高中数学期望
高中数学 期望 课件
算一算： 某人非法设摊抽奖，规则如下： 交5元钱，可以参加一次摸奖，一袋 中有同样大小的黑球4个白球4个，摸 奖者只能从中任取4个球，摸出4个颜 色相同的球奖50元，3黑1白或3白1黑 奖2元，2黑2白则没有奖励，问设摊 人是否有利可图？
(1)设:每次抽奖获得奖金数为元
ξ P 0
18 35
2
16 35
某教师所教(1)(2)两个班在一次考 试中平均分分别为80分、90分,已知 这两个班人数分别为60人、50人,问 该教师所教学生平均分是85分对吗？ 错
应该如何计算?
80 60 90 50 84.5 60 50
王义夫打枪的环数概率分布列如下:
P 4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
50
1 35
所以设摊人有利可图! (2)若每天有350人上当受骗则设摊 人平均每天获得非法收入是多少？ 82 5 350 372元 35
16 1 82 E= 2 35 50 35 35 <5
赚一赚： 某投资人打算作某项目投资,据评估， 项目盈利的可能性为60%，年盈利率 是40%，亏损的可能性是20%，其相 应的年亏损率为20%，其余的情况是 不盈不亏，投资人计划投资金额为10 万元，问该项目是否有投资价值？ 解：设年盈利为元.
P
4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.00.02 5 0.04 6 0.06 ...... 10 0.22 8.32 环
王义夫想再打一枪,你猜最可能会是几 环? 大约8-9环.
王义夫想再打n枪,你猜平均多少环?
说一说: 若离散型随机变量ξ的概率分布为
高中数学——期望方差学习
一、基本知识概要：1、期望的定义：则称Eξ=x1P1+x2P2+x3P3+…+x n P n+…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。
它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。
若η=aξ+b(a、b为常数)，则η也是随机变量，且Eη=aEξ+b。
E(c)= c特别地，若ξ～B(n，P)，则Eξ=n P2、方差、标准差定义：Dξ=(x1-Eξ)2·P1+(x2-Eξ)2·P2+…+(x n-Eξ)2·P n+…称为随机变量ξ的方差。
Dξ的算术平方根ξD=δξ叫做随机变量的标准差。
随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。
且有D(aξ+b)=a2Dξ,可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2。
若ξ～B(n，p)，则Dξ=npq，其中q=1-p.3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。
考点一期望与方差例1：设随机变量ξ具有分布P(ξ＝k)＝15，k＝1,2,3,4,5，求E(ξ＋2)2，(21)Dξ-，(1)σξ-．例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数其中ξ和η分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好．考点二离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。
已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。
某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。
（Ⅰ）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。
记随机变量ξ为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望Eξ；（Ⅱ）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求P(η=2).2、某同学参加3门课程的考试。
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧
高中数学中的概率统计计算期望与方差的技巧概率统计是高中数学中的重要内容，计算期望与方差是其中的关键技巧。
本文将介绍几种常见的计算期望与方差的技巧，以帮助读者更好地理解和应用这些知识。
一、离散型随机变量的期望与方差计算对于离散型随机变量X，其概率分布列为P(X=x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)表示随机变量X的平均值，计算公式为：E(X) = Σ[x * P(X=x)]其中，Σ表示对所有可能取值的求和。
通过遍历所有可能取值，将取值与其对应的概率相乘，再求和，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)表示随机变量X的离散程度，计算公式为：Var(X) = Σ[(x - E(X))^2 * P(X=x)]同样，通过遍历所有可能取值，将每个取值减去期望值，再平方，再与其对应的概率相乘，最后再求和，即可得到方差值。
这种计算方法适用于离散型随机变量的期望和方差计算，例如投掷一枚骰子的结果、抽取一副扑克牌的点数等情况。
二、连续型随机变量的期望与方差计算对于连续型随机变量X，其概率密度函数为f(x)，而期望和方差的计算公式如下：1. 期望计算期望E(X)的计算公式为：E(X) = ∫(x * f(x))dx其中，∫表示对整个定义域的积分。
通过对概率密度函数乘以x后再积分，即可得到期望值。
2. 方差计算方差Var(X)的计算公式为：Var(X) = ∫[(x - E(X))^2 * f(x)]dx同样，通过对概率密度函数乘以(x - E(X))的平方后再积分，即可得到方差值。
这种计算方法适用于连续型随机变量的期望和方差计算，例如正态分布、指数分布等情况。
三、应用技巧下面将介绍一些计算期望与方差时的常用技巧：1. 期望的线性性质如果X和Y是两个随机变量，a和b为常数，则有：E(aX + bY) = aE(X) + bE(Y)这是期望的线性性质，利用这个性质可以简化复杂随机变量的期望计算。
高中数学 期望 课件
解:设每辆投保车辆公司获得的收益为
依题意的分布列为: ξ P 500 -4500 0.97 0.03
所以 E=485-135=350>0
答:保险公司开展该项业务有利可图.
某商场的促销决策：统计资料表明，每年 国庆节商场进行内促销活动可获纯利2万元； 商场进行外促销活动如不遇下雨可获纯利 10万元；如遇下雨则损失4万元,9月30日气 象预报国庆节下雨的概率为40%，商场应选 择哪种促销方式？
甘肃省会宁四中 王国瑞
教学目标： 掌握离散型随机变量的 数学期望含义；期望与分布列的关 系;随机变量函数=a +b的期望.
教学重点：离散型随机变量的数学 期望的形成过程. 教学难点：离散型随机变量期望的 意义的理解及实际应用.
方法培养：培养学生由具体到抽象； 由特殊到一般的思考问题的方法以及 归纳、猜想、证明的数学思想。
解:设进行外促销活动获利为ξ万元
P
4 5 6 7 8 9 10 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22
平均每枪命中环数为： 4 0.02 5 0.04 6 0.06 ...... 10 0.22 8.32 环
王义夫想再打一枪,你猜最可能会是几 环? 大约8-9环.
王义夫想再打n枪,你猜平均多少环?
E = x1 p1+x2p2 + … +xnpn+ … E 反映了随机变量 取值的平均水平！！
试一试：
抛掷一个骰子所得点数的概率的分 布列为： P 1 2 3 4 5 6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
E= 1 ×1/6 + 2× 1/6+3×1/6 + 4× 1/6+5 ×1/6 + 6×1/6 =(1+2+3+4+5+6)1/6=3 . 5
高中高三数学《随机变量和数学期望》教案、教学设计
（3）针对不同难度的练习题，进行分层教学，使学生在逐步克服难点的过程中，提高自己的数学素养。
3.教学策略和手段：
（1）运用信息技术，如多媒体、网络资源等，为学生提供丰富的学习材料，提高课堂教学效果。
2.教学过程：
（1）教师发放练习题，要求学生在规定时间内完成。
（2）学生独立完成练习题，教师巡回指导，解答学生疑问。
（3）教师选取部分学生作品进行展示，分析解题思路和技巧，并进行点评。
（五）总结归纳
1.教学内容：对本节课所学内容进行总结，巩固学生对随机变量和数学期望的理解。
2.教学过程：
（1）教师引导学生回顾本节课所学的主要内容，如随机变量的概念、分类、表示方法，数学期望的定义、性质和计算方法等。
4.小组合作完成一道综合应用题，要求学生在解决实际问题的过程中，运用随机变量和数学期望的知识。此题目旨在培养学生的合作意识和运用数学工具解决实际问题的能力。
5.针对课堂所学内容，教师编制一份测试卷，包括选择题、填空题、解答题等，全面检测学生对本章知识的掌握程度。
作业布置要求：
1.学生应在规定时间内独立完成作业，遇到问题可请教同学或老师，培养自主解决问题的能力。
（2）以小组合作的形式，让学生探讨随机变量的表示方法，如分布列、概率密度函数等，培养他们的合作意识和解决问题的能力。
（3）通过典型例题，引导学生掌握数学期望的定义和性质，学会运用数学期望进行计算。
2.对于难点内容的教学设想：
（1）针对分布列和概率密度函数的理解，设计直观的图表和动画，帮助学生形象地理解抽象概念。
4.引导学生关注社会热点问题，运用所学知识为社会发展贡献力量，培养他们的社会责任感和使命感。
数学期望常用公式总结高中
数学期望常用公式总结高中
数学期望是统计学中一个重要的概念，它用来衡量一组数据的平均值。
它有助于研究者分析数据，从而得出有效的结论。
在高中数学中，我们常用的数学期望公式有以下几种：（1）
期望的基本公式：期望就是数据的平均值。
其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示期望，∑x表示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。
（2）期望的期望公式：期望的期望公式表示期望可以用
来计算另一个期望。
其公式为：E(E(X)) = ∑E(X)P(X)，其中
E(E(X))表示期望的期望，∑E(X)表示每个可能的观测值的期望值的总和，P(X)表示每个观测值的概率。
（3）期望的条件期望公式：期望的条件期望公式表示期
望可以用来计算另一个条件期望。
其公式为：E(E(X|Y)) =
∑E(X|Y)P(Y)，其中E(E(X|Y))表示条件期望的期望，∑E(X|Y)
表示每个可能的观测值的条件期望的总和，P(Y)表示每个条件的概率。
（4）期望的离散概率分布公式：期望的离散概率分布公
式表示期望可以用来计算离散概率分布的期望值。
其公式为：E(X) = ∑xP(x)，其中E(X)表示离散概率分布的期望值，∑x表
示每个可能的观测值的总和，P(x)表示每个观测值的概率。
以上就是高中数学中常用的数学期望公式。
它们可以帮助我们更准确地分析数据，从而得出有效的结论。
期望的计算方法及其性质
期望的计算方法及其性质期望是数学中一种重要的概念，表示事物发生的平均值。
在概率论、统计学、经济学、物理学等众多领域中都有着广泛的应用。
在计算期望时，需要根据不同的情况选择合适的方法，以达到正确计算的目的。
本文将对期望的计算方法及其性质进行探讨，希望能够为读者提供一些有价值的参考。
一、期望的定义在概率论中，期望是事件发生的平均值。
设X是一个随机变量，其分布函数为F(x)，则X的期望E(X)定义如下：E(X)=∫xf(x)dx其中f(x)是X的概率密度函数。
当X是离散型随机变量时，其期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x其中p(x)是X取到值为x的概率。
当X是连续型随机变量时，其期望可以表示为积分的形式。
二、期望的基本性质1. 线性性设X和Y是两个随机变量，a和b是常数，则有：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)这种关系称为期望的线性性。
当a=b=1时，此式表述了期望的可加性。
这一性质十分重要，其意义在于，期望可以将事件的发生情况抽象成一个实数，使其具有线性的演算。
例如，在经济学中，我们可以将利润或收益看做一种随机变量，通过期望的线性性质，便可以对其进行计算和统计。
2. 单调性若X≤Y，则有：E(X)≤E(Y)这是期望的单调性质。
从定义上来看，当X≤Y时，X的取值总是小于等于Y的，因此X的期望值也应该小于等于Y的期望值。
这一性质告诉我们，期望可以衡量事件发生的趋势，可以用来进行决策和分析。
3. 平移性设Z=X+c，则有：E(Z)=E(X+c)=E(X)+c这是期望的平移性质。
从定义上来看，当Z=X+c时，Z的期望值应该等于X的期望值加上c。
这一性质告诉我们，期望可以平移，可以用来分析事物发生的变化趋势。
三、常见的计算方法1. 直接求期望直接求期望是一种最简单的计算方法。
对于离散型随机变量，我们可以直接按照期望的定义进行求解。
例如，设X是一个随机变量，其概率分布如下：X 1 2 3 4P(X) 0.1 0.2 0.3 0.4则X的期望可以表示为：E(X)=∑x p(x)x=0.1×1+0.2×2+0.3×3+0.4×4=2.8对于连续型随机变量，我们可以采用积分的方式进行求解。
高考数学冲刺数学期望考点突破
高考数学冲刺数学期望考点突破高考对于每一位学子来说都是人生中的一次重要挑战，而数学作为其中的关键学科，更是备受关注。
在高考数学中，数学期望这一考点常常让同学们感到困惑和棘手。
在最后的冲刺阶段，突破这一考点，对于提升数学成绩至关重要。
数学期望是概率论和统计学中的一个重要概念，它反映了随机变量取值的平均水平。
简单来说，就是对随机变量所有可能取值按照其概率加权后的平均值。
理解数学期望的定义是突破这一考点的基础。
我们可以通过一些简单的例子来帮助理解。
比如，掷骰子的游戏，骰子有六个面，分别标有 1 到 6 的数字。
每个数字出现的概率都是 1/6。
那么掷一次骰子的数学期望就是（1×1/6 ＋ 2×1/6 ＋ 3×1/6 ＋ 4×1/6 ＋ 5×1/6 ＋ 6×1/6）＝ 35。
这意味着，如果我们多次掷骰子，平均每次得到的点数大约是 35 。
在高考中，数学期望的题型多种多样。
常见的有离散型随机变量的数学期望和连续型随机变量的数学期望。
离散型随机变量的数学期望相对来说较为常见，比如抽奖问题、产品检验中的次品数等。
以抽奖为例，假设一个抽奖活动，一等奖奖金 1000 元，中奖概率为 01；二等奖奖金 500 元，中奖概率为 02；三等奖奖金 100 元，中奖概率为 03。
那么参与抽奖的数学期望就是 1000×01 ＋ 500×02 ＋100×03 ＝ 230 元。
这就告诉我们，从平均意义上讲，每次参与抽奖能获得的预期收益是 230 元。
对于连续型随机变量的数学期望，可能会涉及到概率密度函数的计算。
这需要我们掌握好积分的知识。
例如，某个连续型随机变量的概率密度函数为 f(x)，那么它的数学期望就是 E(X) ＝∫xf(x)dx（积分区间根据具体问题确定）。
在解决数学期望的问题时，我们要注意以下几点：首先，要认真审题，明确题目中给出的是离散型还是连续型随机变量。
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1、某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标值越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品，现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测试了每件产品的质量指标值，得到下面试验结果：
A 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数
8 20 42 22 8 B 配方的频数分布表
指标值分组 [90，94） [94，98） [98，102） [102，106） [106，110]
频数
4 12 42 32 10 （I ）分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；
（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为
2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩
从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．
2、学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球、2个黑球，乙箱子里装有1个白球、2个黑球，这些球除颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖.（每次游戏结束后将球放回原箱）
（Ⅰ）求在一次游戏中，
（i ）摸出3个白球的概率；
（ii ）获奖的概率；
（Ⅱ）求在两次游戏中获奖次数X 的分布列及数学期望()E X
3、某市公租房的房源位于A,B,C 三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的。
求该市的任4位申请人中：
（Ⅰ）恰有2人申请A 片区房源的概率；
（Ⅱ）申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望。
4、根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0．5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3,设各车主购买保险相互独立
(I)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的l 种的概率；
(Ⅱ)X 表示该地的l00位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数。
求X 的期望。
5、红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘。
已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立。
（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；
（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ。