基本初等函数性质及应用
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题型一 求函数值 【题型要点解析】
已知函数的解析式,求函数值,常用代入法,代入时,一定要注意函数的对应法则与自变量取值范围的对应关系,有时要借助函数性质与运算性质进行转化.
例1.若函数f (x )=a |2x -
4|(a >0,且a ≠1),满足f (1)=19,则f (x )的单调递减区间是( )
A .(-∞,2]
B .[2,+∞)
C .[-2,+∞)
D .(-∞,-2]
【解析】 由f (1)=19,得a 2=19,解得a =13或a =-13(舍去),即f (x )=4
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1-⎪⎭
⎫
⎝⎛x 由于y
=|2x -4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增,所以f (x )在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
【答案】 B
例2.已知函数f (x )=⎩⎨⎧
3x 2+ln 1+x 2+x ,x ≥0,3x 2+ln 1+x 2-x ,x <0,
若f (x -1) 围为________. 【解析】 若x >0,则-x <0,f (-x )=3(-x )2+ln (1+(-x )2+x )=3x 2+ln (1+x 2+x )=f (x ),同理可得,x <0时,f (-x )=f (x ),且x =0时,f (0)=f (0),所以f (x )是偶函数.因为当x >0时,函数f (x )单调递增,所以不等式f (x -1) 【答案】 (-∞,-2)∪(0,+∞) 例3.已知a >b >1,若log a b +log b a =5 2,a b =b a ,则a =________,b =________. 【解析】 ∵log a b +log b a =log a b + 1log a b =52,∴log a b =2或1 2 .∵a >b >1,∴log a b 2 ,∴a =b 2.∵a b =b a ,∴(b 2)b =bb 2,即b 2b =bb 2.∴2b =b 2,∴b =2,a =4. 【答案】 4;2 题组训练一 求函数值 1.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数,且在区间[0,+∞)单调递增.若实数a 满足f (log 2 a )+f (log 1 2 a )≤2f (1),则a 的最小值是( ) A.3 2 B .1 C.1 2 D .2 【解析】 log 12a =-log 2a ,f (log 2 a )+f (log 1 2 a )≤2f (1),所以2f (log 2 a )≤2f (1),所以|log 2 a |≤1,解得12≤a ≤2,所以a 的最小值是1 2 ,故选C. 【答案】 C 2.若函数f (x )=a x - 2-2a (a >0,a ≠1)的图象恒过定点⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ 31,0x ,则函数f (x )在[0,3]上的最 小值等于________. 【解析】令x -2=0得x =2,且f (2)=1-2a ,所以函数f (x )的图象恒过定点(2,1-2a ),因此x 0=2,a =1 3,于是f (x )=⎝⎛⎭⎫13x -2-23,f (x )在R 上单调递减,故函数f (x )在[0,3]上的最小值为f (3)=-13 . 【答案】 -1 3 题型二 比较函数值大小 【题型要点解析】 三招破解指数、对数、幂函数值的大小比较问题 (1)底数相同,指数不同的幂用指数函数的单调性进行比较; (2)底数相同,真数不同的对数值用对数函数的单调性比较; (3)底数不同、指数也不同,或底数不同、真数也不同的两个数,常引入中间量或结合图象比较大小. 例1.已知a =3 421-⎪ ⎭⎫ ⎝⎛,b =5 241-⎪⎭⎫ ⎝⎛,c =3 1251-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛,则( ) A .a D .b 【解析】 因为a =3 4 21-⎪⎭⎫ ⎝⎛=243,b =5 241-⎪⎭⎫ ⎝⎛=245,c =3 1251-⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=523,显然有b 3