大学毕业论文：关于函数最值问题的探讨
数学与应用数学毕业论文多元函数的极值及其实际应用
1绪论在一般的《数学分析》中，仅讨论了一元函数及二元函数的极值问题.但是，在生产和实际生活中，我们所要研究的极值问题，不仅仅依赖于一个或两个因素，而更多的是需要讨论三元及更多元函数的极值问题.例如，生产某种产品时，如何用料最省，怎样操作，可以生产最多产品等等，这些实际问题都可以通过函数极值来解决.有相似之处在企业进行诸如建筑、饲养、产品制造及其他大规模生产时，其利润随投资的变化关系一般可用二次函数表示.企业经营者经常依据这方面的知识预计企业发展和项目开发的前景.他们可通过投资和利润间的二次函数关系预测企业未来的效益，从而判断企业经济效益是否得到提高、企业是否有被兼并的危险、项目有无开发前景等问题.工程技术、自然科学及日常生活中的大量实际问题都可化为求函数的极大值和极小值问题.2多元函数的概念2.1 二元函数的极值的定义[1]在高等数学中, 常常会遇到求二元函数的极值的问题,设函数(),z f x y =在点()00,x y 的某个领域内有定义, 对该邻域内异于()00,x y 的点(),x y ,如果都适合不等式()()00,,f x y f x y < ,则称函数在点()00,x y 取极大值; 如果都适合不等式()()00,,f x y f x y >,则称函数在点()00,x y 取极小值.使函数取得极大(小)值的点称为极大(小)值点.例如：（图1-1）()()322223z x y x y =+-+图1-12.2 多元函数的极值二元函数的极值是一个局部概念, 这一概念很容易推广至多元函数.若多元原点是极大值函数()()12,...,n u f p f x x x ==于点0P 的邻域内有定义, 并且当()00,p P p δ<<时,()()0f P f p ≥ (或()()0f P f p ≤) ,则说函数()f p 在点0P 有极大值(或极小值) ,点0P 称为函数()u f p =的极值点,关于二元函数的极值点的求法,不少书中都有详细的探讨,并给出了极值取得的必要条件和充分条件,但对于二元以上的多元函数的极值点的求法,并未进行详细的讨论,本文将二元函数极值点判别法的有关结论推广到二元以上的多元函数中,以得到多元函数极值的判别法则. 2.3 多元函数的极值的几个判定定理[1]不少微积分的教材中,给出了关于二元函数取得极值的必要条件,即有下面的定理.定理1 设函数在点)(,z x y =在点()00,x y 具有偏导数且取得极值,则它在该点的偏导数必为0,即()()0000,,0x y f x y f x y ==将此定理推广至一般的多元函数,即有定理2.定理2 设函数()()12,...,n u f p f x x x ==在点()0012,,,n P x x x 的邻域内有定义,()u f p =在点0P 具有偏导数,可微分的函数()f p 仅在稳定点0P 即在偏导数是0的点0P 能达到极值,所以函数()f p 的极值点应当满足方程组()00ix f P =(1,2,...,i n =) .证明:()f p 在点0P 取得极值,则固定0022,,n n x x x x ==, ()()12,...,n u f p f x x x ==在点011x x =取得极值, ()100x f P ==,同理()()002,,ix f P i n ===.另外在一些文献中又给出了极值的充分条件,即有下面的定理3.定理3 设函数)(,z x y =在点()00,x y 的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数, 又令()00,0x f x y =,()00,0y f x y =令()00,0xx f x y =, ()00,0xy f x y =,()00,0yy f x y =,则(),f x y 在()00,x y 处是否取得极值的条件如下:1) 20AC B ->时具有极值,且当0A <时有极大值,当0A >时有极小值; 2) 20AC B -<时没有极值;3) 20AC B -=时可能有极值, 也可能没有极值,还需另作讨论.现将此定理推广至一般多元函数, 即有下面的定理4.定理4 设()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭, ()12,,,n f x x x 在点0P 的某邻域内有直至n 阶的连续偏导数,又设0P 是稳定点, ()()101,2,...,x f P i n ==,记()()()()()()20200011,2,...,;1,2,...,,...,,...,i j n n n ij x x n x x nn x x n n a f P i n j n a f P a P a f P -=====,()()12112010,...,n x x n x x a f P a f P ==()()()()()21221020001,...,,...,n n n x x n x x nn x x n n a f P a f P a P a f P -===,即: ()()01,2,...,;1,2,...,i j ij x x a f P i n j n ===,再记矩阵 111212122212.....................n n n n nn a a a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭ , ()111212122212......1,2,...,...............n n n n nn a a a a a a A i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪-== ⎪ ⎪---⎝⎭则: (1)若矩阵()ij nn A a =的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...,...............i i i i i ii a a a a aa P i i a a a ⎛⎫⎪ ⎪== ⎪⎪⎝⎭全大于零,就有()u f p =在点0P 取得极小值.(2)若矩阵()ij nn A a -=-的各阶顺序主子式()111212122212......1,2,...............n n i n n nn a a a a a a q i n a a a ---⎛⎫⎪--- ⎪== ⎪⎪---⎝⎭全大于零,则()u f p =在点0P 取得极大值.若矩阵()ij nn A a =有偶数阶主子式小于零,在点0P 没有极值.证明:多元函数()u f p = , ()1112n u x x x n d df p f dx f dx f dx ==+++,由已知()()()()120010000n x x x n df p f p dx f p dx f p dx =+++= ,()11122222011n n u x x x x x x n d d f p f dx f dx x f dx ==+++=222'1111212112112222n n nn n a dx a dx dx a dx dx a dx dx a dx a dx X AX ++++++++=，其中()'1,2,,n X dx dx dx = ,将2u d 看作是n 元二次型,则由文献中二次型判定定理可知实二次型是正定的充分必要条件为矩阵A 的顺序主子式全大于零,故当A 的各阶顺序主子式i p 全大于零时, 2u d 是正定的,当212220n dx dx d +++≠时,()2200d d f P =>,则()0f P 在点0P 取得极小值,而由f 是负定的充要条件就是f -是正定的,于是当A -的各阶顺序主子式全大于零, ()()200,d f P f p <在点0P 取得极大值,若矩阵()ij nn A a =有偶数阶顺序主子式小于零, 2u d 既非半正定也非半负定,取值可正可负,在0P 点没有极值,定理得证.显然,定理3是定理4的特殊情况. 2.4 定理的应用[11]2.4.1 多元函数的最大值及最小值例1：在XY 坐标面上找出一点P ，使它到三点()10,0P 、()21,0P 、()30,1P 距离的平方和为最小.解：设()1,P x y 为所求之点，l 为P 到1P 、2P 、3P三点距离的平方和，即222123l PP PP PP =++，2221PP x y =+，()22231PP x y =+-所以()()222222221133222l x y x y x y x y x y =++-+++-=+--+对,X Y 求偏导数，有'62x l x =-，'62y l y =-''0x l l o⎧=⎪⎨=⎪⎩即，620620x y -=⎧⎨-=⎩解方程组得驻点11,33⎛⎫⎪⎝⎭，由问题的实际意义，到三点距离平方和最小的点一定存在，l 可微，又只有一个驻点，因此11,33⎛⎫ ⎪⎝⎭即为所求之点.2.4.2 研究下列多变量函数的极值例1, 求多元函数222246u x y z x y z =++++-的极值情况. 解: 2(1)2(2)2(3)du x dx y dy z dz =++++-由2(1)02(2)02(3)0x y zu x u y u z =+=⎧⎪=+=⎨⎪=-=⎩ 得稳定点()01,2,3p -- ,二阶偏导数()11022332,2,2xx a u p a a ====，1213212332310a a a a a x ======, 200020002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式全大于0,故u 在点0p 取得极小值()014u p =-. 例2, 求多元函数322122u x y z xy z =++++的极值情况. 解:由231202120220u x y x uy x y uz z⎧∂=+=⎪∂⎪∂⎪=+=⎨∂⎪⎪∂=+=⎪∂⎩得稳定点()00,0,1p -及()124,144,1p -- , 222262224u d xdx dy dz dxdy =+++, 在1p 处,11121331233212,0a a a a a a ======,1441201220002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦的各阶顺序主子式11140p =>, 2144120122p ⎡⎤=>⎢⎥⎣⎦, 30p A =>全大于零, ()u f p =则在点1p 取得极小值()16931u p =-,在点0p 处,A 的各阶顺序主子式不全大于零, 此时()222212d dz dz dy dx =++,当20,0,120,0u dz dy dy dx d =>+<<而当,,dx dy dz 均大于0时,20d >,因此符号不定,故无极值, 或计算偶数阶顺序主子式小于0因而无极值.2.5 隐函数的极值概念和应用关于显函数的极值问题已有许多讨论. 本文利用显函数极值问题的一些结果给出了隐函数极值存在的条件,并举出了应用实例. 2.5.1 引理及定理引理[1] 若函数()f x 在0x 的邻域内存在二阶导数,且()'00f x =,()''00f x ≠,则(1) 当()''00f x >时,0x 是函数()f x 的极小值点; (2) 当()''00f x <时,0x 是函数()f x 的极大值点. 引理[2] [2] 若n 元函数()12,,n u f x x x = 在驻点()000012,,,n p x x x = 的某个邻域内具有二阶连续偏导数,在驻点()000012,,,n p x x x = 处作矩阵()1112121222120n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x f f f f f f p f f f ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦则a) 当()0H p 为正定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极小值; b) 当()0H p 为负定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处取得极大值; c) 当()0H p 是不定矩阵时, n 元函数()12,,n u f x x x =在0P 处不取得极值.定理1 设函数(),f x y 在()00,x y 的邻域内具有二阶连续偏导数,且()00,0f x y =, ()00,0x f x y =, ()00,0y f x y =,则当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极大值;当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,由方程(),0f x y = 确定的隐函数()y y x =在0x 处取得极小值.证 由(),0f x y = ,得0x y x f f y +⋅= ,又0y f ≠ , 所以()()()2232,xx y xy x y x xyxx xx yyf f f f f f f f y y f f -+=-=-又因为()()0000,0,,0x f x y f x y == ,所以()()()()0000,00,,,xx xx xx x y yy x y f x y f y f f x y =-=-.由引理1知, 当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y <时,()y x 在点0x 处取得极小值;当()()0000,0,xx y f x y f x y ->时,即当()()0000,0,xx y f x y f x y >时,()y x 在点0x 处取得极大值.定理2 设函数()12,,,n f x x x y 在点()0012,,o n p x x x 的邻域内具有一阶、二阶连续偏导数, 且()()00012,,,01,2,,ix n f x x x y n n ==,()00012,,,0n f x x x y =,()12,,,0y n f x x x y ≠. 由方程()12,,,0n f x x x y =所确定的n 元函数()12,,,n y y x x x =,则当a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值; c) 当()()0ij nnH p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处不取得极值.其中()()()000012000012,,,,,1,2,,,,i i x x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=证 由()12,,,0n f x x x y =,得0i i x y x f f y +=. 又0y f ≠ ,所以 在i i x x yf y f =-中对j x 求偏导数得()()()2i ji i j ii jx x x y y x yx yy x x y yf f f f f f y y f +-+⋅=-因为()()000012,,...,,01,2,...,ix nf x x x y i n ==,()000012,,...,,0n f x x x y =. 所以()()000012000012,,...,,0,,...,,i x n y np f x x x y xf x x x yiy =-=所以()()000012000012,,...,,,,...,,i j x x n y np f x x x y x x f x x x yi jy=-. 由n 元显函数极值存在的条件即引理2 知,a) 当()()0ij nnH p h =为正定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极小值; b) 当()()0ij nnH p h =为负定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极大值;c) 当()()0ij nn H p h =为不定矩阵时, ()12,,n y y x x x =在0p 处取得极值.其中 ()()()000012000012,,...,,,,1,2,...,,,...,,i x n ij y nf x x x y h i j n f x x x y=-=2.5.2 多变量函数的极值举例例1 求由方程 22212122880x x y x y y +++-+= 所确定的隐函数()12,y f x x =的极值.解 令()22212121,,2288F x x y x x y x y y =+++-+, 由12122221214804022880x x F x y F x x x y x y y ⎧=+=⎪==⎨⎪+++-+=⎩得驻点()12168,0,,2,0,177p p ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ,而122111220,4x x x x x x x x F F F F ==== , ()()1215,15y y F p F p ==- ,所以()()1244001515,44001515H p H p ⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 而()1H p 为负定矩阵, ()2H p 为正定矩阵,由定理2知函数()12,y f x x = 在0116,07p ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 处取得极大值1168,077y f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭;在()022,0p -处取得极小值()22,01y f =-=.对某些条件极值的问题亦可转化为隐函数的极值问题来解决.例2 求()444123123,,f x x x x x x =++ 在条件1231x x x = 下的极值.解: 将1231x x x = 代入f 的表达式, 得()44121244121,f x x x x x x =++. 令 ()44844812121212,,1F x x f x x f x x x x =---.解得:12347438121212348347121212448488121212484104480410x x F x x f x x x x F x x f x x x x x x f x x x x ⎧=---=⎪⎪=--=⎨⎪---=⎪⎩. 得驻点()()()()12341,1,3,1,1,3,1,1,3,1,1,3p p p p ---- .而11246428121212125612,x x F x x f x x x x =-- 22428248121212121256,x x F x x f x x x x =-- 12337337121212163232,x x F x x f x x x x =-- 4412f F x x =.所以()11132x x F p =- ()12116x x F p =- ()22132x x F p =-,()1 1.f F p =()132161632H p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且2212320,32160∆=>∆=->. 即()1H p 是正定矩阵.所以()44121244121,f x x x x x x =++在点()011,1p =处取得极小值3. 又由1231x x x = 得()31,11x =,所以在条件1231x x x =下,及()011,1p = 对应的点为()111,1,1p =.所以原函数()444123123,,f x x x x x x =++在条件1231x x x =下,在点()111,1,1p =处取得极小值,且()1,1,13f =.同理可知函数()123,,f x x x 在点()()()1112341,1,1,1,1,1,1,1,1p p p ------ 处均取得极小值且极小值为3.3多元函数极值实际应用3.1 最大值和最小值问题如果()f x y在D上必定能取得最大值和最,,f x y在有界闭区域D上连续,则()小值. 这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在D的内部,也可能在D的边界上. 我们假定, 函数在D上连续、在D内可微分且只有有限个驻点, 这时如果函数在D的内部取得最大值(最小值), 那么这个最大值(最小值)也是函数的极大值(极小值).因此,求最大值和最小值的一般方法是: 将函数()f x y在D内的,所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较,其中最大的就是最大值,最小的就是最小值.在通常遇到的实际问题中,如果根据问题的性质,知道函数(),f x y的最大值(最小值)一定在D的内部取得,而函数在D内只有一个驻点,那么可以肯定该驻点处的函数值就是函数()f x y在D上的最大值(最小,值).3.2 多元函数极值的实际应用的思路[8]3.2.1 实际问题的提出在学习导数应用时, 我们经常遇到一道经典的导数应用题目是“做成一个容积一定的圆柱形的无盖(或有盖)容器, 问应当如何设计, 才能使用料最省, 这时圆柱的直径和高之比为多少?”我们知道易拉罐的主体部分是正圆柱体, 因此把饮料罐近似看成一个正圆柱是有一定合理性的.经过计算可得出圆柱的直径和高之比为1: 1时, 用料最省.但是从我们的实际感受和具体测量可知, 这只是一种近似的结果, 那实际的可口可乐、雪碧、健力宝等销量极大的易拉罐的包装究竟设计成什么样子? 顶盖的直径和从顶盖到底部的高之比为多少? 它们的形状为什么是这样的?通过测量得到（表格转下一页）:说明尺寸上底厚下底厚侧面厚上盖半径正圆柱体部分半径正圆柱部分的高圆台高整个易拉罐高易拉罐的实际容积可乐的净含量，根据以上数据我们对部分数据近似取值为: 小数点后两位.3.2.2分析和假设3.2.2.1 假设除易拉罐的顶盖外(顶盖的硬度比其他的材料要硬)罐的厚度相同,记作b.3.2.2.2 假设硬度体现在同样材料的厚度上, 记顶盖的厚度为 (测量得知,顶盖厚度大约是其他部分的材料厚度的3倍).注: 以上假设是模型讨论过程中的全局性的假设, 在以后的分布讨论中, 我们可能引入新的局部性假设.3.2.3 模型建立及求解3.2.3.1 明确变量和参数设饮料罐的半径为r (直径2d r =),罐的高为h ,罐内体积为V ,b 为除顶盖外的材料的厚度.其中r ,h 是自变量, 所用材料的体积S 是因变量,而b 和V 是固定参数,a 是待定参数.S 和V 分别为：()()222,212S r h rh r a r b b a r rh ππππ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦2V r h π=,2/h V r π=注意,饮料罐侧面的体积应为()2222h r b hr rbh hb ππππ+-=-因为b r << ,所以2hb π可以忽略.3.2.3.2 建立模型记()2,g r h r π=- (),0min ,r o h S r h >> ()..,0s t g r h =其中S 是目标函数,(),0g r h =是约束条件, V 是已知的(即罐内体积一定) ,即要在体积一定的条件下求表面积最小的r, h 和a 使得r, h 和测量结果吻合.这是一个求条件极值的问题.3.2.3.3 模型的求解从约束中解出一个变量,化条件极值问题为求一元函数的无条件极值问题 从()2,0g r h r V π=-=解出2/h V r π= 代入S,使原问题化为:求/d h 使S 最小,即求r 使()()()22,1V S r h r b a r r π⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦最小. 令其导数为零得()()()222222110ds V b B a r a r V sr r r ππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦ 解得驻点为r =因此()11V h a a π⎡⎛⎫⎡⎢ ⎪⎢==+=+ ⎪⎢⎢⎣⎝⎭⎣测量数据为/4h r = ,即41,3a a =+=,即顶盖的厚度是其他材料厚度的3倍.为验证这个r 确实使S 达到极小.计算''S ，()''324210V S b a r π⎡⎤=++>⎢⎥⎣⎦.0r ∴>,因此,这个r 确实使S 达到局部极小,因为驻点只有一个,因此也是全局极小.✧ 应用算术几何平均值不等式(当23n =，时有明显的几何意义, 即周长相等的矩形中正方形的面积最大,三棱长相等的长方体中正方体的体积最大).11n i i a n =≥∑, 0,1,...i a i n >=,当且仅12...n a a a ===时等号成立.令 ()21233,,1V n a r ra a a π====+ ,于是有()22216V b a b r r π++≥当且仅当()21V a r r π=+时等号成立,即r =结果相同. ✧ Lagrange 乘数法(增加一个变量化条件极值问题为多元函数无条件极值问题)求函数(),z x y =在条件(),0x y ϕ=下的极值，设二元函数(,)z f x y =和(),x y ϕ在所考虑的区域内有连续的一阶偏导数，且()',x x y ϕ,()',y x y ϕ不同时为零，求函数(,)z f x y =在约束条件(),0x y ϕ=下的极值，按以下方法进行：a) 构造辅助函数()()(),,,,F x y f x y x y λλϕ=+其中λ称为拉格朗日乘数.b) 求(),,F x y λ的偏导数，并建立方程组c) 解该方程组，得,x y 及λ，则(),x y 是可能极值点的坐标.这种求条件极值的方法称为拉格朗日乘数法.引入参数0γ≠ ,令()()()22,,21L r h b rh a r r h V λπλπ⎡⎤=++--⎣⎦()()()22212202200L b b r h rh r L br r r b r hL r V ππλπλππλπλ∂⎧=++-=⎡⎤⎣⎦⎪∂⎪∂⎪=-=-=⎨∂⎪∂⎪=--=⎪∂⎩从第2, 3式解得2V h rπ= ，2b r λ=,代入第1式得3210.V br a r ππ⎡⎤+-=⎢⎥⎣⎦()1r h a ==+和前面的结果相同. 3.2.4 验证和进一步分析由数据计算体积为2612339.3355V π=⨯≈< ,即装不下那么多饮料,为什么? 实际上,饮料罐的形状是上图左边平面图形绕其中轴线旋转而成的立体.粗略的计算,可以把饮料罐的体积看成两部分,一是上底半径为3厘米,下底半径为3.3厘米,高为1厘米的锥台,二是半径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱体.它们的体积分别为31.2立方厘米和349立方厘米总共为380.2立方厘米.通过测量重量或容积来验证,可以认为1立方厘米的水和饮料的重量都是1克.未打开罐时饮料罐的重量为370克,倒出来的可乐重355克,空的饮料罐重量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！饮料罐不能装满饮料,而是留有10立方厘米的空间余量.而饮料罐胖的部分的直径和高的比为6.6/10.20.647=非常接近黄金分割比0.618.3.2.5 一种细化模型(考虑实际所用材料)此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半径为30.40.2 3.6++=平方厘米的材料冲压而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为0.3, 这保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合)牢固、耐压.实际上,顶盖的半径为厘米,而正圆柱的高为厘米.因此()()()22230.620.44 4.4 1.082S r r r h b r r rh b πππππππ=++++=+++.22,VV r h h r ππ==问题化为:当V 固定时,求:d h 使S 最小.由于365V =立方厘米,即()22.9,365/13.8r h r π==≈所以, : 2.4h d ≈, 高是直径的2.4倍!3.3 多元函数极值的实际应用例1[9] [冻果汁的定价]一个小乡村里的唯一商店有两种牌子的冻果汁，当地牌子的进价每听30美分，外地牌子的进价每听40美分.店主估计，如果当地牌子的每听卖x 美分，外地牌子的每听卖y 美分，则每天可卖出7054x y -+听当地牌子的果汁,()8067x y +-听外地牌子的果汁.问:店主每天以什么价格卖两种牌子的冻果汁可取得最大收益？解：既然总收益为当地牌子的果汁收益及外地牌子的果汁收益之和，所以每天总收益为二元函数()()()()(),307054408067f x y x x y y x y =--++-+-于是求每天的最大总收益，就是求二元函数(),f x y 的最大值.求二元函数(),f x y 的偏导数，得101020010142400f x y x f x y y∂⎧=-+-=⎪∂⎪⎨∂⎪=-+=∂⎪⎩ 则有驻点53,55x y ==. 所以当53x =美分，55y =美分时，小店可取得最大收益.例2[3] 要制造一个无盖的长方体水槽，已知它的底部造价为218m 元/，设计的总造价为216元，问如何选取它的尺寸，才能使水槽容积最大？解：设水槽的长、宽、高分别为,,x y z ，则容积为()0,0,0V xyz x y z =>>>， 由题设知86(22)216xy xy yz ++=即32()36xy z x Y ++=解出z ，得 3633122()2xy xy z x y x y--==⋅++…………………………….① 将①式代入V xyz =中，得二元函数223122xy x y V x y-=⋅+……………………………………..② 求V 对,X Y 的偏导数：()2222(122)(12)32()y xy x y xy x y V x x y -+--∂=⋅∂+，()2222(122)(12)32()x x y x y xy x y V y x y -+--∂=⋅∂+.令，0,0V V x y ∂∂==∂∂得方程组 222222(122)()(12)0(122)()(12)0y xy x y xy x y x x y x y xy x y ⎧-+--=⎪⎨-+--=⎪⎩ 解之， 得2, 2.x y == 再代入 ① 式中得3z = .由问题的实际意义得知，函数(,)V x y 在0,0x y >> 时确有最大值，又因为(,)V V x y = 可微，且只有一个驻点，所以取长为2m ，宽为2m ，高为3m 时，水槽的容积最大.例3[14] 某公司通过电台和报纸做某商品的销售广告，据统计销售收入R (万元)及电台广告费1x (万元)和报纸广告费2x (万元)的函数关系式2212121212(,)1514328210R x x x x x x x x =++--- 求：（1）在不限广告费时的最优广告策略；（2）在仅用1.5万元做广告费时的最优广告策略.解：（1）最优广告策略，即用于电台、报纸的广告费为多少时，可使商品的利润12(,)L x x 最大，故目标函数为利润函数；另据题意，知这是一个二元函数无条件极值问题.记电台和报纸的广告费之和为12(,)C x x ，则1212(,)C x x x x =+，于是()2212121212121212(,)(,)(,)153********,0L x x R x x C x x x x x x x x x x =-=++--->>令211122138********L x x x L x x x ∂⎧=--=⎪∂⎪⎨∂⎪=--=⎪∂⎩，解得120.751.25x x =⎧⎨=⎩ 所以在不限广告费的最优广告策略是用于电台和报纸的广告费分别为0.75万元和1.25万元.据题意这是一个条件极值问题，约束条件为12 1.5x x +=，一般的从这一约束条件中解出121.5x x =-，带入利润函数()()()2212222222222(,)1513(1.5)3181.521.510301240 1.5L x x x x x x x x x x =+-+-----=+-≤≤于是将条件极值问题转化为一元函数的普通极值问题.由于()'2212800 1.5L x x =-≥≤≤，这表明L 关于变量2x 是单调增加的，从而L 在2 1.5x =时取最大值.因此用1.5万元做广告费的条件下，相应的最优广告策略是将其全部用及报纸广告费用，而不做电台广告.或构造辅助函数()221212121513318210 1.5F x x x x x x λ=+----++-2111122212138403182001.50F x x x F x x x F x x λλλ∂⎧=--+=⎪∂⎪∂⎪=--+=⎨∂⎪⎪∂=+-=⎪∂⎩，解得1201.5x x =⎧⎨=⎩有同样的结果.结 语函数的极值判定条件的深入分析是微积分课程教学中的一项基础性理论工作.近年来,有不少文章对二元函数极值的判定进行了讨论.从教科书中的满足20xx yy xy f f f ∆=->的二阶连续可导的函数(),z f x y =的驻点()00,x y 是极值点的基本判定定理出发,建立了一系列不同的或更细致的判别方法.利用一阶偏导数的连续性及去心邻域内点的方向导数的同号性等方法给出了光滑性不好的点的极值判定定理.另一方面,对于光滑性较好的驻点在0∆=的临界情形下的极值判定也有许多结论.给出了非零最低阶偏导数是奇数阶时驻点非极值点的结果,并建立了一、二、三阶偏导数全为零时利用四阶导数判断极值的一种方法;建立了临界情形下,二阶偏导不全为零时非极值点的判定条件,并利用关于二元四次齐次多项式的正定性的充要条件,直接给出了四阶导数判断极值的简明方法. 这不仅需要比较多元函数极值理论及一、二元函数极值理论的相同点，而更重要的是要突出二者的不同点，如此才能正确掌握多元函数极值的理论，对极值问题有一个全面的了解，从而更好的服务于人的生活和生产.参考文献[1] 陈传璋. 数学分析 [M] .编高等教育出版社，1990.[2] 张禾瑞、郝丙新. 高等代数〔M〕. 高等教育出版社，1991.[3] 数学分析习题集题解BI吉米多维奇. 山东科学杜术出版，1983.[4] 韩伯棠. 管理运筹学〔M〕. 北京:高等教育出版社，2003.[5] 魏国华、傅家良、周仲良. 实用运筹学〔M〕. 北京:清华大学出版社，2000.[6] 胡运权、郭耀煌. 运筹学教程〔M〕. 清华大学出版社, 2002.[7] 邓成梁. 运筹学的原理和方法(第二版)〔M〕. 华中科技大学出版社, 2002.[8] 余兴无、李旭东. 确定性存储基本模型的几个推广〔J〕. 甘肃科学学报, 2002[9] 同济大学函授数学教研室高等数学第二版[下] 上海同济大学出版社.[10] 仉志余. 大学数学应用教程[M ]. 北京: 北京大学出版社, 2005.[11] 叶其孝. 最优化———导数的应用教学单元[J]. 工程数学学报, 2005, (8).[12] James Stewart著. 白峰衫主译. 微积分[M]. 北京:高等教育出版社, 1998.[13] 黄忠霖、黄京. Matlab符号运算及其应用[M]. 北京: 国防工业出版社, 2004.[14] 裴礼文. 数学分析中的典型问题和方法[M] . 北京: 高等教育出版社, 1993.[15] 王荷芬等. 高等数学汇解 [M] . 上海:同济大学出版社, 1990.[16] 汪荷仙. 高等数学解题方法指导 [M] . 成都:成都科技大学出版社, 1995.[17] G.B. Folland.Real Analysis(Second Editor),1999.致谢首先感谢我的导师老师，我的这篇学位论文是在我的导师老师的亲切关怀和悉心指导下完成的．他严肃的科学态度，严谨的治学精神，精益求精的工作作风，深深地感染和激励着我．杨老师不仅在学业上给我以精心指导，同时还在思想、生活上给我以无微不至的关怀，在此谨向杨老师致以诚挚的谢意和崇高的敬意．我还要感谢在一起愉快的度过毕业论文小组的同学们等人，正是由于你们的帮助和支持，我才能克服一个一个的困难和疑惑，直至本文的顺利完成.在论文即将完成之际，我的心情无法平静，从开始进入课题到论文的顺利完成，老师和同学给予我很多指导和帮助，在这里请接受我诚挚的谢意!最后我还要感谢培养我长大含辛茹苦的父母，谢谢你们!最后，再次对关心、帮助我的老师和同学表示衷心地感谢！。
函数最值论文
分类号： G634 密级：无学士学位论文函数条件最值的求法The Method to Get the Most Value Function Conditions 系别专业：数学系数学与应用数学姓名学号：陈慧玲 1034121年级班级： 2010级 1班指导教师及职称：刘影教授2014年4月16日摘要函数思想是贯穿整个中学数学教学中的一条主线，有关函数的性质有很多,其中求函数的最值问题是求解函数类的题中经常遇到的问题之一，也是在中学考试时常见的重要题型.在求函数最值问题时，有条件约束的求函数最值问题也是一个难点.求函数最值问题时，因其技巧性强、难度大、方法多、灵活多变而具有很大的挑战性，因此再解决这类问题时，要掌握各数学分支的知识，合理运用这些数学技能，灵活选择最适合的解题方法.求函数最值问题时，主要通过求函数最值问题的一般方法和特殊方法，来寻求解函数最值问题的一些快捷、简便的方法.求函数的最值问题时，一般方法有判别式法、函数单调性法、均值不等式法、换元法，特殊方法有求函数的最值问题，主要有几何法、构造方差法、复数法和导数法.通过对求函数最值问题的几种方法的探讨，并且用实例进行讲解、分析，从而进行归纳，得出求函数最值问题快速简便的方法.关键词：函数；最大值；最小值；求法AbstractFunction thought is a common thread in throughout the middle school mathematics teaching, there are a lot about the nature of function, among them the most value problems is to solve the function of the function is one of the problems often encountered in the class topic, also is the important topic in common high school exams. In the function most value problem, conditional constraint function or the most value problems is also a difficulty.Asked the function most value problem, because of its strong technical, more difficult, method, flexible and very challenging, so to solve such problems, to grasp the knowledge of each branch of mathematics, reasonable use of these mathematical skills, flexible to choose the most suitable method to solve problems.Strives for the function most value problem, the main function or by the most value problems of a general method and special methods, to seek the solution function most value problem of some of the fast and easy way. The most value problem of the function, the general method with discriminant method, function, monotonicity method, average inequality method, substitution method, a special method is the most value problem of the function, there are mainly the geometric method, structure variance method, plural and derivative method.Function most value problem by using the several methods of exploration, and an example is used to explain and analyze, thus summarized, it is concluded that strives for the function most value problem quick and easy way.Key words:function；maximum；minimum；religion目录摘要 (I)Abstract (II)目录 (III)引言 (1)第一章函数求最值的一般方法 (2)1.1判别式法 (2)1.2函数单调性法 (4)1.3均值不等式法 (5)1.4换元法 (7)第二章函数求最值的特殊方法 (9)2.1 几何法 (9)2.2 构造方差法 (10)2.3 复数法 (11)2.4 导数法 (12)结论 (14)参考文献 (15)引言在新课程中，高中数学知识非常丰富，层次性很强，和高等教育事业结合的更加紧密.想要较好的完成新课标中的教学任务，必须从整体上把握新的课程标准，运用合理的知识、思维将高中知识穿成串、连成片、织成网，才有利于学生更好的掌握数学知识.而求函数的最大值、最小值问题是一类特殊的数学问题，它在生产生活中，科学研究中有着广泛的运用，并且在学校的数学教学中也占有非常重要的地位.求函数的最值问题是中学考试的重点考查知识点之一，也是各类数学竞赛中常见的题型.在考试时它经常与不等式、一元二次方程、二次函数、三角函数以及某些几何知识相联系，以一些基础题，综合题的形式出现.由于其解法灵活，综合性较强，因此再解决这类问题时，要掌握各数学分支的知识，合理运用这些数学技能，灵活选择最适合的解题方法.函数最值问题的求法主要有：判别式法、函数的单调性法、均值不等式法、换元法、几何法、构造方差法、复数法和导数法.第一章 函数求最值的一般方法1.1判别式法函数是近年来高考的重点题型，在学习过程中我们会遇到各种类型函数的求最大值、最小值问题.其中有一种中学生必须掌握的方法就是判别式法，这种方法可以很快捷的解决函数最值问题，并且很常用.判别式法就是利用二次方程()002≠=++a c bx ax 有实数根的充要条件0≥∆来求出函数的最值.判别式方法多用于求形如f ex dx c bx ax y ++++=22 ()0,不同时为b a 的分式函数的最值.除了二次函数外，对于一些经常见到的含有根号的物理函数，也可以利用此方法求函数的最值.如果在一个问题中，诸量之间的关系可化为以某一个变量为元的二次方程的形式，便可运用判别式法来求其最值，但要注意函数的定义域对函数的制约作用.若函数()x f y =可化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程：()()()02=+-y c x y b x y a ，在()0=y a 时，由于y x ,为实数，则有()()()042≥-=∆y c y a y b ，由此可以求出y 所在的范围，确定函数的最值.例1.1 求函数()643184≤≤-+-=x x x y 的最值，以及函数取最值时x 的取值. 解：显然0>y ，等式两边平方得()()x x x y 318422142--+-=， 移项再平方整理得 ()0484281764162422=+-+-+y y x y x ， 由于()()0484286417642422≥+---=∆y y y ， 从而得802≤≤y ，又因为0>y 并且()()()0318422142≥--=--x x x y 得2≥y ， 222≤≤y ， 于是 当6=x 时，2min =y ；当29=x 时，22max =y .例1.2 已知233=+q p ，其中R q p ∈,，则q p +的最大值为多少？解：设q p a +=，由233=+q p 得，()()222=-++pq q p q p ()()[]232=-++pq q p q p()()233=+-+q p pq q p⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴a a pq 2312 q p ,∴是方程023122=⎪⎭⎫⎝⎛-+-a a ax x 的两个实根.0234-22≥⎪⎭⎫⎝⎛-=∆∴a a a整理化简，得最大值为2.83≤a ，故2≤a .即2=+q p例1.3 已知y x ,满足0622222=+--+-y x y xy x ，求y x w +=的最小值？ 解：因为y x w +=，由于0622222=+--+-y x y xy x 则得到()()06242=++--+y x xy y x所以()()46246222+-=++-+=w w y x y x xy 于是构造方程：046222=+-+-w w wa a则y x ,是它的两个实根，必有其判别式()0462422≥+-⨯-=∆w w w即062≥-w ， 解得23≥w 故y x +的最小值为23例1.4 实数y x ,满足979722=+-y xy x ，设22y x s +=，求s 最大值的倒数和最小值的倒数之和.解：联立方程组 979722=+-y xy x ()1 22y x s += ()2()()921⨯-⨯s 得()()09799722=-+--y s sxy x s ()3当0=y 时，由()1式得792=x ， 所以79=s 所以s 最大值的倒数和最小值的倒数之和为914当0≠y 时， ()3式可化为()0979972=-+-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-s y x s y x s 因为y x ,均为实数，所以0≥∆，即()()09749-22≥--s s得5182318≤≤s ， 故s 最大值的倒数和最小值的倒数之和为914。
论文函数的极值问题在实际中的应用.
函数的极值问题在实际中的应用一、函数求极值方法的介绍利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。
用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。
正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。
一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。
1、一元函数极值的判定及求法定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。
使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。
当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。
定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。
（1）若当时，当时，则在点取得最小值。
（2）若当时，当时，则在点取得最大值。
定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在处二阶可导，在处二阶可导，且，。
（1）若，则在取得极大值。
（2）若，则在取得极小值。
由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。
这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。
在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件，在这些点的导数为0，即为驻点。
因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。
下面我们给出用导数方法求函数最大、最小值的方法，步骤：（1）求函数的导数；（2）令，求出在内的驻点和导数不存在的点；（3）计算函数值；（4）比较上述函数值的大小，最大者就是在区间上的最大值，最小者就是在闭区间上的最小值。
二元连续函数在有界闭区域上的最值研究
楚雄师范学院本科生毕业论文题目：二元连续函数在有界闭区域上的最值研究系（院）：数学系专业：数学与应用数学姓名：学号： 20091021135 指导教师：职称：副教授论文字数： 5000字左右完成日期： 2013 年 5 月教务处抑制目录摘要： (II)关键词： (II)Abstract: (III)Keywords： (III)1、引言 (1)2、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究 (1)一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值 (1)（一）二元连续函数在圆域上的最值 (1)（二）二元连续函数在椭圆域上的最值 (4)二、二元连续函数在多边形区域上的最值 (6)三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值 (8)（一）二元连续函数在扇形区域上的最值 (8)（二）二元连续函数在曲边梯形区域上的最值 (10)参考文献 (13)致谢 (14)二元连续函数在有界闭区域上的最值研究摘要：本文主要对二元连续函数在二次曲线围成的封闭区域，多边形区域和一些特殊图形围成的封闭区域上的最值进行了研究.关键词：二元函数；最值；闭区域；有界；圆域；椭圆域；扇形域Continuous functions of two variables in the study region on theclosed boundary valueAbstract: This article mainly for bivariate continuous function form a closed curve of the second region, form a closed polygon area and a number of special graphics on the regional studies with the most value.Keywords：The binary function；Best value；Closed areas；Bounded；Circular domain；Elliptical domain；Fan-shaped domain1、引言我们可以把二元函数看成是一元函数的一个推广，但是二元函数的最值问题却与一元函数的最值问题大有不同. 首先，二元函数),(y x f 的定义域是平面点集，或是平面点集的子集，故二元函数),(y x f 的定义域和自变量要比一元函数)(x f 要复杂的多；其次，二元函数的最值可能出现在边界曲线上，所以二元函数的最值问题要比一元函数的最值问题更加复杂. 二元函数的最值问题是高等数学的常见问题. 但现有的材料和相关论文却相对很少，针对这一现状我们对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题展开了相应的研究，在不同的区域内二元连续函数的最值情况也是多种多样的，所以对二元连续函数在有界闭区域上的最值问题进行研究也就成为了一个非常有意义的研究性问题之一.2、二元连续函数在有界闭区域上的最值研究一、二元连续函数在二次封闭曲线所围成的闭区域上的最值（一）二元连续函数在圆域上的最值如何求二元连续函数),(y x f Z =在圆域})()(|),{(222r b y a x y x D ≤-+-=上的最值,我们分两步处理,先求它在圆域内可能出现的最值,再求它在圆域边界上可能出现的最值.首先我们对二元函数),(y x f Z =求一阶偏导数,令 ⎪⎩⎪⎨⎧<-+-====},)()(|),{(,0),(,0),(222''''r b y a x y x y x f Z y x f Z y yx x 其中 求出函数的驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i ,因为),3,2,1)(,( =i y x p i i i 不一定都是二元函数的极值点,所以还要对驻点进行判别,令),(''''i i xx xx y x f Z A ==,),(''''i i xy xy y x f Z B ==,),(''''i i yy yy y x f Z C ==.当02<-AC B 时,),3,2,1)(,( =i y x p i i 是二元函数),(y x f 的极值点,所以它可能是最值点;当02=-AC B 时,),3,2,1)(,( =i y x p i i 不能判定是否是二元函数),(y x f 的极值点,它也可能是最值点;当02>-AC B 时,),3,2,1)(,( =i y x p i i 不是二元函数),(y x f 的极值点,也就不可能是最值点]1716[],10[.-再将满足条件的02≤-AC B 的驻点代入到),(y x f Z =中求出相应的函数值 ).,3,2,1)(,( ==i y x f Z i i i （1）求函数),(y x f 在圆域边界上的函数值,我们可用两种方法来求解.第一种方法是拉格朗日乘数法,引入拉格朗日函数],[],)()[(),(222r a r a x r b y a x y x f l +-∈--+--=λ,对函数求一阶偏导数之后,令⎪⎩⎪⎨⎧=--+-==-+==-+=,0)()(,022),(,022),(222'''''r b y a x l b y y x f l a x y x f l y y x x λλλλλ求解方程组可得到圆域边界上的极值点),3,2,1)(,( =j y x M j j j ,代入到),(y x f Z =中求得圆域边界上的函数值).,3,2,1)(,( ==j y x f Z j j j （2） 综合圆域内的函数值（1）和圆域边界上的函数值(2),通过比较函数值的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.求圆周曲线上可能出现的最值点,我们还可以用转换法求解,将圆方程222)()(r b y a x =-+-变形为b a x r y +--±=22)(,把它代入到),(y x f Z =中,可以得到相应的一个一元函数],[),)(,(22r a r a x b a x r x f Z +-∈+--±=,通过求这个一元函数的极值点，从而可得到函数),(y x f Z =在圆域边界上可能出现的最值点,进而求得相应的函数值 ),,3,2,1)()(,(22 =+--±=k b a x r x f Z k k k （3） 再求],[),)(,(22r a r a x b a x r x f Z +-∈+--±=的端点值),(1b r a f Z k +-=,),(2b r a f Z k +=. （4） 最后通过比较所得函数值（1）,（3）和（4）的大小找出二元连续函数在圆域上的最大值和最小值.例1 求二元函数62),(2222+-+=y x y x y x f 在有界闭区域}4|),{(22≤+=y x y x D 上的最值.解 由⎪⎩⎪⎨⎧<+=-==-=},4|),{(,024),(,022),(222'2'y x y x y x y y x f xy x y x f y x 其中 知二元函数),(y x f 的驻点为)1,2(1p ,)1,2(2-p ,)1-,2(3p ,)1,2(4--p ,)0,0(5p .再进一步求出2''22),(y y x f A xx -==,xy y x f B xy4),(''-==,2''24),(x y x f C yy -==.当驻点为)1,2(1p 时,0242>=-AC B ,所以驻点)1,2(1p 不是二元函数),(y x f 的极值点（即不是最值点）,故舍去.同理,当驻点为)1,2(2-p ,)1,2(3-p ,)1,2(4--p 时,都分别求得0242>=-AC B ,所以驻点)1,2(2-p ,)1,2(3-p ,)1,2(4--p 都不是二元函数),(y x f 的极值点（即不是最值点）,故全部舍去.当驻点为)0,0(5p 时,082<-=-AC B ,所以驻点)0,0(5p 是函数的极值点,代入),(y x f 可得函数值6)0,0(=f .对于二元函数),(y x f 在圆周曲线422=+y x 上的最值,我们分别用两种方法讨论.1) 拉格朗日乘数法.设]2,2[),4(62222222-∈-+++-+=x y x y x y x l λ,对它求一阶偏数之后,令⎪⎩⎪⎨⎧=-+==+-==+-=,04,0224,022222'2'2'y x l y y x y l x xy x l y x λλλ 求解上述方程组可得到圆域边界上的极值点有)23,25(1M ,)23,25(2-M ,)23,25(3-M , )23,25(4--M ,将它们分别代入到二元函数),(y x f 中,可求得圆域边界上可能的最值有431)23,25(1=f ,431)23,25(2=-f ,431)23,25(3=-f ,431)23,25(4=--f .又由]2,2[-∈x 可知)2,0(5M ,)2,0(6-M ,)0,2(7M ,)0,2(8-M 也是可能的最值点,分别代入到),(y x f 中求得可能的最值有14)2,0(5=f ,14)2,0(6=-f ,10)0,2(7=f ,10)0,2(8=-f .综合上述圆域内和圆域边界上所得出的最值有6,431,10和14,通过比较最值的大小可得到二元连续函数),(y x f 在圆域上的最大值为14,最小值为6.2） 转换法.将圆方程转化为]2,2[,422-∈-=x x y ,把它代入到二元函数),(y x f 中,得到一个一元函数145)(24+-=x x x f ,对它求一阶导数可得x x x f 104)(3'-=,令0104)(3'=-=x x x f ,求解方程可得一元函数)(x f 的极值点有01=x ,252=x 和253-=x ,将它们分别代入到一元函数)(x f 中,求得圆域边界上的函数值为14)0(=f ,431)25(=f ,431)25(=-f .再求得曲线端点处的函数值为10)2(=-f ,10)2(=f .综合上述圆域内的函数值和圆域边界上的函数值有6,14,431和10,通过比较函数值的大小可以得到二元函数),(y x f 在圆域上的最大值为14,最小值为6.（二）二元连续函数在椭圆域上的最值 求二元连续函数),(y x f Z =在椭圆域}1|),{(2222≤+=by a x y x D 上的最值,我们可以分为椭圆域内的函数最值和椭圆域边界上的函数最值两部分进行求解.首先对二元连续函数),(y x f Z =求一阶偏导数,令⎪⎩⎪⎨⎧<+====}1|),({,0),(,0),(2222''''b y a x y x y x f Z y x f Z y y x x 其中 求解方程组可得函数),(y x f 的驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i ,因为驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i 不一定都是),(y x f 的极值点,所以还要对驻点进行判别,令),(''''i i xx xx y x f Z A ==,),(''''i i xy xyy x f Z B == ),(''''i i yy yy y x f Z C ==.同在圆域内的判别方法一样,将02≤-AC B 的驻点代入到),(y x f Z =中求出相应的函数值).,3,2,1)(,( ==i y x f Z i i i （5）对于二元函数在椭圆域边界上的最值,我们同样可以用两种方法来进行讨论.方法一:拉格朗日乘数法.令],[),1(),(2222a a x by a x y x f l -∈-+-=λ,对它求一阶偏导数之后,令 ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+==+=,01,02),(,02),(2222'2''2''b y a x l b y y x f l a x y x f l y y x x λλλ 解方程组可得到椭圆域边界上的极值点),3,2,1)(,( =j y x M j j j ,代入函数),(y x f Z =中,求得椭圆域边界上的函数值).,3,2,1)(,( ==j y x f Z j j j （6） 综合上述得出椭圆域内的函数值（4）和椭圆域边界上的函数值（5）,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数),(y x f 在椭圆域上的最大值和最小值.方法二:转换法.将椭圆方程],[,12222a a x by a x -∈=+,变形为2222a x b b y -±=,代入到二元函数),(y x f Z =中,可得到一个一元函数],[),,(2222a a x a xb b x f Z -∈-±=,对这个一元函数求极值（即二元函数),(y x f 在椭圆域边界上可能的函数值）得 ).,3,2,1)(,(2222 =-±=k a x b b x f Z k k k （7） 再求出],[),,(2222a a x a xb b x f Z -∈-±=的端点值 )0,(1a f Z k =,)0,(2a f Z k = （8） 综合上述椭圆域内的函数值（5）和椭圆域边界上的函数值（7）与（8）,通过比较所得函数值的大小可得到二元函数在椭圆域上的最大值和最小值.例2 求二元函数2),(22+-=y x y x f 在椭圆区域}149|),{(22≤+=y x y x D 上的最大值和最小值.解 由 ⎪⎩⎪⎨⎧<+=-===}1|),{(,02),(,02),(2222''b y a x y x y y x f x y x f y x 其中 可得),(y x f 唯一的驻点)0,0(p ,再求出2),(''==y x f A xx ,0),(''==y x f B xy ,2),(''-==y x f C yy .因为当驻点为)0,0(p 时,042>=-AC B ,所以驻点)0,0(p 不是二元连续函数),(y x f 的极值点,也就不是最值点,故舍去.对于二元函数),(y x f 在椭圆域边界上的最值,我们可用两种方法来求解.1）拉格朗日乘数法.设]3,3[),149(22222-∈-+++-=x y x y x l λ,先对它求一阶偏导数,再令⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-+==+-==+=,0149,0212,092222'''y x l y y l x x l y x λλλ 由方程组可得到椭圆域边界上可能的最值点有)2,0(1M ,)2,0(2-M ,)0,3(3M ,)0,3(4-M .将它们分别代入到二元函数),(y x f 中,可求得相应的函数值2)2,0(1-=f ,2)2,0(2-=-f ,11)0,3(3=f , 11)0,3(4=-f .综合上述两种情况得出的函数值有2-和11,通过比较函数值的大小可得到函数),(y x f 在椭圆域边界上的最大值为11,最小值为2-.2）转换法.将椭圆方程转化为]3,3[,94422-∈-=x x y ,代入到函数),(y x f 中,可得到一个一元函数]3,3[,2913)(2-∈-==x x x f Z ,对它求一阶导数可得x x f Z 926)(''==,令0926)('==x x f ,求解方程可得一元函数)(x f 的极值点0=x ,代入到函数)(x f 中,得到最值2)0(-=f .再求得曲线的上下界函数值11)3(=-f ,11)3(=f .综合上述所得椭圆域内的函数值和椭圆域边界上的函数值2-和11,通过比较所得函数值的大小从而得到函数),(y x f 在椭圆域上的最大值为11,最小值为2-.二、二元连续函数在多边形区域上的最值二元连续函数),(y x f Z =在n 边形区域D 上的最值问题,随着边界的复杂程度加大,对它的求解难度也在加大,但在总体上还是可以分为区域内和区域边界上两部分进行讨论.对于n 边形区域内的最值,我们对函数),(y x f Z =求一阶偏导数之后,令⎪⎩⎪⎨⎧∈====D y x y x f Z y x f Z y yx x int ),(,0),(,0),('''' 可求得函数在n 边形区域D 内的驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i ,因为驻点),3,2,1)(,( =i y x p i i i 不一定都是函数的极值点,令),(''''i i xx xx y x f Z A ==,),(''''i i xy xy y x f Z B ==,),(''''i i yy yy y x f Z C ==,将满足条件02≤-AC B 的驻点代入到),(y x f Z =中求出相应的函数值 ).,3,2,1)(,( ==i y x f Z i i i （9）n 边形区域是由n 条直线段围成的封闭区域,其边界有n 条直线段构成,朗格朗日乘数法就很难求解,所以我们用转换的思想方法求n 边形区域边界上的最值问题.将直线段方程),,3,2,1];,[(n i b a x l i i i =∈,分别代入到二元函数),(y x f Z =中,通过代换可得到相应的一元函数),,2,1];,[)((n i b a x x f i i i =∈,对它求一阶导数可得),,2,1];,[)(('n i b a x x f i i i =∈,令0)('=x f i ,可求得函数)(x f i 的极值点),,3,2,1(n i x i =,代入到函数),,2,1];,[)((n i b a x x f i i i =∈中,求得相应的极值（可能的最值）),,,3,2,1;,,3,2,1)((n j n i x f Z i i j === （10） 再求出直线段),,3,2,1];,[(n i b a x l i i i =∈的端点值),,,3,2,1;,,3,2,1)((1n k n i a f Z i i k ===).,,3,2,1;,,3,2,1)((2n k n i b f Z i i k === （11） 综合上述两种情况得出的函数值（9）,（10）和(11),通过比较所得函数值的大小可得到函数),(y x f 在n 边形区域上的最大值和最小值.例3 求二元函数2212),(y x y x f --=在三角形区域⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤--≤≤≥+-≤≤≥-+=.21,033,20,042,10,022x y x x y x x y x D上的最值.解 对函数),(y x f 求一阶偏导数之后,由⎪⎩⎪⎨⎧∈=-==-=，D y x y y x f x y x f yx int ),(,02),(,02),('' 可得到函数),(y x f 有唯一的驻点)0,0(p ,因为驻点D p int )0,0(∉,即不在三角形区域内,故舍去.三角形区域边界上的最值,我们采用代换法求最值,分别把直线段方]1,0[,022:1∈=-+x y x l ,]2,0[,042:2∈=+-x y x l ,]2,1[,033:3∈=+-x y x l .分别代入到二元函数),(y x f 中,可得到相应关于x 的一元函数分别为]1,0[,885)(21∈++-=x x x x f ,]2,0[,8245)(22∈+--=x x x x f ,]2,1[,31810)(23∈-+-=x x x x f .令0810)('1=+-=x x f ,可得)(1x f 的极值点]1,0[54∈=x ,代入)(1x f 中求得极值556)54(1=f ,再求得1l 的端点值8)0(1=f ,11)1(1=f .同理可得)(2x f 的极值点]2,0[54∉-=x ,故舍去,求得2l 的端点值8)0(2=f ,1)2(2-=f .)(3x f 的极值点]2,1[109∉=x ,故舍去,求得3l 的端点值11)1(3=f ,1)2(3-=f .综合上述情况得出的函数值有556,8,11和1-,通过比较所得函数值的大小可得到函数),(y x f 在三角形区域上的最大值为556,最小值为1-.三、二元连续函数在其他图形所围成的闭区域上的最值（一）二元连续函数在扇形区域上的最值如何求一个二元连续函数),(y x f Z =在扇形区域D 上的最值呢?这里我们分成两部分进行讨论,一是如何求它在扇形区域内的函数最值,二是如何求它在扇形边界上的函数最值.对于二元函数在扇形区域内的最值,我们先对),(y x f Z =求一阶偏导数,然后令⎪⎩⎪⎨⎧∈====,int ),(,0),(,0),(''''D y x y x f Z y x f Z y yx x 求出扇形区域D 内二元函数的驻点),,3,2,1)(,( =i y x p i i i 因为),3,2,1)(,( =i y x p i i i 不一定都是函数的极值点,所以还要进一步对这些驻点进行判别,令),(''''i i xx xx y x f Z A ==,),(''''i i xy xy y x f Z B == ,),(''''i i yy yy y x f Z C ==,将满足条件02≤-AC B 的驻点代入到),(y x f Z =中求出相应的函数值).,3,2,1)(,( ==i y x f Z i i i （12）扇形区域的边界不同于圆,椭圆和多边形区域的边界是有一条二次曲线围成的封闭区域,或是有几条直线段围成的多边形区域,它是由直线段和二次曲线段共同围成的封闭区域.拉格朗日数乘法同样就很难解决这样的问题,因此这里我们同样采用转换的思想方法来求扇形区域的边界最值.首先将曲线段方程],[,)()(:112221b a x r b y a x l ∈=-+-,变形为],[,)(1122b a x b a x r y ∈+--±=,把它代入),(y x f 中,可得到],[),)(,()(11221b a x b a x r x f x f ∈+--±=,再对)(1x f 求一阶导数可得))(,()(22''1b a x r x f x f +--±=,令0))(,()(22''1=+--±=b a x r x f x f ,求解方程可得)(1x f 的极值点为),3,2,1( =i x i ,再将属于区间],[11b a 的值代入到一元函数)(1x f 中,求得最值).,3,2,1)()(,(22 =---±=i b a x r x f Z i i i （13） 再求出曲线段1l 的两个端点函数值))(,()(212111b a a r a f a f +--±=,))(,()(212111b a b r b f b f +--±=. （14） 同理将直线段方程32,l l ,分别代入到函数),(y x f Z =中,可得函数)3,2];,[)((=∈=i b a x x f Z i i i , 求得它的最值为).,,3,2,1;3,2)((n j i x f Z i j === （15） 再分别求出直线段)3,2(=i l i 的端点值)3,2;3,2)((1===k i a f Z i i k ,).3,2;3,2)((2===k i b f Z i i k （16） 最后综合上述几种情况得出的函数最值（12）,（13),（14）,（15）和（16）,通过比较函数值的大小找出二元连续函数在扇形区域上的最大值和最小值.例4 求二元函数222),(xyy x y x f -+=在扇形区域⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧∈≥+∈≤-∈≤+=],510,0[,03],510,0[,03],2,510[,422x y x x y x x y x D 上的最值。
研究函数的极值与最值问题
研究函数的极值与最值问题在数学中，研究函数的极值和最值问题是非常重要的。
通过研究函数的极值和最值，我们可以了解函数的性质，并解决许多实际问题。
一、极值问题函数的极值是指在一定范围内的最大值或最小值。
为了求得函数的极值，我们需要先求出函数的导数，然后令导数为零并解方程，得到极值对应的自变量值。
接下来，可以通过代入自变量值进入原函数来求得极值。
举个例子，考虑函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4 在区间 [-2, 3] 上的极值问题。
首先，我们求得导数 f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
令 f'(x) = 0，解方程可以得到x = -1 和 x = 2。
接着，我们将这两个值代入原函数 f(x) 中，可以得到 f(-1) = -7 和 f(2) = 6。
所以，在区间 [-2, 3] 上，函数 f(x) 的最小值为 -7，对应的自变量 x = -1，函数 f(x) 的最大值为 6，对应的自变量 x = 2。
二、最值问题函数的最值是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
为了求得函数的最值，我们需要先求得函数的导数，并研究其在定义域内的增减性以及边界情况。
根据导数和边界的关系，可以找到函数在定义域内的最值。
以函数 g(x) = x^2 + 4x - 3 为例，我们可以求得导数 g'(x) = 2x + 4。
通过观察导数的符号，我们可以发现在 x < -2 时，导数为负数，表示函数 g(x) 单调递减；在 x > -2 时，导数为正数，表示函数 g(x) 单调递增。
由于函数 g(x) 是一个二次函数，我们可以知道当 x 趋近无穷大或无穷小时，函数的值无限增大，因此函数g(x) 在无穷大时没有最大值。
另外，函数 g(x) 在定义域内都是连续的，所以可以确定函数 g(x) 存在最小值。
为了找到函数 g(x) 的最小值，我们可以考虑其导数为零的情况。
论文_浅析函数极值的求法及应用[1]综述
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XX学院毕业论文浅析函数极值的求法及应用院系：数学与计算机科学学院专业：数学与应用数学年级、班级： 08数本姓名： XXX学号： XXXXXXX指导教师(职称)： XXXXX2012 年3 月15 日浅析函数极值的求法及应用摘要函数极值是数学研究的重要内容之一，故对函数极值问题的探讨具有重要意义。
本文讨论了利用拉格朗日乘数法、柯西不等式法和梯度法求函数条件极值，以及利用方向导数判别法、MATLAB法求函数无条件极值，归纳出了函数极值在不等式证明、物理学、生产销售和蜂房最优化问题的若干应用。
关键词函数极值求法应用Analysis of the function extreme value solution and its applicationAbstractThe extreme value of function is one of the important contents of mathematics study,so the function extreme problems of the function extreme value has important significance.This paper discusses the use of the Lagrange multiplier method,the Cauchy inequality method and gradient method for function conditional extremum,and the use of directional derivative method,MATLAB software and function unconditional extremum,summarized some applications about the extreme value of function in the proof of inequality, physics, production and sales and bee house problems.Keywords function；extreme value；solution；application目录摘要 (Ⅰ)关键词 (Ⅰ)第一章引言 (1)第二章函数极值的定义及其存在的条件 (1)2.1多元函数极值的定义 (2)2.2多元函数极值存在的条件 (2)第三章函数极值的若干求法 (3)3.1拉格朗日乘数法求极值 (3)3.2柯西不等式法求极值 (4)3.3梯度法求极值 (5)3.4利用方向导数判别多元函数的极值 (7)3.5 Matlab求函数极值 (9)第四章函数极值理论的应用 (12)4.1函数极值在不等式证明中的应用 (12)4.2函数极值在物理学中的应用 (13)4.3函数极值在生产销售中的利润最大化方案的应用 (14)4.4运用函数极值分析蜂房的最优化问题 (15)第五章结束语 (18)致谢语 (18)引用文献 (18)第一章 引言函数极值一直是数学研究的重要内容之一，在科学与生产实践中存在着许多和极值有关问题。
浅谈函数极值的求法及应用毕业论文
本科毕业论文论文题目：浅谈函数极值的求法及应用目录中文摘要 (1)英文摘要 (1)一、对一元函数极值问题的简单回顾 (2)（一）一元函数极值的定义 (2)（二）一元函数极值的必要条件 (2)（三）一元函数极值的充分条件 (2)（四）一元函数求极值的现实应用 (3)二、多元函数极值的求法 (4)（一）多元函数的简单介绍 (4)1.多元函数极值的定义 (4)2.多元函数极值的必要条件 (4)3.多元函数极值的充分条件 (4)4.多元函数极值的应用——“牧童”经济模型 (5)（二）多元函数条件极值 (7)grange数乘法 (7)grange数乘法的步骤 (8)3.多元函数条件极值的必要条件 (9)4.多元函数条件极值的充分条件 (9)grange法求多元函数极值的应用——一个价格决策模型 (10)参考文献 (15)附录 (16)浅谈函数极值的求法及应用于淼摘要：在日常的生产生活、经济管理以及经济核算中，我们往往要考虑到在前提条件一定的情况下，怎样才能保证以最小的投入获得最高回报的问题。
这些问题都可以转化为函数中求最大（小）的问题。
在求最值的问题中，我们就用到了函数极值的概念，所以函数极值的讨论具有非常重要的现实意义。
本文首先对一元函数极值做了简单回顾，然而现实生活中的问题往往是复杂的，所以本文进一步研究了多元函数极值的求法Lagrange数乘法，并相应地给出了具体的现实模型以及matlab程序对应用加以说明。
关键词：极值;多元函数;条件极值;极值应用中图分类号：O1Introduction to the calculational methods and application of absoluteextremes of functionYu MiaoAbstract: In daily production and life, economic management and accounting, we often have to think about how to get a maximum return at the minimum investment on issues such as profit maximization under certain circumstances. These problems can be converted to a function for the largest (smallest) problem. In seeking the absolute extremes of function, we used the concept of function extreme. So the discussions on function extreme hold a very important practical significance.At first, this passage made a simple review on calculational methods of extreme value of the function of one variable; the problem is often complicated in real life, however. So in this paper, further research on the extremes for multivariate function are given though laser number multiplication, and correspondingly gives the concrete reality model for application. Keywords:absolute extremes; multivariate function; extremes with a condition;application一、对一元函数极值问题的简单回顾（一）一元函数极值的定义定义1 设)(x f 是定义在),(b a 上的函数，),(0b a x ∈,若存在一点0x 的某个邻域),(),(0b a x O ⊂δ,使得,),(),()(00δx O x x f x f ∈≤,那么，称0x 是)(x f 的一个极大值点，)(0x f 就是其相应的极大值。
函数的最值范文
函数的最值范文函数的最值是指函数在定义域内能取到的最大值和最小值。
在数学中，最值是对函数的一种重要性质的描述，它帮助我们找到函数的极大值和极小值，从而有助于解决许多实际问题。
本文将详细介绍最值的概念以及如何找到函数的最值。
首先，我们来定义函数的最值。
设函数f(x)定义在区间[a,b]上，其中a和b可以是有限数、无穷数或负无穷数。
那么f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值可以用以下等式表示：最大值：f(c)≥f(x)∀x∈[a,b]最小值：f(c)≤f(x)∀x∈[a,b]其中c是[a,b]上的一个点，也可以是a或b。
如果在[a,b]内存在多个点使得函数取到最大值或最小值，我们称这些点为极值点。
有许多方法可以寻找函数的最值。
以下是一些常见的方法：1.导数法：如果函数在[a,b]内可导，那么函数最值一定出现在导数为零的点上。
我们可以通过计算函数的导数，然后找到导数为零的点，再将这些点带入原函数，即可得到最值。
2.边界法：如果函数在[a,b]的边界上取到最值，那么最值就是函数在边界上的值。
我们只需计算函数在a和b处的值，比较它们和区间内其它点的值，即可确定最值。
3.奇偶性法：如果函数是偶函数，那么它的最值一定出现在a和b之间一些点上；如果函数是奇函数，那么最值一定在a或b处取到。
4.高中所学的求最值方法：例如通过均值不等式法、二次函数的顶点、无理函数的最小正值等方法，也可以求得函数的最值。
值得注意的是，函数的最值并不一定总是存在。
例如，函数f(x)=x在实数域上没有最大值或最小值。
此外，我们需要明确函数定义域的范围，因为函数的最值与定义域有关。
函数的最值在实际问题中具有广泛的应用。
例如，在经济学中，最大化利润和最小化成本是企业经营的重要问题；在物理学中，我们希望找到最佳轨道以最小化能量消耗；在工程中，我们需要找到能够最大程度利用资源的最优解等。
通过寻找函数的最值，我们可以解决这些实际问题，优化各种系统和过程。
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函数；最值；数形结合；条件极值；数学思想．
Abstract
The function is mathematics main body content, the function most value is the function condition key component, in life many questions must transform as the research function most value question．For better solution function most value question．Summaried has utilized the elementary mathematics knowledge and the higher mathematics knowledge separately solves the function most value many kinds of methods, has analyzed mathematics thought which each method utilized and is suitable the type topic．Specially the logarithm shape union method has made the key discussion, analyzed had the constraints quadratic function most value question which how to strive for to transform to discuss between two spots to be away from, the straight line slope, the straight line intercept, the conic section apex question to solve, explained through the typical sample question analysis each method's use skill and could solve type topic．Regarding asks the function the value territory question, integral estimate value question, some inequality mathematics questions and so on proof, through the analysis, transforms it as the solution function most value question, then the exploration knowledge's inner link, seeks for the problem solving rule．The erroneous zone which easy to walk into the use process has carried on the analysis in view of each method, enhanced each method utilization the accuracy．Meanwhile using the solution function most value's method, has solved in the life, the production the optimalizing or the superior plan question．
求给定函数的最大值和最小值是个复杂而又实际的问题，在人类生活和生产活动中，经常会遇到寻求最优或较优方案的问题．对于一件事情，是否采用最优方案，其结果是大不一样的．如大连理工大学应用数学系教师，1983年用线性规划的方法对某钢厂的产品结构进行分析，提出建议，厂方采纳后，一年提高产值达五百万元．
key word:
function; Most value; Counts the shape union; Condition extreme value; Mathematics thought．
引言
函数是数学的主体内容，而函数最值是函数的重要组成部分，其在研究函数性态时起着重要作用，另外其在生活、生产中有着广泛的应用．
3求解函数最值时应注意的问题22
3.1注意定义域22
3.2注意值域23
3.3注意参变数的约束条件23
3.4注意基本不等式的使用24
4函数最值的应用26
4.1函数最值在数学中的应用26
4.2函数最值在Βιβλιοθήκη 际生活中的应用29结论32
致谢33
参考文献34
摘 要
函数是数学的主体内容，函数的最值是函数性态的主要组成部分，生活中的许多问题都需转化为研究函数的最值问题．为了更好的解决函数的最值问题．归纳总结了分别运用初等数学知识和高等数学知识来求解函数最值的多种方法，分析了各种方法所运用的数学思想及其适用类型题．特别是对数形结合方法做了重点探讨，分析了如何将所求的带有约束条件的二次函数最值问题转化为探讨两点间距离、直线的斜率、直线的截距、二次曲线的顶点问题加以解决，通过典型例题分析说明了各种方法的使用技巧及所能解决的类型题．对于求函数的值域问题、积分的估值问题、一些不等式的证明等数学问题，通过分析，将其转化为求解函数最值问题，进而探索知识间的内在联系，寻找解题规律．针对各种方法在使用过程中易走入的误区进行了剖析，提高各种方法运用的准确性．同时运用求解函数最值的方法，解决了生活、生产中寻求最优或较优方案问题．
关于函数最值问题的探讨
专业：数学与应用数学
班级：数学0411班
姓名：xxx
引言3
1函数最值的重要性5
1.1在研究函数时所起的作用5
1.2在实际问题中的重要性6
2求解函数最值的方法7
2.1代数法7
2.2向量法9
2.3参变数法11
2.4数形结合法12
2.5柯西不等式法17
2.6求导法19
2.7拉格朗日乘数法20