方差与相关系数;难点
协方差及相关系数
所以X与Y不独立.
1/8 0 1/8 2/8 1/8 1/8 1/8 3/8 3/8 2/8 3/8 1
若(X,Y) ~ N(1,2 ,12, 22,)，即(X,Y)概率密度函数为
f
( x,
y)
1
2 1 2
1
2
exp{
1
2(1 2 ) [(
x 1 1
)2
2( x 1 )( y 2 ) ( y 2 )2 ]}
(1) 求 Z 的数学期望和方差. (2) 求 X 与 Z 的相关系数.
解 (1)由E( X ) 1, D( X ) 9, E(Y ) 0, D(Y ) 16.
得 E(Z ) E( X Y ) 1 E( X ) 1 E(Y )
32 3
2
1. 3
D(Z ) D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y )
注：若Y aX b, 则 a<0时,ρXY=-1
例2 (X,Y)的联合分布为:
求相关系数ρXY,并判断X, Y是否相关,是否独立.
解：
E( X ) xi pi 0
i
E(Y ) y j p. j 0
j
X Y -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8
3
1
2
( z5)2
e 18 ,
z
契比雪夫不等式
定理 设随机变量 X 具有数学期望 E(X ) μ,
方差 D( X ) σ2,则对于任意正数ε, 不等式
P{
X
μ
ε}
σ2 ε2
成立.
证明 取连续型随机变量的情况来证明. 设 X 的概率密度为 f ( x),则有
第14讲 协方差与相关系数
X 和 Y 独立时 X 和 Y 不相关， 反之不一定成立。 但对下述情形，独立与不相关是一回事： 若(X, Y )服从二维正态分布，则
X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。 参见P70-例3.6.3： X与Y独立 XY=0
练习2 1) X ~ U (0,1), Y X 2 , 求 XY
2 1 x2 1 2 dy = 1 x -1 x 1 1 x2 f X ( x) 0, 其他 1 2 E( X ) x 1 x2 d y 0
1
E ( XY )
1
x 2 y 2 1 1 1
( xy/ ) dxdy
期望、方差、协方差的性质对比
期望
E(c)=C E(aX)=aE(X), E(X+Y) =E(X)+E(Y) 当X与Y独立时 E(XY)=E(X)E(Y)
方差
D(c)=0 D(aX)=a2D(X),
协方差
Cov(c,X)=0
Cov(aX,bY) =abCov(X,Y) D(X+Y)=D(X)+ Cov(X+Y,Z) D(Y)+2Cov(X,Y) =Cov(X,Z) +Cov(Y,Z)
y 1
1 y 2 1 y 2
xdx dy
1 0 dy 0.
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 所以，XY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是，在第三章已计算过: X与Y不独立。
第十四讲 协方差与相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机变量，反映分量之 间关系的数字特征中，最重要的，就是本 讲要讨论的 协方差和相关系数
一、协方差与相关系数概念及性质
2aE(Y ).
将 e 分别关于 a,b 求偏导数,并令它们等于零, 得
e
a e
b
2a 2bE( X ) 2E(Y ) 0, 2bE( X 2 ) 2E( XY ) 2aE( X ) 0.
解得
b0
Cov( D(
X X
,Y )
)
,
a0
E
(Y
)
E(
X
)
Cov( X D( X
,Y )
3.说明
(1) X 和 Y 的相关系数又称为标准协方差, 它是一
个无量纲的量. (2) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 Cov(X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}
E[X E( X )]E[Y E(Y )] 0. (3) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}
y
μ2
)f
( x,
y)d
xd
y
1 2πσ1σ2 1 ρ2
(x
μ1 )(
y
μ2
)
e e d y d x.
(
x μ1 2σ12
)2
1 2(1
ρ2
)
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
2
令 t
1 1
ρ2
y
μ2 σ2
ρ
x
μ1 σ1
, u
x
μ1 , 则有 σ1
Cov(X ,Y )
1 2π
Cov( X ,Y ) .
D( X ) D(Y )
结论
(1) 二维正态分布密度函数中, 参数 ρ 代表了X
高中数学教案概率分布的协方差与相关系数
高中数学教案概率分布的协方差与相关系数当定义一个新课程的数学教案时，教师需要充分了解各个主题以确保学生的学习效果。
在高中数学的课程中，概率分布的协方差和相关系数是非常重要的概念。
本文将介绍关于这两个概念的背景知识、计算方法以及在课堂上引入这些概念的教学方法。
通过合理的设计和教学，学生将能够更好地理解和应用概率分布的协方差和相关系数。
一、概率分布的协方差1.1 协方差的定义协方差是用来衡量两个随机变量（或者称为信号）之间的相关性的度量。
在概率论中，协方差可以通过以下公式计算：Cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]这里，Cov(X,Y)表示变量X和Y的协方差；E表示取期望值（也就是平均值）的运算符；X-E(X)和Y-E(Y)分别表示X和Y与其期望值的偏差。
1.2 协方差的意义协方差的数值可以用来判断两个变量之间的相关性。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系；当协方差为零时，表示两个变量之间无线性相关性。
1.3 例子和计算方法为了帮助学生更好地理解协方差的概念，我们可以通过一个例子进行说明。
假设我们有两个变量X和Y，其取值分别为[2, 4, 5, 7, 9]和[3, 6, 4, 8, 10]。
首先，我们需要计算X和Y的期望值，即E(X)和E(Y)。
然后，我们根据协方差的公式计算协方差Cov(X,Y)。
最后，我们可以根据协方差的数值来判断X和Y之间的相关性。
二、概率分布的相关系数2.1 相关系数的定义相关系数是用来衡量两个变量之间线性相关程度的度量。
在概率论中，相关系数可以通过协方差和两个变量的标准差来计算：ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / (σ(X) * σ(Y))这里，ρ(X,Y)表示变量X和Y的相关系数；Cov(X,Y)表示变量X 和Y的协方差；σ(X)和σ(Y)分别表示X和Y的标准差。
2.2 相关系数的意义相关系数的取值范围是[-1, 1]，可以用来评估两个变量之间的线性关系强度。
【数理统计基础】06-相关分析和方差分析
【数理统计基础】06-相关分析和⽅差分析1. 相关分析1.1 相关系数 在⼀堆变量中，找到并分析它们之间的关系，是复杂环境和模型中的重要任务。
由于线性关系的特殊、常见和简单，数学上往往采⽤线性关系来逼近实际关系。
上篇的线性回归以及概率论中的线性回归，更关注的是线性函数的参数估计。
如果想单纯地度量随机变量的线性关系，直接讨论相关系数即可，请先复习斜⽅差的相关概念。
两个变量之间的线性关系，就是之前学过的协⽅差的概念\text{Cov}(X,Y)。
在得到n个样本(X_i,Y_i)后，容易得到式（1）的⽆偏估计，注意其中降低了⼀个⾃由度，继⽽还可以有式（2）的样本相关系数。
相关系数是线性关系的直接度量，它可以作为相关假设的检验条件，最常⽤的就是当|r|\leqslant C时认为X,Y是不相关的。
\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})\approx\text{Cov}(X,Y)\tag{1}r=\dfrac{1}{S_XS_Y}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y}),\;\;S_X^2=\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2\tag{2} 为了能找到关于r的枢轴变量，这⾥还是要做⼀些假设，即(X,Y)是⼀个⼆元正态分布。
回顾⼆元正态分布的知识（《初等概率论》第5篇公式（27）），可知X,Y完全符合⼀元线性回归的模型。
为此这⾥暂且取定X_i，⽽把Y_i看成随机变量，并对它们进⾏⼀元回归分析。
⽐较发现系数估计满⾜\alpha_1=r\cdot\dfrac{S_Y}{S_X}，在假设\rho=0（即系数a_1=0）的情况下，把这个等式代⼊上篇公式（12）右的枢轴变量，整理后得到式（3）。
由于该结论与X_i的取值⽆关，因此它对于变量X_i也成⽴，它就是我们要找的枢轴变量。
\dfrac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}\sim t_{n-2}\tag{3}1.2 复相关系数 相关系数度量了两个随机变量之间的线性关系，当系统中的变量很多时，关系也会变得复杂，这时需要引⼊更多的关系分析。
相关系数和协方差的关系
相关系数和协方差的关系
一、首先要明白这2个的定义
1、相关系数是协方差与两个投资方案投资收益标准差之积的比值，
其计算公式为：
相关系数总是在-1到+1之间的范围内变动，-1代表完全负相关，+1代表完全正相关，0则表示不相关。
2、协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投资项目相对于另一投资项目风险的统计指标。
其计算公式为：
当协方差为正值时，表示两种资产的收益率呈同方向变动；协方差为负值时，表示两种资产的收益率呈反方向变动。
二、要辨清两者的关系
1、相关系数与协方差一定是在投资组合中出现的，只有组合才有相关系数和协方差。
单个资产是没有相关系数和协方差之说的。
2、相关系数和协方差的变动方向是一致的，相关系数的负的，协方差一定是负的。
3、（1）协方差表示两种证劵之间共同变动的程度：相关系数是变量之间相关程度的指标根据协方差的公式可知，协方差与相关系数的正负号相同，但是协方差是相关系数和两证券的标准差的乘积，所以协方差表示两种证劵之间共同变动的程度。
（2）相关系数是变量之间相关程度的指标，相关系数在0到1之间，表示两种报酬率的增长是同向的；相关系数在0到-1之间，表示两种报酬率的增长是反向的，所以说相关系数是变量之间相关程度的指标。
总体来说，两项资产收益率的协方差，反映的是收益率之间共同变动的程度；而相关系数反映的是两项资产的收益率之间相对运动的状态。
两项资产收益率的协方差等于两项资产的相关系数乘以各自的标准差。
期望、方差、协方差及相关系数的基本运算
期望、⽅差、协⽅差及相关系数的基本运算这篇⽂章总结了概率统计中期望、⽅差、协⽅差和相关系数的定义、性质和基本运算规则。
期望定义设是⼀个离散概率分布函数，⾃变量的取值范围为。
其期望被定义为：设是⼀个连续概率密度函数。
其期望为：性质1、线性运算规则期望服从线性性质（可以很容易从期望的定义公式中导出）。
因此线性运算的期望等于期望的线性运算：这个性质可以推⼴到任意⼀般情况：2、函数的期望设为x的函数，则的期望为：离散：连续：⼀定要注意，函数的期望不等于期望的函数，即！。
3、乘积的期望⼀般来说，乘积的期望不等于期望的乘积，除⾮变量相互独⽴。
因此，如果x和y相互独⽴，则。
期望的运算构成了统计量的运算基础，因为⽅差、协⽅差等统计量本质上是⼀种特殊的期望。
⽅差定义⽅差是⼀种特殊的期望，被定义为：性质1、展开表⽰反复利⽤期望的线性性质，可以算出⽅差的另⼀种表⽰形式：2、常数的⽅差常数的⽅差为0，由⽅差的展开表⽰很容易推得。
3、线性组合的⽅差⽅差不满⾜线性性质，两个变量的线性组合⽅差计算⽅法如下：其中为x和y的协⽅差，下⼀节讨论。
4、独⽴变量的⽅差如果两个变量相互独⽴，则：作为推论，如果x和y相互独⽴：。
协⽅差定义两个随机变量的协⽅差被定义为：因此⽅差是⼀种特殊的协⽅差。
当x=y时，。
性质1、独⽴变量的协⽅差独⽴变量的协⽅差为0，可以由协⽅差公式推导出。
2、线性组合的协⽅差协⽅差最重要的性质如下：很多协⽅差的计算都是反复利⽤这个性质，⽽且可以导出⼀些列重要结论。
作为⼀种特殊情况：另外当x=y时，可以导出⽅差的⼀般线性组合求解公式：相关系数定义相关系数通过⽅差和协⽅差定义。
两个随机变量的相关系数被定义为：性质1、有界性相关系数的取值范围为-1到1，其可以看成是⽆量纲的协⽅差。
2、统计意义值越接近1，说明两个变量正相关性（线性）越强，越接近-1，说明负相关性越强，当为0时表⽰两个变量没有相关性。
16 方差、相关系数及比率的显著性检验
方差、相关系数及比率的显著性检验
一 方差的差异性检验
二 相关系数的显著性检验
仅仅根据计算得到的相关系数还不足以确定变量之间是否存在相关。只有通过对相关系数显著性的检验，才能确定相关关系是否存在。 对相关系数进行显著性检验包括三种情况（即三种零假设）：一是ρ=0；二是ρ=ρ0；三是ρ1=ρ2。本讲主要介绍前两种情况。
1．积差相关系数的显著性检验
相关系数的显著性检验即样本相关系数与总体相关系数的差异检验。 包括两种情况： ρ=0和ρ=ρ0 对ρ=0的检验是确认相关系数是否显著； 对ρ=ρ0的检验是确认样本所代表的总体的相关系数是否为ρ0 。
根据样本相关系数 r 对总体相关系数ρ进行推断，是以 r 的抽样分布正态性为前提的，只有当总体相关系数为零，或者接近于零，样本容量 n 相当大（n＞50或n＞30）时，r 的抽样分布才接近于正态分布。
⑴．H0：ρ＝0条件下， 相关系数的显著性检验
检验形式：双侧检验 统计量为t，检验计算公式为：
（19．4）
例:经计算,10个学生初一和初二数学成绩的相关系数为0.780,能否说学生初一和初二的数学成绩之间存在显著相关?
解： 提出假设 H0：ρ=0，H1： ρ≠0 选择检验统计量并计算 对积差相关系数进行ρ=0的显著性检验，检验统计量为t
计 算
统计决断 根据df=10-2=8，查t值表P⑵，得t(8)0.01=3.355， |t|＞t(8)0.01,则Ｐ＜0.01，差异极其显著 应在0.01显著性水平拒绝零假设，接受研究假设 结论：学生初一和初二的数学成绩之间存在极其显著的相关。
另一种方法：查积差相关系数临界值表
根据df=8，查附表7，从α=0.01一列中找到对应的积差相关系数临界值为0.765。 计算得到的r=0.780，大于表中查到的临界值。因此应接受该相关关系极其显著的结论，而拒绝相关关系不显著的零假设。
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D( X ) E ( X 2 ) E ( X )
2
2
2 XE( X ) E( X )
2
E( X 2 ) 2E( X ) E( X ) E( X ) E( X 2 ) E( X )
E X
第十讲 期望与方差 1 x 已知：E ( X ) x e dx
2
0
0
x e2Fra bibliotek xdx
t x 1
2
2
0
t e dt
2 t
3
D( X ) E X 2 4.方差性质 1.定理（1、2） D a X b ＝ a 2D(X ) 证明 DaX b E aX b E aX b 2
a 2 ab b 2 (a b) 2 (b a ) 2 D( X ) E X E( X ) 3 4 12 例题10-1-3
2 2
例题10-1-2
设 随 机 变 量 X 服 从 指 数 分 布 X ~ e ， 求 其 方 差 与 标 准 差
e x , 解 其密度函数为 f x 0, x 0; 其它.
只将变量变函数，就得 函数期望值， 二维一维形相似，两次 求和二重积。 常数不变系数提，可加 可减独立积
第十讲 方差与相关系数
一、方差与标准差
1.几个概念： (1)离差：将变量与期望之 差X EX称为变量的离差
(2)方差：称X的离差平方的数学期望 为X的方差，记作D( X ) 即：D( X ) E[( X EX ) 2 ]. (3)标准差：称X的方差的算术平方根为 X的标准差，又称 均方差。记作 ( X )或。即 D( X )，D( X ) 2 ( X )
i
若( X , Y )是二维连续随机变量,则D( X ) E{[ X E ( X )]2 }
x E ( X )
2
f X ( x)dx
x E ( X )
2
f ( x, y )dxdy
同理，求D(Y )
由于方差就是二阶中心矩，所以，方差计算还有更方便 更常用的利用均值计算方差的公式:
第十讲 方差与相关系数
本次课讲授第三章的3.2-3.4；
下次课讲授4.1-4.5.
下周上课时交作业P39-42页
离散变量乘概率，无穷 求和期望值； 连续变量乘密度，无穷 积分期望值。 泊松二（项）np, 几何分布倒概率； 均匀一半a加 b，指数参数分之一。
重点：
方差与相关 系数；
难点：
方差与相关 系数。
2
第十讲 期望与方差
2
实 际 上 ， D ( X ) u 2 v 2 v 12 E ( X 2 ) E 2 ( X )
方差离差方期望，方期望减期望方。
3.例题讲解 例题10-1-1 设随机变量 X ~ P ，求方差 D(X )。 m 解 PX m e m 0, 1, 2,. 已知：E ( X )
m!
m 1 m k k m 1 e k 1 E X 2 m 2 e e m m 1! m! m 1 k! k 0 m 0 k 1 k e e e e 1 k 1 k 1! k 0 k!
1 1 2 E ( X ) 2 2
2
2
2
2
E aX b aE( X ) b E aX E( X ) 2
2
E a X E( X )
2
2
a2 E
X E( X ) a D( X )
以上概念显示：方差均 方差都非负；方差是二 阶中心距。
2.方差计算 由方差定义：D( X ) E{X E( X ) } E[ g( X )]
2
例如，若X 是离散变量，则: D( X ) E[ g ( X )] xi E ( X ) p( xi )
2 i 1
第十讲 期望与方差
若X 是连续变量，则D( X ) E[ g ( X )]
2
若X 是二维离散变量，则: D( X ) E[ g ( X )]
2 i j
x E ( X )
2
f ( x)dx
xi E ( X ) PX ( xi ) xi E ( X ) p( xi , y j )
2
2
推论： 1 .D (C ) 0， 2） D ( X b ) D ( X ),3 ) D ( a X ) a 2 D ( X )
定理3
若X、Y独立，则D ( X Y ) D( X ) D(Y )
第十讲 期望与方差
证明：D( X Y ) E[( X Y ) 2 ]－[ E ( X Y )]2 E ( X 2 Y 2 2 XY ) [ E ( X ) E (Y )]2 E ( X 2 ) E (Y 2 ) 2 E ( XY ) E 2 ( X ) E 2 (Y ) 2 E ( X ) E (Y )
2 2 D( X ) E X 2 E( X ) 1
第十讲 期望与方差
设随机变量 X ~ U [ a , b ] ，求方差 D(X )。 1 , a x b; 解 其密度函数为 f x b a 其 它. 0, 2 2 2 b b x x a b 2 a ab b E( X ) dx dx . E X a a ba ba 2 3