的圆心在直线x﹣2y=0上．
（1）若圆C与y轴的正半轴相切，且该圆截x轴所得弦的长为2，求圆C的标准方程；（2）在（1）的条件下，直线l：y=﹣2x+b与圆C交于两点A，B，若以AB为直径的圆过坐标原点O，求实数b的值；
（3）已知点N（0，3），圆C的半径为3，且圆心C在第一象限，若圆C上存在点M，使MN=2MO （O为坐标原点），求圆心C的纵坐标的取值范围．
【考点】直线和圆的方程的应用．
【专题】计算题；规律型；分类讨论；转化思想；直线与圆．
【分析】（1）设圆心为（2a，a），通过圆C与y轴的正半轴相切，得到半径r=2a．利用该圆截x轴所得弦的长为2，列出方程求解即可．
（2）由，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理以及判别式，结合直线的斜率关系，即可求出b的值．
（3）设圆C的圆心为（2a，a），圆C的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9，设M点的坐标为（x，y），利用|3﹣2|≤，且a＞0，求出圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]．
【解答】解：（1）因为圆C的圆心在直线x﹣2y=0上，所以可设圆心为（2a，a）．
因为圆C与y轴的正半轴相切，所以a＞0，半径r=2a．
又因为该圆截x轴所得弦的长为2，
所以a2+（）2=（2a）2，解得a=1．…（2分）
因此，圆心为（2，1），半径r=2．
所以圆C的标准方程为（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．…（4分）
（2）由消去y，得（x﹣2）2+（﹣2x+b﹣1）2=4．
整理得5x2﹣4bx+（b﹣1）2=0．（★）…（5分）
由△=（﹣4b）2﹣4×5（b﹣1）2＞0，得b2﹣10b+5＜0（※）…（6分）
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=（7分）
因为以AB为直径的圆过原点O，可知OA，OB的斜率都存在，
且k OA•k OB==﹣1
整理得x1x2+y1y2=0，即x1x2+（﹣2x1+b）（﹣2x2+b）=0．
化简得5x1x2﹣2b（x1+x2）+b2=0，即（b﹣1）2﹣2b•+b2=0．
整理得2b2﹣10b+5=0．解得b=．…（9分）
当b=时，2b2﹣10b+5=0，b2﹣10b+5=﹣b2．③
由③，得b≠0从而b2﹣10b+5=﹣b2＜0
可见，b=时满足不等式（※）．b=均符合要求．…（10分）
（3）圆C的半径为3，设圆C的圆心为（2a，a），由题意，a＞0．
则圆C的方程为（x﹣2a）2+（y﹣a）2=9．…（11分）
又因为MN=2MD，N（0，3），设M点的坐标为（x，y），
则=，整理得x2+（y+1）2=4．…（12分）
它表示以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，记为圆D．
由题意可知，点M既在圆C上又在圆D上，即圆C和圆D有公共点．
所以|3﹣2|≤，且a＞0．…（13分）即1，且a＞0．
所以即
解得0＜a≤2．
所以圆心C的纵坐标的取值范围是（0，2]．…（14分）
【点评】本题考查圆的方程的综合应用，圆的方程的求法，直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力．。