正弦定理教学设计

教
学
设
计
一、内容及其解析
1.内容: 正弦定理
2.解析: 《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5
中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。

《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。

正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。

通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。

二、目标及其解析
目标：（1）正弦定理的发现；
（2）证明正弦定理的几何法和向量法； （3）正弦定理的简单应用。

解析：先通过直角三角形找出三边与三角的关系，再依次对锐角三角形与钝角三角形进行探
讨，归纳总结出正弦定理，并能进行简单的应用。

三、教学问题诊断分析
正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。

正弦定理要求学生综合运用正弦定理和内角和定理等众多基础知识解决几何问题和实际应用问题，这些知识的掌握，有助于培养分析问题和解决问题能力，所以一向为数学教育所重视。

四、教学支持条件分析
学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识和有关任意三角形的一些知识， 学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量），学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型完成教学目标，是切实可行的。

五、教学过程
（一）教学基本流程
切的式子）
②这三个式子中都含有哪个边长？
学生马上看到，是c 边，因为
③那么通过这三个式子，边长c 有几种表示方法？
④得到的这个等式，说明了在Rt △中，各边、角之间存在什么关系？ （各边和它所对角的正弦的比相等）
⑥此关系式能不能推广到任意三角形？
设计意图: 以旧引新, 打破学生原有认知结构的平衡状态, 刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织, 促进认知发展. 从直角三角形边角关系切入, 符合从特殊到一般的思维过程.
（二）探究正弦定理
猜想：在任意的△ABC 中, 各边和它所对角的正弦的比相等, 即：
设计意图:鼓励学生模拟数学家的思维方式和思维过程, 大胆拓广, 主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.
三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，对于直角三角形，我们前面已经推导出这个关系式是成立的，那么我们现在是否需要分情况来证明此关系式？ 设计意图:及时总结，使方向更明确，并培养学生的分类意识
①那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？ ——可以构造直角三角形
②如何构造直角三角形？
——作高线（例如：作CD ⊥AB ，则出现两个直角三角形）
③将欲证的连等式分成两个等式证明，若先证明 ，
那么如何将A 、B 、a 、b 联系起来？
——在两个直角三角形Rt △BCD 与Rt △ACD 中，CD 是公共边：
在Rt △BCD 中，CD= ， 在Rt △ACD 中，CD=
④如何证明 ？ ——作高线AE ⊥BC ，同理可证. 设计意图:把不熟悉的问题转化为熟悉的问题, 引导启发学生利用已有的知识解决新的问题.
若△ABC 为钝角三角形，同理可证明： （三）例题分析，加深理解
例题：在△ABC 中，已知C ＝ ， A ＝ ，
AC ＝2620m ， 求AB.(精确到1米)
解：B ＝180o －A －C ＝ 180o － － ＝
正弦定理：
R C
c
B b A a 2sin sin sin === 正弦定理推论（1）A R a sin 2=， B R b sin 2=，
C R c sin 2=
正弦定理推论（2）R a A 2sin =， R b B 2sin =, R
c
C 2sin =
解决类型：（1）已知三角形的任意两角与一边，可求出另外一角和两边；
（2）已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可求出另外一边和两角。

C c B b A a sin sin sin =
=c
c
C ==1sin C
c
B b A a sin sin sin ==
A B B a sin A b sin B
b A a
sin sin =
∴C
c
B b A a sin sin sin =
= C
A
B
（四）目标检测
1．一个三角形的两个内角分别是30和45，如果45角所对的边长为8，那么30角所对边的长是 2．在△ABC 中，
（１）已知75A =，45B =
，c =，则a = ，b = （２）已知30A =，120B =，12b =，则a = ，c =
3．在△ABC
中，b =
c =60C =,则A = ____________ 4．在△ABC 中，3b =，
c =，30B =，则a =_____________ 5．在△ABC 中，2sin b a B =，则B C +＝________________ （五）小结
(1)在这节课中，学习了哪些知识？
正弦定理及其发现和证明 ，正弦定理的初步应用 (2)正弦定理如何表述？ （3）表达式反映了什么？
指出了任意三角形中，各边与对应角的正弦之间的一个关系式
学 案
1．1正弦定理
班级 姓名 学号
一、学习目标
（1）正弦定理的发现；
（2）证明正弦定理的几何法和向量法； （3）正弦定理的简单应用。

二、问题与例题
问题１：在Rt △ABC 中，各边、角之间存在何种数量关系？ 问题２：这三个式子中都含有哪个边长？？
问题３：那么通过这三个式子，边长c 有几种表示方法？？
问题4：得到的这个等式，说明了在Rt △中，各边、角之间存在什么关系？ 问题5：那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？ 例１. （三）例题分析，加深理解
例题：在△ABC 中，已知C ＝ ， A ＝ ， AC ＝2620m ， 求AB.(精确到1米) 三、目标检测
C A
B
1．一个三角形的两个内角分别是30和45，如果45角所对的边长为8，那么30角所对边的长是 2．在△ABC 中，
（１）已知75A =，45B =，c =，则a = ，b = （２）已知30A =，120B =，12b =，则a = ，c =
3．在△ABC 中，b =
c =60C =,则A = ____________
4．在△ABC 中，3b =， c =，30B =，则a =_____________ 5．在△ABC 中，2sin b a B =，则B C +＝________________
配餐作业
一、基础题(A 组)
1、在△ABC 中，若a=5，b=15，A=300
, 则c 等于 （ ）
A 、25
B 、5
C 、25或5
D 、以上结果都不对 2．在△ABC 中，一定成立的等式是 ( ) =bsinB =bcosB
=bsinA =bcosA 3.若c
C
b B a A cos cos sin =
=则△ABC 为 （ ）
A ．等边三角形
B ．等腰三角形
C ．有一个内角为30°的直角三角形
D ．有一个内角为30°的等腰三角形
4.△ABC 中,∠A 、∠B 的对边分别为a ,b ，且∠A=60°,4,6==b a ,那么满足条件的△ABC
（ ）
A ．有一个解
B ．有两个解
C ．无解
D ．不能确定
5.在△ABC 中，a ＝3
2，b ＝22，B ＝45°，则A 等于 .
6. 在△ABC 中，若210=c ，︒=60C ，3
3
20=
a ，则=A ． 二、巩固题(B 组)
7. 在△ABC 中，B=1350
，C=150
，a=5，则此三角形的最大边长为 .
8. 在锐角△ABC 中，已知B A 2=，则的
b
a
取值范围是 ． 9. 在△ABC 中，已知21tan =
A ，3
1
tan =B ，则其最长边与最短边的比为 ． 10. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是 ．
三、提高题(C 组)
11．在△ABC 中，a +b =1，A=600，B=450
，求a ，b
12△ABC 中，若sinA=2sinBcosC ，sin 2A=sin 2B+sin 2
C ，试判断△ABC 的形状。

13．为了测量上海东方明珠的高度，某人站在A 处测得塔尖的仰角为75.5，前进38.5m 后，到达B 处测得塔尖的仰角为80.0.试计算东方明珠塔的高度（精确到1m ）.。