洛阳市第一高级中学高三理科数学模拟试卷

合集下载

河南省洛阳一高2019届高三考前模拟考试理科数学

增值税
房产证未满 2 年或满 2 年且面积在 144 平方米以上（不含 144 平方米）为 5.6%；
（卖方缴纳）其他情况免征
个人所得税首套面积 144 平方米以内（含 144 平方米）为 1%；面积 144 平方米以上或非首（卖方缴纳）套均为 1.5%；房产证满 5 年且是家庭唯一住房的免征
18.解：(1) 连接 AC . 底面 AB C D 为菱形, 且 ABC 60o ， ABC 为正三角形.
E 是 BC 的中点， AE BC .又 AD // BC ， AE AD . PA 平面 AB CD ， AE 平面 AB CD ， PA AE . 又 PA AD A ， AE 平面 PAD .
(1)求曲线 C 的普通方程和 ABF 的周长；(2) 若点 E 恰为线段 AB 的三等分点，求 ABF 的面积．
23. （本小题满分 12 分）
已知函数 f (x) 2 | x a | | 3x b | ． (1)当 a 1 ， b 0 时，求不等式 f (x) 3 | x | 1 的解集； (2)若 a 0 ， b 0 ，且函数 f (x) 的最小值为 2 ，求 3a b 的值．
log2
an ，求
1 b1 b2
1 … b2 b3
1 (nN*). bn bn 1
18.（本小题满分 12 分）
如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 AB C D 为菱形， ABC 60o ， PA 平面
AB C D ， E 是 BC 的中点， F 是棱 PC 上一点. (1)求证：平面 AEF 平面 PAD ； (2)若 M 是 PD 的中点，当 AB AP 时，是否存在 F ，使直线 EM 与平面 AEF 的所成的角的正弦值为 1 ？

2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学(理)试题(解析版)

2023届河南省洛阳市第一高级中学高三9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{A x y ==，{}22,B y y x x R ==-+∈，则A B =（）A ．(,2]-∞B ．[1,2]C ．[1,2)D ．[1,)+∞【答案】B【解析】转化条件为{}1A x x =≥，{}2B y y =≤，再由集合的交集运算即可得解.【详解】因为{{}1A x y x x ===≥，{}{}22,2B y y x x R y y ==-+∈=≤，所以{}[]121,2A B x x ⋂=≤≤=. 故选：B.【点睛】本题考查了集合的交集运算，考查了运算求解能力，属于基础题. 2．利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是（） A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)【答案】C【分析】设3()log 3f x x x =-+，根据当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，进而得到答案．【详解】解：设3()log 3f x x x =-+，当连续函数()f x 满足f （a ）f （b ）0<时，()f x 在区间(,)a b 上有零点，即方程3log 3x x =-在区间(,)a b 上有解，又f （2）3log 210=-<，f （3）3log 33310=-+=>，故f （2）f （3）0<，故方程3log 3x x =-在区间(2,3)上有解，即利用二分法求方程3log 3x x =-的近似解，可以取的一个区间是(2,3). 故选：C ． 3．若函数y的定义域为R ，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，12]B ．（0，12） C ．[0，12]D ．[0，12）【答案】D【分析】根据题意将问题转化为二次型不等式恒成立问题，结合对参数a 的讨论，根据∆即可求得结果.【详解】要满足题意，只需2420ax ax -+>在R 上恒成立即可. 当0a =时，显然满足题意. 当0a >时，只需2Δ1680a a =-<，解得10,2a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.综上所述，10,2a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭故选：D .【点睛】本题考查二次型不等式恒成立求参数范围的问题，属基础题.4．已知公比为q 的等比数列{}n a 前n 项和为n S ，则“1q >”是“{}n S 为递增数列”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要【答案】D【分析】根据充分条件和必要条件的定义，结合等比数列的性质即可得到结论. 【详解】解：①在等比数列中，若1,2q n >≥时，1n n n S S a --=，当10a <时，110n n a a q -=<，则1n n S S -<，此时{}n S 为递减数列，即充分性不成立； ②若“{}n S 为递增数列”，即2n ≥时，1n n S S ->，则有10n n S S -->，而110n n a a q -=>并不能推得1q >，如111,2a q ==，故必要性不成立，故“1q >”是“{}n S 为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选：D.5．已知函数()f x 的导函数f x 的图像如图所示，那么函数()f x 的图像最有可能的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】由导函数图象可知原函数的单调区间，从而得到答案．【详解】由导函数图象可知，()f x 在（-∞，-2），（0，+∞）上单调递减，在（-2，0）上单调递增，故选：A ． 6．函数6()e 1||1xmxf x x =+++的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=（） A ．3 B ．4 C ．6 D ．与m 值有关【答案】C【分析】利用分离常数法对函数的式子变形，结合函数奇函数的定义及奇函数最值的性质即可求解.【详解】由题意可知，()3e 16()3e 1||1e 1||1x x x mx mxf x x x =+=--+++++，设()()3e 1e 1||1x x mxg x x =--+++，则()g x 的定义域为(),-∞+∞，所以()()()()()3e 13e 1e 1||1e 1||1x x xx m x mx g x g x x x --⎡⎤-⎢⎥-=-+=--+=-+-+++⎢⎥⎣⎦--，所以()g x 为奇函数，所以()()max min 0g x g x +=，所以()()()()max min max min 336f x f x M N g x g x +=+=+++=, 故选：C.7．函数f （x ）的图象与其在点P 处的切线如图所示，则()()11f f -'等于（）A ．－2B ．0C ．2D ．4【答案】D【分析】根据图象求出切线斜率和方程，由导数的几何意义和切点在切线上可解. 【详解】由题意，切线经过点(2,0),(0,4)，可得切线的斜率为40202k -==--，即()12f '=-，又由切线方程为24y x =-+，令1x =，可得2y =，即()12f =，所以()()11224f f '-=+=. 故选：D8．若函数()ln 1f x x x ax =-+在[e,)+∞上单调递增，则实数a 的取值范围是（） A ．(,2)-∞ B ．(,2]-∞ C ．(2,)+∞ D ．[2,)+∞【答案】B【分析】求导，导函数在[e,)+∞上恒非负，根据恒成立的问题的办法解决.【详解】()1ln f x x a '=+-，又()f x 在[e,)+∞上单调递增，故()0f x '≥在[e,)+∞上恒成立，而[e,)x ∈+∞时，易见min ()2f x a '=-，只需要20a -≥即可，故2a ≤. 故选：B.9．已知()1xf x e =-（e 为自然对数的底数），()ln 1g x x =+，则()f x 与()g x 的公切线条数（）A ．0条B ．1条C ．2条D ．3条【答案】C【分析】设直线l 是()f x 与()g x 的公切线，分别设出切点，分别得出切线方程，根据方程表示同一直线，求出参数即可得到答案.【详解】根据题意，设直线l 与()1xf x e =-相切于点(),1m m e - ，与()g x 相切于点(),ln 1n n +，对于()1x f x e =-，()x f x e '=，则1mk e =则直线l 的方程为()1m my e e x m +-=- ，即(1)1m m y e x e m =+--，对于()ln 1g x x =+，()1g x x'=，则21=k n则直线l 的方程为()()1ln 1y n x n n -+=-，即1ln y x n n=+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则()11ln 1m m e n m e n ⎧=⎪⎨⎪-=+⎩，可得110mm e ，即0m =或1m =则切线方程为：1y ex =- 或y x =,切线有两条. 故选：C10．已知()()11e x f x x -=-，()()21g x x a =++，若存在1x ，2R x ∈，使得()()21f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围为（） A ．1,e ∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭B ．1,e ∞⎛⎤- ⎥⎝⎦C ．()0,eD ．1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭【答案】B【分析】原命题等价于max min ()()f x g x ≥，再求max ()f x 和min ()g x 解不等式即得解. 【详解】12R ,x x ∃∈，使得()()21f x g x ≥成立，则max min ()()f x g x ≥，由题得()()111e 1e e x x xf x x x ---=-+-=-'，当0x >时，()0f x '<，当0x <时，()0f x '>，所以函数()f x 在（-∞，0）单调递增，在（0，+∞）单调递减，所以()()max 10ef x f ==，由题得min ()(1)g x g a =-=， ∴1ea ≤故选：B.11．已知函数3,0,()212,0,x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-++<⎪⎩若存在唯一的整数．．x ，使得03()2x a f x -<-成立，则所有满足条件的整数．．a 的取值集合为（） A ．{2,1,0,1,2}-- B ．{2,1,0,1}-- C ．{1,0,1,2}- D ．{1,0,1}-【答案】B【分析】作出()3()g x f x =的图象，由不等式的几何意义：曲线上一点与(),2a 连线的直线斜率小于0，结合图象即可求得a 范围.【详解】令33,0,()3()616,0,x x g x f x x x ⎧≥⎪==⎨-++<⎪⎩作出()g x 的图象如图所示：03()2x a f x -<-等价于()20ax x g --<，表示点()(),x g x 与点(),2a 所在直线的斜率，可得曲线()g x 上只有一个整数点()(),x g x 与(),2a 所在的直线斜率小于0，而点(),2a 在直线2y =上运动，由()20,(1)6,(0)0g g g -=-== 可知当-21a ≤≤-时，只有点()00，满足()20a x x g --<，当01a ≤≤时，只有点()16-，满足()20ax x g --<，当1a >时，至少有()16-，，()13，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去，当2a <-时，至少有()()0020-，，，满足()20ax x g --<，不满足唯一整数点，故舍去，因为a 为整数，故a 可取2101--，，，故选：B12．已知6ln1.25a =，0.20.2e b =，13c =，则（）A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．a c b <<【答案】A【分析】0.20.20.20.2e e ln e b ==，令()ln f x x x =，利用导数求出函数()f x 的单调区间，令()e 1xg x x =--，利用导数求出函数()g x 的单调区间，从而可得出0.2e 和1.2的大小，从而可得出,a b 的大小关系，将,b c 两边同时取对数，然后作差，从而可得出,b c 的大小关系，即可得出结论.【详解】解：0.20.20.20.2e e ln e b ==，6ln1.2 1.2ln1.25a ==，令()ln f x x x =，则()ln 1f x x '=+，当10ex <<时，()0f x '<，当1e x >时，()0f x '>，所以函数()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增，令()e 1x g x x =--，则()e 1xg x '=-，当0x <时，()0g x '<，当0x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在(),0∞-上递减，在()0,∞+上递增，所以()()0.200g g >=，即0.21e10.2 1.2e>+=>，所以()()0.2e 1.2f f >，即0.20.2e e 1.22ln ln1.>，所以b a >，由0.20.2e b =，得()0.211ln ln 0.2e ln 55b ==+，由13c =，得1ln ln 3c =，11151ln ln ln ln ln 35535c b -=--=-，因为55625510e 3243⨯⎛⎫=>> ⎪⎝⎭，所以155e 3>，所以51ln 35>，所以ln ln 0c b ->，即ln ln c b >，所以c b >，综上所述a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了比较大小的问题，考查了同构的思想，考查了利用导数求函数的单调区间，解决本题的关键在于构造函数，有一定的难度.二、填空题13．已知命题“R x ∀∈，210x ax ++>”是假命题，则实数a 的取值范围为______. 【答案】(,2][2,)-∞-+∞【解析】根据“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题，得出它的否定命题是真命题，求出实数a 的取值范围．【详解】解：∵命题“R x ∀∈，210x ax ++> ”是假命题， ∴R x ∃∈，210x ax ++≤是真命题，即R x ∃∈使不等式210x ax ++≤有解；所以240a ∆=-≥，解得：2a ≤-或2a ≥. ∴实数a 的取值范围是(,2][2,)-∞-+∞. 故答案为：(,2][2,)-∞-+∞.【点睛】本题主要考查根据特称命题与全称命题的真假求参数，考查了一元二次不等式能成立问题，属于基础题.14．已知()f x 为R 上的奇函数，且()()20f x f x +-=，当10x -<<时，()2xf x =，则()22log 5f +的值为______．【答案】45--0.8【分析】由题设条件可得()f x 的周期为2，应用周期性、奇函数的性质有()2242log 5(log )5f f +=-，根据已知解析式求值即可.【详解】由题设，(2)()()f x f x f x -=-=-，故(2)()f x f x +=，即()f x 的周期为2，所以()22225542log 5(22log )(log )(log )445f f f f +=⨯+==-，且241log 05-<<，所以()24log 5242log 525f +=-=-.故答案为：45-.15．已知函数()1,03,0x x f x x x x ⎧+>⎪=⎨⎪-+≤⎩，若方程()f x a =有三个不同的实数根123,,x x x ，且123x x x <<，则123ax x x +的取值范围是________.【答案】(]1,0-【分析】画出函数图象，数形结合得到a 的取值范围，且23x x a +=，解不等式得到(]11,0x ∈-，从而求出(]11231,0ax x x x =∈-+. 【详解】画出函数()f x 的图象：由函数()f x 的图象可知：10x ≤，23a <≤，令1x a x+=，则210x ax -+=，所以23x x a +=，令1233x <-+≤，解得：(]11,0x ∈-，所以(]11231,0ax x x x =∈-+. 故答案为：(]1,0-.16．已知函数()()()2log 120kx kf x x k k +=+->，若存在0x >，使得()0f x ≥成立，则k的最大值为______．【答案】12eln 【分析】由()0f x ≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥，同构函数()2log g x x x =，结合函数的单调性，转化为()()2log 11x h x x +=+的最大值问题.【详解】由()()2log 120kx kf x x k +=+-≥，可得()()()()121log 1120k x x x k x +++-+≥ 即()()()()121log 112k x x x k x +++≥+，()()()()11221log 12log 2k x k x x x ++++≥⋅构造函数()2log g x x x =，显然在()1,+∞上单调递增， ∴()112k x x ++≥，即()2log 11x k x +≤+，令()()2log 11x h x x +=+，即求函数的最大值即可，()()()()()222221log 1log log 1ln 211x e x h x x x -+-+'==++， ∴在()1,1e -上单调递增，在()1,e -+∞上单调递减， ∴()h x 的最大值为()11ln 2h e e -= ∴10e 2k ln <≤，即k 的最大值为1e 2ln 故答案为：1e 2ln .三、解答题17．已知(){}23log 212A x x x =-+>，11216x aB x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭．(1)当2a =时，求R A B ⋂；(2)已知“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】(1)R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x (2)0a ≥【分析】（1）先求出,A B ，从而可求R B ，故可求R A B ⋂.（2）根据题设条件可得B A ⊆，从而可求0a ≥.【详解】(1){}2|219{2A x x x x x =-+>=<-或4}x >，当2a =时211{6}216x B x x x -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}R6B x x =≤，所以R {2A B x x ⋂=<-或46}<≤x ，(2)11{4}216x aB x x x a -⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<=>+⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，由“x A ∈”是“x B ∈”的必要条件得B A ⊆ 所以44+≥a ，解得0a ≥．18．命题p ：22430x ax a -+->(0a >)，命题q :302x x -<-. (1)当1a =且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； (2)若p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围. 【答案】(1)(2,3) (2)[1,2]【分析】（1）结合已知条件分别化简命题p 和q ，然后由1a =且p q ∧为真即可求解；（2）结合（1）中结论分别求出p ⌝ 和q ⌝，然后利用充分不必要的概念即可求解. 【详解】(1)结合已知条件可知，22430()(3)03x ax a x a x a a x a -+->⇔--<⇔<<， 30(2)(3)0232x x x x x -<⇔--<⇔<<-，当1a =时，命题p ：13x <<，命题q ：23x <<，因为p q ∧为真，所以132323x x x <<⎧⇒<<⎨<<⎩，故求实数x 的取值范围为(2,3).(2)结合（1）中可知，命题p ⌝：x a ≤或3x a ≥，命题q ⌝：2x ≤或3x ≥，因为p ⌝ 是q ⌝的充分不必要条件，所以{|x x a ≤或3}x a ≥是{|2x x ≤或3}x ≥的真子集，从而0233a a <≤⎧⎨≥⎩且等号不同时成立，解得12a ≤≤，故实数a 的取值范围为[1,2].19．函数()2131log 1x x x f x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，＝，，()2g x x k x =-+-，若对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立.(1)求函数()g x 的最小值； (2)求k 的取值范围. 【答案】(1)|k －2| (2)79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭【分析】（1）根据绝对值的三角不等式，即可得答案.（2）分析可得求max min ()()f x g x ≤即可，根据()f x 解析式，作出图象，结合函数的性质，可得max ()f x ，所以可得|k －2|≥14，根据绝对值不等式的解法，即可得答案. 【详解】(1)因为g (x )＝|x －k |＋|x －2|≥|x －k －(x －2)|＝|k －2|，所以min ()2g x k =- (2)对任意的12,R x x ∈，都有()()12f x g x ≤成立，即max min ()()f x g x ≤ 观察f (x )＝2131log 1x x x x x ⎧-≤⎪⎨>⎪⎩＋，，的图象，结合函数性质可得，当x ＝12时，函数max 1()4f x = 所以|k －2|≥14，解得k ≤74或k ≥94.故实数k 的取值范围是79,,44⎛⎤⎡⎫-∞⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭20．低碳环保，新能源汽车逐渐走进千家万户.新能源汽车采用非常规的车用燃料作为动力来源，目前比较常见的主要有两种：混合动力汽车、纯电动汽车.为了提高生产质量，有关部门在国道上对某型号纯电动汽车进行测试，国道限速80km/h.经数次测试，得到纯电动汽车每小时耗电量Q （单位：wh ）与速度x （单位：km/h ）的数据如下表所示： x 0 10 40 60 Q132544007200为了描述该纯电动汽车国道上行驶时每小时耗电量Q 与速度x 的关系，现有以下三种函数模型供选择：①3211()40=++Q x x bx cx ；②22()10003⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭xQ x a ；③3()300log a Q x x b =+.(1)当080x ≤≤时，请选出你认为最符合表格中所列数据的函数模型（需说明理由），并求出相应的函数表达式；(2)现有一辆同型号纯电动汽车从A 地行驶到B 地，其中，国道上行驶30km ，高速上行驶200km.假设该电动汽车在国道和高速上均做匀速运动，国道上每小时的耗电量Q 与速度x 的关系满足（1）中的函数表达式；高速路上车速v （单位：km/h ）满足[80,120]v ∈，且每小时耗电量N （单位：wh ）与速度v （单位：km/h ）的关系满足()()221020080120N v v v v =-+≤≤.则当国道和高速上的车速分别为多少时，该车辆的总耗电量最少，最少总耗电量为多少？【答案】(1)选①，理由见解析；321()215040=-+Q x x x x (2)高速上的行驶速度为80km/h ，在国道上的行驶速度为40km/h ；33800wh【分析】（1）判断③、②不符合题意，故选①，再利用待定系数法求解即可．（2）根据已知条件，结合二次函数的性质，以及对勾函数的性质进行求解．【详解】(1)解：对于③3()300log a Q x x b =+，当0x =时，它无意义，故不符合题意，对于②，22()1000()3x Q x a =-+，()0220100003Q a ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，解得999a =-，则22()13x Q x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，当10x =时，()02121013Q ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，又100122033<⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝=⎭，所以()021210131Q ⎛⎫=- ⎪⎭<⎝，故不符合题意，故选①3211()40=++Q x x bx cx ，由表中数据，可得323211010101325401404040440040b c b c ⎧⨯+⨯+⨯=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯+⨯=⎪⎩，解得2150b c =-⎧⎨=⎩，321()215040Q x x x x ∴=-+． (2)解：高速上行驶200km ，所用时间为200h v，则所耗电量为2200200100()()(210200)400()2000f v N v v v v v v v=⋅=⋅-+=+-，由对勾函数的性质可知，()f v 在[80,120]上单调递增，min 100()(80)400(80)200030500wh 80f v f ∴==⨯+-=，国道上行驶30km ，所用时间为30h v，则所耗电量为322303013()()(2150)604500404g v Q v v v v v v v v =⋅=⋅-+=-+， 080v ≤≤，∴当40v =时，min ()(40)3300wh g x g ==，∴当这辆车在高速上的行驶速度为80km /h ，在国道上的行驶速度为40km/h 时，该车从A 地行驶到B 地的总耗电量最少，最少为30500330033800wh +=． 21．已知函数()ln af x x b x x=--. (1)若函数()f x 在1x =处的切线是10x y +-=，求a b +的值； (2)当1a =时，讨论函数()f x 的零点个数. 【答案】(1)4a b +=(2)当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2）由（1）知()1ln f x x b x x =--，求导()221x bx f x x -+'=，分类讨论22b -≤≤，2b <-和2b >时，利用导数研究函数的单调性，进而得出函数的零点.【详解】(1)∵切点()()1,1f 也在切线10x y +-=上，∴1110a -+-=，即1a =. 函数()ln a f x x b x x =--，求导()21a bf x x x'=+-，由题设知()111f a b =+-=-'，即3b =， ∴4a b +=.(2)当1a =时，()1ln f x x b x x =--，0x >求导()222111b x bx f x x x x -+'=+-=. ①当22b -≤≤时，二次函数210x bx -+≥恒成立，即()0f x '≥在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，又()10f =，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.②当2b <-时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=<，1210x x =>，即10x <，20x <，()0f x '>在()0,x ∈+∞上恒成立，()f x 在()0,∞+上单调递增，故()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点.③当2b >时，方程210x bx -+=有两个不同的根，设12,x x ，此时120x x b +=>，1210x x =>，即1201x x <<<，当10x x <<时，()0f x '>，()f x 在()10,x 上单调递增；当12x x x <<时，()0f x '<，()f x 在()12,x x 上单调递减；当2x x >时，()0f x '>，()f x 在()2,x +∞上单调递增. 又()()()1210f x f f x >=>，所以21111e ln e 0e ee e bb bb b bf b b ⎛⎫=--=-+< ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立，所以()f x 在()10,x 上有且只有1个零点.又()10f =，故()f x 在()12,x x 上有且只有1个零点.又()2111e e ln e e 0e e e b bb b b b b f b b f ⎛⎫=--=--=-> ⎪⎝⎭在()2,b ∈+∞上恒成立，故()f x 在()2,x +∞上有且只有1个零点.综上所述，当2b ≤时，()f x 在()0,∞+上有且只有1个零点，当2b >时，()f x 在()0,∞+上有3个零点.22．已知函数()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，其中R a ∈.(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； (2)设()()g x f x '=，求函数()g x 在区间[]1,2上的最小值 (3)若()f x 在区间[]1,2上的最大值为2ln21-，直接写出a 的值. 【答案】(1)0y = (2)详见解析 (3)ln 2【分析】（1）求导求切线方程；（2）求导，含参讨论求最值；（3）求导判断单调性验证成立即可【详解】(1)()()2ln 211f x x ax a x a =+-+++，则()10f =()()1221f x ax a x'=+-+，则()10k f '== 则曲线()y f x =在点()1,0处的切线方程为0y = (2)()()1()221g x f x ax a x'==+-+，[]1,2x ∈ 则222121()2ax g x a x x-'=-+=，[]1,2x ∈ ①当0a ≤时，2221()0ax g x x -'=<，则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为()11(2)421222g a a a =+-+=-②当108a <≤时，由[]1,2x ∈，可得2281ax a ≤≤，则2221()0ax g x x-'=≤ 则()g x 在[]1,2上单调递减，()g x 在[]1,2上的最小值为1(2)22g a =-③当1182a <<时，222221()a x x ax g x x x ⎛ -⎝⎭⎝⎭'==，[]1,2x ∈当1x ≤<()0g x '<，()g x 单调递减；2x ≤时，()0g x '>，()g x 单调递增则当x =()g x取最小值()2211)1g a a =+=- ④当12a ≥时，由[]1,2x ∈，可得2221ax a ≥≥，则2221()0ax g x x -'=≥则()g x 在[]1,2上单调递增，()g x 在[]1,2上的最小值为(1)0g = (3)ln 2a =，理由如下：此时，函数()()2ln 211ln 2ln 2ln 2f x x x x =+-+++，[]1,2x ∈则()()()ln 21(1)ln 2ln 221221x f x x x xx '-+--=+= 由[]1,2x ∈，可得ln 2ln 2ln 4122x ≥=>，10x -≥，0x > 则()()ln 21(120)x f x x x--'=≥，则()f x 在[]1,2单调递增.则()f x 在[]1,2上的最大值为()()ln 2ln 2ln 2ln 212ln2422112f =-+++=-+。

河南省洛阳市第一高级中学高三周练(数学)

高三数学测试题洛阳市第一高级中学命题人：张清献1．复数111i z i i=+-+，则z = A ．i B ．-i C ．1+i D ．1-i2．设随机变量()2~1,5X N ，且()()02P X P X a ≤=>-，则实数a 的值为A ． 4B ． 6C ． 8D ．103．已知命题1:R p x ∃∈，使得210x x ++<；2:[1,2]p x ∀∈，使得210x -≥．以下命题为真命题的为A ．12p p ⌝∧⌝B ．12p p ∨⌝C ．12p p ⌝∧D ．12p p ∧ 4．已知函数()x x x f 2cos 2sin 3+=，下面结论错误．．的是 A ．函数()x f 的最小正常周期为π B ．函数()x f 可由()x x g 2sin 2=向左平移6π个单位得到 C ．函数()x f 的图象关于直线6π=x 对称 D ．函数()x f 在区间[0，6π]上是增函数5．图示是计算1+31+51+…+291值的程序框图，则图中(1)、(2)处应填写的语句分别是A ．15,1=+=i n n ?B ．15,1〉+=i n n ?C ．15,2=+=i n n ?D ．15,2〉+=i n n ?6、在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的右顶点为A ，上顶点为B ，M 为线段AB 的中点，若30oMOA ∠=，则该椭圆的离心率的值为33.A 36.B 32.C 66.D7．函数()x f 满足()00=f ，其导函数()x f '的图象如下图，则()x f 的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为A ．31 B ．34 C ．2 D ．388．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．364B ．32C ．380 D ．38+289．已知函数f (x )＝|lg (x －1)|－(13)x 有两个零点x 1，x 2，则有A ．x 1x 2<1B ．x 1x 2<x 1＋x 2C ．x 1x 2＝x 1＋x 2D ．x 1x 2>x 1＋x 210. 函数c o s ()(0,0)y x ωϕωϕπ=+><<为奇函数，该函数的部分图像如图所示，A 、B 分别为最高点与最低点，且||AB=，则该函数图象的一条对称轴为A.2π=xB.2π=x C.2x = D.1x =11、若函数12()1sin [,](0)[,]21x xf x x k k k n m m n +=++->++在区间上的值域为，则等于 A ．0B ．1C ．2D ．412．在A B C ∆中，O A BC AC ,51cos ,7,6===是ABC ∆的内心，若OP =y x +，其中10≤≤x ，10≤≤y ，动点P 的轨迹所覆盖的面积为 A ．6310 B ．635 C ．310 D ．320二.填空题13．若棱长均为2的正三棱柱内接于一个球，则该球的半径为___________. 14．若2d a x x =⎰，则在25(3x 的二项展开式中，常数项为．15．在全运会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有． 16．过点)2,2(p M -作抛物线)0(22>=p py x 的两条切线，切点分别为A 、B ，若线段AB 中点的纵坐标为6，则抛物线的方程为．答题卷一)选择题姓名______________13）__________________ 14）_____________________ 15）__________________ 16）_____________________三.解答题17．(本小题满分10分)选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，Ox 轴为极轴建立极坐标系，曲线C 1的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.tan 1;tan 12ϕϕy x （ϕ为参数），曲线C 2的极坐标方程为：1)sin (cos =+θθρ，若曲线C 1与C 2相交于A 、B 两点． (I)求|AB|的值； (Ⅱ)求点M(-1，2)到A 、B 两点的距离之积．18．(本小题满分12分)已知各项均不相等的等差数列{a n }的前四项和S 4＝14，且a 1，a 3，a 7成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n 为数列{1a n a n ＋1}的前n 项和，若T n ≤λa n ＋1对∀n ∈N *恒成立，求实数λ的最小值．19．(本小题满分l2分)如图，在多面体ABCDEF中，ABCD为菱形，∠ABC=60 ，EC⊥面ABCD，FA⊥面ABCD，G为BF的中点，若EG//面ABCD．(I)求证：EG⊥面ABF；(II)(Ⅱ)若AF=AB，求二面角B—EF—D的余弦值．20. (本小题满分12分)某公司向市场投放三种新型产品，经调查发现第一种产品受欢迎的概率为45，第二、第三种产品受欢迎的概率分别为p，q(p＞q)，且不同种产品是否受欢迎相互独立。

2022年河南省洛阳市第一中学高三下学期一模考试数学试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。

3．考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若23455012345(21)(21)(21)(21)(21)a a x a x a x a x a x x +-+-+-+-+-=，则2a 的值为（）A ．54B ．58C ．516D ．5322．已知向量a ，b 夹角为30，()1,2a =，2b = ，则2a b -=( )A ．2B ．4C ．D ．3．已知1F 、2F 分别为双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，过1F 的直线l 交C 于A 、B 两点，O为坐标原点，若1OA BF ⊥，22||||AF BF =，则C 的离心率为（）A ．2B CD 4．已知函数()ln f x x =，()()23g x m x n =++，若()0,x ∀∈+∞总有()()f x g x ≤恒成立.记()23m n +的最小值为(),F m n ，则(),F m n 的最大值为（） A ．1B ．1eC ．21e D ．31e 5．定义在R 上的函数()f x 满足()()2log 10()50x x f x f x x ⎧-≤⎪=⎨->⎪⎩，则()2019f =（）A ．-1B ．0C ．1D ．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()0,2A -，()1,0N ，若动点M 满足MA MO= ，则·OM ON 的取值范围是（）A ．[]0,2B ．0,⎡⎣C ．[]22-,D ．-⎡⎣7．某市政府决定派遣8名干部（5男3女）分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求每组至少3人，且女干部不能单独成组，则不同的派遣方案共有（）种A ．240B ．320C ．180D ．1208．在ABC ∆中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM AB AC λμ=+，则λμ+等于（）A ．12B ．23C ．16D ．139．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A ．48122+B ．60122+C ．72122+D ．8410．某部队在一次军演中要先后执行六项不同的任务，要求是：任务A 必须排在前三项执行，且执行任务A 之后需立即执行任务E ，任务B 、任务C 不能相邻，则不同的执行方案共有（） A ．36种B ．44种C ．48种D ．54种11．已知定义在[)1,+∞上的函数()f x 满足()()33f x f x =，且当13x ≤≤时，()12f x x =--，则方程()()2019f x f =的最小实根的值为（）A ．168B ．249C ．411D ．56112．复数z 满足()11i z i +=-，则z =（）A ．1i -B ．1i +C 22-D 22二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河南省洛阳市第一高级中学高三数学周练试题理 (无答案) 新人教A版

洛阳市第一高级中学高三周练数学（理）试题一、选择题 1、i= ( ) A、14 B、14 C、12+ D、12 2、已知某个几何体的三视图如下图，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的体积是（） A3 B ．32cm 3Ccm3D ．2 cm33、在等差数列}{n a 中，)(3)(2119741a a a a a ++++=24，则前13项之和等于（）A ．13B ．26C 52D ．1564、若4cos 5α=-，α是第三象限的角，则1tan 21tan2αα+=- ( )(A) 12-(B) 12(C) 2 (D) -25、若将函数)(x f y =的图象按向量a 平移，使图上点P 的坐标由（1，0）变为（2，2），则平移后图象的解析式为（） A ．2)1(-+=x f y B ．2)1(--=x f yC ．2)1(+-=x f yD ．2)1(++=x f y6、由,,033x x y ππ=-==与曲线cos y x =所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12B.1C. 27．如图,若程序框图输出的S 是126,则判断框①中应为（） A ．?5≤nB ．?6≤nC ．?7≤nD ．?8≤n8、将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1， 2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ( )（A ）12种（B ）18种（C ）36种（D ）54种 9、下列命题中正确的命题个数是 ( )①. 如果c b a ,,共面，d c b ,,也共面,则d c b a ,,,共面; ②.已知直线a 的方向向量a 与平面α，若a //α，则直线a //α;③若P M A B 、、、共面，则存在唯一实数,x y 使MP xMA yMB =+,反之也成立;④.对空间任意点O 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP =x OA +y OB +z OC （其中x 、y 、z ∈R ），则P 、A 、B 、C 四点共面A.3B.2C.1D.0 10、设偶函数()f x 满足3()8(0)f x x x =-≥，则{|(2)0}x f x ->= ( ) (A) {|24}x x x <->或 (B) {|04}x x x <>或 (C) {|06}x x x <>或 (D) {|22}x x x <->或11．已知点()1,0A -、()1,0B ，()00,P x y 是直线2y x =+上任意一点，以A 、B 为焦点的椭圆过点P ．记椭圆离心率e 关于0x 的函数为()0e x ，那么下列结论正确的是（） A ．e 与0x 一一对应 B ．函数()0e x 是增函数C ．函数()0e x 无最小值，有最大值D ．函数()0e x 有最小值，无最大值12、已知函数|lg |,010,()16,10.2x x f x x x <≤⎧⎪=⎨-+>⎪⎩若,,a b c 互不相等，且()()(),f a f b f c ==则abc 的取值范围是(A) (1,10) (B) (5,6) (C) (10,12) (D) (20,24) (D) (20,24)答题卷姓名班级二填空题13、若9()a x x-的展开式中3x 的系数是84-，则a = ．14.如图，矩形OABC 内的阴影部分是由曲线()()()sin 0,f x x x π=∈及直线()()0,x a a π=∈与x 轴围成，向矩形OABC 内随机投掷一点，若落在阴影部分的概率为14，则a 的值是 . 15、设,x y 满足约束条件2208400 , 0x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩，若目标函数()0,0z abx y a b =+>>的最大值为8，则a b +的最小值为____________________。

河南省洛阳市新安县第一高级中学2022届高三高考考前模拟数学理科试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题1. 将向量绕坐标原点O顺时针旋转得到，则（）A ．0B．C ．2D．2. 从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A．B．C．D ．3. 设，，，则（）A．B．C．D．4.若的展开式中的系数为（）A ．36B ．-144C ．60D ．-605. 在平面直角坐标系中，设，向量，则的最小值为（）A ．1B ．2C．D．6. 若复数z 满足（为虚数单位），则（）A ．2B．C ．2D ．47.命题，则命题p 的否定是（）A．B．C．D．8.已知椭圆，点C 在椭圆上，以C 为圆心的圆与y 轴相切于椭圆的上焦点，若圆C 与x 轴相交于M ，N两点，且为直角三角形，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．9. 投掷一枚均匀的骰子8次，记录每次骰子出现的点数．根据统计结果，可以判断一定出现点数6的是（）A ．第25百分位数为2，极差为4B ．平均数为，第75百分位数为C ．平均数为3，方差为3D ．众数为4，平均数为10. 已知实数，下列结论正确的是（）A ．若，，则B．若，，则的最小值为4C ．若且，则D ．若，则的最小值为11.已知函数，则（）A．函数的最小正周期为πB．函数的图像关于点中心对称C．函数在定义域上单调递增D ．若，则河南省洛阳市新安县第一高级中学2022届高三高考考前模拟数学理科试题(高频考点版)河南省洛阳市新安县第一高级中学2022届高三高考考前模拟数学理科试题(高频考点版)三、填空题四、解答题12. 出现于春秋时期的正整数乘法歌诀“九九歌”，堪称是先进的十进位记数法与简明的中国语言文字相结合之结晶，这是任何其它记数法和语言文字所无法产生的.表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，如四位十进制数；当前的计算机系统使用的基本上是二进制系统.二进制数据是用0和1两个数码来表示的数.它的基数为2，进位规则是“逢二进一”，借位规则是“借一当二”，由18世纪德国数学家莱布尼兹第一个提出了二进制记数法.如四位二进制的数，等于十进制的数13.现把位进制中的最大数记为，其中为十进制的数，则下列结论中正确的是（）A．B．C．D．13. 已知双曲线的中心为坐标原点，焦点在x轴上，其一条渐近线的方程为，且过点，则该双曲线的方程为___________.14. 已知的重心为，若，则_______．15. 甲､乙两人下中国象棋，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则甲获胜的概率是__________.16. 设椭圆C ：过点（0，4），离心率为.（1）求C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C 所截线段的中点坐标．17. 猜灯谜，是我国独有的民俗文娱活动，是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五传统民间都要把谜语写在纸条上并贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中，若甲､乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为，乙同学猜对每个灯谜的概率为.假设甲､乙猜对每个灯谜都是等可能的，试求：(1)甲､乙任选1个独立竞猜，求甲､乙恰有一人猜对的概率；(2)活动规定：若某人任选2个进行有奖竞猜，都猜对则可以在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是；没有都猜对则在箱中参加抽取新春大礼包的活动，中奖概率是，求甲同学抽中新春大礼包的概率；(3)甲､乙各任选2个独立竞猜，设甲､乙猜对灯谜的个数之和为，求的分布列与数学期望.18. 某农业大学的学生利用专业技能指导葡萄种植大户，对葡萄实施科学化､精细化管理，使得葡萄产量有较大提高.葡萄采摘后去掉残次品后，随机按每10串装箱，现从中随机抽取5箱，称得每串葡萄的质量（单位：），将称量结果分成5组：，并绘制出如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值，并估计这批葡萄每串葡萄质量的平均值（残次品除外，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值代表）；(2)若这批葡萄每串葡萄的质量X 服从正态分布，其中的近似值为每串葡萄质量的平均值，请估计10000箱葡萄中质量位于内葡萄的串数；(3)规定这批葡萄中一串葡萄的质量超过的为优等品，视频率为概率，随机打开一箱，记优等品的串数为，求的数学期望.附：若随机变量，则.19. 已知数列为公差大于0的等差数列，，且，，成等比数列.(1)求数列的通项公式；(2)设，数列的前n项和为，若，求m的值.20. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，，的角平分线交于点．(1)求B；(2)若，求的周长．21. 已知等比数列的前项和为，给出条件：①；②，且．若___________________，请在这两个条件中选一个填入上面的横线上并解答.（1）求的值及数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．。

洛阳市第一高级中学高三理科数学模拟试卷.docx

高中数学学习材料鼎尚图文*整理制作洛阳市第一高级中学高三理科数学模拟试卷组题人：王玮琪审题人：李桂芳一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（王玮琪供题）1.已知复数312(2i z i i+=-为虚数单位),则||z = 35. .1 . .253A B C D 2.设21:()1,:log 02xp q x <<,则p 是q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.执行如下程序框图,则输出结果为 .5 .4 .3 .2A B C D4.已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，③cos y x x =⋅，④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是.A ①④②③.B ①④③② .C ④①②③ .D ③④②①5.已知43sin()sin ,0352ππααα++=--<<，则2cos()3πα+等于 4343. . . .5555A B C D --6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 4575. . . .3233A B C D7.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过2F 作双曲线的渐近线的垂线，垂足为P ,则2212||||PF PF -= 222222.4 .4 .3 .3A a B b C a b D a b ++8.已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是57.. . .266A B C D ππππ 9.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是.A 若//,m n ααβ=，则//m n .B 若,m m n α⊥⊥，则//n α.C 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ .D 若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥10.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，22212b ac -=，则tan C = 11.2 . 2 . .22A B C D --11.设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上不同的三点，0FA FB FC ++=，O 为坐标原点，且OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，则222123++=S S S .2 .3 .6 .9A B C D 12.如果函数()f x 在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<，满足1()()'()f b f a f x b a-=-，2()()'()f b f a f x b a-=-，则称函数()f x 是区间[,]a b 上的“双中值函数”.已知函数32()f x x x a =-+是区间[0,]a 上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是 11311.(,) .(,3) .(,1) .(,1)32223A B C D二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.（王玮琪供题）13.设,x y 满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的取值范围为_______.14.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为_______.15.如图，直角梯形ABCD 中，o//,90,4AB CD DAB AD AB ∠===，1CD =，动点P 在边BC 上，且满足(,AP mAB nAD m n =+均为正实数)，则11m n+的最小值为_______．16.已知函数3,[0,1]()93,(1,3]22x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当[0,1]t ∈时，(())[0,1]f f t ∈，则实数t 的取值范围是_____．三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) （段俊霞供题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈.(1)证明数列{}2nnS 为等差数列； (2)求12...n S S S +++. 18.(本小题满分12分) (孟应兵供题)如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边4AB =，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图(2)）． (1)求证：PB DE ⊥；(2)若PE BE ⊥，直线PD 与平面PBC 所成的角为o30，求PE 长．19.(本小题满分12分)(秦文春供题) 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”(1)根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男 15 女 45 合计(2)将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P k k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82820.(本小题满分12分)（李桂芳供题）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)(04)F x y r r -+=-<<，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点,A B 满足：0MA MB =．(1)求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM ∆面积S 的最大值． 21. (本小题满分12分)(王玮琪供题)设函数(),ln bxf x ax e x=-为自然对数的底数. (1)若曲线()y f x =在点 22(,())e f e 处的切线方程为2340x y e +-=，求实数,a b 的值； (2)当1b =时，若存在 212,[,]x x e e ∈，使12()'()f x f x a ≤+成立，求实数a 的最小值.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F .(1)证明：,,,C E F D 四点共圆；(2)若D 为BC 的中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长. 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0απ<<)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>- (1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||OA OB +的值. 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()||,0f x x a a =-<．(1)证明:1()()2f x f x +-≥；(2)若不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围．洛阳一高第二次综合模拟理科数学参考答案一、选择题123456789101112BB B AC A AD C A B C二、填空题13. [3,3]- 14.15 15.734+ 16. 37[log ,1]3三、解答题17.(1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=， …2分整理得11122n nn n S S ++-=， …4分所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. …5分 (2) 由(1)可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅， …6分令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅① …7分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ② …9分①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅， …11分整理得12(1)2n n T n +=+-⋅.…12分18.(1) ,,DE AB DE PE DE EB ⊥∴⊥⊥. …2分又,PEBE E DE =∴⊥平面PEB . …4分PB ⊂平面PEB ，PB DE ∴⊥. …5分(2)由(1)知,DE PE DE EB ⊥⊥，且PE BE ⊥，所以,,DE BE PE 两两垂直.分别以,,ED EB EP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系. …6分设||PE a =，则(0,4,0)B a -，(,0,0)D a ，(2,2,0)C a -，(0,0,)P a ，可得(0,4,),(2,2,0)PB a a BC =--=-. …7分设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以(4)0220a y az x y --=⎧⎨-=⎩，取4(1,1,)a n a -=. …9分直线PD 与平面PBC 所成的角为o30,且(,0,)PD a a =-，o 222(4)1sin 30|cos ,|||2(4)22a a PD n a a a --∴=<>==-⨯+. …11分解之得45a =，或4a =（舍去）. 所以PE 的长为45. …12分19.(1)完成下面的2×2列联表如下非读书迷读书迷合计男 40 15 55 女 20 25 45 合计6040100…3分22100(40251520)8.24960405545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.8.249 6.635>,∴有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. …6分(2)视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为25．由题意可知2(3,)5X B ,3322()()(1)(0,1,2,3)55ii i P X i C i -==⨯⨯-=. …8分从而分布列为X 0 1 2 3P27125 54125 36125 8125…10分615(),()(1)528E X np D X np p ===-=. …12分20.(1)设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,3a c ==．所以曲线C 的方程是：2214x y +=．(2)证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N - 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，(有公因式m －1)继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =(舍)，综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．证法二：(先猜后证)由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ；取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -(只要猜出定点的坐标给2分) 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点A B 、的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--=122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④，所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++ (3)ABM △面积MNA MNB S S S =+△△＝1212MN x x -＝212124()45x x x x +-⋅ 由第(2)小题的③④代入，整理得：22322542514k S k +=⋅+ 因N 在椭圆内部，所以k R ∈，可设22542t k =+≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425．21.(1)由已知得0,1x x >≠，()2(ln 1)()ln b x f x a x -'=-.则()222222be e f e ae =-=-且()2344b f e a '=-=-，解之得1,1a b ==. (2)当1b =时，()2ln 1()ln x f x a x -'=-=2211111ln ln ln 24a a x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以当211ln 2x e x =⇒=时，()max 14f x a '=-. 而命题“若存在 212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使12()'()f x f x a ≤+成立”等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+”.又当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，()max 14f x a '=-，所以()max 14f x a '+=. 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()min 14f x ≤” ① 当14a ≥时，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，则()()222min 124e f x f e ae ==-≤，故21124a e ≥-. ② 当14a <时，由于()2111ln 24f x a x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.当00a a -≥⇒≤时，()0f x '≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min 14f x f e e ae ==->，不合题意. 当0a -<即104a <<时，由()f x '的单调性和值域知，存在唯一()20,x e e ∈使 ()0f x '=，且满足：当()0,x e x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当()20,x x e ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以()()000min 01ln 4x f x f x ax x ==-≤，()20,x e e ∈. 所以2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾. 综上得a 的最小值为21124e -. 22.(1)连,EF BE ，则ABE AFE ∠=∠.AB 是圆的直径，AE BE ∴⊥.又AB BC ⊥，,ABE C AFE C ∴∠=∠∴∠=∠，即EFD C π∠+∠=，所以,,,C E F D 四点共圆. 5分 (2)AB BC ⊥，AB 是圆的直径，BC ∴是圆的切线，24,2DB DF DA BD =⨯==，所以23AB =.因为D 是BC 的中点，所以4BC =，224(23)27AC =+=. 8分由2CB CE CA =⨯得871627,7CE CE =⨯=，677AE AC CE =-=. 10分23.(1)由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩得①当2πα=时，直线l 为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=. 1分 ②当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=.0απ<<,l ∴的极坐标方程为θα=和θπα=+.综上，l 的极坐标方程为θα=和(0)θπααπ=+<<.也可以写成()R θαρ=∈. 3分由(0)1cos p p ρθ=>-得cos p ρρθ-=. 222,cos x y x ρρθ=+=,222()x y x ρ∴+=+,整理得22()2p y p x =+. 5分 (2)设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩得，11cos p ρα=-，即||1cos p OA α=-， 7分由1cos p θπαρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩得，21cos p ρα=+，即||1cos p OB α=+， 9分 111cos 1cos 2||||OA OB p p pαα-+∴+=+=. 10分 24. (1)证明：函数f （x ）=|x ﹣a|，a ＜0，则f （x ）+f （﹣）=|x ﹣a|+|﹣﹣a|=|x ﹣a|+|+a|≥|（x ﹣a ）+（+a ）| =|x+|=|x|+≥2=2． ……………5分(2)f （x ）+f （2x ）=|x ﹣a|+|2x ﹣a|，a ＜0．当x≤a 时，f （x ）=a ﹣x+a ﹣2x=2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ；当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a+a ﹣2x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ；当x 时，f （x ）=x ﹣a+2x ﹣a=3x ﹣2a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞）. 不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a ＞﹣1，由于a ＜0，则a 的取值范围是（﹣1，0）． ……………10分。

河南省洛阳市第一高级中学高三数学周练题理(无答案) 新人教A版

高三周练数学（理）试题一、选择题(本题共12道小题,每题5分,满分60分) 1.已知集合{}22|4A x x y =+=，集合{}|sin ,B x x i tdt i x R π=+<∈⎰为虚数单位，集合A 与B 的关系是（） A. A B ⊂B.B A ⊂C. AB A =D. A B =∅2.已知点(,)P x y 在直线23x y +=上移动，当24xy+取得最小值时，过点(,)P x y 引圆22111()()242x y -++=的切线，则此切线段的长度为（）A.2B.32C.12D.23.如果执行右面的框图，输入N=6，则输出的数等于（）A.65 B.56C. 76D.674.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 满足对任意的实数21x x ≠都有0)()(2121<--x x x f x f 成立，则实数a 的取值范围为（） A. (),2-∞B. ]813,(-∞C. (],2-∞D. )2,813[5.在正方体1111D C B A ABCD -的侧面11A ABB 内有一动点P 到直线11B A 与直线BC 的距离相等,则动点P 所在的曲线的形状为（）6.已知ABC ∆的三边c b a ,,成等比数列，c b a ,,所对的角依次为C B A ,,，则B B cos sin +的取值范围是（） A. ]231,1(+B. ]231,21[+C. ]2,1(D. ]2,21[7.已知函数()y f x =的定义域为R ，当0<x 时，()1f x >，且对任意的,x y ∈R ，等式()()()f x f y f x y =+成立。

若数列{}n a 满足1(0)a f =，且11()(2)n n f a f a +=--)(*∈N n ，则2011a 的值为（）A. 4021B. 4020C. 4018D. 40198.函数x x x y cos sin cos 23-+=的最大值等于（） A.B.C.D.9.一个盒子中装有4张卡片，上面分别写着如下四个定义域为R 的函数：31234(),()||,()sin ,()cos f x x f x x f x x f x x ====现从盒子中任取2张卡片，将卡片上的函数相乘得到一个新函数，所得函数为奇函数的概率是（） A.16B.13C.23D.5610.若函数)1,0( )(log )(3≠>-=a a ax x x f a 在区间)0,21(-内单调递增，则a 的取值范围是（） A. )1,41[B. )1,43[C. ),49(+∞D. )49,1(11.给定两个平面向量OA 和OB ，它们的夹角为120︒，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，且OC xOA yOB =+（其中,x y R ∈），则满足x y +≥的概率为（）1B. 34C.4πD.3π 12.已知抛物线2y =4x ，过其焦点F 作倾斜角为60°的直线l 交抛物线于A ，B 两点，以AB 为直径做⊙O ′，则在⊙O ′内经过F 点的最短弦长为（）A. 2B. 32C. 8D. 338班级姓名分数二、填空题(本题共4道小题,每题5分,满分20分) 13.已知函数()f x 2143ln 2x x x =-+-在[],1t t +上不单调，则t 的取值范围是________。

河南省洛阳市第一高级中学2022届高三数学终极猜题卷全国卷(理)试题(高频考点版)

一、单选题二、多选题三、填空题四、解答题1. 下列函数中，偶函数的个数有（）（1）；（2）；（3）A ．0B ．1C ．2D ．32. 函数，已知，则实数a 的取值范围是（）A．B．C．D．3. 若一个圆柱的母线长等于其底面圆的直径，且该圆柱的体积为16π，则该圆柱的母线长是（）A ．4B ．3C ．2D ．14. 直线与直线相交于点P ，对任意实数m ，直线,分别恒过定点A ，B，则的最大值为( )A ．4B ．8C．D．5. 已知复数满足：，则（）A ．1B．C．D ．56. 已知集合，若下列三个关系有且只有一个正确：①；②；③，则（）A ．2B ．3C ．5D ．87. 下列与412°角的终边相同的角是（）A ．-308°B ．52°C ．778°D ．1440°8. 已知直线，则下列说法正确的是（）A ．直线与直线l 相互平行B ．直线与直线l 相互垂直C ．直线与直线l 相交D ．点到直线l的距离为9. 已知点是直线上一动点，是以点为圆心的圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，则的值为__________．10. 已知，则的值为_________.11. 平面向量，，满足，，则的最大值为__________.12. 有一批材料可以建成200m 长的围墙，若用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形的地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（墙的长度足够用），则围成的整个矩形场地的最大面积是_______________.13. 计算化简：(1)(2)河南省洛阳市第一高级中学2022届高三数学终极猜题卷全国卷（理）试题(高频考点版)河南省洛阳市第一高级中学2022届高三数学终极猜题卷全国卷（理）试题(高频考点版)(3)；14. 如图，在以为顶点，母线长为的圆锥中，底面圆的直径长为2，是圆所在平面内一点，且是圆的切线，连接交圆于点，连接、．(1)求证：平面平面．(2)当二面角的大小为时，求四棱锥的体积．15. 设全集，集合，．(1)若，求，；(2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．16. （1）已知，求在，上的值域；（2）已知是一次函数，且满足，求的值域及单调区间．。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

高中数学学习材料（灿若寒星精心整理制作）洛阳市第一高级中学高三理科数学模拟试卷组题人：王玮琪审题人：李桂芳一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.（王玮琪供题）1.已知复数312(2i z i i+=-为虚数单位),则||z = 35. .1 . .253A B C D 2.设21:()1,:log 02xp q x <<,则p 是q 的.A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件3.执行如下程序框图,则输出结果为 .5 .4 .3 .2A B C D4.已知函数①sin ,y x x =⋅②cos y x x =⋅，③cos y x x =⋅，④2xy x =⋅的部分图象如下，但顺序被打乱，则按照图象从左到右的顺序，对应的函数序号正确的一组是.A ①④②③.B ①④③② .C ④①②③ .D ③④②①5.已知43sin()sin ,0352ππααα++=--<<，则2cos()3πα+等于 4343. . . .5555A B C D --6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 4575. . . .3233A B C D7.已知12,F F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点,过2F 作双曲线的渐近线的垂线，垂足为P ,则2212||||PF PF -= 222222.4 .4 .3 .3A a B b C a b D a b ++8.已知函数2sin y x =的定义域为[,]a b ,值域为[2,1]-，则b a -的值不可能是57.. . .266A B C D ππππ 9.已知,αβ是两个不同的平面，,m n 是两条不重合的直线，则下列命题中正确的是.A 若//,m n ααβ=，则//m n .B 若,m m n α⊥⊥，则//n α.C 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥ .D 若αβ⊥，n αβ=，m n ⊥，则m β⊥10.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，4A π=，22212b ac -=，则tan C = 11.2 . 2 . .22A B C D --11.设F 为抛物线24y x =的焦点，,,A B C 为该抛物线上不同的三点，0FA FB FC ++=，O 为坐标原点，且OFA OFB OFC ∆∆∆、、的面积分别为123S S S 、、，则222123++=S S S .2 .3 .6 .9A B C D 12.如果函数()f x 在区间[,]a b 上存在1212,()x x a x x b <<<，满足1()()'()f b f a f x b a-=-，2()()'()f b f a f x b a-=-，则称函数()f x 是区间[,]a b 上的“双中值函数”.已知函数32()f x x x a =-+是区间[0,]a 上的“双中值函数”，则实数a 的取值范围是 11311.(,) .(,3) .(,1) .(,1)32223A B C D二、填空题:本题共4个小题，每小题5分，共20分.（王玮琪供题）13.设,x y 满足约束条件,013x y x y x y ≥⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，则2z x y =-的取值范围为_______.14.安排甲、乙、丙、丁四人参加周一至周六的公益活动，每天只需一人参加，其中甲参加三天活动，乙、丙、丁每人参加一天，那么甲连续三天参加活动的概率为_______.15.如图，直角梯形ABCD 中，o//,90,4AB CD DAB AD AB ∠===，1CD =，动点P 在边BC 上，且满足(,AP mAB nAD m n =+均为正实数)，则11m n+的最小值为_______．16.已知函数3,[0,1]()93,(1,3]22x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈⎪⎩，当[0,1]t ∈时，(())[0,1]f f t ∈，则实数t 的取值范围是_____．三、解答题:本大题共6个小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分) （段俊霞供题）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，且满足112n n n a S ++=+*()n N ∈.(1)证明数列{}2nnS 为等差数列； (2)求12...n S S S +++. 18.(本小题满分12分) (孟应兵供题)如图(1)，等腰直角三角形ABC 的底边4AB =，点D 在线段AC 上，DE AB ⊥于E ，现将ADE ∆沿DE 折起到PDE ∆的位置（如图(2)）． (1)求证：PB DE ⊥；(2)若PE BE ⊥，直线PD 与平面PBC 所成的角为o30，求PE 长．19.(本小题满分12分)(秦文春供题) 4月23日是“世界读书日”，某中学在此期间开展了一系列的读书教育活动，为了解本校学生课外阅读情况，学校随机抽取了100名学生对其课外阅读时间进行调查，下面是根据调查结果绘制的学生日均课外阅读时间（单位：分钟）的频率分布直方图，若将日均课外阅读时间不低于60分钟的学生称为“读书谜”，低于60分钟的学生称为“非读书谜”(1)根据已知条件完成下面2×2的列联表，并据此判断是否有99%的把握认为“读书谜”与性别有关？非读书迷读书迷合计男 15 女 45 合计(2)将频率视为概率，现在从该校大量学生中，用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次，记被抽取的3人中的“读书谜”的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列，期望()E X 和方差()D X .附：22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++. 20()P k k ≥0.100 0.050 0.025 0.010 0.0010k2.7063.841 5.024 6.635 10.82820.(本小题满分12分)（李桂芳供题）已知两动圆2221:(3)F x y r ++=和2222:(3)(4)(04)F x y r r -+=-<<，把它们的公共点的轨迹记为曲线C ，若曲线C 与y 轴的正半轴的交点为M ，且曲线C 上的相异两点,A B 满足：0MA MB =．(1)求曲线C 的方程；(2)证明直线AB 恒经过一定点，并求此定点的坐标； (3)求ABM ∆面积S 的最大值． 21. (本小题满分12分)(王玮琪供题)设函数(),ln bxf x ax e x=-为自然对数的底数. (1)若曲线()y f x =在点 22(,())e f e 处的切线方程为2340x y e +-=，求实数,a b 的值； (2)当1b =时，若存在 212,[,]x x e e ∈，使12()'()f x f x a ≤+成立，求实数a 的最小值.请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，在直角ABC ∆中，AB BC ⊥，D 为BC 边上异于,B C 的一点，以AB 为直径作圆O ，并分别交,AC AD 于点,E F .(1)证明：,,,C E F D 四点共圆；(2)若D 为BC 的中点，且3,1AF FD ==，求AE 的长. 23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为cos (sin x t t y t αα=⎧⎨=⎩为参数，0απ<<)，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为(0)1cos pp ρθ=>- (1)写出直线l 的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求11||||OA OB +的值. 24.(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲设函数()||,0f x x a a =-<．(1)证明:1()()2f x f x +-≥；(2)若不等式1()(2)2f x f x +<的解集非空，求a 的取值范围．洛阳一高第二次综合模拟理科数学参考答案一、选择题123456789101112BB B AC A AD C A B C二、填空题13. [3,3]- 14.15 15.734+ 16. 37[log ,1]3三、解答题17.(1) 证明：由条件可知，112n n n n S S S ++-=+，即1122n n n S S ++-=， …2分整理得11122n nn n S S ++-=， …4分所以数列{}2nn S 是以1为首项，1为公差的等差数列. …5分 (2) 由(1)可知，112nn S n n =+-=，即2n n S n =⋅， …6分令12n n T S S S =+++212222n n T n =⋅+⋅++⋅① …7分21212(1)22n n n T n n += ⋅++-⋅+⋅ ② …9分①-②，212222n n n T n +-=+++-⋅， …11分整理得12(1)2n n T n +=+-⋅.…12分18.(1) ,,DE AB DE PE DE EB ⊥∴⊥⊥. …2分又,PEBE E DE =∴⊥平面PEB . …4分PB ⊂平面PEB ，PB DE ∴⊥. …5分(2)由(1)知,DE PE DE EB ⊥⊥，且PE BE ⊥，所以,,DE BE PE 两两垂直.分别以,,ED EB EP 的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系. …6分设||PE a =，则(0,4,0)B a -，(,0,0)D a ，(2,2,0)C a -，(0,0,)P a ，可得(0,4,),(2,2,0)PB a a BC =--=-. …7分设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =，则0n PB n BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以(4)0220a y az x y --=⎧⎨-=⎩，取4(1,1,)a n a -=. …9分直线PD 与平面PBC 所成的角为o30,且(,0,)PD a a =-，o 222(4)1sin 30|cos ,|||2(4)22a a PD n a a a --∴=<>==-⨯+. …11分解之得45a =，或4a =（舍去）. 所以PE 的长为45. …12分19.(1)完成下面的2×2列联表如下非读书迷读书迷合计男 40 15 55 女 20 25 45 合计6040100…3分22100(40251520)8.24960405545K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.8.249 6.635>,∴有99%的把握认为“读书迷”与性别有关. …6分(2)视频率为概率．则从该校学生中任意抽取1名学生恰为读书迷的概率为25．由题意可知2(3,)5X B ,3322()()(1)(0,1,2,3)55ii i P X i C i -==⨯⨯-=. …8分从而分布列为X 0 1 2 3P27125 54125 36125 8125…10分615(),()(1)528E X np D X np p ===-=. …12分20.(1)设两动圆的公共点为Q ，则有12124()QF QF F F +=>．由椭圆的定义可知Q 的轨迹为椭圆，2,3a c ==．所以曲线C 的方程是：2214x y +=．(2)证法一：由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，当AB 的斜率不存在时，易知满足条件0MA MB ⋅=的直线AB 为：0x =过定点3(0,)5N - 当AB 的斜率存在时，设直线AB ：y kx m =+，联立方程组：2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩①②，把②代入①有：222(14)8440k x kmx m +++-= 122814km x x k -+=+③，21224414m x x k -⋅=+④，因为0MA MB ⋅=，所以有1212(1)(1)0x x kx m kx m ⋅++-+-=，221212(1)(1)()(1)0k x x k m x x m +⋅+-++-=，把③④代入整理：22222448(1)(1)(1)01414m kmk k m m k k--++-+-=++，(有公因式m －1)继续化简得： (1)(53)0m m --=，35m -=或1m =(舍)，综合斜率不存在的情况，直线AB 恒过定点3(0,)5N -．证法二：(先猜后证)由题意可知：(0,1)M ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，如果直线AB 恒经过一定点，由椭圆的对称性可猜测此定点在y 轴上，设为(0,)N m ；取特殊直线:1MA y x =+，则直线MB 的方程为1y x =-+，解方程组22141x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得点83(,)55A --，同理得点83(,)55B -，此时直线AB 恒经过y 轴上的点3(0,)5N -(只要猜出定点的坐标给2分) 下边证明点3(0,)5N -满足条件0MA MB ⋅= 当AB 的斜率不存在时，直线AB 方程为：0x =，点A B 、的坐标为(0,1)±，满足条件0MA MB ⋅=；当AB 的斜率存在时，设直线AB ：35y kx =-，联立方程组： 221435x y y kx ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩①②，把②代入①得：222464(14)0525k k x x +--=122245(14)k x x k +=+③，1226425(14)x x k -⋅=+④，所以1212121288(1)(1)()()55MA MB x x y y x x kx kx ⋅=⋅+--=⋅+--21212864(1)()525k k x x x x =+-++2226482464(1)052525(14)5(14)k k k k k -=+⋅-⋅+=++ (3)ABM △面积MNA MNB S S S =+△△＝1212MN x x -＝212124()45x x x x +-⋅ 由第(2)小题的③④代入，整理得：22322542514k S k +=⋅+ 因N 在椭圆内部，所以k R ∈，可设22542t k =+≥，23249t S t =+32(2)94t t t=≥+92542t t +≥，∴6425S ≤(0k =时取到最大值)．所以ABM △面积S 的最大值为6425．21.(1)由已知得0,1x x >≠，()2(ln 1)()ln b x f x a x -'=-.则()222222be e f e ae =-=-且()2344b f e a '=-=-，解之得1,1a b ==. (2)当1b =时，()2ln 1()ln x f x a x -'=-=2211111ln ln ln 24a a x x x ⎛⎫⎛⎫-+-=--+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 所以当211ln 2x e x =⇒=时，()max 14f x a '=-. 而命题“若存在 212,,x x e e ⎡⎤∈⎣⎦，使12()'()f x f x a ≤+成立”等价于“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()()min max f x f x a '≤+”.又当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，()max 14f x a '=-，所以()max 14f x a '+=. 问题等价于：“当2,x e e ⎡⎤∈⎣⎦时，有()min 14f x ≤” ① 当14a ≥时，()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为减函数，则()()222min 124e f x f e ae ==-≤，故21124a e ≥-. ② 当14a <时，由于()2111ln 24f x a x ⎛⎫'=--+- ⎪⎝⎭在2,e e ⎡⎤⎣⎦上的值域为1,4a a ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦.当00a a -≥⇒≤时，()0f x '≥在2,e e ⎡⎤⎣⎦恒成立，故()f x 在2,e e ⎡⎤⎣⎦上为增函数，于是()()min 14f x f e e ae ==->，不合题意. 当0a -<即104a <<时，由()f x '的单调性和值域知，存在唯一()20,x e e ∈使 ()0f x '=，且满足：当()0,x e x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数；当()20,x x e ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数；所以()()000min 01ln 4x f x f x ax x ==-≤，()20,x e e ∈. 所以2001111111ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-=，与104a <<矛盾. 综上得a 的最小值为21124e -. 22.(1)连,EF BE ，则ABE AFE ∠=∠.AB 是圆的直径，AE BE ∴⊥.又AB BC ⊥，,ABE C AFE C ∴∠=∠∴∠=∠，即EFD C π∠+∠=，所以,,,C E F D 四点共圆. 5分 (2)AB BC ⊥，AB 是圆的直径，BC ∴是圆的切线，24,2DB DF DA BD =⨯==，所以23AB =.因为D 是BC 的中点，所以4BC =，224(23)27AC =+=. 8分由2CB CE CA =⨯得871627,7CE CE =⨯=，677AE AC CE =-=. 10分23.(1)由cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩得①当2πα=时，直线l 为0x =，其极坐标方程为2πθ=和32πθ=. 1分 ②当2πα≠时，消去参数t 得tan y x α=.0απ<<,l ∴的极坐标方程为θα=和θπα=+.综上，l 的极坐标方程为θα=和(0)θπααπ=+<<.也可以写成()R θαρ=∈. 3分由(0)1cos p p ρθ=>-得cos p ρρθ-=. 222,cos x y x ρρθ=+=,222()x y x ρ∴+=+,整理得22()2p y p x =+. 5分 (2)设1122(,),(,)A B ρθρθ，由1cos p θαρθ=⎧⎪⎨=⎪-⎩得，11cos p ρα=-，即||1cos p OA α=-， 7分由1cos p θπαρθ=+⎧⎪⎨=⎪-⎩得，21cos p ρα=+，即||1cos p OB α=+， 9分 111cos 1cos 2||||OA OB p p pαα-+∴+=+=. 10分 24. (1)证明：函数f （x ）=|x ﹣a|，a ＜0，则f （x ）+f （﹣）=|x ﹣a|+|﹣﹣a|=|x ﹣a|+|+a|≥|（x ﹣a ）+（+a ）| =|x+|=|x|+≥2=2． ……………5分(2)f （x ）+f （2x ）=|x ﹣a|+|2x ﹣a|，a ＜0．当x≤a 时，f （x ）=a ﹣x+a ﹣2x=2a ﹣3x ，则f （x ）≥﹣a ；当a ＜x ＜时，f （x ）=x ﹣a+a ﹣2x=﹣x ，则﹣＜f （x ）＜﹣a ；当x 时，f （x ）=x ﹣a+2x ﹣a=3x ﹣2a ，则f （x ）≥﹣．则f （x ）的值域为[﹣，+∞）. 不等式f （x ）+f （2x ）＜的解集非空，即为＞﹣，解得，a ＞﹣1，由于a ＜0，则a 的取值范围是（﹣1，0）． ……………10分。