相关系数与协方差的关系
协方差和相关系数的计算
协方差和相关系数的计算一、协方差的计算协方差描述的是两个变量的总体变动趋势的一致性程度，具体的计算公式如下：其中，X和Y分别是两个变量的取值，μX和μY分别是两个变量的均值。
协方差的计算步骤如下：1.计算变量X和Y的均值μX和μY；2.分别将变量X和Y的取值减去各自的均值，得到两个变量的离差序列；3.将两个离差序列中对应位置的元素相乘，然后求和，得到协方差。
协方差的结果可以有三种情况：1.协方差大于0，表示变量X和Y的变动趋势相似，即当X增大时，Y往往也会增大，反之亦然；2.协方差小于0，表示变量X和Y的变动趋势相反，即当X增大时，Y往往会减小，反之亦然；3.协方差等于0，表示变量X和Y之间没有线性关系，即两个变量的变动趋势相互独立。
相关系数是在协方差的基础上，进一步衡量两个变量之间线性关系的强弱。
相关系数的计算公式如下：其中，Cov(X, Y)表示变量X和Y之间的协方差，σX和σY分别表示变量X和Y的标准差。
相关系数的计算步骤如下：1. 计算变量X和Y的协方差Cov(X, Y)；2.计算变量X和Y的标准差σX和σY；3.将协方差除以标准差的乘积，得到相关系数。
相关系数的取值范围在-1到1之间，其含义如下：1.相关系数为-1，表示变量X和Y之间存在完全的负线性关系，即当X增大时，Y总是减小，反之亦然；2.相关系数为1，表示变量X和Y之间存在完全的正线性关系，即当X增大时，Y总是增大，反之亦然；3.相关系数趋近于0，表示变量X和Y之间没有线性关系。
需要注意的是，相关系数只能衡量两个变量之间的线性关系，无法反映其他非线性关系的相互作用。
三、协方差和相关系数的应用协方差和相关系数在统计学和金融学中有广泛的应用。
在统计学中，协方差和相关系数可以用于分析两个变量之间的关系，例如，研究营销活动对销售额的影响、人口数量与经济发展的关系等。
在金融学中，协方差和相关系数常用于评估不同投资资产之间的风险和收益之间的关系，以帮助投资者进行资产配置和风险控制。
协方差与相关系数的关系相关系数在
协方差公式：
Covi,j i,j E(ri ri )(rj rj)
相关系数公式：
i, j
i,j i j
2
课堂例题
例3：I,J公司各种情况下的收益预测及其概率
经济状况 发生概率 ri
rj
萧条
0.10
-15%
10%
衰退
0.20
10%
20%
正常
0.50
20%
-2%
繁荣
0.20
（0.5×0.50×0.122 + 2×0.5×0.5×0.024 + 0.5×0.5×0.22 ） =0.0256
该组合的标准差为0.16。 等于两证券的加权平均数0.32/2=16
9
情况2：如果两种证券的预期相关系数是0.2，两者的协方差为 0.0048，组合的标准差会小于加权平均的标准差，其方差为：
10
3 CAPM法中的贝塔系数求解
资产定价模型认为一个公司普通股期望的收益率
E(r)与其市场风险β之间的关系为：
E(r) rf (E(rm ) rf )
资本资产定价模型的假设条件
• 所有投资者均追求单期财富的期望效用最大化，并以各备选组合的期 望收益和标准差为基础进行组合选择。
股标价格产生影响。
11
课堂问题
问题四： 贝塔系数用来某种股票的风险，我们是否
可以根据股票的贝塔系数来判断风险，并 进行投资呢？
12
β ，β到底是多少？
目前公开渠道查找β包括：
yahoo! CNN Money Wall Street Research Net()。
例5：J股票历史已获得收益率以及市场历史已获得 收益率的有关资料如表所示。
协方差与相关系数
其余均方误差
e
D(Y
)(1
2 XY
).
从这个侧面也
能说明 XY 越接近1，e 越小. 反之， XY 越近于0，
e 就越大， Y与X的 线性相关性越小.
完
例3 设 ( X ,Y ) 的分布律为
X
Y
2 1 1 2 P{Y yi }
1
0 1/4 1/4 0
1/ 2
4
1/4 0 0 1/4 1/2
D(Y
)[1
2 XY
],
D(Y
)1
[cov( X ,Y )]2 D( X )D(Y )
D(Y
)[1
2 XY
],
由于方差
D(Y
)
是正的，
故必有
1
2 XY
0,
所以
XY 1.
性质2. 若 X 和 Y 相互独立，则 XY 0;
注意到此时 cov( X ,Y ) 0, 易见结论成立.
注： X 与Y 相互独立
完
例4 设 服从 [ , ] 上的均匀分布, 且
X sin , Y cos
判断 X 与 Y 是否不相关, 是否独立.
解
由于
E( X )
1
2
sind 0,
E(Y
)
1
2
cosd 0,
而
E(
XY
)
1
2
sin cosd 0.
2
因此
E( XY ) E( X )E(Y ),
从而 X 与 Y 不相关. 但由于 X 与 Y 满足关系:
完
例2 设连续型随机变量 ( X ,Y ) 的密度函数为
f
(
x,
相关系数和协方差的计算公式
相关系数和协方差的计算公式
相关系数和协方差是统计学中常用的两个概念，用于衡量两个变量之间的关联程度。
相关系数是一个介于-1到1之间的数值，用来衡量两个变量之间的线性关系强度和方向。
协方差则是一个描述两个变量之间关系的统计量。
相关系数的计算公式如下：
相关系数 = 协方差 / (变量1的标准差 * 变量2的标准差)
其中，协方差的计算公式如下：
协方差= Σ((变量1的值 - 变量1的均值) * (变量2的值 - 变量2的均值)) / 样本数
相关系数和协方差的计算公式可以帮助我们衡量两个变量之间的关联程度。
相关系数的取值范围为-1到1，当相关系数接近1时，表示两个变量之间存在强正相关关系；当相关系数接近-1时，表示两个变量之间存在强负相关关系；当相关系数接近0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
协方差的取值范围为负无穷到正无穷，协方差的正负表示了两个变量之间的关系方向。
当协方差为正时，表示两个变量呈正相关关系；当协方差为负时，表示两个变量呈负相关关系；当协方差接近于0时，表示两个变量之间不存在线性关系。
通过计算相关系数和协方差，我们可以得出两个变量之间的关联程度。
这些概念和计算公式在统计学和数据分析中有着广泛的应用，可以帮助我们理解和解释变量之间的关系，从而做出更准确的预测和决策。
无论是在科学研究、经济分析还是市场营销等领域，相关系数和协方差都是非常重要的工具。
通过运用相关系数和协方差的计算公式，我们可以更好地理解数据背后的规律和趋势，从而做出更明智的决策。
相关系数和协方差的关系
相关系数和协方差的关系
一、首先要明白这2个的定义
1、相关系数是协方差与两个投资方案投资收益标准差之积的比值，
其计算公式为：
相关系数总是在-1到+1之间的范围内变动，-1代表完全负相关，+1代表完全正相关，0则表示不相关。
2、协方差是一个用于测量投资组合中某一具体投资项目相对于另一投资项目风险的统计指标。
其计算公式为：
当协方差为正值时，表示两种资产的收益率呈同方向变动；协方差为负值时，表示两种资产的收益率呈反方向变动。
二、要辨清两者的关系
1、相关系数与协方差一定是在投资组合中出现的，只有组合才有相关系数和协方差。
单个资产是没有相关系数和协方差之说的。
2、相关系数和协方差的变动方向是一致的，相关系数的负的，协方差一定是负的。
3、（1）协方差表示两种证劵之间共同变动的程度：相关系数是变量之间相关程度的指标根据协方差的公式可知，协方差与相关系数的正负号相同，但是协方差是相关系数和两证券的标准差的乘积，所以协方差表示两种证劵之间共同变动的程度。
（2）相关系数是变量之间相关程度的指标，相关系数在0到1之间，表示两种报酬率的增长是同向的；相关系数在0到-1之间，表示两种报酬率的增长是反向的，所以说相关系数是变量之间相关程度的指标。
总体来说，两项资产收益率的协方差，反映的是收益率之间共同变动的程度；而相关系数反映的是两项资产的收益率之间相对运动的状态。
两项资产收益率的协方差等于两项资产的相关系数乘以各自的标准差。
协方差与相关系数
独立， 独立时， 简言之， 即 X 与 Y 独立，反之 X 与 Y 独立时，必有 ρ = 0 ，简言之， 对二元正态变量来说，不相关等价于独立。 对二元正态变量来说，不相关等价于独立。
例 设 ( X , Y ) 的分布密度为
1 π f ( x, y) = 0
= E[( X − E ( X ))(( aX + b ) − E ( aX + b ))]
= aE ( X − E ( X ))2 = aD( X )
ρ 2 XY
[cov( X , Y )] a 2 [ D( X )]2 = = 2 =1 2 D( X ) D(Y ) a [ D( X )]
相关程度的量， 相关系数 ρ XY 是 衡量 X 与 Y 之间线性 相关程度的量 ，
第三节 协方差与相关系数
一． 协方差
X 与 Y 的协方差记作 cov( X , Y ) ，定义为
cov( X , Y ) = E[( X − E ( X ))(Y − E (Y ))] = E ( XY ) − E ( X ) E (Y )
独立时， 当 X 与 Y 独立时，有
cov( X , Y ) = 0
ρ XY = 1, 时， X 与 Y 线性相关； ρ XY > 0 ， Y 随 X 增大而增 线性相关；
增大而减小——负相关； ——负相关 大——正相关； XY < 0 ， Y 随 X 增大而减小——负相关； ——正相关； 正相关 ρ ， 之间毫无线性关系， 不相关， ρ XY = 0 ， X 与 Y 之间毫无线性关系，称 X 与 Y 不相关 ， 但可存在其它关系，例如二次关系： 但可存在其它关系，例如二次关系： Y = X 2 ( X ∼ N (0,1)) 设 ( X , Y ) ∼ N ( µ1 , µ2 , σ 12 , σ 12 , ρ ) 则 ρ XY = ρ 且当 ρ = 0 时，有
协方差和相关系数的关系
协⽅差和相关系数的关系
⽅差：
度量单个随机变量的离散程度，公式如下：
⽅差表⽰⼀位数据数据的离散程度，数值越⼤说明离均值的差距越⼤，越离散
协⽅差：
度量两个随机变量（变化趋势）的相似程度，定义如下：
协⽅差表⽰⼆维数据，表⽰两个变量在变化的过程中是正相关还是负相关还是不相关
正相关，你变⼤的同时，我也变⼤，说明变量是同向变化，这时候协⽅差就是正的
负相关，你变⼤的同时，我变⼩，说明变量两个变量是反向变化的，这时候协⽅差就是负的从数值来看，协⽅差的数值越⼤，两个变量的同向程度也就越⼤，反之亦然
相关系数。
由协⽅差的概念相关系数，其定义如下:
就是⽤X、Y的协⽅差除以X的标准差和Y的标准差。
协方差及相关系数及其性质
3. 说明
(1) X 和 Y 的相关系数又称为标准协方差, 它是一个 无量纲的量. (2) 若随机变量 X 和 Y 相互独立 Cov(X ,Y ) E{[X E( X )][Y E(Y )]}
E[X E( X )]E[Y E(Y )] 0. (3) 若随机变量 X 和 Y 相互独立
协方差及相关系数及其性质
一、协方差与相关系数的概念及性质 二、相关系数的意义
一、协方差与相关系数的概念及性质
1. 问题的提出
若随机变量 X 和 Y 相互独立,那么 D( X Y ) D( X ) D(Y ).
若随机变量 X 和 Y 不相互独立 D( X Y ) ?
D( X Y ) E( X Y )2 [E( X Y )]2 D( X ) D(Y ) 2E{[X E( X )][Y E(Y )]}. 协方差
例1
设
( X ,Y
)
~
N
(
μ1
,
μ2
,
σ12
,
σ
2 2
,
ρ),
试求
X
与Y
的
相关系数.
解 由 f (x, y)
1
2πσ1σ2 1 ρ2
1 exp2(1 ρ2 )
(
x
μ1 )2 σ12
2ρ(
x
μ1)( y σ1σ2
μ2
)
(
y
μ2 σ22
)2
fX (x)
1
e ,
(
x μ1 2σ12
D( X Y ) D( X ) D(Y ) 2E{[ X E( X )][Y E(Y )]}
D( X ) D(Y ) 2Cov( X ,Y ) D( X ) D(Y ).
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
现得越来越强烈。就有 lim Cov(X,Y)= ，X 与 Y 间是完全负相关的。 n
又由于 Corr( X ,Y ) =－1，表明 X 与 Y 间是完全负相关的。其实，这个结论早就蕴含在
线性关系式 X+Y=n 之中了。 综上，就说明：在某种情况下，协方差和相关系数在反映 X 与 Y 间的关联程度时保持
一致性。若是这样的话，研究相关系数似乎有点多余了。因为，我们已经有一个可以反映 X 与 Y 间的关联程度的量了（即协方差），那我们能否找出相关系数更优秀的地方呢？ 3 协方差与相关系数的“矛盾性”
Corr(X ,Y ) 越接近 1，则线性相关程度越高； Corr(X ,Y ) 越接近 0，则线性相关程度
·当 Cov(X,Y)=0 时，称 X 与 Y 不相关。 也就是说，协方差就是用来描述二维随机变量 X 与 Y 相互关联程度的一个特征数。协 方差 Cov(X,Y)是有量纲的量，譬如 X 表示人的身高，单位是米(m)，Y 表示人的体重，单 位是公斤(kg)，则 Cov(X,Y)带有量纲(m·kg)。为了消除量纲的影响，对协方差除以相同 量纲的量，就得到一个新的概念—相关系数，它的定义如下：
设（X ，Y）是一个二维随机变量，且Var( X ) >0,Var(Y ) >0.则称
Cov( X ,Y )
Cov( X ,Y )
Corr( X ,Y ) =
=
Var( X ) Var(Y ) x y
为 X 与 Y 的（线性）相关系数。
利用施瓦茨不等式我们不难得到-1 Corr( X ,Y ) 1.也就是说相关系数是介于-1 到 1
当程度的正相关；但从相应的协方差 Cov( X ,Y ) =0.0471 看，X 与 Y 的相关性很微弱，几
乎可以忽略不计。造成这种错觉的原因在于没有考虑标准差，若两个标准差都很小，即使协 方差小一些，相关系数也能显示一定程度的相关性。由此可见，在协方差的基础上加工形成 的相关系数是更为重要的相关性的特征数。
=3
由此得
Corr(U ,V ) =
Cov(U ,V )
3 3
==
Var(U ) Var(V ) 5 5
服从参数为 的泊松分布中得 >0，由协方差 Cov(U,V)=3 是恒大于 0 的，再由相关
系数 Corr(U ,V ) = 3 ，就很好的说明协方差与相关系数均可以反映二维随机变量关联程度。 5
我们再看下一个例题，看能否能出这个结论呢？
例二 将一枚硬币重复掷 n 次，以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数，试求 X
和 Y 的协方差和相关系数。
解：因为 X+Y=n，且 X～b（n，1/2），Y～b（n，1/2），所以
Var (X) =Var (Y)= n ， 4
Cov(X,Y)=Cov(X ,n－X)=－Cov(X,X)=－ n 4
例一 设随机变量 X 和 Y 独立同服从参数为 的泊松分布，令
U=2X+Y，
V=2X-Y。
求 U 和 V 的协方差及相关系数。
解：因为
Var(U ) =Var (2X+Y)=5 ，Var (V)=Var (2X-Y)=5 .
所以
Cov(U,V)=Cov(2X+Y,2X-Y) =Cov(2X,2X)+Cov(Y,2X)-Cov(2X,Y)-Cov(Y,Y)
负相关。
·若 0< Corr(X ,Y ) <1，则称 X 与有“一定程度”的线性关系。
2 协方差与相关系数的一致性
从协方差与相关系数的定义和性质我们不难发现，协方差与相关系数都是反映 X 与 Y
相关程度的量。也就是说，他们有异曲同工之效。在刻画二维随机变量两个分量间相互关联
程度时，他们保持了一致性。这一点我可以给出以下两个例子来说明。
广泛应用。本文的目的在于从协方差与相关系数的关系的角度去探讨协方差与相关系数的优 缺点，并具体介绍协方差和相关系数这两个描述二维随机变量间相关性的特征数。
关键字：协方差 Cov( X ,Y ) 相关系数 Corr( X ,Y ) 相互关联程度
1 协方差、相关系数的定义及性质
设（X ，Y）是一个二维随机变量，若 E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] }存在，则称此数学期望
参考文献
[1] 茆诗松，程依明，濮晓龙.概率论与数理统计教程.北京：高等教育出版社，2004
[2] 董永权，王占民.关于相关系数 的几点注释.唐山 063000
[3] 谢明文，关于协方差、相关系数与相关性的关系.四川成都 610074
Corr( X ,Y ) =
Cov( X ,Y ) = n 4 =－1
Var( X ) Var(Y )
n 4
我们假定 n=1，Cov(X,Y)= 1 ；n=100，Cov(X,Y)=－25；n=10000，Cov(X,Y)=－2500…… 4
我们可以得出，随着 n 的增大，协方差 Cov(X,Y)就越来越小，随之 X 与 Y 的负相关性就表
Var(X ) 、Var(Y ) 及 E( XY) 。
最后得协方差和相关系数为
Cov(X ,Y ) = E(XY) － E(X ) E(Y ) =0.0471
Cov( X ,Y )
Corr( X ,Y ) =
=0.8243
x y
这个协方差很小，但其相关系数并不小。从相关系数 Corr( X ,Y ) =0.8243 看，X 与 Y 有相
之间的，并且可以对它作以下几点说明：
·若 Corr( X ,Y ) =0，则称 X 与 Y 不相关。不相关是指 X 与 Y 没有线性关系，但也有
可能有其他关系) =1，则称 X 与 Y 完全正相关；若 Corr( X ,Y ) =-1，则称 X 与 Y 完全,
为 X 与 Y 的协方差，并记为 Cov(X,Y)=E{ [ X-E(X) ] [ Y-E(Y) ] }，特别有 Cov(X,X)=Var( X ) 。
从协方差的定义可以看出，它是 X 的偏差“X-E(X) ”与 Y 的偏差“Y-E(Y)”的乘积的 数学期望。由于偏差可正可负，故协方差也可正可负，也可为零，其具体表现如下：
·当 Cov(X,Y)>0 时，称 X 与 Y 正相关，这时两个偏差 [ X-E(X) ] 与[ Y-E(Y) ] 同时增 加或同时减少，由于 E(X)与 E(Y)都是常数，故等价于 X 与 Y 同时增加或同时减少，这就是 正相关的含义。
·当 Cov(X,Y)<0 时，称 X 与 Y 负相关，这时 X 增加而 Y 减少，或 Y 增加而 X 减少， 这就是负相关的含义。
越低。而协方差看不出这一点。若协方差很小，而其两个标准差 X 和 Y 也很小，则其比
值就不一定小，下面我们来看实例。 例三 已知随机向量(X,Y)的联合密度函数为
p(x, y)
8,0 x y0.5,0 x, y1; 3 0, 其他
求 X,Y 的协方差及相关系数。
解：先计算两个边际密度函数，再分别计算 E( X ) 、 E( X 2 ) 、 E(Y ) 、 E(Y 2 ) 、
探究协方差与相关系数
罗燕
摘要：协方差 Cov( X ,Y ) 是描述二维随机变量两个分量间相互关联程度的一个特征数，如
果 将 协 方 差 相 应 标 准 化 变 量 就 得 到 相 关 系 数 Corr( X ,Y ) 。 从 而 可 以 引 进 相 关 系 数
Corr( X ,Y ) 去刻画二维随机变量两个分量间相互关联程度。且事实表明，相关系数明显被