2020届广东省六校高三第二次联考数学 试题

2020届广东六校高三第二次联考试题数 学一、选择题：本题12小题，每小题5分，共60分。

1．设全集U 是实数集R ，{}{}2=log 1,13M x x N x x >=<<，则（C U M ）N =I ( )A ．{}23x x <<B ．{}3x x <C ．{}12x x <≤D ．{}2x x ≤2．复数z 满足23i i z +=（其中i 是虚数单位），则z 的虚部为 （ ）A ．2B ．3-C ．3D ．2- 3．在ABC ∆中，AB =1AC =，30B ∠=o ，则A ∠= （ ）A ．60︒B ．︒︒9030或C ．60120︒︒或D ．︒904．设平面向量()2,1a =-r ，(),2b λ=r ，若a r 与b r 的夹角为锐角，则λ的取值范围是（ ）A ．()(),44,1-∞--UB ．()1,22,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭U C ．()1,+∞ D ．(),1-∞ 5．若0a >，0b >，则“8a b +≤”是“16ab ≤”的 （ ）.A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．设3log 0.4a =，2log 3b =，则 （ ）A ．0ab >且0a b +>B ．0ab <且0a b +>C ．0ab >且0a b +<D ．0ab <且0a b +<7．已知函数()21010x x f x x ⎧+≤=⎨>⎩，，，若()()423f x f x ->-，则实数x 的取值范围 是 （ ）A ．()1，-+∞B ．()1-∞-，C ．()14-，D ．()1-∞，8．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，若452a S +=，714S =，则10a = （ ）A ．18B ．16C ．14D ．129．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．76πB ．43πC ．2πD ．136π 10．函数2()1sin 1x f x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是 （ ） A ． B ． C ． D ．11．己知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以B A 、为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为 （ ）A ．21+B ． 212+C ．512-D ．51-12．若存在唯一的正整数0x ，使得不等式20x x ax a e -->恒成立，则实数a 的取值范围是 （ ） A ．240,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．241,3e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．241,3e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 二、填空题，本题4个小题，每小题5分，共20分。

13．a r 为单位向量，0b ≠r r ，若a b ⊥r r 且32a b -=r r ，则b =r ________. 14．若tan 24πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则tan2α=___________． 15．若()()321111322f x f x x x '=-++，则曲线() y f x =在点()(1,)1f 处的切线方程是______________________．16．已知三棱锥P ABC -的四个顶点均在同一个球面上，底面ABC ∆满足6BA BC ==，2ABC π∠=，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为________．三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17至21题为必做题，每小题12分；第22、23题为选做题，每小题10分，请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

（一）必做部分17．（本小题12分）已知函数2()sin )2f x x x x =+-．（1）求函数()f x 的最小值，并写出()f x 取得最小值时自变量x 的取值集合；（2）若[]22x ππ∈-，，求函数()f x 的单调减区间．18．（本小题12分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，19a =，129n n a S +=+，*n ∈N ，11b =，13log n n n b b a +-=．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求证：对*n ∈N ，总有1211112nb b b ≤+++<L ．19．（本小题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAD ，//AD BC ，12AB BC AP AD ===，30ADP ∠=︒ 90BAD ∠=︒. (1)证明：PD PB ⊥；(2)设点M 在线段PC 上，且13PM PC =，若MBC ∆的面积为27，求四棱锥P ABCD -的体积．20．（本小题12分）在直角坐标系xoy 中，动点P 与定点(1,0)F 的距离和它到定直线4x =的距离之比是12，设动点P 的轨迹为E ． （1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）设过F 的直线交轨迹E 的弦为AB ，过原点的直线交轨迹E 的弦为CD ，若//CD AB ，求证：2||||CD AB 为定值．21．（本小题12分）已知函数()ln 1f x x x =++，()22g x x x =+． （1）求函数()()y f x g x =-的极值；（2）若实数m 为整数，且对任意的0x >时，都有()()0f x mg x -≤恒成立，求实数m 的最小值．（二）选做部分（二选一，本小题10分）22.在平面直角坐标系xoy 中，曲线c 的参数方程为3cos sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为sin 24πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．（1）求曲线c 的普通方程和直线l 的倾斜角；（2）设点(0,2)P ，直线l 和曲线c 交于A B 、 两点，求||+||PA PB ．23．已知()2221f x x x a =+-+． （1）当3a =-时，求不等式()2f x x x >+的解集； （2）若不等式()0f x ≥的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围．2020届高三第二次六校联考数学参考答案一、选择题CDBAB BCCAD AD二、填空题13 14、34 15、3310x y -+= 16、332π 三、解答题17、解：（1）22()3cos sin cos 2f x x x x x x =++-＝22cos 12x x +＝cos 222x x + ＝2cos(2)23x π++ ………………4分 当223x k πππ+=+，即()3x k k Z ππ=+∈时，函数()f x 有最小值为0。

…………6分（2）由2223k x k ππππ≤+≤+，得：,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ………………8分 因为[]22x ππ∈-，，所以，0,,63k x ππ⎡⎤=∈-⎢⎥⎣⎦， 即[]22x ππ∈-，，函数()f x 的单调减区间为[]63ππ-，。

………………12分 18、解：（1）由129(1)n n a S n +=+≥．可得129(2)n n a S n -=+≥，两式相减得12n n n a a a +=-，∴13n n a a +=，又212927a S =+=，213a a =．故{}n a 是首项为9，公比为3的等比数列，∴1*3,n n a n +=∈N 。

………………5分（2）113log 31n n n b b n ++-==+当2n ≥时，112211(1)()()()(21)12n n n n n n n b b b b b b b b n ---+=-+-++-+=++-+=L L又1n =符合上式，*(1),2n n n b n +=∈N ． ………………8分 ∴*12,(1)n n b n n =∈+N ． 则121111111112(1)2(1)22311n b b b n n n +++=-+-++-=-++L L …………10分 ∵12(1)21n -<+，112(1)2(1)112n --=+ (1211112)b b b ≤+++<L ． ………………12分 19、解：(1) Q 平面ABCD ⊥平面PAD BAD=90∠︒，AB ∴⊥平面PAD ，AB PD ∴⊥，在ΔPAD 中，1AP AD 2=Q ，ADP 30∠=︒， ∴由正弦定理可得：APDAD ADP AP ∠=∠sin sin ， APD 90∠∴=︒，PA PD ⊥∴，又A AB PA =I∴ PD ⊥平面PAB ，PD PB ∴⊥. ……………5分(2)取AD 的中点F ，连结PF CF 、，设a AD 2=，则a AP BC AB ===，a PD 3=,则PB PC 2a ==，∴ΔPBC 为等腰三角形，且底边BC 上的高为7a ， 1PM PC 3=Q ，ΔMBC 的面积为27. ΔPBC ∴的面积为7，17a a 72∴⨯=解得：a 2=， ∴四梭锥P ABCD -的体积为()1124232332⨯⨯+⨯⨯= . ……………12分20、解：（1）设点(),P x y ，由题意得22(1)12x y -+=，将两边平方，并简化得22143x y +=， 故轨迹1C 的方程是22143x y +=． ……………4分 （2）证明：①当直线AB 的斜率不存在时，易求||3AB =，||23CD =，则2||4||CD AB =． ……………5分 ②当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的斜率为k ，依题意0k ≠，则直线AB 的方程为(1)y k x =-，直线CD 的方程为y kx =．设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，由22143(1)x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()22223484120k x k x k +-+-=． 则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+， ……………7分 212||1AB k x x =+-2222228412143434k k k k k ⎛⎫⎛⎫-=+⋅- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()2212134k k +=+……8分 由22143x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=⎩整理得221234x k =+，则3424334x x k -=+． ()2234231||1434k CD k x x k +=+-=+． ……………10分∴()()22222481||344||34121k CD k AB k k ++=⋅=++． 综合①②知：2||4||CD AB =为定值． ……………12分21、解：(1)设()()()2ln 1x f x g x x x x ϕ=-=--+， ∴()()()211121x x x x x xϕ--+'=--=， ……………2分 令()0x ϕ'>，则102x <<；()0x ϕ'<，则12x >； ∴()x ϕ在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， ∴()11=ln 224x ϕϕ⎛⎫=- ⎪⎝⎭极大，无极小值. ……………4分 (2)由()()0f x mg x -≤，即()2ln 120x x m x x ++-+≤在()0,∞+上恒成立， ∴2ln 12x x m x x++≥+在()0,∞+上恒成立， ……………5分 设()2ln 12x x h x x x ++=+，则()()()()2212ln 2x x x h x x x -++'=+， ……………6分 显然10x +>，()2220x x +>设()()2ln t x x x =-+，则()210t x x ⎛⎫'=-+< ⎪⎝⎭，故()t x 在()0,∞+上单调递减 由()110t =-<，11112ln 2ln 202222t ⎛⎫⎛⎫=-+=-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由零点定理得01,12x ⎛⎫∃∈⎪⎝⎭，使得()00t x =，即002ln 0x x += 且()00,x x ∈时，()0t x >，则()0h x '>，()0,x x ∈+∞时，()0t x <. 则()0h x '<∴()h x 在()00,x 上单调递增，在()0,x +∞上单调递减∴()()0002max 00ln 12x x h x h x x x ++==+， 又由002ln 0x x +=，01,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则()0002000ln 111,1222x x h x x x x ++⎛⎫==∈ ⎪+⎝⎭ ∴由()m h x ≥恒成立，且m 为整数，可得m 的最小值为1. ……………12分22、解：（1）3cos ,sin ,x y αα=⎧⎨=⎩消去参数α得2219x y +=， 即c 的普通方程为2219x y +=. ……………2分由sin 4πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 2ρθρθ-=，（*） 将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，代入（*），化简得+2y x =， 所以直线l 的倾斜角为4π. ……………5分 （2）由（1），知点(0,2)P 在直线l 上，可设直线l 的参数方程为cos 42sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t为参数），即222x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）， 代入2219x y +=并化简，得25270t ++=，245271080∆=-⨯⨯=>，设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t，则1205t t +=-<，122705t t =>， 所以10t <，20t <，所以()1212||||5PA PB t t t t +=+=-+=. ………10分23、解：（1）当3a =-时，()22213f x x x =+--， 当0x ≤时，由()2f x x x >+，得220x x -->，解得：1x <-，或2x >，所以1x <-. 当102x <≤时 ,由 ()2f x x x >+得 2320x x -->,解得：32x -<，或32x +>. 所以x φ∈， 当12x >时，由()2f x x x >+ ， 得240x x +->，解得：x <，或x >.所以x > 综上 当3α=-时，()2f x x x >+的解集为. ⎪⎩⎪⎨⎧⎭⎬⎫+->-<21711|x x x 或 ………5分 （2）()0f x ≥的解集为实数集2221R a x x ⇔≥---， 当12x ≥时，22221221x x x x ---=--+ 21312222x ⎛⎫=-++≤- ⎪⎝⎭， 当12x <时，22221221x x x x ---=-+- 21112222x ⎛⎫=---<- ⎪⎝⎭， 2226x x ∴---的最大值为12-. ∴实数a 的取值范围为1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭. ……………10分。