协方差和相关系数

二维随机变量的期望与方差

对于二维随机变量，如果存在，则

称为二维随机变量的数学期望。

1 、当( X ，Y ) 为二维离散型随机变量时

2 、当( X ，Y ) 为二维连续型随机变量时

例题 2.39 设，求。与一维随机变量函数的期望一样，可求出二维随机变量函数的期望。

对二维离散型随机变量( X ，Y ) ，其函数的期望为

对二维连续型随机变量( X ，Y ) ，其函数的期望为

例题 2.40 设，求

2.41 设( X ，Y ) 服从区域A 上的均匀分布，其中A 为x 轴、y 轴及直线

围成的三角形区域，如图2-10 所示。求函数的数学期望。

随机变量的数学期望和方差的三个重要性质：

1 、

推广：

2 、设X 与Y 相互独立，则

推广：设相互独立，则

3 、设X 与Y 相互独立，则

推广：设相互独立，则

仅对性质 3 就连续型随机变量加以证明

证明3

由于X 与Y 相互独立，所以与相互独立，利用性质 2 、知道

从而有，

可以证明：相互独立的随机变量其各自的函数间，仍然相互独立。

例题 2.42 某学校流行某种传染病，患者约占，为此学校决定对全校1000 名师生进

行抽血化验。现有两个方案：①逐个化验；②按四个人一组分组，并把四个人抽到的血混合在一起化验，若发现有问题再对四个人逐个化验。问那种方案好？

2.10.2 协方差与相关系数

分析协方差与相关系数反映随机变量各分量间的关系；结合上面性质 3 的证明，可以得到以下结论：

若X 与Y 相互独立，则

可以用来刻划X 与Y 之间的某种关系。

定义设( X ，Y ) 为二维随机变量，若

存在，则称它为随机变量X 与Y 的协方差，记作或，即

特别地

故方差，是协方差的特例。计算协方差通常采用如下公式：

例题 2.43 设二维随机变量( X ，Y ) 的分布密度

求

定义若存在，且大于零，则称

为X 与Y 的相关系数，记作，即

或

若，则称X 与Y 不相关。

由上述讨论知，当X 与Y 相互独立时，协方差，从而。

即X 与Y 相互独立时，X 与Y 一定不相关。但X 与Y 不相关时，X 与Y 未必独立。

例题 2.44 设，即X 的分布函数

又。试证明X 与Y 不相关，也不相互独立。

上例说明，若，则与不相关。但，说明Y 与X 间确实存在某种关

系。实质上，所刻划的只是随机变量X 与Y 之间的线性相关程度。

若为随机变量X 与Y 之间的相关系数，则有

1 、

2 、的充要条件是：，其中a ，b 为常数，且a ≠ 0 。

从上述结论看出，的值域为[-1,1] ，当时，表明X 与Y 之间几乎成线性

相关关系：。当时，X 与Y 不相关。

注意，这里所讲的不相关，仅指不线性相关，虽然不线性相关，可能有其它的（如二次函数）非线性的相关关系。

对于二维正态分布，我们已经证明了二维正态变量的两个分量X 与Y 独立的充要条件是

。还可以证明：恰好是两个正态分量X 与Y 的相关系数。

对于二维正态变量，X 与Y 相互独立与不相关是等价的。

2.10.3 矩协方差矩阵

定义设X 是随机变量，若

，

存在，则称为X 的k 阶原点矩，称为X 的k 阶中心矩。

矩是随机变量的重要数字特征，数学期望和方差是它们的特例。

当X 是离散型随机变量时

，

当X 是连续型随机变量时

例题 2.45 设，求。

定义设( X ，Y ) 为二维随机变量，若

，

存在，则分别称为二维随机变量( X ，Y ) 的阶混合原点矩和阶混合中心矩。

显然，协方差是( X ，Y ) 的二阶混合中心矩，简称为二阶中心矩。

若二维随机变量( X ，Y ) 的四个二阶中心矩都存在，分别记为

将它们排成矩阵形式

称为二维随机变量的协方差矩阵。

相关系数性质的证明

定理1.

证：因为对于、的标准化随机变量、有，所以

D()=D+D2=22=2(1)

即.

定理2当且仅当时，=1，且当b>0时，=1；当b<0时，=-1. 证：(1) 设，则，，

即当b>0时，=1；当b<0时，=-1.

(2) 设=1，由定理1的证明可知D()=2(1)，

即当=1时，=2()=0；

当=-1时，D(+)=2(1+)=0，

时,D()==0

则当

即.

又由，得，即在概率为1的意义下，

当时,

所以，其中

定理3与独立时=0.

证：因为当与独立时，所以=0