2.7数列求和及综合应用
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案一、教学目标：1. 让学生掌握数列的基本概念和性质，包括等差数列、等比数列等。
2. 培养学生运用数列知识解决实际问题的能力，提高学生的数学应用意识。
3. 通过对数列的综合应用举例，使学生理解数列在数学和自然科学领域中的重要性。
二、教学内容：1. 等差数列的应用举例：例如计算工资、利息等问题。
2. 等比数列的应用举例：例如计算复利、人口增长等问题。
3. 数列的求和公式及应用：例如求等差数列、等比数列的前n项和等问题。
4. 数列的通项公式的应用：例如求等差数列、等比数列的第n项等问题。
5. 数列在函数中的应用：例如数列与函数的关系、数列的函数性质等问题。
三、教学重点与难点：1. 教学重点：数列的基本概念、性质和求和公式。
2. 教学难点：数列的通项公式的理解和应用。
四、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生通过解决实际问题来学习数列知识。
2. 利用多媒体课件，直观展示数列的应用实例，提高学生的学习兴趣。
3. 组织小组讨论，培养学生的合作能力和思维能力。
五、教学安排：1. 第一课时：等差数列的应用举例。
2. 第二课时：等比数列的应用举例。
3. 第三课时：数列的求和公式及应用。
4. 第四课时：数列的通项公式的应用。
5. 第五课时：数列在函数中的应用。
6. 剩余课时：进行课堂练习和课后作业的辅导。
六、教学目标：1. 深化学生对数列求和公式的理解，能够熟练运用求和公式解决复杂数列问题。
2. 培养学生运用数列知识进行数据分析的能力，提高学生的数学素养。
3. 通过对数列图像的观察，使学生理解数列与函数之间的关系。
七、教学内容：1. 数列图像的绘制与分析：学习如何绘制数列图像，并通过图像观察数列的特点。
2. 数列与函数的联系：探讨数列与函数之间的关系，理解数列可以看作是函数的特殊形式。
3. 数列在数据分析中的应用：例如，利用数列分析数据的变化趋势，预测未来的数据。
八、教学重点与难点：1. 教学重点：数列图像的绘制方法，数列与函数的关系，数列在数据分析中的应用。
高中数学-数列综合应用
数列综合应用知识精要一、数列求和数列求和的常用方法1、公式法（1）直接利用等差数列、等比数列的前n 项公式求和；①等差数列的前n 项和公式：②等比数列的前n 项和公式：（2）一些常见的数列的前n 项和：○1(1)12342n n n ++++++=； ○22222(1)(21)1236n n n n ++++++=； ○32462(1)n n n ++++=+； ○4213521n n ++++-=； ○52233332(1)(1)123[]24n n n n n ++++++==。
2、倒序相加法如果一个数列{}n a ，首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n 项和即是用此法推导的。
3、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可用此法来求，如等比数列的前n 项和就是用此法推导的；4、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和；注：用裂项相消法求数列前n 项和的前提是：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用裂项相消法的前提。
5、分组求和法一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和而后相加减；6、并项求和法一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和。
形如(1)()n n a f n =-类型，可采用两项合并求解。
二、数列的综合应用1、解答数列应用题的步骤：（1）审题——仔细阅读材料，认真理解题意；（2）建模——将已知条件翻译成数学（数列）语言，将实际问题转化成数学问题，弄清该数列的特征、要求是什么；（3）求解——求出该问题的数学解；（4）还原——将所求结果还原到实际问题中。
2、数列应用题常见模型（1）等差模型：如果增加（或减少）的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加（或减少）的量就是公差；（2）等比数列：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比。
数列专题(三)
年 级： 辅导科目：数学 课时数： 课 题 数列求和与数列综合应用教学目的教学内容数列求和（一）高考目标考纲解读1．熟练掌握等差、等比数列的前n 项和公式． 2．掌握非等差、等比数列求和的几种常见方法． 考向预测1．以考查等差、等比数列的求和公式为主，同时考查转化的思想．2．常与函数、方程、不等式等诸多知识联系在一起，作为高考的中档题或压轴题．（二）课前自主预习知识梳理1．当已知数列{an }中，满足an ＋1－an ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用求数列的通项an .2．当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用 求数列的项通a n .3.等差数列前n 项和nS= = ，推导方法：（5）3333312n ++++L =5．(1)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(2)拆项相消：有时把一个数列的通项公式分成二项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(3)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和；(4)倒序相加：例如，等差数列前n项和公式的推导方法．（三）基础自测1．(2011·威海模拟)设f(n)＝2＋24＋27＋…＋23n＋1(n∈N*)，则f(n)等于( )A.27(8n－1) B.27(8n＋1－1) C.27(8n＋2－1) D.27(8n＋3－1)[答案] B[解析] 由题意发现，f(n)即为一个以2为首项，公比q＝23＝8，项数为n＋1的等比数列的和．由公式可得f(n)＝S n＋1＝a11－q n＋11－q＝21－8n＋11－8＝27(8n＋1－1)．2．(2011·滨州模拟)已知数列2011,1，－2010，－2011，－1…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2012项之和S2012等于( )A．2010 B．2011 C．1 D．2012[答案] D[解析] a1＝2011，a2＝1，a3＝－2010，a4＝－2011，a5＝－1，a6＝2010，a7＝2011，a8＝1，该数列是周期为6的周期数列且S6＝0，∴S2012＝S2＝2011＋1＝2012.3．数列{a n}的通项公式是a n＝1n＋n＋1(n∈N*)，若前n项的和为10，则项数n为( )A．11 B．99 C．120 D．121 [答案] C[解析] ∵a n＝1n＋n＋1＝n＋1－n，∴a1＝2－1，a2＝3－2，…，a n＝n＋1－n，∴S n＝n＋1－1＝10，∴n＝120.4．(2009·广东理)已知等比数列{a n}满足a n>0，n＝1,2，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，则当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( )A．n(2n－1) B．(n＋1)2 C．n2 D．(n－1)2[答案] C[解析] 考查等比数列的性质、通项、等差数列求和及对数的运算法则．∵a n为等比数列，且a5·a2n－5＝22n，∴a n2＝22n，∵a n>0，∴a n＝2n，∴a2n－1＝22n－1.∴log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝1＋3＋5＋…＋(2n－1)＝n2.5．(2011·济南模拟)数列1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…的前n 项和为________． [答案] 2n ＋1－2－n[解析] 该数列的前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，而a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1×1－2n1－2＝2n－1.∴S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋...＋(2n －1)＝(2＋22＋ (2))－n ＝2×1－2n1－2－n ＝2n ＋1－2－n .6．(教材改编题)数列112，214，318，4116，…的前n 项和为________．[答案] 12(n 2＋n ＋2)－12n[解析] 数列的通项公式为：a n ＝n ＋12n ，S n ＝(1＋2＋3＋…＋n )＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋14＋18＋…＋12n ＝n n ＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＝12(n 2＋n ＋2)－12n .7．求数列1,3a,5a 2,7a 3，…，(2n －1)a n －1，…(a ≠0)的前n 项和． [解析] 当a ＝1时，数列变为1,3,5,7，…，(2n －1)，…，S n ＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)＝n 1＋2n －12＝n 2；当a ≠1时，有S n ＝1＋3a ＋5a 2＋7a 3＋…＋(2n －1)a n －1，①aSn ＝a ＋3a 2＋5a 3＋7a 4＋…＋(2n －1)an ，② 令①－②，得Sn －aSn ＝1＋2a ＋2a 2＋2a 3＋2a 4＋…＋2an －1－(2n －1)an ，(1－a )S n ＝1＋2·a 1－a n －11－a－(2n －1)a n，∵1－a ≠0，∴S n ＝1－2n －1a n 1－a＋2a －a n 1－a2.（四）典型例题1.命题方向：公式法求和[例1] 已知函数f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7(n ∈N*)．(1)若函数f (x )的图像的顶点的横坐标构成数列{a n }，试证明数列{a n }是等差数列； (2)设函数f (x )的图像的顶点到x 轴的距离构成数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] f (x )＝x 2－2(n ＋1)x ＋n 2＋5n －7＝[x －(n ＋1)]2＋3n －8.(1)由题意，a n ＝n ＋1，故a n ＋1－a n ＝(n ＋1)＋1－(n ＋1)＝1，故数列{a n }是等差数列． (2)由题意，b n ＝|3n －8|.当1≤n ≤2时，b n ＝－3n ＋8，数列{b n }为等差数列，b 1＝5，∴S n ＝n 5－3n ＋82＝－3n 2＋13n 2；当n ≥3时，b n ＝3n －8，数列{b n }是等差数列，b 3＝1. ∴S n ＝S 2＋n －21＋3n －82＝3n 2－13n ＋282.∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－3n 2＋13n2，1≤n ≤23n 2－13n ＋282，n ≥3.[点评] 用等差数列或等比数列的求和公式时，一定要看清数列的哪些项构成等差数列或等比数列．在第(2)问的求解中，1≤n ≤2或n ≥3时，都可以用等差数列的前n 项和公式，但当1≤n ≤2时，不要误求为数列的前2项和；当n ≥3时，数列的首项为b 3，项数为n －2，不要误求为n 项的和，也不要误求为n －3项的和． 跟踪练习1在等差数列{a n }中，a 16＋a 17＋a 18＝a 9＝－36，其前n 项和为S n . (1)求S n 的最小值，并求出S n 取最小值时n 的值； (2)求Tn ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |.[解析] ∵a 16＋a 17＋a 18＝3a 17＝－36.∴a 17＝－12. 又∵a 9＝－36，∴d ＝a 17－a 917－9＝－12＋368＝3，首项a 1＝a 9－8d ＝－60，(1)方法一：设前n 项和S n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧3n －63≤0，3n ＋1－63≥0，得n ＝20或n ＝21.故n ＝20或n ＝21时S n 的值最小，且最小值为S 20＝S 21＝－630. 方法二：S n ＝－60n ＋n n －12×3＝32(n 2－41n )＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －4122－50438.∵n ∈N *，∴当n ＝20或21时，S n 取最小值，最小值为－630. (2)由a n ＝3n －63≤0，得n ≤21. ∴当n ≤21时，T n ＝－S n ＝32(41n －n 2)；当n >21时，T n ＝－a 1－a 2－…－a 21＋a 22＋…＋a n ＝S n －2S 21＝32(n 2－41n )＋1260.2.命题方向：分组求和[例2] (2008·陕西)已知数列{a n }的首项a 1＝23，a n ＋1＝2a na n ＋1，n ＝1,2，….(1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是等比数列； (2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n .[分析] (1)由已知条件利用等比数列的定义证明，即从a n ＋1＝2a n a n ＋1得到1a n ＋1－1与1a n－1的等式关系．(2)充分利用(1)的结论得出1a n ＝12n ＋1.欲求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n 可先求出T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n 的值．[解析] (1)∵a n ＋1＝2a na n ＋1， ∴1a n ＋1＝a n ＋12a n ＝12＋12·1a n， ∴1a n ＋1－1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1，又a 1＝23，∴1a 1－1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n －1是以12为首项，12为公比的等比数列．(2)由(1)知1a n －1＝12·12n －1＝12n ，即1a n ＝12n ＋1，∴n a n ＝n2n ＋n . 设T n ＝12＋222＋323＋…＋n2n ，①则12T n ＝122＋223＋…＋n －12n ＋n2n ＋1，② ①－②得12T n ＝12＋122＋…＋12n －n 2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1∴T n ＝2－12n －1－n2n .又1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n a n 的前n 项和S n ＝2－2＋n 2n ＋nn ＋12＝n 2＋n ＋42－n ＋22n.跟踪练习2(2011·浙江省金丽衢联考)已知在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1(n ∈N*)． (1)求证：数列{a n －1}是等比数列；(2)设数列{2na n }的前n 项和为S n ，求S n 的大小． [解析] (1)∵a 1＝3，a n ＋1＝2a n －1， ∴a n ＋1－1＝2(a n －1)，∴{a n －1}是以a 1－1＝2为首项，以2为公比的等比数列．(2)由(1)知a n －1＝2·2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋1，∴2na n ＝2n (2n ＋1)＝n ·2n ＋1＋2n ，∴S n ＝2(21＋1)＋4(22＋1)＋6(23＋1)＋…＋2n (2n＋1)＝(2×21＋4×22＋6×23＋…＋2n ×2n)＋(2＋4＋6＋…＋2n )设T n ＝2×21＋4×22＋6×23＋…＋2n ×2n，12T n ＝21＋4×2＋6×22＋…＋2n ·2n －1， 两式相减，得12T n ＝－2－22－23－…－2n －1－2n ＋2n ·2n ＝2n ·2n －22n－12－1＝2n ·2n －2n ＋1＋2， ∴T n ＝4(n －1)·2n＋4， ∴S n ＝4(n －1)·2n ＋4＋n 2＋n .3.命题方向：错位相减求和[例3] (2009·山东文)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知对任意的n ∈N*，点(n ，Sn )均在函数y ＝bx ＋r (b >0且b ≠1，b ，r 均为常数)的图像上．(1)求r 的值；(2)当b ＝2时，记b n ＝n ＋14a n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意，S n ＝b n ＋r ，当n ≥2时，S n －1＝b n －1＋r ，所以a n ＝S n －S n －1＝b n －1(b －1)， 由于b >0且b ≠1，所以n ≥2时，{a n }是以b 为公比的等比数列， 又a 1＝b ＋r ，a 2＝b (b －1)，a 2a 1＝b ，即b (b －1)b ＋r＝b ， 解得r ＝－1.(2)由(1)知，n ∈N *，a n ＝(b －1)b n －1＝2n －1所以b n ＝n ＋14×2n －1＝n ＋12n ＋1.T n ＝222＋323＋424＋…＋n ＋12n ＋1.12T n ＝223＋324＋…＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2， 两式相减得12T n ＝222＋123＋124＋…＋12n ＋1－n ＋12n ＋2＝12＋123×1－12n －11－12－n ＋12n ＋2＝34－12n ＋1－n ＋12n ＋2， 故T n ＝32－12n －n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1.跟踪练习3：(2010·新课标理)设数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＝3·22n －1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和S n .[解析] 本小题主要考查数列的基础知识，即数列的通项公式与前n 项和的求法以及分析问题与解决问题的能力． (1)由已知得，当n ≥1时，a n ＋1＝[(a n ＋1－a n )＋(a n －a n －1)＋…＋(a 2－a 1)]＋a 1＝3(22n －1＋22n －3＋…＋2)＋2＝22(n ＋1)－1.而a 1＝2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)由b n ＝na n ＝n ·22n －1知S n ＝1·2＋2·23＋3·25＋…＋n ·22n －1.①从而22·S n ＝1·23＋2·25＋3·27＋…＋n ·22n ＋1.② ①－②得(1－22)S n ＝2＋23＋25＋…＋22n －1－n ·22n ＋1.即S n ＝[(3n －1)22n ＋1＋2]. 4.命题方向：裂项相消求和[例4] (2008·江西)等差数列{a n }的各项均为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列，b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.(1)求a n 与b n ； (2)求1S 1＋1S 2＋…＋1S n.[解析] (1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正整数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝qn －1，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧S 2b 2＝6＋d q ＝64S 3b 3＝9＋3dq 2＝960解得⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2q ＝8，或⎩⎪⎨⎪⎧d ＝－65q ＝403(舍去)故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.(2)S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝n (n ＋2)， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝11×3＋12×4＋13×5＋…＋1nn ＋2＝12⎣⎢⎡ ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…⎦⎥⎤＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2. 跟踪练习4求数列31×22，522×32，522×32，732×42，…，2n ＋1n 2（n ＋1）2的前n 项和S n . [解析] ∵2n ＋1n2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2，∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122－132＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1n 2－1（n ＋1）2＝1－1（n ＋1）2＝n 2＋2n n ＋12.5.命题方向：倒序相加法求和[例5] 设函数f (x )＝3x 3x ＋3图像上有两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，若P 为P 1P 2的中点，且P 点的横坐标为12.(1)求证：P 点的纵坐标为定值，并求出这个值；(2)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n .[分析] (1)由已知函数图像上两点P 1P 2可得y 1＝3x 13x 1＋3，y 2＝3x 23x 2＋3，设P (x ，y )，根据中点坐标公式去求y ＝y 1＋y 22.(2)根据(1)的结论：若x 1＋x 2＝1，则由f (x 1)＋f (x 2)＝1可以得到f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＝1，利用倒序相加进行求解．[解析] (1)证明：∵P 为P 1P 2的中点， ∴x 1＋x 2＝1，y p ＝y 1＋y 22.又y 1＋y 2＝3x 13x 1＋3＋3x 23x 2＋3＝1－33x 1＋3＋1－33x 2＋3＝2－6＋33x 1＋3x 26＋33x 1＋3x 2＝2－1＝1，∴y p ＝y 1＋y 22＝12.(2)由x 1＋x 2＝1，得y 1＋y 2＝f (x 1)＋f (x 2)＝1，f (1)＝3－32. 设S n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ，又S n ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫n －1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n n ，∴2S n ＝1＋1＋1＋1＋…＋1＋＋2f (1)＝n ＋2－3， 即S n ＝n ＋2－32.（五）思想方法点拨1．常见数列求和的类型及方法(1)an ＝kn ＋b ，利用等差数列前n 项和公式直接求解；(2)an ＝a ·qn －1，利用等比数列前n 项和公式直接求解，但要注意对q 分q ＝1与q ≠1两种情况进行讨论； (3)an ＝bn ±cn ，数列{bn }，{cn }是等比数列或等差数列，采用分组转化法求{an }前n 项和； (4)an ＝bn ·cn ，{bn }是等差数列，{cn }是等比数列，采用错位相减法求{an }前n 项和； (7)an ＝(－1)nf (n )，可采用相邻两合并求解，即采用“并项法”． (8)求出S 1，S 2，S 3，然后猜出Sn ，用数学归纳法证明． 2．求和时应注意的问题(1)直接用公式求和时，注意公式的应用范围和公式的推导过程．(2)注意观察数列的特点和规律，在分析数列通项的基础上或分解为基本数列求和，或转化为基本数列求和．（六）课后强化作业一、选择题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝2，S 4＝10，则S 6等于( ) A ．12 B ．18 C ．24 D ．42 [答案] C[解析] 由题意设S n ＝An 2＋Bn ，又∵S 2＝2，S 4＝10，∴4A ＋2B ＝2,16A ＋4B ＝10， 解得A ＝34，B ＝－12，∴S 6＝36×34－3＝24.2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1n ＋1n ＋2，则S 8等于( )A.25B. 130C.730D.56 [答案] A [解析] ∵a n ＝1n ＋1n ＋2＝1n ＋1－1n ＋2， 而S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2＝12－1n ＋2＝n2n ＋2， ∴S 8＝82×8＋2＝25. 3．数列1×12，2×14，3×18，4×116，…的前n 项和为( )A ．2－12n －n 2n ＋1B ．2－12n －1－n2nC.12(n 2＋n ＋2)－12nD.12n (n ＋1)＋1－12n －1 [答案] B[解析] S ＝1×12＋2×14＋3×18＋4×116＋…＋n ×12n ＝1×121＋2×122＋3×123＋…＋n ×12n ，①则12S ＝1×122＋2×123＋3×124＋…＋(n －1)×12n ＋n ×12n ＋1，② ①－②得12S ＝12＋122＋123＋…＋12n －n ×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12－n 2n ＋1＝1－12n －n2n ＋1.∴S ＝2－12n －1－n2n .4.122－1＋132－1＋142－1＋…＋1n ＋12－1的值为( )A.n ＋12n ＋2 B.34－n ＋12n ＋2C.34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2D.32－1n ＋1＋1n ＋2 [答案] C [解析] ∵1n ＋12－1＝1n 2＋2n ＝1n n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋2.∴S n ＝12⎝ ⎛1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n－⎭⎪⎫1n ＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫32－1n ＋1－1n ＋2＝34－12⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1＋1n ＋2. 5．(2011·汕头模拟)已知a n ＝log (n ＋1)(n ＋2)(n ∈N *)，若称使乘积a 1·a 2·a 3·…·a n 为整数的数n 为劣数，则在区间(1,2002)内所有的劣数的和为( )A ．2026B ．2046C ．1024D ．1022 [答案] A[解析] ∵a 1·a 2·a 2·…·a n ＝lg3lg2·lg4lg3·…·lg n ＋2lg n ＋1＝lg n ＋2lg2＝log 2(n ＋2)＝k ，则n ＝2k－2(k ∈Z)．令1<2k－2<2002，得k ＝2,3,4， (10)∴所有劣数的和为41－291－2－18＝211－22＝2026.6．(2011·威海模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ＋2，则 |a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝( ) A ．66 B ．65 C ．61 D ．56 [答案] A[解析] 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5； 当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，不符合上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2，∴{|a n |}从第3项起构成等差数列，首项|a 3|＝1， 末项|a 10|＝15.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋1＋15×82＝66.7．(文)(2009·江西)公差不为零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4是a 3与a 7的等比中项，S 8＝32，则S 10等于( )A ．18B ．24C ．60D ．90 [答案] C[解析] 由题意可知⎩⎪⎨⎪⎧a 42＝a 3×a 7S 8＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d 2＝a 1＋2d a 1＋6d8a 1＋8×72×d ＝32，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－3d ＝2，∴S 10＝10×(－3)＋10×92×2＝60，选C. (理)(2009·重庆)设{a n }是公差不为0的等差数列，a 1＝2且a 1，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前n 项和S n ＝( ) A.n 24＋7n 4 B.n 23＋5n 3 C.n 22＋3n4 D ．n 2＋n [答案] A[解析] 设等差数列公差为d ，∵a 1＝2，∴a 3＝2＋2d ，a 6＝2＋5d .又∵a 1，a 3，a 6成等比数列，∴a 32＝a 1a 6，即(2＋2d )2＝2(2＋5d )，整理得2d 2－d ＝0.∵d ≠0，∴d ＝12，∴S n ＝na 1＋n n －12d ＝n 24＋74n .故选A.8．在等比数列{a n }中，a 1＝2，前n 项和为S n ，若数列{a n ＋1}也是等比数列，则S n 等于( ) A ．2n ＋1－2 B ．3n C ．2n D ．3n－1[答案] C[解析] 解法1：由{a n }为等比数列可得a n ＋1＝a n ·q ，a n ＋2＝a n ·q 2由{a n ＋1}为等比数列可得(a n ＋1＋1)2＝(a n ＋1)(a n ＋2＋1)，故(a n ·q ＋1)2＝(a n ＋1)(a n ·q 2＋1)， 化简上式可得q 2－2q ＋1＝0，解得q ＝1，故a n 为常数列，且a n ＝a 1＝2，故S n ＝n ·a 1＝2n ，故选C. 解法2：设等比数列{a n }的公比为q ，则有a 2＝2q 且a 3＝2q 2， 由题设知(2q ＋1)2＝3·(2q 2＋1)， 解得q ＝1，以下同解法1. 二、填空题9．设f (x )＝12x ＋2，则f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)的值为________．[答案] 5 2[解析] ∵f (－n )＋f (n ＋1)＝12－n ＋2＋12n ＋1＋2＝2n1＋2n ·2＋12n ＋1＋2＝2n·2＋12n ＋1＋2＝22， ∴f (－9)＋f (－8)＋…＋f (0)＋…＋f (9)＋f (10)＝5 2.10．(2011·启东模拟)对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项为2n，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.[答案] 2n ＋1－2[解析] ∵a n ＋1－a n ＝2n，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n，∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.11．(2011·江门模拟)有限数列A ＝{a 1，a 2，…，a n }，S n 为其前n 项的和，定义S 1＋S 2＋…＋S nn为A 的“凯森和”；如果有99项的数列{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为1000，则有100项的数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为________．[答案] 991[解析] ∵{a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为S 1＋S 2＋…＋S 9999＝1000，∴S 1＋S 2＋…S 99＝1000×99，数列{1，a 1，a 2，…，a 99}的“凯森和”为： 1＋S 1＋1＋S 2＋1＋…＋S 99＋1100＝100＋S 1＋S 2＋…＋S 99100＝991.三、解答题12．(2010·重庆文)已知{a n }是首项为19，公差为－2的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和． (1)求通项a n 及S n ；(2)设{b n －a n }是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n }的通项公式及其前n 项和T n .[解析] 本题主要考查等差数列的基本性质，以及通项公式的求法，前n 项和的求法，同时也考查了学生的基本运算能力．(1)因为{a n }为首项a 1＝19，公差d ＝－2的等差数列， 所以a n ＝19－2(n －1)＝－2n ＋21，S n ＝19n ＋n n －12(－2)＝－n 2＋20n .(2)由题意知b n －a n ＝3n －1，所以b n ＝3n －1－2n ＋21T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝(1＋3＋…＋3n －1)＋S n ＝－n 2＋20n ＋3n－12.13．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n . (1)求证：数列{a n }是等差数列；(2)若b n ＝a n ·2n，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)证明：a 1＝S 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－3n －2(n －1)2＋3(n －1)＝4n －5. 又a 1适合上式，故a n ＝4n －5(n ∈N *)． 当n ≥2时，a n －a n －1＝4n －5－4(n －1)＋5＝4， 所以{a n }是等差数列且d ＝4，a 1＝－1. (2)b n ＝(4n －5)·2n，∴T n ＝－21＋3·22＋…＋(4n －5)·2n，① 2T n ＝－22＋…＋(4n －9)·2n ＋(4n －5)·2n ＋1，②①－②得－T n ＝－21＋4·22＋…＋4·2n －(4n －5)·2n ＋1＝－2＋4·41－2n －11－2－(4n －5)·2n ＋1＝－18－(4n －9)·2n ＋1，∴T n ＝18＋(4n －9)·2n ＋1.14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，且a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， (1)求数列{S n }的通项公式； (2)设S n ＝1f（n ），b n ＝f (12n )＋1.记P n ＝S 1S 2＋S 2S 3＋…＋S n S n ＋1，T n ＝b 1b 2＋b 2b 3＋…＋b n b n ＋1，试求T n ，并证明P n <12.[解析] (1)解：∵a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0. ∴1S n －1S n －1＝2.又∵a ＝1，∴S n ＝12n －1(n ∈N ＋)． (2)证明：∵S n ＝1f n，∴f (n )＝2n －1.∴b n ＝2(12n )－1＋1＝(12)n －1.T n ＝(12)0·(12)1＋(12)1·(12)2＋…＋(12)n －1·(12)n ＝(12)1＋(12)3＋(12)5＋…＋(12)2n －1＝23[1－(14)n ]．∵S n ＝12n －1(n ∈N ＋) ∴P n ＝11×3＋13×5＋…＋12n －12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1<12. 15．(2010·山东理)已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n . (1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a n 2－1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n . [解析] 本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练掌握数列的基础知识是解答好本类题目的关键．对(1)可直接根据定义求解，(2)问采用裂项求和即可解决．(1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＝7，a 5＋a 7＝26，所以有⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝72a 1＋10d ＝26，解得a 1＝3，d ＝2，所以a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1；S n ＝3n ＋n n －12×2＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，所以b n ＝1a n 2－1＝12n ＋12－1＝14·1n n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， 所以T n ＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n4n ＋1， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n4n ＋1.[点评] 数列在高考中主要考查等差、等比数列的定义、性质以及数列求和，解决此类题目要注意合理选择公式，对于数列求和应掌握经常使用的方法，如：裂项、叠加、累积．本题应用了裂项求和．第五节 数列的综合应用（一）高考目标考纲解读能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用相关知识解决相应的问题． 考向预测1．以递推关系为背景，考查数列的通项公式与前n 项和公式． 2．等差、等比交汇，考查数列的基本计算．3．数列与函数、不等式、解析几何交汇，考查数列的综合应用． 4．以考查数列知识为主，同时考查“等价转化”、“变量代换”思想．（二）课前自主预习知识梳理1．数列在实际生活中着广泛的应用，其解题的基本步骤，可用图表示如下：2．数列应用题常见模型：(1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差． (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比． (3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是an 与an ＋1的递推关系，还是前n 项和Sn 与Sn ＋1之间的递推关系．(4)分期付款模型：设贷款总额为a ，年利率为r ，等额还款数为b ，分n 期还完，则b ＝r 1＋r n1＋r n－1a . 3．数列与其他章节的综合题数列综合题，包括数列知识和指数函数、对数函数、不等式的知识综合起来；另外，数列知识在复数、三角函数、解析几何等部分也有广泛的应用． 4．数列的探索性问题探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现，探索性问题对分析问题、解决问题的能力有较高的要求．（三）基础自测1．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧3a n0<a n ≤1a n －1a n >1，若a 1＝23，则a 2012的值为( )A.23B ．1C ．2D ．3[答案] C[解析] 由递推公式可知a 2＝3a 1＝2，a 3＝a 2－1＝1，a 4＝3a 3＝3，a 5＝a 4－1＝2，a 6＝a 5－1＝1…， 可见{a n }满足a n ＋3＝a n (n ≥2)． 故a 2012＝a 2＝1.2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1f （n ）}(n ∈N *)的前n 项和是( )A.n n ＋1B.n ＋2n ＋1 C.nn －1D.n ＋1n[答案] A[解析] f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a ＝1，m ＝2，∴f (x )＝x (x ＋1)，1f （n ）＝1nn ＋1＝1n －1n ＋1， ∴S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝n n ＋1. 3．(教材改编题)一个凸多边形，它的各内角度数成等差数列，最小角为60°，公差为20°，则这个多边形的边数是( )A ．3B ．4C ．5或9D ．4或9[答案] B[解析] 设边数为n ，则60°n ＋n n －12·20°＝(n －2)·180°，解得n ＝4或9.当n ＝9时，最大内角度数为60°＋(9－1)×20°＝220°>180°，故舍去．4．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要( )A ．6秒钟B ．7秒钟C ．8秒钟D ．9秒钟 [答案] B[解析] 设至少需要n 秒钟，则 1＋21＋22＋…＋2n －1≥100，∴1－2n1－2≥100，∴n ≥7.故选B. 5．(2011·安徽合肥模拟)秋末冬初，流感盛行，某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________． [答案] 255[解析] 由于a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n，所以a 1＝a 3＝…＝a 29＝1，a 2，a 4，…，a 30构成公差为2的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 29＋a 30＝15＋15×2＋15×142×2＝255. 6．设等差数列{an }的前n 项和为Sn ，S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值是________． [答案] 4[解析] 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋4×32d ≥105a 1＋5×42d ≤15，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ≥105a 1＋10d ≤15，也即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋3d ≥5a 1＋2d ≤3，又a 4＝a 1＋3d ＝－(2a 1＋3d )＋3(a 1＋2d )≤－5＋3×3＝4，故a 4的最大值为4.7．某科研单位欲拿出一定的经费奖励科研人员第1名得全部资金的一半加一千元，第二名得剩下的一半加一千元，以名次类推都得到剩下的一半加一千元，到第10名恰好资金分完，求此科研单位共拿出多少千元资金进行奖励． [解析] 设单位共拿出x 千元资金，第1名到第10名所得资金构成数列{a n }，前n 项和为S n ，则a 1＝x 2＋1，a n ＝12(x －S n －1)＋1(n ≥2)，∴2a n ＝x －S n －1＋2,2a n ＋1＝x －S n ＋2， 两式相减得2a n ＋1－2a n ＝－a n ， ∴2a n ＋1＝a n .∴{a n }是首项为x 2＋1，公比为12的等比数列，∴S 10＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12101－12＝x ，解得x ＝2046.故单位共拿出2046千元资金进行奖励．又a 2＝2S 1＋a 1＝3a 1，a n ≠0，∴{a n }是首项为a 1，公比为3的等比数列， ∴a n ＝a 1·3n －1.(2)方法一：∵S n ＝a 11－q n 1－q ＝－12a 1＋12a 1·3n，∴b n ＝1－S n ＝1＋12a 1－12a 1·3n，要使{b n }为等比数列，当且仅当1＋12a 1＝0，即a 1＝－2，此时b n ＝3n，∴{b n }是首项为3，公比为3的等比数列． ∴{b n }能为等比数列，此时a 1＝－2.方法二：设数列{bn }能为等比数列，则b 1，b 2，b 3成等比数列， ∴b 22＝b 1·b 3，∵Sn ＝a 1＋a 2＋…＋an ，an ＝a 1·3n －1，bn ＝1－Sn ， ∴b 2＝1－4a 1，b 1＝1－a 1，b 3＝1－13a 1， ∴(1－4a 1)2＝(1－a 1)(1－13a 1)，又an ≠0，得a 1＝－2，此时bn ＝1－Sn ＝3n ， ∴{bn }是首项为3，公比为3的等比数列， ∴{bn }能为等比数列，此时a 1＝－2.方法三：设数列{b n }能为等比数列，即满足b n 2＝b n －1·b n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，又∵b n ＝1－S n ，b n －1＝1－(S n －a n )，b n ＋1＝1－(S n ＋a n ＋1)， ∴(1－S n )2＝(1－S n ＋a n )(1－S n －a n ＋1)，∴(1－S n )2＝(1－S n )2＋(a n －a n ＋1)(1－S n )－a n a n ＋1，即－2a n ·⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－a 11－3n 1－3＝a n a n ＋1， 将a n ＝a 1·3n －1代入得a 1＝－2，此时b n ＝1－S n ＝3n.2.命题方向：数列与函数的综合应用[例2] 已知f (x )＝log ax (a >0且a ≠1)，设f (a 1)，f (a 2)，…，f (an )(n ∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列． (1)设a 为常数，求证：{an }成等比数列；(2)若bn ＝anf (an )，{bn }的前n 项和是Sn ，当a ＝时，求Sn .[分析] 利用函数的有关知识得出an 的表达式，再利用表达式解决其他问题．[解析] (1)f (a n )＝4＋(n －1)×2＝2n ＋2，即log a a n ＝2n ＋2， 可得a n ＝a2n ＋2.∴a n a n －1＝a 2n ＋2a2n －1＋2＝a 2(n ≥2)，为定值．∴{a n }为等比数列． (2)b n ＝a n f (a n )＝a 2n ＋2log a a2n ＋2＝(2n ＋2)a2n ＋2.当a ＝2时，b n ＝(2n ＋2)(2)2n ＋2＝(n ＋1)2n ＋2.S n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n ＋1)·2n ＋2①2S n ＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n ·2n ＋2＋(n ＋1)·2n ＋3②①－②得－S n ＝2·23＋24＋25＋…＋2n ＋2－(n ＋1)·2n ＋3＝16＋241－2n －11－2－(n ＋1)2n ＋3＝16＋2n ＋3－24－n ·2n ＋3－2n ＋3＝－n ·2n ＋3.∴S n ＝n ·2n ＋3(n ∈N *)．[点评] 数列与函数的综合问题主要有以下两类：①已知函数条件，解决数列问题．此类问题一般利用函数的性质、图像研究数列问题；②已知数列条件，解决函数问题．解决此类问题一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形． 跟踪练习2在数列{a n }中，a 1＝4，且对任意大于1的正整数n ，点(a n ，a n －1)在直线y ＝x －2上． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)已知b 1＋b 2＋…＋b n ＝a n ，试比较a n 与b n 的大小． [解析] (1)∵点(a n ，a n －1)在直线y ＝x －2上，∴a n ＝a n －1＋2，即数列{a n }是以a 1＝2为首项，公差d ＝2的等差数列．∴a n ＝2＋2(n －1)＝2n ， ∴a n ＝4n 2.(2)∵b 1＋b 2＋…＋bn ＝an ，∴当n ≥2时，bn ＝an －an －1＝4n 2－4(n －1)2＝8n －4， 当n ＝1时，b 1＝a 1＝4，满足上式．∴bn ＝8n －4，∴an －bn ＝4n 2－(8n －4)＝4(n －1)2≥0， ∴an ≥bn .[点评] 第(2)问可由b 1＋b 2＋…＋bn ＝an 得，an －bn ＝an －1＝4(n －1)2≥0，∴an ≥bn 简捷明了，注意观察分析常能起到事半功倍的效果.3.命题方向：数列与导数、解析几何的综合应用[例3] (2011·山东模拟)设曲线y ＝x 2＋x ＋2－ln x 在x ＝1处的切线为l ，数列{an }的首项a 1＝－m (其中常数m 为正奇数)，且对任意n ∈N*，点(n －1，an ＋1－an －a 1)均在直线l 上． (1)求出{an }的通项公式；(2)令bn ＝nan (n ∈N*)，当an ≥a 5恒成立时，求出n 的取值范围，使得bn ＋1>bn 成立．[分析] 问题(1)可先利用求导公式求得直线的斜率，进而求出直线方程，利用累加法即求得数列的通项公式；问题(2)是恒成立问题，可转化为数列的单调性问题进而求得数列的最小值．[解析] (1)由y ＝x 2＋x ＋2－ln x ，知x ＝1时，y ＝4.又y ′|x ＝1＝(2x ＋1－1x)|x ＝1＝2，归纳、猜想的手段，建立出有关等差(比)数列、递推数列模型，再结合其他相关知识来解决问题．（六）课后强化作业一、选择题1．如果数列{a n }的前n 项和S n ＝14n (9n －4n )(n ∈N *)，那么这个数列( )A ．是等差数列而不是等比数列B ．是等比数列而不是等差数列C ．既是等差数列又是等比数列D ．既不是等差数列又不是等比数列 [答案] B[解析] S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫94n －1符合S n ＝Aq n－A 的特征，故该数列为等比数列．2．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n －1，则a 3＋a 17等于( ) A ．15 B ．17 C ．34 D ．398 [答案] C[解析] a 3＝S 3－S 2＝(32－2×3－1)－(22－2×2－1)＝3.a 17＝S 17－S 16＝(172－2×17－1)－(162－2×16－1)＝31，∴a 3＋a 17＝34.3．某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按照此规律，6小时后细胞存活数是( )A ．33B ．64C ．65D ．127 [答案] B[解析] 每一小时后细胞变为前一小时细胞数的2倍减1,4小时后为17个，5小时后为33个，6小时后为65个．4．(2011·黄冈模拟)小正方形按照如图的规律排列：每个图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论： ①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列； ③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＋1＝a n ＋n ＋1(n ∈N *)． 其中正确的命题序号为( )A．①② B．①③ C．①④ D．①[答案] C[解析] 当n＝1时，a1＝1；当n＝2时，a2＝3；当n＝3时，a3＝6；当n＝4时，a4＝10，…，观察图中规律，有a n＋1＝a n＋n＋1，a5＝15.故①④正确．5．△ABC中，tan A是以－4为第三项，－1为第七项的等差数列的公差，tan B是以12为第三项，4为第六项的等比数列的公比，则该三角形的形状是( )A．钝角三角形 B．锐角三角形 C．等腰直角三角形 D．以上均错[答案] B[解析] 由题意知：tan A＝－1－－47－3＝34>0.tan3B＝412＝8，∴tan B＝2>0，∴A、B均为锐角．又∵tan(A＋B)＝34＋21－34×2＝－112<0，∴A＋B为钝角，即C为锐角，∴△ABC为锐角三角形．6．在正项数列{a n}中，a1＝2，点(a n，a n－1)(n≥2)在直线x－2y＝0上，则数列{a n}的通项公式a n为( ) A．2n－1 B．2n－1＋1 C．2n D．2n＋1[答案] C[解析] 据题意得a n－2a n－1＝0，即a n＝2a n－1，所以a n＝2×2n－1＝2n.7．编辑一个运算程序：1&1＝2，m&n＝k，m&(n＋1)＝k＋3(m、n、k∈N*)，1&2004的输出结果为( )A．2004 B．2006 C．4008 D．6011[答案] D[解析] 由已知m&(n＋1)－m&n＝3可得，数列{1&n}是首项为1&1＝2，公差为3的等差数列，∴1&2004＝2＋(2004－1)×3＝6011.应选D.8．下表给出一个“直角三角形数阵”141 2，143 4，38，316∵y ′＝2x ，∴过点(a k ，a k 2)的切线方程为y －a k 2＝2a k (x －a k )，又该切线与x 轴的交点为(a k ＋1,0)，所以a k ＋1＝12a k ，即数列{a k }是等比数列，首项a 1＝16，其公比q ＝12，∴a 3＝4，a 5＝1，∴a 1＋a 3＋a 5＝21.(理)如图，“杨辉三角”中从上往下数共有n (n >7，n ∈N)行，设其第k (k ≤n ，k ∈N *)行中不是1的数字之和为a k ，由a 1，a 2，a 3，…组成的数列{a n }的前n 项和是S n .现在下面四个结论：①a 8＝254；②a n ＝a n －1＋2n ；③S 3＝22；④S n ＝2n ＋1－2－2n .1 1 12 1 13 3 1 14 6 4 1 … … … …其中正确结论的序号为________．(写出所有你认为正确的结论的序号) [答案] ①④[解析] 由已知得a n ＝C n 0＋C n 1＋C n 2＋…＋C n n－2 ＝(1＋1)n －2＝2n－2，∴a 8＝28－2＝256－2＝254，①正确；a n －a n －1＝2n －2－2n －1＋2＝2n －1≠2n ，②不正确；∵S n ＝2－2＋22－2＋ (2)－2＝21－2n1－2－2n ＝2n ＋1－2n －2，∴S 3＝24－6－2＝8≠22，③不正确，④正确． ∴①④正确． 三、解答题12．已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，…，P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n n －12d ，∴S n n＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d .∴点P n ⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n在直线y ＝1＋x －12d 上．∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．13．(2010·福建文)数列{a n }中，a 1＝13.前n 项和S n 满足S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n 以及前n 项和S n ；(2)若S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列，求实数t 的值．[解析] 本小题主要考查数列，等差数列，等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，化归与转化思想．(1)由S n ＋1－S n ＝(13)n ＋1得a n ＋1＝(13)n ＋1(n ∈N *)又a 1＝13，故a n ＝(13)n (n ∈N *)从而S n ＝13×[1－13n]1－13＝12[1－(13)n ](n ∈N *) (2)由(1)可得S 1＝13，S 2＝49，S 3＝1327从而由S 1，t (S 1＋S 2)，3(S 2＋S 3)成等差数列可得 13＋3×(49＋1327)＝2×(13＋49)t ，解得t ＝2. 14．(2010·湖北文)已知某地今年年初拥有居民住房的总面积为a (单位：m 2)，其中有部分旧住房需要拆除．当地有关部门决定每年以当年年初住房面积的10%建设新住房，同时也拆除面积为b (单位：m 2)的旧住房．(1)分别写出第一年末和第二年末的实际住房面积的表达式；(2)如果第五年末该地的住房面积正好比今年年初的住房面积增加了30%，则每年拆除的旧住房面积b 是多少？(计算时取1.15＝1.6)[解析] 本小题主要考查阅读资料，提取信息，建立数学模型的能力，同时考查运用所学知识分析和解决实际问题的能力．(1)第1年末的住房面积a ·1110－b ＝(1.1a －b )(m 2) 第2年末的住房面积(a ·1110－b )1110－b ＝a (1110)2－b (1＋1110)＝(1.21a －2.1b )(m 2)(2)第3年末的住房面积⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 11102－b 1＋1110·1110－b ＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫11103－b ⎣⎢⎡ 1＋1110＋⎦⎥⎤11102第4年末住房面积为：a (1110)4－b ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1110＋11102＋11103. 第5年末住房面积为：a ·(1110)5－b ⎣⎢⎡ 1＋1110＋11102＋11103⎦⎥⎤＋11104＝1.6a －6b 依题意可得，1.6a －6b ＝1.3a ，解得b ＝a20，所以每年拆除的旧房面积为a20(m 2)． 15．某企业投资1000万元于一个高科技项目，每年可获利25%.由于企业间竞争激烈，每年年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率，问经过多少年后，该项目资金可以达到或超过翻两番(4倍)的目标？(取lg2＝0.3)[解析] 设该企业逐年的项目资金依次为a 1，a 2，a 3，…，a n ，则由已知a n ＋1＝a n (1＋25%)－200(n ∈N *)，即a n ＋1＝54a n －200， 令a n ＋1－x ＝54(a n －x )，即a n ＋1＝54a n －14x ，由x4＝200，得x ＝800， ∴a n ＋1－800＝54(a n －800)(n ∈N *)，故{a n －800}是以a 1－800为首项，54为公比的等比数列．∵a 1＝1000(1＋25%)－200＝1050， ∴a 1－800＝250∴a n －800＝250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1，∴a n ＝800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1(n ∈N *)．由题意a n ≥4000，∴800＋250⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1≥4000，即⎝ ⎛⎭⎪⎫54n≥16， ∴n ln 54≥lg16，即n (1－3lg2)≥4lg2，∵lg2＝0.3，∴0.1n ≥1.2，故n ≥12. 答：经过12年后，该项目资金可以翻两番．教师备课平台一、函数与方程的思想在数列中的应用在数列中，数列本身就是一种函数．这种函数的定义域是N ＋(或其子集)，从而表现在图像上就是孤立的点．数列具有单调性，如等差数列(除去公差为0的情况)，等比数列(如a 1>0，q >1)．因此研究数列问题，可以类比函数的一些性质来研究，用运动变化的观点来研究，例如数列中求某项的范围问题，某个字母的范围问题、最值问题等就可以利用函数思想，转化成求函数值域问题，或解不等式．在等差、等比数列问题中，已知五个基本量中的几个，求另几个时，往往是设出基本量，建立方程或方程组来解决问题．但需注意数列看作函数时的定义域与一般函数定义域的区别．[例1] 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )在函数f (x )＝2x－1的图像上，数列{b n }满足b n ＝log 2a n －12(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)当数列{b n }的前n 项和最小时，求n 的值；(3)设数列{b n }的前n 项和为T n ，求不等式T n <b n 的解集．[分析] 先利用函数关系求出S n 的表达式，再依a n 与S n 关系求出a n .进而求出b n 、T n ，使问题解决． [解析] 由题意得S n ＝2n－1. (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n －1)－(2n －1－1)＝2n －1.又∵a 1＝1＝21－1，∴a n ＝2n －1.(2)b n ＝log 2a n －12＝log 22n －1－12＝(n －1)－12＝n －13，∴b n ＝n －13，令b n ≥0得n ≥13，∴数列{b n }的前12项均为负数，第13项为0，从第14项起均为正数，∴当n ＝12或13时，数列{b n }的前n 项和最小．(3)∵b n ＋1－b n ＝1，∴数列{b n }为等差数列． ∴T n ＝n n －252<n －13，整理得n 2－27n ＋26<0，解得1<n <26. ∴T n <b n 的解集为{n |1<n <26，n ∈N *}．[例2] 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n 为数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和，求T n 的最大值．[分析] 列方程组可求得S n ，继而求得T n ，把T n 看成关于自变量n 的函数来求最大值即可． [解析] 设等差数列{a n }公差为d ，则S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝21，S 15＝－75，。
数列的综合应用总结
数列的综合应用总结数列作为数学中常见的一种数学对象，在各个领域中都有着广泛的应用。
本文将对数列的综合应用进行总结和分析，包括数列的定义、数列求和的方法以及数列在实际问题中的应用等方面。
一、数列的定义数列是由一系列按照一定规律排列的数所组成的有序集合。
一般用an表示数列中的第n个数，其中n为正整数，称为项号。
数列的通项公式表示了数列中任意一项与项号之间的关系。
二、数列求和的方法1.等差数列求和等差数列的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差。
等差数列的前n项和Sn可以通过等差数列求和公式来计算，即Sn =(a1 + an) * n / 2。
2.等比数列求和等比数列的通项公式为an = a1 * q^(n-1)，其中a1为首项，q为公比。
等比数列的前n项和Sn可以通过等比数列求和公式来计算，即Sn =(a1 * (1 - q^n)) / (1 - q)，当|q| < 1时成立。
3.其他数列求和方法除了等差数列和等比数列，还存在一些特殊的数列，它们的求和方法也各不相同。
比如斐波那契数列、调和数列等，它们的求和方法需要根据具体的问题和数列的规律来确定。
三、数列在实际问题中的应用数列的应用广泛存在于实际问题的建模和解决过程中。
下面以几个具体的应用场景来说明数列在实际问题中的应用。
1.金融领域在金融领域中，利率、投资回报率等与时间相关的指标可以使用数列进行建模。
比如等额本息还款方式下，每期的还款金额就可以通过等差数列求和来计算。
2.物理学领域在物理学中，许多物理现象的变化过程可以用数列进行描述。
比如自由落体运动的位移、速度、加速度等物理量随时间的变化可以用等差数列或等比数列来表示和推导。
3.计算机科学领域在算法设计和数据处理中，数列也有着重要的应用。
比如在排序算法中，快速排序、归并排序等算法利用了数列的递推和分治思想来实现高效的排序。
四、总结数列作为一种常见的数学对象，具有广泛的应用价值。
专题04 数列求和及综合应用(解析版)
专题04 数列求和及综合应用【要点提炼】1.常用公式：12＋22＋32＋42＋…＋n 2＝n （n ＋1）（2n ＋1）6.2.(1)数列通项a n 与前n 项和S n 的关系为a n ＝⎩⎨⎧S 1 （n ＝1），S n －S n －1 （n ≥2）.(2)应用a n 与S n 的关系式f (a n ，S n )＝0时，应特别注意n ＝1时的情况，防止产生错误. 3.数列求和(1)分组转化法：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并. (2)错位相减法：主要用于求数列{a n ·b n }的前n 项和，其中{a n }，{b n }分别是等差数列和等比数列.(3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫c a n a n ＋1(其中{a n }是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列.温馨提醒 裂项求和时，易把系数写成它的倒数或忘记系数导致错误. 4.数列与函数、不等式的交汇数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化.数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查不等关系或恒成立问题.考点一 数列求和及综合应用考向一 a n 与S n 的关系问题【典例1】 设数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意的正整数n ，都有a n ＝5S n ＋1成立，b n ＝－1－log 2|a n |，数列{b n }的前n 项和为T n ，c n ＝b n ＋1T n T n ＋1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{c n }的前n 项和A n ，并求出A n 的最值.解 (1)因为a n ＝5S n ＋1，n ∈N *， 所以a n ＋1＝5S n ＋1＋1， 两式相减，得a n ＋1＝－14a n ，又当n ＝1时，a 1＝5a 1＋1，知a 1＝－14， 所以数列{a n }是公比、首项均为－14的等比数列. 所以数列{a n }的通项公式a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－14n.(2)由(1)知b n ＝－1－log 2|a n |＝2n －1， 数列{b n }的前n 项和T n ＝n 2， c n ＝b n ＋1T n T n ＋1＝2n ＋1n 2（n ＋1）2＝1n 2－1（n ＋1）2， 所以A n ＝1－1（n ＋1）2.因此{A n }是单调递增数列，∴当n ＝1时，A n 有最小值A 1＝1－14＝34；A n 没有最大值.探究提高 1.给出S n 与a n 的递推关系求a n ，常用思路是：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求a n .2.由S n 求a n 时，一定注意分n ＝1和n ≥2两种情况，最后验证两者是否能合为一个式子，若不能，则用分段形式来表示.【拓展练习1】 (2020·合肥检测)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)，a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )，若{b n }是递增数列，求实数a 的取值范围. 解 (1)a 2n ＝S n ＋S n －1(n ≥2)， a 2n －1＝S n －1＋S n －2(n ≥3).相减可得a 2n －a 2n －1＝a n ＋a n －1，∵a n ＞0，a n －1＞0，∴a n －a n －1＝1(n ≥3). 当n ＝2时，a 22＝a 1＋a 2＋a 1，∴a 22＝2＋a 2，a 2＞0，∴a 2＝2. 因此n ＝2时，a n －a n －1＝1成立. ∴数列{a n }是等差数列，公差为1. ∴a n ＝1＋n －1＝n .(2)b n ＝(1－a n )2－a (1－a n )＝(n －1)2＋a (n －1)， ∵{b n }是递增数列，∴b n ＋1－b n ＝n 2＋an －(n －1)2－a (n －1) ＝2n ＋a －1＞0，即a ＞1－2n 恒成立，∴a ＞－1. ∴实数a 的取值范围是(－1，＋∞). 考向二 数列求和 方法1 分组转化求和【典例2】 (2020·山东五地联考)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2). (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足b n ＝a 2n ＋2a n －1，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，因为关于x 的不等式a 1x 2－S 2x ＋2＜0的解集为(1，2)， 所以S 2a 1＝1＋2＝3，得a 1＝d ，又易知2a 1＝2，所以a 1＝1，d ＝1.所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)可得，a 2n ＝2n ，2a n ＝2n .因为b n ＝a 2n ＋2a n －1，所以b n ＝2n －1＋2n ，所以数列{b n }的前n 项和T n ＝(1＋3＋5＋…＋2n －1)＋(2＋22＋23＋…＋2n ) ＝n （1＋2n －1）2＋2（1－2n ）1－2＝n 2＋2n ＋1－2.探究提高 1.求解本题要过四关：(1)“转化”关，把不等式的解转化为方程根的问题；(2)“方程”关，利用方程思想求出基本量a 1及d ；(3)“分组求和”关，观察数列的通项公式，把数列分成几个可直接求和的数列；(4)“公式”关，会利用等差、等比数列的前n 项和公式求和.2.分组求和的策略：(1)根据等差、等比数列分组；(2)根据正号、负号分组.本题易忽视数列通项的下标如错得a 2n ＝n ，应注意“＝”左右两边保持一致.【拓展练习2】 (2020·潍坊调研)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S 4＝40.数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n －2b n ＋3＝0，n ∈N *. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，求数列{c n }的前n 项和P n .解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ， 由题意，得⎩⎨⎧a 1＋d ＝8，4a 1＋6d ＝40，解得⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝4，所以a n ＝4n ， 因为T n －2b n ＋3＝0，所以当n ＝1时，b 1＝3，当n ≥2时，T n －1－2b n －1＋3＝0， 两式相减，得b n ＝2b n －1(n ≥2)，则数列{b n }为首项为3，公比为2的等比数列， 所以b n ＝3·2n －1.(2)c n ＝⎩⎨⎧4n ，n 为奇数，3·2n －1，n 为偶数，当n 为偶数时，P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －1)＋(b 2＋b 4＋…＋b n ) ＝（4＋4n －4）·n 22＋6（1－4n2）1－4＝2n ＋1＋n 2－2.当n 为奇数时，法一 n －1(n ≥3)为偶数，P n ＝P n －1＋c n ＝2(n －1)＋1＋(n －1)2－2＋4n ＝2n ＋n 2＋2n －1，n ＝1时符合上式.法二 P n ＝(a 1＋a 3＋…＋a n －2＋a n )＋(b 2＋b 4＋…＋b n －1) ＝（4＋4n ）·n ＋122＋6（1－4n －12）1－4＝2n ＋n 2＋2n －1.所以P n ＝⎩⎨⎧2n ＋1＋n 2－2，n 为偶数，2n ＋n 2＋2n －1，n 为奇数.方法2 裂项相消求和【典例3】 (2020·江南六校调研)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1＝2，a n ＋1＝S n ＋2.(1)证明：{a n }为等比数列； (2)记b n ＝log 2a n ，数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫λb n b n ＋1的前n 项和为T n ，若T n ≥10恒成立，求λ的取值范围.(1)证明 由已知，得a 1＝S 1＝2，a 2＝S 1＋2＝4， 当n ≥2时，a n ＝S n －1＋2，所以a n ＋1－a n ＝(S n ＋2)－(S n －1＋2)＝a n ， 所以a n ＋1＝2a n (n ≥2).又a 2＝2a 1，所以a n ＋1a n＝2(n ∈N *)，所以{a n }是首项为2，公比为2的等比数列. (2)解 由(1)可得a n ＝2n ，所以b n ＝n . 则λb n b n ＋1＝λn （n ＋1）＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1， T n ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1，因为T n ≥10，所以λn n ＋1≥10，从而λ≥10（n ＋1）n ，因为10（n ＋1）n ＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ≤20， 所以λ的取值范围为[20，＋∞).探究提高 1.裂项相消求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵消，要注意消去了哪些项，保留了哪些项.2.消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.【拓展练习3】 设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n . (1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和.解 (1)因为a 1＋3a 2＋…＋(2n －1)a n ＝2n ，① 故当n ≥2时，a 1＋3a 2＋…＋(2n －3)a n －1＝2(n －1)，② ①－②得(2n －1)a n ＝2，所以a n ＝22n －1，又n ＝1时，a 1＝2适合上式，从而{a n }的通项公式为a n ＝22n －1.(2)记⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a n 2n ＋1的前n 项和为S n ，由(1)知a n 2n ＋1＝2（2n －1）（2n ＋1）＝12n －1－12n ＋1，则S n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1.方法3 错位相减法求和【典例4】 (2020·济南统测)在①a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，②b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，③S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2这三个条件中任选一个，补充至横线上，并解答问题. 已知等差数列{a n }的公差为d (d >1)，前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为q ，且a 1＝b 1，d ＝q ，________. (1)求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)记c n ＝a nb n，求数列{c n }的前n 项和T n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 选条件①.(1)∵a 3＝5，a 2＋a 5＝6b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1＋2d ＝5，2a 1＋5d ＝6a 1d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝256，d ＝512(舍去).∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件②.(1)∵b 2＝2，a 3＋a 4＝3b 3，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝3a 1d 2，即⎩⎨⎧a 1d ＝2，2a 1＋5d ＝6d ， 解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎨⎧a 1＝－1，d ＝－2(舍去).∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2. ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.选条件③.(1)∵S 3＝9，a 4＋a 5＝8b 2，a 1＝b 1，d ＝q ，d >1， ∴⎩⎨⎧a 1＋d ＝3，2a 1＋7d ＝8a 1d ，解得⎩⎨⎧a 1＝1，d ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝218，d ＝38(舍去)，∴⎩⎨⎧b 1＝1，q ＝2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2n －1，b n ＝b 1q n －1＝2n －1. (2)∵c n ＝a n b n，∴c n ＝2n －12n －1＝(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.∴T n ＝1＋3×12＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －2＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝12＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n. 上面两式相减，得12T n ＝1＋2⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＝1＋2×12⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －11－12－(2n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＝3－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n . ∴T n ＝6－(2n ＋3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1.探究提高 1.一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{b n }的公比，然后作差求解.2.在写“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“S n －qS n ”的表达式.【拓展练习4】 (2020·潍坊模拟)在①b 2n ＝2b n ＋1，②a 2＝b 1＋b 2，③b 1，b 2，b 4成等比数列这三个条件中选择符合题意的两个条件，补充在下面的问题中，并求解.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝3a n .公差不等于0的等差数列{b n }满足________，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n 的前n 项和S n .(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分) 解 因为a 1＝1，a n ＋1＝3a n ，所以{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以a n ＝3n －1.选①②时，设数列{b n }的公差为d 1. 因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3(ⅰ).因为b 2n ＝2b n ＋1，所以当n ＝1时，b 2＝2b 1＋1(ⅱ). 由(ⅰ)(ⅱ)解得b 1＝23，b 2＝73，所以d 1＝53，所以b n ＝5n －33.所以b n a n＝5n －33n .所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝231＋732＋1233＋…＋5n －33n ，所以13S n ＝232＋733＋1234＋…＋5n －83n ＋5n －33n ＋1.上面两式相减，得23S n ＝23＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫132＋133＋…＋13n －5n －33n ＋1 ＝23＋56－152×3n ＋1－5n －33n ＋1＝32－10n ＋92×3n ＋1.所以S n ＝94－10n ＋94×3n .选②③时，设数列{b n }的公差为d 2.因为a 2＝3，所以b 1＋b 2＝3，即2b 1＋d 2＝3.因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 2)2＝b 1(b 1＋3d 2)，化简得d 22＝b 1d 2.因为d 2≠0，所以b 1＝d 2，从而d 2＝b 1＝1，所以b n ＝n . 所以b n a n ＝n 3n －1.所以S n ＝b 1a 1＋b 2a 2＋…＋b n a n ＝130＋231＋332＋…＋n3n －1，所以13S n ＝131＋232＋333＋…＋n －13n －1＋n 3n .上面两式相减，得23S n ＝1＋131＋132＋133＋…＋13n －1－n 3n＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n －n 3n ＝32－2n ＋32×3n . 所以S n ＝94－2n ＋34×3n －1.选①③时，设数列{b n }的公差为d 3.因为b 2n ＝2b n ＋1，所以b 2＝2b 1＋1，所以d 3＝b 1＋1.又因为b 1，b 2，b 4成等比数列，所以b 22＝b 1b 4，即(b 1＋d 3)2＝b 1(b 1＋3d 3)，化简得d 23＝b 1d 3.因为d 3≠0，所以b 1＝d 3，无解，所以等差数列{b n }不存在.故不合题意.考向三 与数列相关的综合问题【典例5】 (2020·杭州滨江区调研)设f (x )＝12x 2＋2x ，f ′(x )是y ＝f (x )的导函数，若数列{a n }满足a n ＋1＝f ′(a n )，且首项a 1＝1. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }中，b 1＝a 1，b 2＝a 2，数列{b n }的前n 项和为T n ，请写出适合条件T n ≤S n 的所有n 的值. 解 (1)由f (x )＝12x 2＋2x ，得f ′(x )＝x ＋2. ∵a n ＋1＝f ′(a n )，且a 1＝1. ∴a n ＋1＝a n ＋2，则a n ＋1－a n ＝2，因此数列{a n }是公差为2，首项为1的等差数列. ∴a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1.(2)数列{a n }的前n 项和S n ＝n （1＋2n －1）2＝n 2，等比数列{b n }中，设公比为q ，∵b 1＝a 1＝1，b 2＝a 2＝3， ∴q ＝3.∴b n ＝3n －1，∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－3n 1－3＝3n －12.T n ≤S n 可化为3n －12≤n 2.又n ∈N *，∴n ＝1，或n ＝2.故适合条件T n ≤S n 的所有n 的值为1和2.探究提高 1.求解数列与函数交汇问题要注意两点：(1)数列是一类特殊的函数，其定义域是正整数集(或它的有限子集)，在求数列最值或不等关系时要特别注意；(2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件.2.数列为背景的不等式恒成立、不等式证明，多与数列的求和相联系，最后利用数列或数列对应函数的单调性处理.【拓展练习5】 已知数列{a n }与{b n }满足：a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n (n ∈N *)，若{a n }是各项为正数的等比数列，且a 1＝2，b 3＝b 2＋4. (1)求数列{a n }与{b n }的通项公式； (2)若数列{c n }满足c n ＝a nb n b n ＋1(n ∈N *)，T n 为数列{c n }的前n 项和，证明：T n ＜1. (1)解 由题意知，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝2b n ，① 当n ≥2时，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝2b n －1，② ①－②可得a n ＝2(b n －b n －1) ⇒a 3＝2(b 3－b 2)＝2×4＝8，∵a 1＝2，a n ＞0，设{a n }的公比为q ， ∴a 1q 2＝8⇒q ＝2，∴a n ＝2×2n －1＝2n (n ∈N *). ∴2b n ＝21＋22＋23＋ (2)＝2（1－2n ）1－2＝2n ＋1－2，∴b n ＝2n －1(n ∈N *).(2)证明 由已知c n ＝a n b n ·b n ＋1＝2n（2n －1）（2n ＋1－1）＝12n －1－12n ＋1－1， ∴T n ＝c 1＋c 2＋…＋c n＝121－1－122－1＋122－1－123－1＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1，当n ∈N *时，2n ＋1＞1，∴12n ＋1－1＞0，∴1－12n ＋1－1＜1，故T n ＜1.【专题拓展练习】一、单选题1．已知数列{}n a 满足()2*11n n n a a a n N+=-+∈，设12111n nS a a a =+++，且10910231a S a -=-，则数列{}n a 的首项1a 的值为（ ）A ．23 B ．1C ．32D ．2【答案】C 【详解】若存在1n a =，由2111n n n a a a --=-+，则可得11n a -=或0n a =，由12111n nS a a a =+++可得0n a ≠，由10910231a S a -=-可得101a ≠所以{}n a 中恒有1n a ≠由211n n n a a a +=-+，可得()111n n n a a a +-=-所以()11111111n n n n n a a a a a +==----，即111111n n n a a a +=---所以1212231111111111111111n n n n S a a a a a a a a a +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111n a a +=--- 所以110109*********a S a a a -=---=-，即1010101010123222111111a a a a a a =+--=----= 所以1121a =-，则1112a -=，所以132a = 2．已知在数列{}n a 中，14a =，26a =，且当2n ≥时，149n n a a +=-，若n T 为数列{}nb 的前n 项和，19(3)n n n n a b a a +-=⋅，则当175(3)()8n n a T λ+=-⋅-为整数时，n λ=（ ）A ．6B ．12C ．20D ．24 【答案】D 【详解】当2n ≥时，149n n a a +=-，得134(3)n n a a +-=-，又26a =，∴{3}n a -从第二项开始是首项为3，公比为4的等比数列，∴2334n n a --=⨯(2n ≥)，∴2413432n n n a n -=⎧=⎨⨯+≥⎩，，， 当1n =时，1138T b ==，217155(3)()82a T Z λ=-⋅-=∉，不符合题意， 当2n ≥时，221213411(41)(41)4141n n n n n n b -----⨯==-++++， ∴12221131171()84141841n n n n T b b b ---=++⋅⋅⋅+=+-=-+++， 则111115534154141n n n λ---=⨯⨯⨯=-++，由λ为整数可知141n -+是15的因数， ∴当且仅当2n =时λ可取整数，12λ=，所以24n λ=，3．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，*()(11),2n n n n S a n N -+=∈，则数列{}n S 的前7项和为（ ） A ．1256-B ．85256-C ．11024- D ．3411024-【答案】B 【详解】 ∵(1)12nn n n S a -+=， ∴1n =时，1112S a +=-，即1112a a +=-，114a =-，由已知1(1)2nn n n S a =--， 2n ≥时，11111111(1)(1)(1)(1)222n n n nn n n n n n n n n na S S a a a a -----=-=----+=-+-+(*)， (*)式中n 为偶数时，112n n n na a a -=++，112n n a -=-，此时1n -为奇数， ∴n 为奇数时112n n a +=-(*)式中n 为奇数时，112n n n n a a a -=--+，1122n n na a --=-，即1111112222n n n n a -+-⎛⎫=-⨯-+= ⎪⎝⎭，此时1n -为偶数，∴n 为偶数时，12n na =， ∴11,21,2n n nn a n +⎧-⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数，由1(1)2nn n nS a =--，得n 为奇数时，11122n n n S +=-，n 为偶数时，11022nn nS =-=， ∴数列{}n S 的前7项和为11111111421686432256128⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭11118541664256256=----=-． 4．若()()*12coscoscoscos 5555n n n S n ππππ-=++++∈N ，则1S 、2S、、2020S 中值为0的共有（ ） A ．202个 B ．404个C ．606个D ．808个【答案】B 【详解】由于4coscos055ππ+=，23cos cos 055ππ+=，5cos 15π=-，69cos cos 055ππ+=，78cos cos 055ππ+=，10cos 15π=，所以234cos coscos cos 05555ππππ+++=， 2310cos cos cos cos 05555ππππ++++=，所以40S =，100S =，()()()101210coscos cos555n n n n n S S πππ++++-=+++()()()()()()1627510cos cos cos cos cos cos 555555n n n n n n ππππππ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()()()112255cos cos cos cos cos cos 555555n n n n n n ππππππ++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦0=，所以，()10n n S S n N *+=∈，则()44+100n SS n N *==∈，()10100n S S n N *==∈，因此，1S 、2S 、、2020S 中值为0的共有2022404⨯=个.5．已知数列{}n a 为等差数列，首项为2，公差为3，数列{}n b 为等比数列，首项为2，公比为2，设n n b c a =，n T 为数列{}n c 的前n 项和，则当2020n T <时，n 的最大值是（ ） A ．8 B ．9 C ．10 D ．11【答案】A 【详解】解：由题意得：323(1)1n a n n ⨯-=+-=，2nn b =，2321n n n n b c a a ==⨯-=，123n T c c c ∴=+++…n c +123321321321=⨯-+⨯-+⨯-+…321n +⨯-(1233222=⨯+++…)2n n +-()212312n n ⨯-=⨯--1326n n +=⨯--，当8n =时，98326815222020T =⨯--=<； 当9n =时，109326930572020T =⨯--=>，n ∴的最大值为8.6．已知数列{}n a 满足123232n n a a a na ++++=，设1(1)2nn n a b n -=+，n S 为数列{}n b 的前n 项和.若t n S <对任意n *∈N 恒成立，则实数t 的最小值为（ ） A ．1 B ．2C ．32D ．52【答案】C 【详解】1n =时，12a =，因为123232n n a a a na ++++=，所以2n ≥时，1123123(1)2n n a a a n a --++++-=，两式相减得到12n n na -=，故12,n n a n-=1n =时不适合此式，所以11,11,2(1)2(1)nn n n a b n n n n -=⎧⎪==⎨≥+⎪+⎩，当1n =时，111S b ==， 当2n ≥时，111111313123341221n S n n n ⎛⎫=+-+-+-=-< ⎪++⎝⎭， 所以32t ≥；所以t 的最小值32； 7．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2n S an bn =+，（,a b 均为常数），且72a π=.设函数2()sin 22cos 2xf x x =+，记()n n y f a =，则数列{}n y 的前13项和为（ ） A ．132πB ．7πC ．7D ．13【答案】D 【详解】因为2()sin 22cos sin 2cos 12xf x x x x =+=++， 由2n S an bn =+，得()()()2211122n n n S S an bn a n b n an a b n a -=-=+----=-+≥，又11a S a b ==+也满足上式，所以2n a an a b =-+， 则12n n a a a --=为常数，所以数列{}n a 为等差数列； 所以11372a a a π+==，()()111131131313sin 2cos 1sin 2cos 1y f a f a a a a y a =+=++++++()()1111sin 2cos 1sin 22cos 12a a a a ππ=+++-+-+=.则数列{}n y 的前13项和为()()()1213...f a f a f a +++，记()()()1213...M f a f a f a =+++，则()()()13121...M f a f a f a =+++，所以()()11321326M f a f a ⎡⎤=+=⎣⎦，因此13M =.8．公元1202年列昂那多·斐波那契（意大利著名数学家）以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”{}n a ：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，……，即11a =，21a =，()*12,2n n n a a a n n --=+∈>N ，此数列在现代物理、化学等学科都有着十分广泛的应用。
高中数学_数列求和及其综合应用教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计一、学情分析和教法设计：1、学情分析：通过对数列基本知识的学习学生已经掌握了数列求和的基本方法即：公式求和、分组求和、并项求和、裂项分解求和、错位相减求和、倒序相加求和，但是在这几种求和方法中，学生对于裂项分解求和、错位相减求和、并项求和掌握的不是太好，察看近五年的高考题对于数列求和的考查，错位相减和裂项分解求和两种方法考查的频率较高，这两种方法都体现了数学学科的数学运算这一核心素养，因此本节课的主要目标是带领学生突破数列求和中的错位相减和裂项分解这两个难点。
2、教法设计：本节课设计的指导思想是：先向学生展示近五年高考对于数列考查的双向细目表，引导学生观察高考的动向预测18年高考的命题方向。
再通过热身练习把近五年的高考题用到的求和方法进行简单的回顾。
在典例精析环节通过高考题的改编把各种求和方法融合在变式训练中引导学生进行探索、讨论，分析、启发、总结。
再从讨论中加深对求和方法的理解，更好地锻炼学生探索和解决问题的能力。
在教学过程中采取如下方法：先把导学案前置下发学生提前做，老师抽批一部分，找到学生存在的主要问题，课前让学生板演例题和变式一，课上针对学生出现的主要问题进行讲解和训练。
在巩固提高中检验课堂效果。
二、教学设计：1、教材的地位与作用：数列求和是数列的重要内容，是研究数列的一种方法。
对数列的内容的考查是近几年高考的热点内容之一，属于高考命题中常考常新的内容；化归思想是解决数学问题的基本思想，解题的过程实际上就是转化的过程。
2、教学目标:◆知识目标：①重点讲解数列求和中的错位相减法和列项相消法；②学会分析通项的结构并且对通项进行分拆;能运用拆并项求和思想方法解决非特殊数列求和问题。
◆能力目标：培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。
◆情感目标：培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界.3、教学重、难点本节课作为一节专题复习课，重点是给同学们突破数列求和方法中的错位相减和列项分解两种方法，难点是错位相减的运算。
专题3 第3讲 数列求和及其综合应用
第3讲数列求和及其综合应用［考情分析］数列求和常与数列的综合应用一起考查，常以解答题的形式出现，有时与函数、不等式综合在一起考查，难度中等偏上.考点一数列求和r核心提炼、1.裂项相消法就是把数列的每一项分解，使得相加后项与项之间能够相互抵消，但在抵消的过程中，有的是依次项抵消，有的是间隔项抵消.常见的裂项方式有：1 _1 1 , 1 _^=if_U__UYn（n+∖） n Λ+Γn（n+k） n+k）' n1-∖丸—1 n+∖）' 4??2—1 2∖2n —1 2∕ι÷l∕2.如果数列｛小｝是等差数列，｛d｝是等比数列,那么求数列｛4・儿｝的前〃项和S〃时,可采用错位相减法.用错位相减法求和时，应注意：（1）等比数列的公比为负数的情形；（2）在写出ff的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便准确写出“Sn—qSj的表“SJ和a qSn达式.考向1分组转化法求和例1已知在等比数列｛斯｝中，m=2,且两，的内一2成等差数列.⑴求数列｛斯｝的通项公式；⑵若数列｛小｝满足儿=J+21og2斯- 1,求数列｛d｝的前n项和解（1）设等比数列｛〃“｝的公比为4，由Q］, 〃2,。
3 —2成等差数列,得2。
2 =。
1+。
3-2,即4夕=2 + 2/-2,解得夕=2（4=0舍去），则m=α∣尸=2〃，n∈ N*.（2）⅛Λ=~+21og2Λrt— l=^+21og22n- l=^∏+2n-↑,则数列｛九｝的前〃项和考向2裂项相消法求和例2 （2020•莆田市第一联盟体学年联考）设数列｛斯｝的前〃项和为S”，且&=久一2〃，｛d ｝为正项等比数列，且〃∣=α∣+3, 63=604+2. ⑴求数列｛斯｝和｛d ｝的通项公式；⑵设c 〃=——j~~;—，求｛c 〃｝的前〃项和T n .4"+l∙∣0g2%+l解 (1)由工=/一2〃，得当〃 =1 时，0=S] = —1, 当九22 时，S n -ι=(n -l)2-2(n- l)=n 2-4n+3f所以当时，a∏=S n —S n -\=2n —3, a\ — — 1也满足此式.所以斯=2〃一3, Q @N*. 又加=。
《数列综合应用举例》教案
《数列综合应用举例》教案章节一：数列的概念与性质1.1 数列的定义1.2 数列的性质1.3 数列的通项公式1.4 等差数列与等比数列章节二：数列的求和2.1 等差数列求和2.2 等比数列求和2.3 数列的错位相减法2.4 数列的分组求和章节三：数列的极限3.1 数列极限的定义3.2 数列极限的性质3.3 数列极限的运算3.4 无穷小与无穷大章节四：数列的收敛性与发散性4.1 数列的收敛性4.2 数列的发散性4.3 数列收敛性的判断方法4.4 数列发散性的判断方法章节五：数列的应用5.1 数列在数学分析中的应用5.2 数列在概率论中的应用5.3 数列在数论中的应用5.4 数列在其他领域的应用《数列综合应用举例》教案（续）章节六：等差数列的应用6.1 等差数列在数学分析中的应用6.2 等差数列在物理中的应用6.3 等差数列在经济学中的应用6.4 等差数列在其他领域的应用章节七：等比数列的应用7.1 等比数列在数学分析中的应用7.2 等比数列在生物学中的应用7.3 等比数列在金融学中的应用7.4 等比数列在其他领域的应用章节八：数列的插值与逼近8.1 数列插值的概念与方法8.2 数列逼近的概念与方法8.3 等差数列与等比数列的插值与逼近8.4 数列插值与逼近在其他领域的应用章节九：数列的级数展开9.1 数列级数的概念9.2 数列级数的收敛性与发散性9.3 数列级数展开的方法9.4 数列级数展开在数学分析中的应用章节十：数列的应用实例分析10.1 数列在数学建模中的应用10.2 数列在信号处理中的应用10.3 数列在数据分析中的应用10.4 数列在其他学科中的应用实例分析《数列综合应用举例》教案（续）章节十一：数列与函数的关系11.1 数列与函数的定义11.2 数列与函数的性质11.3 数列与函数的转化11.4 数列与函数在数学分析中的应用章节十二：数列的线性表征12.1 数列的线性表征方法12.2 数列的线性表征性质12.3 数列的线性表征应用12.4 数列的线性表征在其他领域的应用章节十三：数列的矩阵表示13.1 数列矩阵表示的概念13.2 数列矩阵表示的性质13.3 数列矩阵表示的运算13.4 数列矩阵表示在数学分析中的应用章节十四：数列的变换与映射14.1 数列变换的概念与方法14.2 数列映射的概念与方法14.3 等差数列与等比数列的变换与映射14.4 数列变换与映射在其他领域的应用章节十五：数列研究的现代方法15.1 数列研究的现代方法概述15.2 数列研究的计算机方法15.3 数列研究的随机方法15.4 数列研究的其他现代方法重点和难点解析本教案《数列综合应用举例》涵盖了数列的基本概念、性质、求和、极限、收敛性与发散性，以及数列在各个领域的应用。
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(2)若数列{bn}满足：bn＝an＋(－1)nln an，求数列
{bn}的前n项和为bn＝an＋(－1)nln an ＝2·3n－1＋(－1)nln(2·3n－1)
＝2·3n－1＋(－1)n[ln 2＋(n－1)ln 3]
＝2·3n－1＋(－1)n(ln 2－ln 3)＋(－1)nnln 3，
解 由(1)可得 T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4
＋…＋a2n)＝1－1－2112n＋12[11－－1212n]＝3－3(12)n，
所以 bn＝3n(n＋1)(12)n，
bn＋1＝3(n＋1)(n＋2)( 1 )n＋1， 2
所以 bn＋1－bn＝3(n＋1)(12)n(n＋2 2－n) ＝3(n＋1)(12)n＋1(2－n)，
2
2
所以aan＋n2＝12.
又a1＝1，a2＝
1
，所以数列a1，a3，…，a2n－1，…，是
以1为首项，1为2 公比的等比数列；
2
数列a2，a4，…，a2n，…，是以
1为首项，1
为公比的等
比数列.
2
2
(2) 若 数 列 {an} 的 前 2n 项 和 为 T2n ， 令 bn ＝ (3 － T2n)·n·(n＋1)，求数列{bn}的最大项.
∴a2＝3，∴aa21＋＋11＝2，∴当 n＝1 时，①式也成立，
∴an＋1＝2n，即an＝2n－1(n∈N*).
思维启迪 先利用错位相减法求出Tn，再放缩.
（2）证明 ∵an＝2n－1，
高中数学 必修5
2.7数列求和及综合应用
主干知识梳理
1.数列求和的方法技巧 (1)分组转化法 有些数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将 数列通项拆开或变形，可转化为几个等差、等比数列 或常见的数列，即先分别求和，然后再合并.
(2)错位相减法 这是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种 方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}，{bn}分 别是等差数列和等比数列. (3)倒序相加法 这是在推导等差数列前n项和公式时所用的方法，也就是 将一个数列倒过来排列(反序)，当它与原数列相加时若有 公式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的数列可用 倒序相加法求和.
(4)生长模型：如果某一个量，每一期以一个固定 的百分数增加(或减少)，同时又以一个固定的具体 量增加(或减少)时，我们称该模型为生长模型.如分 期付款问题，树木的生长与砍伐问题等. (5)递推模型：如果容易找到该数列任意一项an与它 的前一项an－1(或前n项)间的递推关系式，我们可以 用递推数列的知识来解决问题.
思维启迪 n>1时，Sn＝2Sn－1＋n两式相减得{an}的递推关系式，然
后构造数列求通项；
解 （1）∵Sn＋1＝2Sn＋n＋1， 当n≥2时，Sn＝2Sn－1＋n， ∴an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
即aan＋n＋1＋11＝2(n≥2)，
①
又S2＝2S1＋2，a1＝S1＝1，
(4)裂项相消法
利用通项变形，将通项分裂成两项或n项的差，通过相
加过程中的相互抵消，最后只剩下有限项的和.这种方
法，适用于求通项为
的数列的前n项和，其中{an}
1
若为等差数列，则＝ anan＋1
.
ana1n＋1＝1da1n－an1＋1
常见的裂项公式：
①nn1＋1＝n1－n＋1 1；
所以Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－ 1)n]·(ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln 3.
当n为偶数时，
Sn＝2×11－－33n＋n2ln 3＝3n＋n2ln 3－1；
当n为奇数时，
Sn＝2×11－－33n－(ln 2－ln 3)＋n－2 1－nln 3 ＝3n－n－2 1ln 3－ln 2－1.
升 华
负交替的，所以一般需要对项数n进行讨论，最
后再验证是否可以合并为一个公式.
变式训练1
已知数列{an}中，a1＝1，anan＋1＝( 1 )n(n∈N*). (1)求证：数列{a2n}与{a2n－1}(n∈N*)2都是等比数列；
1 1 证明 因为anan＋1＝( )n，an＋1an＋2＝( )n＋1，
例1 等比数列{an}中，a1，a2，a3分别是下表第一、二、 三行中的某一个数，且a1，a2，a3中的任何两个数不在 下表的同一列.
第一列 第二列 第三列
第一行 3
2
10
第二行 6 第三行 9
4
14
8
18
(1)求数列{an}的通项公式；
思维启迪 根据表中数据逐个推敲确定{an}的通项公式；
解 当a1＝3时，不合题意； 当a1＝2时，当且仅当a2＝6，a3＝18时，符合题意； 当a1＝10时，不合题意. 因此a1＝2，a2＝6，a3＝18，所以公比q＝3. 故an＝2·3n－1 (n∈N*).
综上所述，
Sn＝33nn＋－nn2l－2n 13l－n 31－，ln 2－1，
n为偶数， n为奇数.
在处理一般数列求和时，一定要注意使用转化思
想.把一般的数列求和转化为等差数列或等比数
列进行求和，在求和时要分析清楚哪些项构成等
思 差数列，哪些项构成等比数列，清晰正确地求解.
维 在利用分组求和法求和时，由于数列的各项是正
②nn1＋k＝1k(n1－n＋1 k)；
③2n－112n＋1＝12(2n1－1－2n1＋1)；
④
1 n＋
n＋k＝1k(
n＋k－
n).
2.数列应用题的模型 (1)等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量时， 该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个 固定的数时，该模型是等比模型，这个固定的数就 是公比. (3)混合模型：在一个问题中同时涉及等差数列和等 比数列的模型.
所以b1<b2＝b3>b4>…>bn>…，
所以(bn)max＝b2＝b3＝ 9 . 2
例2 设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1 ＝2Sn＋n＋1(n∈N*)， (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝ an＋1n－an，数列{bn}的前n项和为Tn，n∈N*，证 明：Tn<2.