利息理论第二章课后答案

1、
证明： ()
n
m
m n i v
v a a -=-;
证明：
11()()
m n
n
m
m n i i i i v v v v a a --
-=-=-
2、化简：n t t n
n
a
s a
s
--
解：
()()()()()()()1
111
1111
1111111t
n t
n
t
t
n t t n n n n
n
n
i i
i
i
i v
i i i a s a
s
v i i n ------+=+=+=----+++++++
3、设2,n n x y a a ==，用x 、y 来表示d; 解：
,
()()()2222221122111211n n n n n
n v a x xi v x y i x y i
xi yi i d i x x x y v yi v a y i ⎧-==⎪⎧-=--⎪⎪⇒⇒-=-⇒=⇒==⎨⎨++---=⎪⎪⎩
==⎪⎩
4、设,m
n x y
a s ••== 证明：
1m n
vx y
iy a
++=
+；
证明：
()()()()()()111111111111m m m m n n
n
n v i a x v xiv
xiv yi xv y i a i iy i s y v yi i -+-⎧-+⎪==⇒=----+⎪∴==⎨++-⎪=
=⇒=-⎪⎩
5、证明：2322..
..
..
1
..
..
..
n
n
n
n
n n
s
s
s s
s
s
+
-
=;
证明：
()()()()()()()()()()
2323222222111111
111111
111111
11
n n n
n n n
n n n n
n
n n n
n
n
s s s i i i s s s i i i i i i i +-+-+-+
-=+-+-+-+-⎡⎤+-+⎣⎦
=+++
=+-
6年金a 的给付情况是：1—10年，每年给付1000；11-20年，每年给付2000元；21-30年，每年给付1000元；年金b 在1-10年，每年给付k 元；11-20每年给付0；21-30，每年给付k 元，若a 与
：
b 相等，知道=，计算k
解：100030a +10001010v a =k 30a -k 1010v a 又因10v = 解答得k=1800
7 某人希望采取零存整取的方式累积2000，前n 年，每年末存入50，后n 年，每年末存入100，不足部分在2n+1年末存入，正好达到2000的存款本息和。

设年利率为%计算n 及超出或者不足2000的差额 解:50n s 2+50n s =2000 解答得n= 所以n=9
（5018s +509s ）()i +1+x=2000
!
解答得 x=
8 从1998年起，知道1998年底，默认每年一月一号和一月七号在银行存入一笔款项，七月一号的存款要比一月一号的多%，并且与下一年的一月一号相等，每年计息两次且年名义利率为10%。

；在1998年十二月三十一号，本息为11000 ，计算第一次存款
解：x
（2005.1+10172181025.105.105.11025.105.11025.10519.11025.1⨯++⨯+⨯+⨯ ）=11000
因为1025.1=205.1
X （10*2005.1+10*2105.1）=11000 解答得 x=
9. ()1.0n Ia =55，1
.0n a =利用近似计算
解；()()()x f x x f x x f '⋅∆+≈∆+ ，
'
⎪
⎭
⎫ ⎝⎛+=1.01
.0102
.0002.0n n
n a a a
≈
10.某期末付年金付款如下：单数年末，每次付款100元，双数年末每次付款200元，共20年。

若在某时间t 一次性付3000元的现值与前面的年金现值相等。

若利率i>0，写出t 的表达式。

解：t νννννν⋅=+++++3000)222(10020432
222202
4
20
202022020
20
22(2)(1)100()100()10010030001t
a a a a a a a νννννννν
νν⎡⎤+-+++
+=+=+=⋅=⎢⎥-⎢⎥⎣
⎦
()2
20
2
230t
a a ννν+=
2202(2)ln 30ln a a t ννν⎡⎤
+⎢
⎥
⎣⎦=
11.某年末付永续年金首次付款额为1，第二次为2，…，直到付款额增加到n ，然后保持不变。

计算该永续年金现值。

解：()
()n
n n
n n
n n
n a n a a n I a Ia n a i
i i d ννν∞∞
-=+=
+==
12.%
13.
某n 年期连续年金在t 时刻(
)
0t n ≤≤付款()1kt -，其现值为
f g h --，其中f
为连续支付的每期付款1单位的永续年金的
现值，g 为延续n 年，每年支付()1kn -的连续支付的永续年金的现值，计算h 。

解：
()()()
()
20111ln ln ln 1
1n
n n n
t
n k kn f g h kt dt f kt g νννννννδ
νδ
⎧
--⎪--=-=++⎪⎪⎪=⎨⎪⎪-=
⎪⎪⎩
⎰
()
2
1n k h νδ-=
14.若
11t t δ=
+，写出n a 的表达式。

解：()01ln 11n
n a dt n t ==++⎰
14.证明 ()()()()1
()()m m m m I a m i d ∞=
-
解：
'
()(
)
()()
()()()()()()1111
()
lim
lim (1)m n
n m m n m m m n m m m m n n a n n I
a i i d i i d m i d υυ∞
→∞
→∞-⎡⎤-==-==⎢⎥+⎡⎤-⎣⎦⎣⎦
15.甲在2025年1月1日需要50000元资金以及一个期初付、
每半年领取一次的为期十五年的年金，每次领取款项为k 。

这些款项需要从2000年1月1日起，每年初存入银行k 元，共25年，存入款项时每年计息2次的年名义利率为4%，领取年金时，每年计息2次的年名义利率为3%，计算k 。

解：
0.0250300.0750.02
25000
2605.998
k s k s a k ⋅=⋅+⇒=
16.延期一年连续变化的年金共付款13年，在时刻t 时，年付款率为t 2-1,t 时刻的利息力为（1+t)-1
,计算该年金现值。

解：
14
2
14
14
211
1
1
(0)(1)(1)(1)(
)84.52t
V t t dt t dt t -=-+=-=-=⎰⎰
17.计算：（1）1
()
n
t
i Ia =∑ （2)
1
()
n
t
i Da =∑
解：
1
2
2
1
1
(1)(1)2(1).()n
t
t
n
n
n
n t t n t i i n i a ti a t n i a n Ia i
i
i υυυ===+---+-+==
=
∑∑∑
12
21
1
11(1)22(1)(2).()t
t n n
n
n
t
i n
t i i i i t a n n i n a t ti Da i
i i i υυ-====-+-+---====∑∑
∑∑。