方差与相关系数
方差相关系数
方差相关系数方差和相关系数是统计学中常用的两个概念，它们能够帮助我们了解数据的分布和变量之间的关系。
本文将对方差和相关系数进行详细介绍，并探讨它们在统计分析中的应用。
一、方差方差是用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
它表示数据与其平均值之间的差异程度，方差越大，数据的离散程度就越大。
方差的计算公式为：方差=（每个数据值与平均值的差）的平方的平均值。
方差的应用非常广泛，例如在金融领域中，方差被用来衡量证券价格的波动性，以帮助投资者评估风险；在质量控制中，方差被用来检测生产过程中的变异情况，以改进产品质量。
方差还常用于比较不同组或样本之间的差异，以确定是否存在显著的差异。
二、相关系数相关系数是用来衡量两个变量之间相关关系强度的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，相关系数为1表示两个变量完全正相关，为-1表示两个变量完全负相关，为0表示两个变量之间没有线性关系。
相关系数的计算方法有很多种，最常用的是皮尔逊相关系数。
皮尔逊相关系数的计算公式为：相关系数=（X的标准差 * Y的标准差）的倒数 * 协方差。
相关系数的应用也非常广泛，例如在经济学中，相关系数被用来衡量不同经济指标之间的关联程度，以预测经济走势；在医学研究中，相关系数被用来分析不同因素对疾病的影响程度，以制定防治策略。
相关系数还能够帮助我们理解变量之间的相互作用，从而更好地解释数据背后的规律。
三、方差和相关系数的关系方差和相关系数都是统计学中常用的概念，它们之间存在一定的联系。
方差衡量了数据的离散程度，而相关系数衡量了两个变量之间的关联程度。
当两个变量之间存在较强的线性关系时，它们的相关系数较大；当两个变量之间存在较弱的线性关系时，它们的相关系数较小。
因此，方差和相关系数可以帮助我们对数据进行更深入的分析和理解。
在实际应用中，方差和相关系数经常同时使用。
例如，在金融领域中，我们可以通过计算两个证券价格的方差和相关系数，来评估它们的风险和相关性。
协方差与相关系数的区别
协方差与相关系数的区别协方差和相关系数是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关系。
虽然它们都可以用来描述变量之间的相关性，但在某些情况下，它们有着不同的应用和解释。
1. 协方差协方差是用来衡量两个变量之间的总体关系的统计量。
它表示了两个变量在同一时间内的变化趋势是否一致。
协方差的计算公式如下：其中，和分别表示两个变量的取值，和分别表示两个变量的均值，表示样本容量。
协方差的取值范围是无限制的，可以是正值、负值或零。
当协方差为正值时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负值时，表示两个变量呈负相关关系；当协方差为零时，表示两个变量之间没有线性关系。
然而，协方差的数值大小无法直观地表示两个变量之间的相关性强度，因为它受到变量单位的影响。
为了解决这个问题，引入了相关系数。
2. 相关系数相关系数是用来衡量两个变量之间线性关系强度的统计量。
它是协方差除以两个变量的标准差的乘积，可以消除变量单位的影响。
相关系数的计算公式如下：其中，表示变量和的相关系数，表示变量和的协方差，和分别表示变量和的标准差。
相关系数的取值范围是-1到1之间。
当相关系数接近1时，表示两个变量呈正相关关系；当相关系数接近-1时，表示两个变量呈负相关关系；当相关系数接近0时，表示两个变量之间没有线性关系。
3. 区别与应用协方差和相关系数都可以用来衡量两个变量之间的关系，但在实际应用中有着不同的用途和解释。
首先，协方差可以用来判断两个变量的变化趋势是否一致，但它的数值大小受到变量单位的影响，无法直观地表示相关性强度。
因此，在比较不同数据集之间的相关性时，协方差并不是一个理想的选择。
相比之下，相关系数消除了变量单位的影响，可以直观地表示两个变量之间的相关性强度。
它的取值范围在-1到1之间，可以通过数值大小来判断相关性的强弱。
因此，在实际应用中，相关系数更常用于衡量和比较不同数据集之间的相关性。
此外，相关系数还可以用来进行回归分析和预测模型的建立。
均值方差协方差相关系数
均值方差协方差相关系数
均值（mean）是指一组数据的所有数据求和后再除以数据个数所得到的平均值。
方差（variance）描述的是一组数据的离散程度，是每个数值与均值之差的平方值的平均数。
协方差（covariance）是描述两个随机变量之间关系的一种度量。
协方差为正的两个变量大多是同时增加或减少的，协方差为负的则是一个变量增加时另一个变量减少。
相关系数（correlation coefficient）是描述两个随机变量之间相关程度的一种度量。
相关系数的取值范围为-1到1之间，0表示两个变量没有相关性，1表示完全正相关，-1表示完全负相关。
第14讲 协方差与相关系数
X 和 Y 独立时 X 和 Y 不相关， 反之不一定成立。 但对下述情形，独立与不相关是一回事： 若(X, Y )服从二维正态分布，则
X 与Y 独立的充分必要条件是X与Y不相关。 参见P70-例3.6.3： X与Y独立 XY=0
练习2 1) X ~ U (0,1), Y X 2 , 求 XY
2 1 x2 1 2 dy = 1 x -1 x 1 1 x2 f X ( x) 0, 其他 1 2 E( X ) x 1 x2 d y 0
1
E ( XY )
1
x 2 y 2 1 1 1
( xy/ ) dxdy
期望、方差、协方差的性质对比
期望
E(c)=C E(aX)=aE(X), E(X+Y) =E(X)+E(Y) 当X与Y独立时 E(XY)=E(X)E(Y)
方差
D(c)=0 D(aX)=a2D(X),
协方差
Cov(c,X)=0
Cov(aX,bY) =abCov(X,Y) D(X+Y)=D(X)+ Cov(X+Y,Z) D(Y)+2Cov(X,Y) =Cov(X,Z) +Cov(Y,Z)
y 1
1 y 2 1 y 2
xdx dy
1 0 dy 0.
所以，Cov(X, Y)= E(XY)-E(X) E(Y) = 0 . 此外，Var(X) > 0, Var(Y) > 0 . 所以，XY = 0，即 X 与 Y 不相关。 但是，在第三章已计算过: X与Y不独立。
第十四讲 协方差与相关系数
前面我们介绍了随机变量的数学期望 和方差，对于多维随机变量，反映分量之 间关系的数字特征中，最重要的，就是本 讲要讨论的 协方差和相关系数
随机变量的方差、协方差与相关系数4-2
Cov ( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y )
从而, 作为协方差的特例，方差也应有
D ( X ) C o v ( X , X ) E ( X X ) E ( X ) E ( X ) E ( X ) [ E ( X )] .
2 2
又∵ X 与Y 相互独立时, 总有
D ( U ) 2 D ( X ) 3 D (Y ) 0
2 2
解 数学期望
E ( U ) 2 E ( X ) 3 E (Y ) 1
2 ( 5 ) 3 (1 1 ) 1 4 4 ;
E (V ) E (Y Z ) 4 E ( X ) E (Y ) E ( Z ) 4 E ( Z )
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2. 协方差的具体计算公式与实际计算步骤
⑴ 对离散型变量
E ( X ) xi pij (或 xi pi ) ,
i 1 j 1 i 1
E (Y ) E ( XY )
x
i 1 j 1
y
i 1 j 1
j
pij (或 y j p j ) ,
j 1
i
y j pij ,
Cov ( X , Y ) E ( XY ) E ( X ) E (Y ) .
⑵ 对连续型变量
E( X ) E (Y ) E ( XY )
xf ( x , y )dxdy (或 yf ( x , y )dxdy (或
是 X 的方差. 是 X 与Y 的协方差.
返回
E[( X E ( X )(Y E (Y )]
16 方差、相关系数及比率的显著性检验
方差、相关系数及比率的显著性检验
一 方差的差异性检验
二 相关系数的显著性检验
仅仅根据计算得到的相关系数还不足以确定变量之间是否存在相关。只有通过对相关系数显著性的检验，才能确定相关关系是否存在。 对相关系数进行显著性检验包括三种情况（即三种零假设）：一是ρ=0；二是ρ=ρ0；三是ρ1=ρ2。本讲主要介绍前两种情况。
1．积差相关系数的显著性检验
相关系数的显著性检验即样本相关系数与总体相关系数的差异检验。 包括两种情况： ρ=0和ρ=ρ0 对ρ=0的检验是确认相关系数是否显著； 对ρ=ρ0的检验是确认样本所代表的总体的相关系数是否为ρ0 。
根据样本相关系数 r 对总体相关系数ρ进行推断，是以 r 的抽样分布正态性为前提的，只有当总体相关系数为零，或者接近于零，样本容量 n 相当大（n＞50或n＞30）时，r 的抽样分布才接近于正态分布。
⑴．H0：ρ＝0条件下， 相关系数的显著性检验
检验形式：双侧检验 统计量为t，检验计算公式为：
（19．4）
例:经计算,10个学生初一和初二数学成绩的相关系数为0.780,能否说学生初一和初二的数学成绩之间存在显著相关?
解： 提出假设 H0：ρ=0，H1： ρ≠0 选择检验统计量并计算 对积差相关系数进行ρ=0的显著性检验，检验统计量为t
计 算
统计决断 根据df=10-2=8，查t值表P⑵，得t(8)0.01=3.355， |t|＞t(8)0.01,则Ｐ＜0.01，差异极其显著 应在0.01显著性水平拒绝零假设，接受研究假设 结论：学生初一和初二的数学成绩之间存在极其显著的相关。
另一种方法：查积差相关系数临界值表
根据df=8，查附表7，从α=0.01一列中找到对应的积差相关系数临界值为0.765。 计算得到的r=0.780，大于表中查到的临界值。因此应接受该相关关系极其显著的结论，而拒绝相关关系不显著的零假设。
协方差和相关系数的实际意义
协方差和相关系数的实际意义协方差和相关系数是统计学中常用的两个概念，用来衡量两个变量之间的关系。
在实际应用中，协方差和相关系数可以帮助我们了解变量之间的相关性程度，从而进行更准确的数据分析和预测。
本文将从理论和实际案例两个方面来探讨协方差和相关系数的实际意义。
一、协方差和相关系数的定义协方差是衡量两个随机变量之间线性关系的统计量，其定义如下：$$Cov(X, Y) = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})(Y_i -\bar{Y})}{n-1}$$其中，$X$和$Y$分别是两个随机变量，$\bar{X}$和$\bar{Y}$分别是$X$和$Y$的均值，$n$为样本容量。
相关系数是协方差标准化后的值，用来衡量两个变量之间的相关性程度，其定义如下：$$\rho_{XY} = \frac{Cov(X, Y)}{\sigma_X \cdot \sigma_Y}$$其中，$\sigma_X$和$\sigma_Y$分别是$X$和$Y$的标准差。
二、协方差和相关系数的实际意义1. 协方差的实际意义协方差的数值大小可以反映出两个变量之间的关系，具体解释如下：- 当协方差为正值时，表示两个变量呈正相关关系，即一个变量增大时，另一个变量也增大；当协方差为负值时，表示两个变量呈负相关关系，即一个变量增大时，另一个变量减小。
- 当协方差的绝对值越大时，表示两个变量之间的线性关系越强；当协方差接近于0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
2. 相关系数的实际意义相关系数是协方差的标准化值，其取值范围在-1到1之间，具体解释如下：- 当相关系数为1时，表示两个变量完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个变量完全负相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
- 相关系数的绝对值越接近1，表示两个变量之间的线性关系越强；相关系数越接近0，表示两个变量之间的线性关系越弱。
三、协方差和相关系数的实际应用1. 金融领域在金融领域，协方差和相关系数常用于衡量不同证券之间的关联性。
协方差及相关系数及其性质
3. 说明
(1) X 和 Y 的相关系数又称为标准协方差, 它是一个 无量纲的量. (2) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 Cov(X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}
E[X E( X )]E[Y E(Y )] 0. (3) 若随机变量 X 和 Y 相互独立
协方差及相关系数及其性质
一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相互独立,那么 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
若随机变量 X 和 Y 不相互独立 D( X Y ) ?
D( X Y ) E( X Y )2 [E( X Y )]2 D( X ) D(Y ) 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}. 协方差
例1
设
( X ,Y
)
~
N
(
μ1
,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ),
试求
X
与Y
的
相关系数.
解 由 f (x, y)
1
2πσ1σ2 1 ρ2
1 exp2(1 ρ2 )
(
x
μ1 )2 σ12
2ρ(
x
μ1)( y σ1σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
fX (x)
1
e ,
(
x μ1 2σ12
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ).
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4
12
例题10-1-3
设 随 机 变 量 X 服 从 指 数 分 布 X ~ e ， 求 其 方 差 与 标 准 差
解
其密度函数为
f
x
e x
,
0,
x 0; 其 它.
第十讲 期望与方差
已知：E( X ) x ex dx 1
E X 2
定理3
第十讲 期望与方差
若X、Y独立，则D( X Y ) D( X ) D(Y )
证 明 ：D( X Y ) E[( X Y )2 ]－[E( X Y )]2 E( X 2 Y 2 2XY ) [E( X ) E(Y )]2
E( X 2 ) E(Y 2 ) 2E( XY ) E 2( X ) E 2 (Y ) 2E( X )E(Y )
x E(X )
2 f X (x)dx
x E(X )
2 f (x, y)dxdy
同理，求D(Y )
由于方差就是二阶中心矩，所以，方差计算还有更方便
更常用的利用均值计算方差的公式:
D(X ) E(X 2) E(X ) 2
证明： D( X ) EX E( X )2 E X 2 2XE( X ) E( X ) 2
第十讲 期望与方差
E( X 2 ) 2E( X )E( X ) E( X )2 E( X 2 ) E( X )2
实
际
上
，D(X
)
u2
v2
v
2 1
E(X
2)
E
2(X
)
方差离差方期望，方期望减期望方。
3.例题讲解
例题10-1-1 设随机变量 X ~ P ，求方差 D(X )。
解
其密度函数为
f
x
b
1
a
,
a x b;
0,
其 它.
E(X)
b a
b
x
a
dx
a
2
b
.
E X2
b a
x2 ba
dx
a2
ab 3
b2
D( X ) E X 2 E( X )2 a 2 ab b2 (a b)2 (b a)2
(2)方差：称X的离差平方的数学期望为X的方差，记作D( X ) 即：D( X ) E[(X EX )2 ]. (3)标 准 差 ： 称X的 方 差 的 算 术 平 方 根 为X的 标 准 差 ， 又 称
均方差。记作 ( X )或。即 D( X )，D( X ) 2 ( X )
k 0
k!
e k1
k 1
k 1
!
k 0
k
k!
e
e
e
1
D( X ) E X 2 E( X )2 1 2
第十讲 期望与方差
例题10-1-2 设随机变量 X ~ U [ a , b ] ，求方差 D(X )。
以上概念显示：方差均方差都非负；方差是二阶中心距。
2.方差计算 由方差定义：D( X ) E{X E( X )2 } E[g( X )]
例如，若X是离散变量，则: D( X ) E[g( X )] xi E( X ) 2 p(xi ) i 1
第十讲 期望与方差
E aX b aE( X ) b 2 E aX E( X ) 2
E a2X E( X )2 a2 E X E( X ) 2 a2D( X )
推 论 ：1 .D ( C ) 0，2 ） D ( X b ) D ( X ) ,3 ) D ( a X ) a 2 D ( X )
第十讲 方差与相关系数
本次课讲授第三章的3.2-3.4； 下次课讲授4.1-4.5. 下周上课时交作业P39-42页
重点：
方差与相关 系数；
难点：
方差与相关 系数。
离 散 变 量 乘 概 率 ， 无 穷求 和 期 望 值 ； 连 续 变 量 乘 密 度 ， 无 穷积 分 期 望 值 。
泊 松二 （ 项 ）np,几 何 分 布 倒 概 率 ；
若X是连续变量，则D(X ) E[g(X )] x E(X ) 2 f (x)dx
若X是二维离散变量，则: D(X E[g(X )] xi E(X ) 2 PX (xi )
xi E(X ) 2 p(xi , y j )
i
ij
若( X ,Y )是二维连续随机变量,则D( X ) E{[ X E( X )]2}
均匀一半a加 b，指数参数分之一。 只 将 变 量 变 函 数 ， 就 得函 数 期 望 值 ， 二 维 一 维 形 相 似 ， 两 次求 和 二 重 积 。 常 数 不 变 系 数 提 ， 可 加可 减 独 立 积
第十讲 方差与相关系数
一、方差与标准差 1.几 个 概 念 ： (1)离差：将变量与期望之差X EX称为变量的离差
解 PX m m e m 0,1, 2,. 已知：E( X )
m!
E X 2 m 2 m e e m m1 k m 1 e k 1 k
m0 m!
m1 m 1 !
0
0
x2
e x
dx
tx 1
2
t 2e t
0
dt
3
2
2
2
D( X ) E
4.方差性质
X2
E(X )2
2
2
1
2
1
2
1.定理（1、2） D a X b ＝ a 2 D ( X )
证明 DaX b E aX b EaX b 2
X、Y独立， D( X Y )
[E( X 2 ) E 2( X )] [E(Y 2 ) E 2(Y )] 2E( X )E(Y ) 2E( X )E(Y )