有限元法基础-7线性代数方程组的解法
线性方程组的几种求解方法
甘肃政法学院本科学年论文（设计）题目浅议线性方程组的几种求解方法学号：姓名：指导教师：成绩：__________________完成时间： 2012 年 11 月目录第一章引言 (1)第二章线性方程组的几种解法 (1)2.1 斯消元法 (1)2.1.1 消元过程 (1)2.1.2 回代过程 (2)2.1.3 解的判断 (2)2.2 克莱姆法则 (3)2.3 LU分解法 (4)2.4 追赶法 (6)第三章结束语 (8)致谢 (8)参考文献 (9)摘要:线性方程组是线性代数的核心内容之一，其解法研究是代数学中经典且重要的研究课题.下面将综述几种不同类型的线性方程组的解法，如消元法、克莱姆法则、直接三角形法、、追赶法，并以具体例子介绍不同解法的应用技巧. 在这些解法中，高斯消元法方法，具有表达式清晰，使用范围广的特点.另外，这些方法有利于快速有效地解决线性方程组的求解问题，为解线性方程组提供一个简易平台，促进了理论与实际的结合。
关键词:线性方程组;解法;应用Several methods of solving linear equation groupAbstract: The system of linear equations is one of linear algebra core contents, its solution research is in the algebra the classics also the important research topic. This article summarized several kind of different type system of linear equations solution, like the elimination, the Cramer principle, the generalized inverse matrix law, the direct triangle law, the square root method, pursue the law, and by concrete example introduction different solution application skill. In these solutions, the generalized inverse matrix method, has the expression to be clear, use scope broad characteristic. Moreover, these methods favor effectively solve the system of linear equations solution problem fast, provides a simple platform for the solution system of linear equations, promoted the theory and the actual union.Key word: Linear equations; Solution ; Example第一章 引言线性方程组理论是高等数学中十分重要的内容，而线性方程组的解法是利用线性方程组理论解决问题的关键.下面将介绍线性方程组的消元法、追赶法、直接三角形法等求解方法，为求解线性方程组提供一个平台。
第二讲：线性代数方程组求解(直接方法)1
AX=b
§2.1 Gauss evaluation method
§2.1 高斯（Gauss）消去法 1.高斯顺序消去法：
a11 a12 a a 21 22 A ( A b) an1 an 2
a1n a2 n ann
b1 b2 bn
§2.1 Gauss evaluation method
左乘 A(2) 即有
(1) a11 0 0 0 (1) a12 ( 2) a22 (1) a13 ( 2) a23 (3) a33 (1) (1) a1 b1 n ( 2) ( 2) a2 b n 2 (3) (3) : A (3) a3 n b2 (3) (3) ann bn
(2)
回代可得 x2 1.001, x1 10.00,
方法二
§2.1 Gauss evaluation method
(1) 从例子我们可以看出，原方程 进行行交换的高斯消元法：交换 A 的第一，二两行有 的解为x =1.000，x =10.00即
2 1
方法2所求得，而方法1得出的 5.291 6.130 46.78 解是错误的. (1) A 0.003000 59.14 59.17 大数“吞掉”小数的现象 0.003000 l21 0.0005670 5.291
其次进行回代过程：算出
x4 1
x3 1
x2 1
x1 1
§2.1 Gauss evaluation method
0.003000 59.14 x1 59.17 5.291 x 6.130 46.78 2 方法1 不进行行交换的高斯消去法
07线性代数方程组的解法
总计∑ n (k2k) n(n21)
k1
3
除法
n1
k
n(n1)
k1
2
回 代 总 计 算 量 n(n1) 2
总 乘 除 法 共 n 3 3 n 2 1 3 n (n 3 0 ,为 9 8 9 0 )
21
三、Gauss消去法的矩阵表示
每一步消去过程相当于左乘初等变换矩阵Lk
a x a x a x a b 得
到
(1)
同
解 (1)
方
程 (1)A(3组 )x=b(1() 3)
(1)
11 1
12 2
13 3
1n
1
a x a x (2) (2)
22 2
23 3
a x(3) 33 3
a b (2) (2)
2n
2
a b (3) (3)
11 1
12 2
1n n
1
b x 22 2
b2nxn g 2
称 消 元 过 程 。 逐 次 计 算 b出 nn x xn n, x gn 1 n,, x 1 称 回 代 过 1程 0 。
一、Gauss 消去法计算过程
a a b b 统一记 → 号 (1) ： , →(1)
(2) ,
2
(3)
(2)
2
1
0
1
L m 0 2
32
1
0 mn2 0
m a a
(2) (2)
i2
i2
22
i 3,4, ,n
第三章 线性代数方程组的解法
于是 由于 e
e
(0)
(k )
= Me
( k - 1)
= M e
2 ( k - 2)
=L = M e
时
Mk - 0
Mk ® 0
k (0)
可以是任意向量,故 e
(k )
收敛于0当且仅
0
k M 当 收敛于零矩阵，即当 k
矩阵序列：M1，M2，M3……Mk 收敛于零矩阵
15
3.1 简单迭代法的一般形式
于是 0 ? (r (M )) 所以必有
k
13
3.1 简单迭代法的一般形式
定理3-1 简单迭代公式 x(k + 1) = Mx( k ) + g , k = 0,1, 2,L
收敛的充要条件是迭代矩阵M的谱半径 r (M ) < 1
证:必要性 设迭代公式收敛,当k→∞时,
x
(k )
® x
*
则在迭代公式两端同时取极限得 x* = Mx* + g
x( k + 1) = Mx( k ) + g
M 1- M
k
(k = 0,1,L )
收敛,且有误差估计式,且有误差估计式
x - x
* (k )
?
x( k )
x( k- 1)
及
x - x
*
(k )
M ? 1- M
x (1)
x (0)
18
3.1 简单迭代法的一般形式
收敛时令k→∞，有 等价地有Ax*=b . 控制迭代结束的实用标准：
计算方法 吴筑筑编
第三章 线性代数方程组的解法
孙剑
计算机学院信息管理系
1
本章主要内容：
第九章 有限元线性方程组的解法
i ≥ j)
（9-9）
讨论： 1 从式（9—9）看出，在按行列由Kij计算lij时，计算完lij后，Kij 就失去存在的作用，同时所用到lip、ljp和lpp排列顺序都在Kij之前，因 此可将分解后得到的元素lij存贮在Kij单元中，即原来存贮[K]的内存 单元，现在可用来存贮[L]矩阵，以减少对内存贮量的要求。 2 由于这里只存贮下三角形带内元素，所以在利用式（9—9） 由Kij计算lij时，求和号内各元素的列号应从第i行和第j列上第一个非 零元素所在列号（i1和j1）中最大的列号开始。 3 从式（9—8）看出，在分解[K]时，每行的第一个非零元素其 值保持不变，因此在分解总刚时，每行可从第二个非零元素的列号 开始，这样lij的最后递推公式为
2．检查哪些自由度已集成完毕，以集成完毕的自由度i作为主 元对其它行列的元素进行消元修正。 图（b）中，自由度4已等成完毕，是不活动变量，现在作为主 元，用
×
表示。主元行元素 × ，不再变化，对其它行列元素进行
消元修正。 自由度 2 扫描单元① 4 5 波前 Байду номын сангаас前三角形 （a） K × × P × × ×
δ i = ∆i −
讨论：
j =i +1
∑l
n
ji x j
lii
（9-13）
(i = n − 1, n − 2,L,1)
∆ 1．因为 δ i 与 ∆ i 相对应，而且一旦求出 δ i 后， i就失去作用，因
此把求得的 δ i 存贮在 ∆ i 的内存单元中，即存贮在结点荷载的内存 单元中。 2. lij必须是带内元素，因此它的列号i必不小于该行的第一个非 零元素的列号j1。
0 l ij = K ij −
第五章 线性方程组的解法PPT课件
1
整体 概述
一 请在这里输入您的主要叙述内容
二
请在这里输入您的主要 叙述内容
三 请在这里输入您的主要叙述内容
2
问题的提出：
在自然科学与工程技术中，很多 问题的解决常常归结为求解线性方程 组，如电学中的网络问题，机械和建 筑结构的设计和计算等，因此利用计 算机求解线性方程组就成为一个非常 重要的问题。
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，n+1计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j
其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1。 当k=n，即
27
继续这种过程，第n次消元后增广矩阵为
1
a(1) 12
(A(n) b(n))
1
a(1) 13
a(2) 23
会导致舍入误差的扩散，这是它的缺陷。
30
G-J消去法的一般求解过程如下：
消元过程：对于k=1，2，…，n，执行
设
a(k1) kk
0
，对于j=k，k+1，…，
n，n+1计算
a(k) kj
ak(kj1)
/ak(kk1)
对于i=k+1，k+2，…，n，计算
ai(kj)ai(kj1)ai(kk1)ak(k)j 其中j=k，k+1，k+2，…，n，n+1
0
0
a(2) n3
a(2) nn
an(2,n)1
19
如此继续计算下去，第k-1次消元结 束后就得到增广矩阵
a1(01)
线性代数方程组的解法
线性方程组的几种求解方法
线性方程组的几种解法线性方程组形式如下：常记为矩阵形式其中一、高斯消元法高斯（Gauss)消元法的基本思想是：通过一系列的加减消元运算，也就是代数中的加减消去法，将方程组化为上三角矩阵；然后，再逐一回代求解出x向量。
现举例说明如下：（一）消元过程第一步：将(1)/3使x1的系数化为1 得再将(2)、(3)式中x1的系数都化为零，即由(2)-2×(1)(1)得由(3)-4×(1)(1)得)1(32)2(......3432=+xx)1(321)1(......23132=++xxx第二步：将(2)(1)除以2/3，使x 2系数化为1，得再将(3)(1)式中x 2系数化为零，即 由(3)(1)-(-14/3)*(2)(2)，得第三步：将(3)(2)除以18/3，使x 3系数化为1，得经消元后，得到如下三角代数方程组：（二）回代过程由(3)(3)得 x 3=1, 将x 3代入(2)(2)得x 2=-2, 将x 2 、x 3代入(1)(1)得x 2=1 所以，本题解为[x]=[1,2,-1]T（三）、用矩阵演示进行消元过程第一步： 先将方程写成增广矩阵的形式第二步：然后对矩阵进行初等行变换初等行变换包含如下操作（1） 将某行同乘或同除一个非零实数（2） 将某行加入到另一行 （3） 将任意两行互换第三步：将增广矩阵变换成上三角矩阵，即主对角线全为1，左下三角矩阵全为0，形)3(3)3(......1-=x )2(3)3( (63)18-=x )2(32)2(......02=+x x )1(32)3( (63)10314-=--x x示例：（四）高斯消元的公式综合以上讨论，不难看出，高斯消元法解方程组的公式为1．消元（1）令a ij(1) = a ij , （i,j=1,2,3,…,n）b i(1) =b i , （i=1,2,3,…,n）（2）对k=1到n-1，若a kk(k)≠0，进行l ik = a ik(k) / a kk(k) , （i=k+1,k+2,…,n）a ij(k+1) = a ij(k) - l ik * a kj(k), （i,j= k+1,k+2,…,n）b i(k+1) = b i(k) - l ik * b k(k), （i= k+1,k+2,…,n）2．回代若a nn(n) ≠0x n = b n(n) / a nn(n)x i = (b i(i) – sgm(a ij(i) * x j)/- a ii(i),（i = n-1,n-2,…,1）,( j = i+1,i+2,…,n )（五）高斯消元法的条件消元过程要求a ii(i) ≠0 (i=1,2,…,n),回代过程则进一步要求a nn(n) ≠0,但就方程组Ax=b 讲，a ii(i)是否等于0时无法事先看出来的。
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7.1 高斯消去法及其变化 7.2 带状系数矩阵的直接法 7.3 利用外存的直接法 7.4 迭代解法
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
本章要点 Gauss消去法和三角分解法的原理和算法步骤 二维等带宽存储和一维变带宽存储的特点 分块解法的原理和实施方案 几种迭代解法
K (n1) ii
,
单位上三角阵
i 1, 2,L , n
j i,i 1,L , n
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
因此
K (0) LDK%(n1)
因为K(0)为对称矩阵，所以
K%(n1) LT
K (0) LDLT
三角分解法的基础
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
特点 ➢原系数矩阵是对称的，则每次消元后矩阵依然是对称 的，只需存储一半的矩阵 ➢消元结果中， K 和 (n1) 中P的(n1第) i行就是（i-1)次消元的结 果
M M O
k1*n k2*n
M
a1 aM2
P(n1) 1
P (n1) 2 M
M M
O
M
M
M
0
0LL
kn*n an
P (n1) n
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
对于n阶线性方程组，共需进行n-1次消元： 第m次消元： ➢以第m-1次消元结果为基础 ➢第m行元素为消元行，
7.1 高斯消去法及其变化形式
一.高斯循序消去法 对于n阶线性方程组 1.消元
k11 k12 L L k1n a1 P1
k21
k22
L
M M O
L
k2
n
M
aM2
PM2
M
M
O
M
M
M
k 1n k2n L L knn an Pn
k1*1 0
k1*2 k2*2
L L
L L
最终的 K为(n上1) 三角阵。其中
1 0 L L 0
l21 1 L L 0
L
l31 M
l32 M
O
O
M , M
ln1 ln2 L L 1
L L1L2 L Ln1
K (n1) DK%(n1) ,
D为对角阵
dii
K (n1) ii
i 1, 2,L , n
K%i(in1)
K (n1) ij
/
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
关键概念
高斯循环消去法 三角分解法 二维等带宽存储 一维变带宽存储 分块解法 迭代解法 超松弛迭代法 梯度法 共轭梯度法 预条件共轭梯度法
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
弹性力学的有限元方程为
Kq Q
对于弹性（本构关系线性）小变形（几何方程线性）问 题K与q无关，为常数矩阵，方程组为线性代数方程组。 求解是有限元方程分析中费时最多的步骤。
K (n1) ij
K (i1) ij
,
P P (n1) i
( i 1) i
i 1, 2,L , n j i,i 1,L , n
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢载荷列阵 P消元用到的元素都是矩阵 中K (的n1)元素，因 此， 的P消元过程随时可进行，对于多载荷工况，可以 利用消元后的 矩K阵进行消元和回代求解。这样可大量 节省求解所需的计算时间。 这是直接法相对迭代法的一个优点。
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢按行分解存储情况
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢按列分解
j=1 j =2,3,…,n
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
➢按列分解存储情况
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
关于三角分解法 ➢称为改进Choleski法，经典方法 K UUT ➢比高斯消去法效率更高 ➢只是改变了高斯消去法的循环循序和存储
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
线性代数方程组的解法分为两大类，即直接解法和迭 代法。
直接法的特点是，事先可按规定的算法步骤计算出它 所需要的算术运算操作数，直接给出最后的结果。
迭代法的特点是，首先假定初始解，然后按一定的算 法进行迭代，在每次的迭代过程检查解的误差，通过多 次迭代直至满足解的精度要求。
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 2.回代－－求解
回代公式
ai
an
P(n1) n
K (n1) nn
n
(Pi(n1)
Ki(jn1)a j ) /
j i 1
K (n1) ii
i n 1, n 2,L 2,1
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 例:用高斯消元法求下列矩阵的解
K为mmm1主元 ➢仅对m+1 n行元素进 行元，并将m列元素中 m+1 n消为0
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 对i行m列（i>m）消元,将m列从m+1列的元素消为0
称为高斯消去因子
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
因此消元过程可以写为
K (0) LK (n1) ,
P (0) LP (n1)
Ka P LDLT a = P V = L1P LT a = D1V a = LT D1V
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
三角分解的递推公式
K 中任意元素
K LDLT
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 ➢按行分解
i =1
i =2
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
i =3,4,…,n
有限元法基础
7. 线性代数方程组的解法
直接解法 以高斯消去法为基础， 求解效率高，适用于小于 一定阶数的方程组，根据计算机和软件的不同有所 不同，比如1万～10万阶方程组。 迭代解法 当方程组阶数过高 时，由于计算机有效位数的限 制，直接解法中舍入 误差的积累影响精度， 采用 迭代 解法。
有限元法基础
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
回代求解得 ：
5/3 a4 5 / 6 2,a320 / 7 (20 / 7)a4 15 / 7
4
a2
12 / 5 (16 / 5)a3 14 / 5
a4
3,
a1
2 (4)a2 5
a3
2
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式 二. 三角分解法 由高斯消去法能得到对 K的三角分解
K LDLT
下三角阵 对角阵
设
DLT S
上三角阵
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
由代数方程 Ka P
可分解为
K = LS
单位下三角阵 上三角阵
LS a P
高斯消元法相当于 L1LSa L1P
令 L1P V
P在消元后的结果
有限元法基础
7.1 高斯消去法及其变化形式
三角分解后的代数方程求解步骤