高二数学教案21不等式的证明方法之一比较法

合集下载

2018_2019高中数学第二讲证明不等式的基本方法2.1比较法教案新人教A版选修4_5

2.1 比较法一、教学目标1．理解比较法证明不等式的依据． 2．掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．3．通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．二、课时安排 1课时三、教学重点掌握利用比较法证明不等式的一般步骤．四、教学难点通过学习比较法证明不等式，培养对转化思想的理解和应用．五、教学过程（一）导入新课已知a ≥b ＞0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .【证明】 2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b ＞0，所以a －b ≥0，a ＋b ＞0,2a ＋b ＞0, 从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . （二）讲授新课教材整理1 作差比较法1．理论依据：①a ＞b ⇔ ；②a ＝b ⇔a －b ＝0；③a ＜b ⇔ . 2．定义：要证明a ＞b ，转化为证明，这种方法称为作差比较法． 3．步骤：① ；②变形；③ ；④下结论．教材整理2 作商比较法1．理论依据：当b ＞0时，①a ＞b ⇔ ；②a ＜b ⇔a b ＜1；③a ＝b ⇔a b＝1. 2．定义：证明a ＞b (b ＞0)，只要转化为证明，这种方法称为作商比较法． 3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．（三）重难点精讲题型一、作商比较法证明不等式例1已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，求证：a a b b＞(ab )a ＋b2.【精彩点拨】判断a a b b与ab s\up21(f(a ＋b,2)的正负)→作商变形→与1比较大小→下结论【自主解答】 ∵a ＞0，b ＞0，∴a a b b＞0，(ab )a ＋b2＞0，作商a a b bab s\up21(f(a ＋b,2))＝aa －a ＋b2·bb －a ＋b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2.∵a ≠b ，∴当a ＞b ＞0时，a b ＞1且a －b 2＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＞1，而(ab )a ＋b2＞0，∴a a b b＞(ab )a ＋b2.当b ＞a ＞0时，0＜a b ＜1且a －b 2＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＞1，而(ab )a ＋b2＞0，∴a a b b＞(ab )a ＋b2.综上可知a ＞0，b ＞0且a ≠b 时，有a a b b＞(ab )a ＋b2.规律总结：1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a ＞b ⇔a b＞1证明不等式时，一定注意b ＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．[再练一题]1．已知m ，n ∈R ＋，求证：m ＋n2≥m ＋nm n ·n m .【证明】因为m ，n ∈R ＋，所以m ＋n2≥mn ＝m ＋nmn s\up21(f(m ＋n,2))，令ω＝错误!＝m 错误!·n 错误!＝错误!错误!，则：①当m >n >0时，m n>1，m －n >0，则ω>1. ②当m ＝n 时，ω＝1.③当n >m >0时，0<m n<1，m －n <0，则ω>1. 故对任意的m ，n ∈R ＋都有ω≥1. 即m ＋n mn s\up21(f(m ＋n,2))≥m ＋nm n ·n m ，所以m ＋n2≥m ＋nm n ·n m .题型二、比较法的实际应用例2 甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？【精彩点拨】设从出发地点至指定地点的路程是s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1, t 2，要回答题目中的问题，只要比较t 1，t 2的大小就可以了．【自主解答】设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1, t 2，依题意有：t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s2n＝t 2.∴t 1＝2s m ＋n ，t 2＝()2s m n mn+， ∴t 1－t 2＝2s m ＋n －()2s m n mn +＝2[4()]2()s mn m n mn m n -++＝－2()2()s m n mn m n -+.其中s ，m ，n 都是正数，且m ≠n ， ∴t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2，从而知甲比乙先到达指定地点．规律总结：1．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键．2．在实际应用不等式问题时，常用比较法来判断数的大小关系．若是选择题或填空题，则可用特殊值加以判断．[再练一题]2．通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面)的周长相等，试问：截面为圆的水管流量大还是截面为正方形的水管流量大？【解】设截面的周长为l ，依题意知，截面是圆的水管的截面面积为π·⎝⎛⎭⎪⎫l 2π2，截面是正方形的水管的截面面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫l 42.∵π·⎝ ⎛⎭⎪⎫l 2π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫l 42＝l 24⎝ ⎛⎭⎪⎫1π－14＝2(4)16l ππ-. 由于l ＞0,0＜π＜4，∴2(4)16l ππ-＞0，∴π·⎝⎛⎭⎪⎫l 2π2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫l 42.因此，通过水管放水，当流速相同时，如果水管的周长相等，那么截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．题型三、作差比较法例3已知a ，b ∈R ，求证：a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b .【精彩点拨】此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．【自主解答】法一 ∵a 2＋b 2－ab －a －b ＋1 ＝12[(a －b )2＋(a －1)2＋(b －1)2]≥0， ∴a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b .法二 a 2＋b 2－ab －a －b ＋1＝a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1，对于a 的二次三项式，Δ＝(b ＋1)2－4(b 2－b ＋1)＝－3(b －1)2≤0. ∴a 2－(b ＋1)a ＋b 2－b ＋1≥0，故a 2＋b 2＋1≥ab ＋a ＋b . 规律总结：1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．[再练一题]3．已知a ＞b ＞c ，证明：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＞ab 2＋bc 2＋ca 2.【证明】 ∵a 2b ＋b 2c ＋c 2a －ab 2－bc 2－ca 2＝(a 2b －bc 2)＋(b 2c －ab 2)＋(c 2a －ca 2) ＝b (a 2－c 2)＋b 2(c －a )＋ac (c －a )＝(a －c )(ba ＋bc －b 2－ac )＝(a －c )(a －b )(b －c )． ∵a ＞b ＞c ，∴a －c ＞0，a －b ＞0，b －c ＞0， ∴(a －c )(a －b )(b －c )＞0，即a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＞ab 2＋bc 2＋ca 2. （四）归纳小结比较法—⎪⎪⎪—作差法—作商法—实际应用（五）随堂检测1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则下列t 与s 的大小关系中正确的是( ) A ．t ＞s B ．t ≥s C ．t ＜s D.t ≤s 【解析】 s －t ＝(a ＋b 2＋1)－(a ＋2b )＝(b －1)2≥0， ∴s ≥t . 【答案】 D2．已知a ＞0且a ≠1，P ＝log a (a 3＋1)，Q ＝log a (a 2＋1)，则P ，Q 的大小关系是( ) A ．P ＞Q B ．P ＜Q C ．P ＝Q D.大小不确定【解析】 P －Q ＝log a (a 3＋1)－log a (a 2＋1)＝log a a 3＋1a 2＋1.当0＜a ＜1时，0＜a 3＋1＜a 2＋1，则0＜a 3＋1a 2＋1＜1，∴log a a 3＋1a 2＋1＞0，即P －Q ＞0，∴P ＞Q .当a ＞1时，a 3＋1＞a 2＋1＞0，a 3＋1a 2＋1＞1，∴log a a 3＋1a 2＋1＞0，即P －Q ＞0，∴P ＞Q .综上总有P ＞Q ，故选A. 【答案】 A3．设a ，b ，m 均为正数，且b a ＜b ＋ma ＋m，则a 与b 的大小关系是________．【解析】b ＋m a ＋m －b a ＝()()m a b a a m -+＞0. 又a ，b ，m 为正数，∴a (a ＋m )＞0，m ＞0，因此a －b ＞0. 即a ＞b . 【答案】 a ＞b 六、板书设计教材整理1 作差比较法教材整理2 作商比较法七、作业布置同步练习：2.1比较法八、教学反思。

高二数学教案作差比较法不等式证明

3
3
2、已知：a+b+c=1,求证：a2+b2+c2≥ 1 3
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度 m 行走，另一半时间以速度 n 行走；乙有一半路程以以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走。如果 m≠n,问甲、乙两人谁先到达指定地点。
ab
例5、已知 a,b∈R+,求证： a abb ab 2
总课题 6.3 不等式的证明总课时
6
课题
不等式的证明（比较法）
课型
熟悉用比较法证明不等式的理论依据
教学目标掌握用比较法证明不等式的一般步骤
培养分析问题、解决问题的能力
教学重点
比较法证明不等式
教学难点
比较法证明不等式
教学过程
教学内容
一、复习回顾：
第 1 课时新授课
备课札记
a>b a-b>0
a=b a-b=0
课堂小结：比较法：作差、作商重点：作差比较法的步骤：作差、变形、判断符号
布置作业：另附
第1页共2页
第2页共2页
பைடு நூலகம்
二、新知讲授： a3x
例2、已知 a,b,m 都是正数，并且 a<b，求证： a m a bm b
例3、已知 a,b 是正数，并且 a≠b，求证：a3+b3>a2b+ab2 课堂练习：书 P14 T1,2,3,4,5
1、求证： a2 b2 c2 a b c 2

数学教案-不等式证明一(比较法)

数学教案－不等式证明一（比较法）教案标题：不等式证明一（比较法）适用年级：初中教学目标：1. 学生能够理解不等式的概念。

2. 学生能够用比较法证明不等式的真实性。

3. 学生能够应用比较法解决实际问题。

教学重点：1. 不等式的概念和特点。

2. 比较法证明不等式的真实性。

3. 实际问题的应用。

教学准备：1. 教师准备一些适当的实际问题。

2. 分发给学生的教材和笔记。

教学过程：Step 1：导入（5分钟）教师可以从一个简单的实际问题开始，引导学生思考不等式的概念和意义。

例如：设A和B是两个正数，A > B，那么A+1和B+1之间的关系是怎样的呢？Step 2：讲解不等式的概念和特点（10分钟）教师讲解不等式的概念和特点，包括不等号、不等式的意义以及不等式的解集等内容，并通过例题让学生进行练习。

Step 3：介绍比较法证明不等式真实性的方法（10分钟）教师介绍比较法证明不等式真实性的方法，即通过比较不等式两边的大小关系来确定不等式的真实性。

教师可以提供几组例题，让学生进行练习。

Step 4：巩固练习（15分钟）教师提供一些练习题，让学生运用比较法证明不等式的真实性。

教师可以根据学生的实际情况，选择适当的难度和数量。

Step 5：应用（10分钟）教师提供一些实际问题，让学生通过比较法解决问题。

教师可以引导学生分析问题，确定不等式，并通过比较法证明不等式的真实性。

Step 6：总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并强调比较法证明不等式真实性的重要性和应用价值。

Step 7：作业布置（5分钟）教师布置一些练习题作为课后作业，巩固学生对比较法证明不等式真实性的理解和应用能力。

教学延伸：教师可以引导学生利用比较法证明其他类型的不等式，如三角不等式、平均不等式等，拓展学生对不等式的应用和理解能力。

高中数学课件不等式证明1(比较法)

作差法证明不等式的基本步骤：作差－变形－判断符号
例4.已知a>b>0,求证：
aabb abba
ab
补充：aabb (ab) 2 abba
作商法证明不等式的基本步骤：作商－变形－判断商值与1的关系
例5.已知a,b都是负数，试比较
a2 b2 a b a2 b2 与 a b 的大小关系。
小结：
比较法证明不等式的基本步骤：
（1）作差法：作差－变形－判断符号（2）作商法：作商－变形－判断商值与1的关系
思考题：
若 a,b, c 0 ，求证：
ab(a b) bc(b c) ca(c a) 6abc
bm b
例3：已知 a,b是正数，且 a b ，
求证：a3 b3 a2b ab2
例4.甲、乙两人同时同地沿同一路线走导同一地点。甲有一半时间以速度m行走，另一半时间以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走。如果
m n ，问：甲、乙两人谁先
t;b与不等式a-b>0有
怎样的关系？ (2)不等式a>b与不等式
a

1
有怎样的关系？
b
(3)对于不等式证明而言，研究上
述两对不等式的关系，有何意义？
例1：求证：x2 3 3x
例2：已知 a,b, m 都是正数，
并且 a b ，求证 a m a

人教版数学高二-备课资料不等式证明的常用方法和技巧

不等式证明的常用方法和技巧不等式证明是学习的难点，其方法灵活多样，它又可以和很多内容结合.如果思路不开阔，方法不灵活，做题时就陷入困境.下面介绍有关不等式证明的六种常用方法和技巧，有助于同学们对这部分知识的掌握与应用. 一、比较法例1 已知x 、y 、R z ∈，a 、b 、*∈R c ，求证：)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++≥+++++. 证明：∵)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++-+++++ =222222222z cb yz y bc z c a zx x a c y b a xy x a b +-++-++- =0)()()(222≥-+-+-z cb y bcz c a x ac y b a x ab. ∴)(2222zx yz xy z cb a y b ac x a c b ++≥+++++. 【点评】⑴作差比较法的依据是0>-⇔>b a b a ，作差后要判定差式的符号.其难点．．是对差式变形，常常将差式化为几个可判号因式．．．．．．．．．．．．．．连乘积或几个偶次因式和．．．．．．．．．．．的形式；⑵作差比较法的适用范围：多项式的大小比较、对数式的大小比较；⑶本题证明配方技巧的实现关键在于合理分项. 二、综合法例2 求证：1)4141(log 21-+≤+b a b a .证明：∵1)1()21(2222414124141-+-+---==⋅⋅=⨯≥+b a b a b a b a ba . 又因为x y log 21=在区间（0，∞+）上是减函数，所以1)21()4141(12121log log -+=≤+-+b a b a b a .当且仅当b a 4141=，即b a =时等号成立.【点评】⑴综合法的证明思路：由已知条件出发，根据要证不等式左右的结构特点，借助不等式的性质和有关定理，按逻辑推理导出欲证结论，其特点是“由因导果”；⑵本题用到了基本不等式，又用到了对数函数的单调性，函数的单调性是函数与不等式有机结合的最佳结合点. 三、分析法例3是否存在常数c，使得不等式yx y y x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立，证明你的结论.证明：假设存在常数c，使得不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立，则当y x =时，可得32=c . 下面分两部分给出证明当32=c 时，不等式yx yy x x c y x y y x x +++≤≤+++2222对任意正实数x 、y 恒成立：① 先证3222≤+++y x y y x x .∵x 、*∈R y ，∴欲证3222≤+++y x y y x x ，只需证)2)(2(2)2(3)2(3y x y x y x y y x x ++≤+++，即证222y x xy +≤.∵x 、R y ∈，222y x xy +≤成立，∴证式成立.② 再证3222≥+++y x y y x x .∵x 、*∈R y ，∴欲证3222≥+++y x y y x x ，只需证)2)(2(2)2(3)2(3y x y x y x y y x x ++≥+++，即证xy y x 222≥+，∵x 、R y ∈，xy y x 222≥+成立，∴证式成立. 综上①、②可知，存在常数32=c 对任意正实数x 、y ，题中的不等式成立.【点评】⑴常数c 的正确寻找是解决问题的关键.依据题设条件给x 、y 赋特殊值求出c 的值是常用的基本方法；⑵当证明从正面打不开思路时，可以考虑用分析法从结论出发，“执果索因”. 四、反证法例4 证明由小于1的三个正数a 、b 、c 所组成的三个乘积b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-不能同时大于41.证明：假设b a )1(-，c b )1(-，a c )1(-都大于41，则有641)1()1()1(>-⋅-⋅-a c c b b a ，但由2)21()1(0a a a a +-≤-<，即41)1(0≤-<a a .同理有41)1(0≤-<b b ，41)1(0≤-<c c .即有641)1()1()1(≤-⋅-⋅-a c c b b a .这与假设产生矛盾，从而原命题成立.【点评】⑴反证法适宜证明“存在性问题，唯一性问题，或带有‘至多有一个’、‘至少有一个’等字样的问题”；⑵常见的矛盾有三种表现形式：与已知矛盾；与假设产生矛盾；与公理、定理等事实矛盾. 五、放缩法例5当2≥n ，且*∈N n ，求证：n nn 121312*********-<++++<+- . 证明：∵)1()1(2->>+k k k k k ，∴)1(11)1(12-<<+k k k k k ，即k k k k k 11111112--<<+-，分别令2=k 、3、4、…、n . 得 2112131212-<<-， 31213141312-<<-， ……nn n n n 11111112--<<+- 将这些不等式同时相加，得<+-++-+-)111()4131()3121(n n 222131211n++++)111()3121()211(nn -+++-+-< ，即n n n 11131211121222-<+++<+- ， ∴n nn 121312111123222-<++++<+-. 【点评】⑴放缩法常用的思路：欲证B A >，则找出过度量，使B DC A >>>；⑵放缩法常用的技巧：①舍去一些正项（或负项）；②在和或积中换大（或换小）某些项；③扩大（或缩小）分式的分子（或分母）；④应用基本不等式进行放缩.如（ⅰ）22)21(43)21(+>++a a ；（ⅱ）)1(112-<k k k ，)1(112+>k k k ；（ⅲ）)1(2121-+=--<k k k k k ，)1(2121--=-+>k k k k k .六、三角换元法例7 已知2122≤+≤y x ，求证：32122≤+-≤y xy x .证明：∵2122≤+≤y x ，可设⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x ，其中21≤≤r ，πθ20<≤.∴)2sin 211(cos sin 22222θθθ-=-=+-r r r y xy x .∵πθ20<≤，∴232sin 21121≤-≤θ，∴22223)2sin 211(21r r r ≤-≤θ.而21212≥r ， 3232≤r ，∴32122≤+-≤y xy x .【点评】⑴本例证明，不等式中的两个等号不能同时成立.做三角代换，应注意换元后对r 和角θ的限制，即三角不等式与代数不等式的等价转化应引起足够的重视；⑵三角换元法多用于条件不等式的证明，若条件是222a y x =+（a 为常数），则可设⎩⎨⎧==θθsin cos a y a x ；若222a y x ≤+（a 为常数），则可设⎩⎨⎧==θθsin cos a y a x .。

2020年高二数学(人教版)选修4-5教案：第08课时不等式的证明方法之——比较法

课题：第08课时不等式的证明方法之一：比较法目的要求：重点难点：教学过程：一、引入：要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：0>-⇔>b a b a0=-⇔=b a b a 0<-⇔+。

例2、若实数1≠x ，求证：.)1()1(32242x x x x ++>++ 证明：采用差值比较法：2242)1()1(3x x x x ++-++=3242422221333x x x x x x x ------++ =)1(234+--x x x =)1()1(222++-x x x =].43)21[()1(222++-x x,043)21(,0)1(,122>++>-≠x x x 且从而∴ ,0]43)21[()1(222>++-x x∴ .)1()1(32242x x x x ++>++讨论：若题设中去掉1≠x 这一限制条件，要求证的结论如何变换？例3、已知,,+∈R b a 求证.ab b a b a b a ≥本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。

证明：1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于b a ,对称，不妨设.0>≥b a)(0≥-=-∴≥---ba ba bbabbabab a b a b a b a ，从而原不等式得证。

2）商值比较法：设,0>≥b a,0,1≥-≥b a ba.1)(≥=∴-b a a b b a b a b a b a 故原不等式得证。

注：比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。

用比较法证明不等式的步骤是：作差（或作商）、变形、判断符号。

例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。

甲有一半时间以速度m 行走，另一半时间以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走。

高中数学第二讲证明不等式的基本方法第1节比较法创新应用教学案新人教A版选修45

第1节比较法创新应用[核心必知]比较法证明不等式可分为作差比较法和作商比较法两种[问题思考]1．作差比较法的主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作差比较法尤其适用于具有多项式结构特征的不等式的证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系. 2．作商比较法主要适用类型是什么？实质是什么？提示：作商比较法主要适用于积、商、幂、对数、根式形式的不等式证明．实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与1的大小关系．求证：(1)a2＋b2≥2(a－b－1)；(2)若a>b>c，则bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.[精讲详析] 本题考查作差比较法的应用．解答本题的步骤为作差→因式分解→判断符号→得出结论．(1)a2＋b2－2(a－b－1)＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)．(2)bc2＋ca2＋ab2－(b2c＋c2a＋a2b)＝(bc2－c2a)＋(ca2－b2c)＋(ab2－a2b)＝c2(b－a)＋c(a－b)(a＋b)＋ab(b－a)＝(b－a)(c2－ac－bc＋ab)＝(b－a)(c－a)(c－b)，∵a>b>c，∴b－a<0，c－a<0，c－b<0.∴(b－a)(c－a)(c－b)<0.∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.∴bc2＋ca2＋ab2<b2c＋c2a＋a2b.——————————————————(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用判别式法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．(江苏高考)已知a ≥b >0，求证：2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b . 证明：2a 3－b 3－(2ab 2－a 2b )＝2a (a 2－b 2)＋b (a 2－b 2) ＝(a 2－b 2)(2a ＋b )＝(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )．因为a ≥b >0，所以a －b ≥0，a ＋b >0，2a ＋b >0，从而(a －b )(a ＋b )(2a ＋b )≥0 ，即2a 3－b 3≥2ab 2－a 2b .已知a ＞2，求证：log a (a －1)＜log (a ＋1)a .[精讲详析] 本题考查作商比较法的应用，解答本题需要先判断不等式两侧代数式的符号，然后再用作商法比较左右两侧的大小．∵a ＞2，∴a －1>1.∴log a (a －1)>0，log (a ＋1)a ＞0，由于log a （a －1）log （a ＋1）a＝log a (a －1)·log a (a ＋1)<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a （a －1）＋log a （a ＋1）22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a （a 2－1）22. ∵a ＞2，∴0<log a (a 2－1)＜log a a 2＝2.∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤log a （a 2－1）22<⎝ ⎛⎭⎪⎫log a a 222＝1，即log a （a －1）log （a ＋1）a＜1.∵log (a ＋1)a ＞0，∴log a (a －1)＜log (a ＋1)a .——————————————————(1)当不等式的两边为对数式或指数式时，可用作商比较法来证明，另外，要比较的两个解析式均为正值，且不宜采用作差比较法时，也常用作商比较法．(2)在作商比较法中ab >1⇒a >b 是不正确的，这与a 、b 的符号有关，比如若b >0，由a b>1，可得a >b ，但若b <0，则由a b>1得出的反而是a 0，b >0，求证：a a b b≥(ab )a ＋b2.证明：∵a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，∴a a b b （ab ）a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2. 当a ＝b 时，显然有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＝1. 当a >b >0时，a b>1，a －b2>0. 当b >a >0时，0<a b<1，a －b2<0.由指数函数的单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>⎝ ⎛⎭⎪⎫a b 0. 即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1.综上可知，对任意实数a 、b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.甲、乙二人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m≠n，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[精讲详析] 本题考查比较法在实际问题中的应用，解答本题需要设出从出发点到指定地点的路程s ，甲、乙二人走完这段路程各自需要的时间t 1、t 2，然后利用作差法比较t 1，t 2的大小即可．设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1、t 2，依题意有：t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s2n ＝t 2. ∴t 1＝2s m ＋n ，t 2＝s （m ＋n ）2mn. ∴t 1－t 2＝2s m ＋n －s （m ＋n ）2mn＝s[4mn －（m ＋n ）2]2mn （m ＋n ）＝－s （m －n ）22mn （m ＋n ）.其中s ，m ，n 都是正数，且m≠n， ∴t 1－t 2＜0，即t 1＜t 2. 从而知甲比乙先到达指定地点． ——————————————————应用不等式解决问题时，关键是如何把等量关系不等量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．解答不等式问题，一般可分为如下步骤：①阅读理解材料；②建立数学模型；③讨论不等式关系；④作出问题结论．3．证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管截面(指横截面，下同)的周长相等，那么在相同时间里截面是圆的水管比截面是正方形的水管流量大．证明：设截面的周长为L.依题意，截面是圆的水管的截面面积为π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2，截面是正方形的水管的截面面积为⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42.∵π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42＝L 24π－L 216＝L 2（4－π）16π>0，∴π⎝ ⎛⎭⎪⎫L 2π2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫L 42，∴原结论得证．作差比较法在高考中单独考查的可能性不大，一般是在比较数与式的大小时作为解决问题的工具使用．[考题印证](安徽高考)(1)设x≥1，y ≥1，证明x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ；(2)设1<a≤b≤c，证明log a b ＋log b c ＋log c a ≤log b a ＋log c b ＋log a c.[命题立意] 本题考查不等式的基本性质，对数函数的性质和对数换底公式等基本知识，考查代数式的恒等变形能力和推理论证的能力．[证明] (1)由于x≥1，y ≥1，所以x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y ＋xy ⇒⇐ xy(x ＋y)＋1≤y＋x ＋(xy)2.将上式中的右式减左式，得 [y ＋x ＋(xy)2]－[xy(x ＋y)＋1] ＝[(xy)2－1]－[xy(x ＋y)－(x ＋y)] ＝(xy ＋1)(xy －1)－(x ＋y)(xy －1)＝(xy －1)(xy －x －y ＋1)＝(xy －1)(x －1)(y －1)．既然x≥1，y ≥1，所以(xy －1)(x －1)(y －1)≥0，从而所要证明的不等式成立． (2)设log a b ＝x ，log b c ＝y ，由对数的换底公式得log c a ＝1xy ，log b a ＝1x ，log c b ＝1y，log a c ＝xy.于是，所要证明的不等式即为x ＋y ＋1xy ≤1x ＋1y＋xy ，其中x ＝log a b ≥1，y ＝log b c ≥1.故由(1)可知所要证明的不等式成立．一、选择题1．下列关系中对任意a ＜b ＜0的实数都成立的是( ) A ．a 2＜b 2B ．lg b 2<lg a 2C.b a >1D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2解析：选B ∵a＜b ＜0， ∴－a>－b>0. (－a)2>(－b)2>0. 即a 2>b 2>0. ∴b2a2＜1. 又lg b 2－lg a 2＝lg b2a2＜lg 1＝0.∴lg b 2＜lg a 2.2．已知P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P 、Q 的大小关系是( )A ．P>QB ．P<QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析：选D 法一：Q P ＝(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋a 2＋1≥1，又∵a 2＋a ＋1＞0恒成立，∴Q ≥P.法二：P －Q ＝1－（a 2－a ＋1）（a 2＋a ＋1）a 2＋a ＋1＝－（a 4＋a 2）a 2＋a ＋1， ∵a 2＋a ＋1＞0恒成立且a 4＋a 2≥0， ∴P －Q≤0，即Q≥P. 3．已知a ＞0，b ＞0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小顺序是( )A ．m ≥n>pB ．m>n ≥pC ．n>m>pD ．n ≥m>p 解析：选A 由已知，知m ＝a b ＋b a，n ＝a ＋b ，得a ＝b ＞0时m ＝n ，可否定B 、C.比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m ＞n ，可排除D.4．设m>n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m＋(lg x )－m，b ＝(lg x )n ＋(lg x )－n，x ＞1，则a 与b 的大小关系为( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定D ．以上都不正确解析：选A 要比较a 与b 的大小，通常采用比较法，根据a 与b 均为对数表达式，只有作差，a 与b 两个对数表达式才能运算、整理化简，才有可能判断出a 与b 的大小．a －b ＝lg m x ＋lg －m x －lg n x －lg －n x＝(lg mx －lg nx )－⎝⎛⎭⎪⎫1lg n x －1lg m x＝(lg mx －lg nx )－lg mx －lg nxlg m x lg nx ＝(lg m x －lg nx )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m x lg n x＝(lg m x －lg nx )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m ＋n x .∵x ＞1，∴lg x ＞0. 当0＜lg x ＜1时，a >b ；当lg x ＝1时，a ＝b ；当lg x >1时，a >b .∴应选A. 二、填空题5．若x ＜y ＜0，M ＝(x 2＋y 2)(x －y )，N ＝(x 2－y 2)(x ＋y )，则M ，N 的大小关系为________．解析：M －N ＝(x 2＋y 2)(x －y )－(x 2－y 2)(x ＋y ) ＝(x －y )[(x 2＋y 2)－(x ＋y )2]＝－2xy (x －y )． ∵x <y <0， ∴xy ＞0，x －y <0， ∴－2xy (x －y )>0， ∴M －N >0，即M >N . 答案：M >N6．设P ＝a 2b 2＋5，Q ＝2ab －a 2－4a ，若P >Q ，则实数a ，b 满足的条件为________．解析：P －Q ＝a 2b 2＋5－(2ab －a 2－4a ) ＝a 2b 2＋5－2ab ＋a 2＋4a ＝a 2b 2－2ab ＋1＋4＋a 2＋4a ＝(ab －1)2＋(a ＋2)2， ∵P ＞Q ， ∴P －Q ＞0，即(ab －1)2＋(a ＋2)2＞0， ∴ab ≠1或a ≠－2. 答案：ab ≠1或a ≠－27．若－1<a 1b，a 2>b 2，故只需比较1b与b 2的大小．因为b 2>0，1b<0，∴1b<b 2.答案：1b8．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009 元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a 元．月初售出的利润为L 1＝100＋(a ＋100)×2.5%，月末售出的利润为L 2＝120－2%a ，则L 1－L 2＝100＋0.025a ＋2.5－120＋0.02a ＝0.045⎝⎛⎭⎪⎫a －3 5009，∵a <3 5009，∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末三、解答题9．已知a ≥1，求证：a ＋1－a <a －a －1. 证明：∵(a ＋1－a )－(a －a －1) ＝1a ＋1＋a－1a ＋a －1＝a －1－a ＋1（a ＋1＋a ）（a ＋a －1）＜0，∴a ＋1－a <a －a －1.10．设a >b >0，求证：a 2－b 2a 2＋b 2>a －ba ＋b .证明：法一：a 2－b 2a 2＋b 2－a －ba ＋b＝（a －b ）[（a ＋b ）2－（a 2＋b 2）]（a 2＋b 2）（a ＋b ）＝2ab （a －b ）（a 2＋b 2）（a ＋b ）>0，所以原不等式成立．法二：∵a >b >0，故a 2>b 2>0.故左边>0，右边>0.∴左边右边＝（a＋b）2a2＋b2＝1＋2aba2＋b2>1.∴原不等式成立．11．已知函数f(x)＝log2(x＋m)，且f(0)、f(2)、f(6)成等差数列．(1)求f(30)的值；(2)若a、b、c是两两不相等的正数，且a、b、c成等比数列，试判断f(a)＋f(c)与2f(b)的大小关系，并证明你的结论．解：(1)由f(0)、f(2)、f(6)成等差数列，得2log2(2＋m)＝log2m＋log2(6＋m)，即(m＋2)2＝m(m＋6)(m＞0)．∴m＝2，∴f(30)＝log2(30＋2)＝5.(2)f(a)＋f(c)＞2f(b)．证明如下：2f(b)＝2log2(b＋2)＝log2(b＋2)2，f(a)＋f(c)＝log2[(a＋2)(c＋2)]，又b2＝ac，∴(a＋2)(c＋2)－(b＋2)2＝ac＋2(a＋c)＋4－b2－4b－4＝2(a＋c)－4b.∵a＋c＞2ac＝2b(a≠c)，∴2(a＋c)－4b>0，∴log2[(a＋2)(c＋2)]＞log2(b＋2)2，即f(a)＋f(c)>2f(b)．。

高中数学第二讲证明不等式的基本方法一比较法教案(含解析)5数学教案

一比较法1．作差比较法(1)作差比较法的理论依据a －b >0⇔a >b ，a －b <0⇔a 0，若a b >1，则a >b ；若ab <1，则a 1，则a b .(2)作商比较法解题的一般步骤：①判定a ，b 的符号；②作商；③变形整理；④判定与1大小关系；⑤得出结论．作差比较法证明不等式[例1] y 3.[思路点拨] 因为不等式两边是同一种性质的整式，所以可以直接通过作差比较大小．[证明] x 3－x 2y ＋xy 2－(x 2y －xy 2＋y 3)＝x (x 2－xy ＋y 2)－y (x 2－xy ＋y 2) ＝(x －y )(x 2－xy ＋y 2)＝(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24. 因为x >y ，所以x －y >0，于是(x －y )⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 22＋3y 24>0，所以x 3－x 2y ＋xy 2>x 2y －xy 2＋y 3.(1)作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差能否化简或值是多少．(2)变形所用的方法要具体情况具体分析，可以配方，可以因式分解，可以运用一切有效的恒等变形的方法．(3)因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，常用配方法判断符号．有时会遇到结果符号不能确定，这时候要对差式进行分类讨论．1．求证：a 2＋b 2≥2(a －b －1)．证明：a 2＋b 2－2(a －b －1) ＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0， ∴a 2＋b 2≥2(a －b －1)． 2．已知a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，求证：(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1)．证明：∵(a ＋b )(a n＋b n)－2(an ＋1＋bn ＋1)＝an ＋1＋ab n ＋ba n ＋bn ＋1－2an ＋1－2bn ＋1＝a (b n －a n)＋b (a n－b n) ＝(a －b )(b n－a n)．①当a >b >0时，b n－a n<0，a －b ＞0， ∴(a －b )(b n－a n )<0.②当b >a >0时，b n－a n>0，a －b <0. ∴(a －b )(b n－a n )<0.③当a ＝b >0时，(b n－a n)(a －b )＝0.综合①②③可知，对于a ，b ∈R ＋，n ∈N ＋，都有(a ＋b )(a n＋b n)≤2(an ＋1＋bn ＋1).作商比较法证明不等式[例2] 设a >0，b >0，求证：a a b b≥(ab )2.[思路点拨] 不等式两端都是指数式，它们的值均为正数，可考虑用作商比较法．[证明] ∵a a b b>0，(ab )a ＋b2>0，∴a a b b (ab )a ＋b 2＝a a －b 2·b b －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 2.当a ＝b时，显然有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2＝1；当a >b >0时，a b >1，a －b2>0，∴由指数函数单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1；当b >a >0时，0<a b <1，a －b2<0，∴由指数函数的单调性，有⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b2>1.综上可知，对任意实数a ，b ，都有a a b b≥(ab )a ＋b2.当欲证的不等式两端是乘积形式或幂指数形式时，常采用作商比较法，用作商比较法时，如果需要在不等式两边同乘某个数，要注意该数的正负，且最后结果与1比较．3．已知a >b >c >0.求证：a 2a b 2b c 2c>a b ＋c b c ＋a c a ＋b.证明：由a >b >c >0，得ab ＋c b c ＋a c a ＋b >0.作商a 2a b 2b c 2c a b ＋c b c ＋a c a ＋b ＝a a a a b b b b c c c ca b a c b c b a c a cb＝aa －b a a －c b b －c b b －a c c －a cc －b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c. 由a >b >c >0，得a －b >0，a －c >0，b －c >0，且a b >1，a c >1，b c>1. ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b ⎝ ⎛⎭⎪⎫a c a －c ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c>1. ∴a 2a b 2b c 2c >ab ＋c b c ＋a c a ＋b.4．设n ∈N ，n >1，求证log n (n ＋1)>log (n ＋1)(n ＋2)．证明：因为n >1，所以log n (n ＋1)>0，log (n ＋1)(n ＋2)>0，所以log (n ＋1)(n ＋2)log n (n ＋1)＝log (n ＋1)(n ＋2)·log (n ＋1)n≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋2)＋log (n ＋1)n 22＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n 2＋2n )22<⎣⎢⎡⎦⎥⎤log (n ＋1)(n ＋1)222＝1. 故log (n ＋1)(n ＋2)<log n (n ＋1)，即原不等式得证.比较法的实际应用[例3] 一半时间以速度m 行走，另一半以速度n 行走；乙有一半路程以速度m 行走，另一半路程以速度n 行走．如果m ≠n ，问甲、乙二人谁先到达指定地点？[思路点拨] 先用m ，n 表示甲、乙两人走完全程所用时间，再进行比较．[解] 设从出发地点至指定地点的路程为s ，甲、乙二人走完这段路程所用的时间分别为t 1，t 2 ，依题意有t 12m ＋t 12n ＝s ，s 2m ＋s2n＝t 2.∴t 1＝2s m ＋n ，t 2＝s (m ＋n )2mn.∴t1－t2＝2sm＋n－s(m＋n)2mn＝s[4mn－(m＋n)2]2mn(m＋n)＝－s(m－n)22mn(m＋n).其中s，m，n都是正数，且m≠n，∴t1－t2<0.即t1<t2.从而知甲比乙先到达指定地点．应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等量关系转化为不等式的问题来解决，也即建立数学模型是解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解．在实际应用不等关系问题时，常用比较法来判断数的大小关系，若是选择题或填空题则可用特殊值加以判断．5．某人乘出租车从A地到B地，有两种方案；第一种方案：乘起步价为10元．每千米1.2元的出租车，第二种方案：乘起步价为8元，每千米1.4元的出租车．按出租车管理条例，在起步价内，不同型号的出租车行驶的路程是相等的，则此人从A地到B地选择哪一种方案比较合适？解：设A地到B地距离为m千米．起步价内行驶的路程为a千米．显然当m≤a时，选起步价为8元的出租车比较便宜．当m>a时，设m＝a＋x(x>0)，乘坐起步价为10元的出租车费用为P(x)元．乘坐起步价为8元的出租车费用为Q(x)元，则P(x)＝10＋1.2 x，Q (x )＝8＋1.4x .∵P (x )－Q (x )＝2－0.2x ＝0.2(10－x )，∴当x >10时，P (x )<Q (x )，此时选择起步价为10元的出租车较为合适．当x <10时，P (x )>Q (x )，此时选起步价为8元的出租车较为合适．当x ＝10时，P (x )＝Q (x )，两种出租车任选，费用相同． 1．下列关系中对任意a 1 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2>⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 2 解析：选B ∵a －b >0. (－a )2>(－b )2>0.即a 2>b 2>0.∴b 2a2<1.又lg b 2－lg a 2＝lg b 2a2<lg 1＝0，∴lg b 2<lg a 2.2．已知P ＝1a 2＋a ＋1，Q ＝a 2－a ＋1，那么P ，Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P <QC ．P ≥QD ．P ≤Q解析：选D 法一：Q P＝(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)＝(a 2＋1)2－a 2＝a 4＋a 2＋1≥1，又∵a 2＋a ＋1>0恒成立， ∴Q ≥P .法二：P －Q ＝1－(a 2－a ＋1)(a 2＋a ＋1)a 2＋a ＋1 ＝－(a 4＋a 2)a 2＋a ＋1，∵a 2＋a ＋1>0恒成立且a 4＋a 2≥0， ∴P －Q ≤0，即Q ≥P .3．已知a >0，b >0，m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，p ＝a ＋b ，则m ，n ，p 的大小关系是( )A ．m ≥n >pB ．m >n ≥pC ．n >m >pD ．n ≥m >p解析：选A 由m ＝a b ＋ba，n ＝a ＋b ，得a ＝b >0时，m＝n, 可排除B 、C 项．比较A 、D 项，不必论证与p 的关系．取特殊值a ＝4，b ＝1，则m ＝4＋12＝92，n ＝2＋1＝3，∴m >n ，可排除D ，故选A.4．设m >n ，n ∈N ＋，a ＝(lg x )m ＋(lg x )－m ，b ＝(lg x )n＋(lg x )－n，x >1，则a 与b 的大小关系为( )A ．a ≥bB ．a ≤bC ．与x 值有关，大小不定D ．以上都不正确解析：选A a －b ＝lg mx ＋lg －mx －lg n x －lg －nx ＝(lg mx －lgnx )－⎝ ⎛⎭⎪⎫1lg n x －1lg m x＝(lg m x －lg nx )－lg mx －lg nx lg m x lg n x＝(lg mx －lg nx )⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1lg m x lg n x＝(lg m x －lgnx )⎝⎛⎭⎪⎫1－1lg m ＋n x .∵x >1，∴lg x >0. 当0<lg x <1时，a >b ；当lg x ＝1时，a ＝b ；当lg x >1时，a >b . ∴应选A.5．若0<x <1，则1x 与1x2的大小关系是________．解析：1x －1x 2＝x －1x2.因为0<x <1，所以1x －1x2<0.所以1x <1 x2.答案：1x < 1 x26．设P＝a2b2＋5，Q＝2ab－a2－4a，若P>Q，则实数a，b满足的条件为________．解析：P－Q＝a2b2＋5－(2ab－a2－4a)＝a2b2＋5－2ab＋a2＋4a＝a2b2－2ab＋1＋4＋a2＋4a＝(ab－1)2＋(a＋2)2，∵P>Q，∴P－Q>0，即(ab－1)2＋(a＋2)2>0，∴ab≠1或a≠－2.答案：ab≠1或a≠－27．一个个体户有一种商品，其成本低于3 5009元．如果月初售出可获利100元，再将本利存入银行，已知银行月息为2.5%，如果月末售出可获利120元，但要付成本的2%的保管费，这种商品应________出售(填“月初”或“月末”)．解析：设这种商品的成本费为a元．月初售出的利润为L1＝100＋(a＋100)×2.5%，月末售出的利润为L2＝120－2%a，则L1－L2＝100＋0.025a＋2.5－120＋0.02a＝0.045⎝ ⎛⎭⎪⎫a －3 5009， ∵a <3 5009， ∴L 1<L 2，月末出售好．答案：月末8．已知x ，y ∈R, 求证：sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y . 证明：∵sin x ＋sin y －1－sin x sin y＝sin x (1－sin y )－(1－sin y )＝(1－sin y )(sin x －1)．∵－1≤sin x ≤1，－1≤sin y ≤1.∴1－sin y ≥0，sin x －1≤0.∴(1－sin y )(sin x －1)≤0.即sin x ＋sin y ≤1＋sin x sin y .9．若a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：a a b b c c ≥(abc )a ＋b ＋c 3.证明：不妨设a ≥b ≥c ≥0，那么由指数函数的性质，有 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3≥1，⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. 所以a a b b c c (abc )a ＋b ＋c 3＝a a －b 3＋a －c 3b b －c 3＋b －a 3c c －a 3＋c －b 3 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a b a －b 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫b c b －c 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫c a c －a 3≥1. ∴原不等式成立．10．已知a<b<c，x<y<z，则ax＋by＋cz，ax＋cy＋bz，bx ＋ay＋cz，bx＋cy＋az中最大的是哪一个？证明你的结论．解：ax＋by＋cz最大．理由如下：ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)＝(b－c)y＋(c－b)z＝(b－c)(y －z)，∵a<b<c，x<y<z，∴b－c<0，y－z<0，∴ax＋by＋cz－(ax＋cy＋bz)>0，即ax＋by＋cz>ax＋cy＋bz.ax＋by＋cz－(bx＋ay＋cz)＝(a－b)x＋(b－a)y＝(a－b)(x －y)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋ay＋cz.ax＋by＋cz－(bx＋cy＋az)＝(a－b)x＋(b－c)y＋(c－a)z＝(a－b)x＋(b－c)y＋[(c－b)＋(b－a)]z＝(a－b)(x－z)＋(b－c)(y－z)>0，∴ax＋by＋cz>bx＋cy＋az.故ax＋by＋cz最大．。

高中数学 2.1不等式的证明方法之一比较法教案新人教A版选修4-51

第二讲证明不等式的基本方法
课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法
教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。
教学过程：
一、新课学习：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
二、典型例题：
例1、设都是正数，且，求证：。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为。要回答题目中的问题，只要比较的大小就可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为，根据题意有，，可得，，
从而，
其中都是正数，且。于是，即。
从而知甲比乙首先到达指定地点。
五、课后作业：
课本23页第1、2、3、4题。
六、教学后记：
教学札记
例2、若实数，=
=
=
∴
∴
讨论：若题设中去掉这一限制条件，要求证的结论如何变换？
例3、已知求证
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明：1)差值比较法：注意到要证的不等式关于对称，不妨设
，从而原不等式得证。
2）商值比较法：设
故原不等式得证。
例4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度行走，另一半时间以速度行走；乙有一半路程以速度行走，另一半路程以速度行走。如果，问甲、乙两人谁先到达指定地点。
讨论：如果，甲、乙两人谁先到达指定地点？
三、课堂练习：
1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（1）与；（2）与 .
2．已知求证：（1）（2）

2020文数不等式的证明(1)比较综合分析法教案(蔡卫强)

在线堂课不等式的证明（比较法、综合法、分析法）授课教师：江西师大附中蔡卫强合情推理是发现的方法，演绎推理是数学中严格证明的工具.怎样用演绎推理来证明呢？这是要讲究方法的.今天,我们就来认识一些基本的证明方法……一、作差比较法 1．理论依据：①a ＞b ⇔ ；②a ＝b ⇔a －b ＝0； ③a ＜b ⇔ . 2．定义：要证明a ＞b ，转化为证明，这种方法称为作差比较法．3．步骤：① ；②变形；③ ；④下结论．a －b ＞0 a －b ＜0 a －b ＞0 判断符号作差二、作商比较法 1．理论依据：当b ＞0时，①a ＞b ⇔ ；②a ＜b ⇔ab ＜1；③a ＝b ⇔ab ＝1. 2．定义：证明a ＞b (b ＞0)，只要转化为证明，这种方法称为作商比较法．3．步骤：①作商；②变形；③判断商与1大小；④下结论．ab ＞1 ab ＞1【例1】已知a，b∈R，求证：a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.[精彩点拨]此不等式作差后是含有两个字母的二次式，既可配成平方和的形式，也可根据二次三项式的判别式确定符号．[自主解答]法一∵a2＋b2－ab－a－b＋1＝12[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，∴a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.作差比较法证明不等式法二a2＋b2－ab－a－b＋1＝a2－(b＋1)a＋b2－b＋1，对于a的二次三项式，Δ＝(b＋1)2－4(b2－b＋1)＝－3(b－1)2≤0.∴a2－(b＋1)a＋b2－b＋1≥0，故a2＋b2＋1≥ab＋a＋b.1．作差比较法中，变形具有承上启下的作用，变形的目的在于判断差的符号，而不用考虑差值的多少．2．因式分解是常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，常将“差式”变形为一个常数，或几个因式积的形式，当所得的“差式”是某字母的二次三项式时，可利用“Δ”判定符号．【例2】已知a ＞0，b ＞0且a ≠b ，求证：a a b b ＞.[精彩点拨] →作商变形 →与1比较大小→下结论作商比较法证明不等式1．当不等式的两端为指数式时，可作商证明不等式．2．运用a ＞b ⇔a b ＞1证明不等式时，一定注意b ＞0是前提条件．若符号不能确定，应注意分类讨论．三、综合法一般地，从出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做，又叫或．由因导果法已知条件综合法顺推证法用综合法证明不等式的逻辑关系))()((21结论必要条件逐步推演不等式成立的已知BB B B A n ⇒⇒⇒⇒⇒【例3】已知a ，b ，c 是正数，求证：b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc .[精彩点拨] 由a ，b ，c 是正数，联想去分母，转化证明b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )，利用x 2＋y 2≥2xy 可证．或将原不等式变形为bc a ＋ac b ＋abc ≥a ＋b ＋c 后，再进行证明．用综合法证明不等式[自主解答] 法一 ∵a ，b ，c 是正数，∴b 2c 2＋c 2a 2≥2abc 2，b 2c 2＋a 2b 2≥2ab 2c ，c 2a 2＋a 2b 2≥2a 2bc ， ∴2(b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2)≥2(abc 2＋ab 2c ＋a 2bc )，即b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．又a ＋b ＋c ＞0，∴b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b2a ＋b ＋c ≥abc .法二 ∵a ，b ，c 是正数，∴bc a ＋acb ≥2bca ·acb ＝2c .同理ac b ＋ab c ≥2a ，ab c ＋bca ≥2b ， ∴2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫bc a ＋ac b ＋ab c ≥2(a ＋b ＋c )．又a ＞0, b ＞0，c ＞0，∴b 2c 2＋a 2c 2＋a 2b 2≥abc (a ＋b ＋c )．故b 2c 2＋c 2a 2＋a 2b 2a ＋b ＋c ≥abc .1．综合法证明不等式，揭示出条件和结论之间的因果联系，为此要着力分析已知与求证之间、不等式的左右两端之间的差异与联系，合理进行转换，恰当选择已知不等式(切入点)，这是证明的关键．2．综合法证明不等式的主要依据：(1)不等式的基本性质；(2)基本不等式及其变形；(3)三个正数的算术-几何平均不等式等．22222222333,,:(1)0;(2)0;(3)2;222(4);1122(5)3;(6)a b a b a a a b ab a b a bab a ba b c abc a b a b a b++⎛⎫≥≥+≥≥ ⎪⎝⎭++≤≤≤+++≥-≤±≤+利用综合法证明不等式时应注意对已证不等式的使用常用的不等式有四、分析法证明命题时，我们还常常从要证的出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做，这是一种执果索因的思考和证明方法．分析法结论已知条件用分析法证明不等式的逻辑关系知成立的充分条件论已步步寻求不等式结 ) ( 21AB B B B n ⇐⇐⇐⇐⇐用分析法证“若A则B”这个命题的模式是: 为了证明命题B为真,为真,从而有……只需证明命题B1只需证明命题B为真,从而有……2……只需证明命题A为真.而已知A为真,故B必真.【例4】已知a＞b＞0，求证：(a－b)28a＜a＋b2－ab＜(a－b)28b.[精彩点拨]本题要证明的不等式显得较为复杂，不易观察出怎样由a＞b＞0得到要证明的不等式，因而可以用分析法先变形要证明的不等式，从中找到证题的线索．[自主解答] 要证原不等式成立，只需证(a －b )24a ＜a ＋b －2ab ＜(a －b )24b ，即证⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2a 2＜(a －b )2＜⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 2b 2.只需证a －b2a ＜a －b ＜a －b2b ，即a ＋b2a ＜1＜a ＋b2b ，即b a ＜1＜ab .只需证b a ＜1＜ab . ∵a ＞b ＞0，∴b a ＜1＜ab 成立．∴原不等式成立．1．解答本题的关键是在不等式两边非负的条件下，利用不等式的开方性质寻找结论成立的充分条件，采用分析法是常用方法．证明过程一要注意格式规范，二要注意逻辑关系严密、准确．2．当所证不等式与重要不等式、基本不等式没有什么直接联系，或条件与结论之间的关系不明显时，可用分析法来寻找证明途径．常常利用移项、去分母、平方、开方等方法进行分析探路．【例5】设x，y∈(0，＋∞)，求证：12(x＋y)2＋14(x＋y)≥x y＋y x.证明：原不等式⇔2(x＋y)2＋(x＋y)≥4x y＋4y x ⇔(x＋y)[2(x＋y)＋1]≥2xy(2x＋2y)．因为x ＋y ≥2xy ＞0，所以只需证2(x ＋y )＋1≥2x ＋2y .即证⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋14≥x ＋y .而x ＋14≥2x 4＝x ，y ＋14≥2y4＝y ，当且仅当x ＝y ＝14时，等号成立，所以12(x ＋y )2＋14(x ＋y )≥x y ＋y x .1．分析法在思考上优于综合法，易于寻找证明的思路，综合法在证明过程中书写表达条理、简练，故常将两法综合使用，用分析法“探路”，用综合法“书写”，从而解决较复杂的不等式证明问题．2．在证明不等式的过程中，分析法和综合法是不能分离的，如果使用综合法证明不等式难以入手，常用分析法探索证题途径，之后用综合法的形式写出它的证明过程．有时问题证明难度较大，常综合应用分析法和综合法，从两头往中间靠以达到证题目的．当堂达标固双基1．设a，b，m均为正数，且ba＜b＋ma＋m，则a与b的大小关系是________．[解析]b＋ma＋m－ba＝m(a－b)a(a＋m)＞0.又a，b，m为正数，∴a(a＋m)＞0，m＞0，因此a－b＞0.即a＞b.[答案]a＞b3．已知a≥b＞0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.[证明]2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)(2a＋b)．因为a≥b＞0，所以a－b≥0，a＋b＞0,2a＋b＞0, 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，即2a3－b3≥2ab2－a2b.2222224.,,0,,()()()6a b c a b c b c a c a b abc >+++++>已知且不全相等求证:abc c b a a bc c b 2)(,0,2 :2222≥+∴>≥+ 证明abc a c b b ac a c 2)(,0,2 2222≥+∴>≥+ abc b a c c ab b a 2)(,0,2 2222≥+∴>≥+ abcb ac a c b c b a c b a 6)()()(,,,,222222>+++++把它们相加得取等号少有一个不所以上述三个式子中至不全相等由于5．已知a ＞0，求证： a 2＋1a 2－2≥a ＋1a －2.[证明] 因为a ＞0，要证原不等式成立，只需证 a 2＋1a 2＋2≥a ＋1a ＋2，即证a 2＋1a 2＋4a 2＋1a 2＋4≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a 2＋22⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a ＋2，只需证2·a 2＋1a 2≥a ＋1a ，即证2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a 2＋1a 2≥a 2＋1a 2＋2，只需证a 2＋1a 2≥2.由基本不等式知a 2＋1a 2≥2显然成立，所以原不等式成立．1. 比较法(作差比较法与作商比较法)是证明不等式最基本、最重要的方法，其基本步骤是:①作差(或作商);②变形;③判断差的符号(或商与“1”的大小);④下结论.其中“变形”是关键，作差比较法通常将差变形成因式乘积的形式或平方和的形式，再结合不等式的性质判断正负，作商比较法往往运用于不等式是乘积式或幂的形式.2．综合法是从已知条件或基本不等式出发，运用不等式的有关性质推导出所要证明的不等式，证明思路是“由因导果”．综合法证明不等式，要揭示出条件与结论间的因果联系，为此要着力分析已知与求证间，不等式左、右两端的差异与联系，合理变换、恰当选择已知不等式是证明的关键．寻找启动不等式是综合法的难点.22222222333:(1)0;(2)0;(3)2;222(4);1122(5)3;(6)a b a b a a a b ab a b a b ab a ba b c abc a b a b a b++⎛⎫≥≥+≥≥ ⎪⎝⎭++≤≤≤+++≥-≤±≤+常用的不等式有3．分析法就是从求证的不等式出发，执果索因，找出使这个不等式成立需具备的充分条件，直至能肯定所需条件已经具备．证明的关键是推理的每一步都必须可逆．用分析法证明“若A则B”的模式为：欲证命题B成立，只需证命题B1成立……只需证命题B2成立…………只需证明A为真．今已知A为真，故B必真．可以简单写成：B⇐B1⇐B2⇐……⇐B n⇐A.4．证明时省略掉“要证明”和“只需证明”的字样，就会颠倒因果关系而犯逻辑上的根本错误，但可用“⇐”取代那些必要的词语．应予以足够重视．5．分析法和综合法是对立统一的两种方法，分析法的特点是利于思考，因为其方向明确，思路自然，易于掌握．综合法的优点是宜于表述、条理清楚、形式简洁．证明时常用分析法探索证明途径，后用综合法的形式写出证明过程，这是解数学问题的一种重要思想方法．Thank you for watching !。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

从而知甲比乙首先到达指定地点。
讨论：如果 m n ，甲、乙两人谁先到达指定地点？
三、课堂练习： 1．比较下面各题中两个代数式值的大小：
（ 1） x 2 与 x2 x 1 ；（ 2） x 2 x 1 与 ( x 1) 2 .
2．已知 a 1. 求证：（ 1） a 2
2a
1;
2a
（ 2）
1
a2
1.
第二讲证明不等式的基本方法
课题：第 01 课时不等式的证明方法之一：比较法教学目标：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学重、难点：能熟练地运用作差、作商比较法证明不等式。教学过程：一、新课学习：
要比较两个实数的大小，只要考察它们的差的符号即可，即利用不等式的性质：
a b ab 0 a b ab 0 a b ab 0
= 2( x4 x3 x 1)
= 2( x 1) 2 ( x2 x 1)
= 2( x 1) 2[( x
1 )2
3 ].
24
x 1,从而 (x 1) 2 0,且 ( x 1 )2 3 0, 24
∴ 2( x 1) 2[( x 1) 2 3] 0, 24
∴ 3(1 x2 x 4 ) (1 x x 2 )2 .
ab bb (aa b
ba b )
，从而原不等式得证。
0
2）商值比较法：设 a b 0,
a 1, a b 0,
b
aa bb
ba
ab
( a ) a b 1. 故原不等式得证。 b
例 4、甲、乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点。甲有一半时间以速度
m 行走，另一半
时间以速度 n 行走；乙有一半路程以速度 m 行走，另一半路程以速度 n 行走。如果 m n ，
abc
3．若 a b c 0 ，求证 a ab bcc (abc ) 3 .
四、课时小结：
比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法。用比较法证明不等式的步骤是：作
差（或作商）、变形、判断符号。 “变形”是解题的关键，是最重一步。因式分解、配方、凑
成若干个平方和等是“变形3、 4 题。
六、教学后记：
S
22
2m 2n
t2 ，可得 t1
2S ， t2 mn
S(m n)
，
2mn
从而 t1 t 2
2S S( m n) m n 2mn
S[ 4mn ( m n) 2 ] 2(m n)mn
S(m n) 2
，
2(m n)mn
其中 S, m, n 都是正数，且 m n 。于是 t1 t 2 0 ，即 t1 t 2 。
二、典型例题：
例 1、设 a , b 都是正数，且 a b ，求证： a 3 b 3 a 2b ab2 。例 2、若实数 x 1 ，求证： 3(1 x 2 x4 ) (1 x x2 ) 2.
证明：采用差值比较法：
3(1 x 2 x 4 ) (1 x x 2 ) 2
= 3 3x 2 3x 4 1 x2 x 4 2x 2x2 2x 3
讨论：若题设中去掉 x 1 这一限制条件，要求证的结论如何变换？
教学札记
例 3、已知 a, b R , 求证 a a bb a bb a .
本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行。
证明： 1) 差值比较法：注意到要证的不等式关于 a, b 对称，不妨设 a b 0.
ab 0 a abb abb a
问甲、乙两人谁先到达指定地点。
分析：设从出发地点至指定地点的路程是 S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t1 ,t 2 。要回答题目中的问题，只要比较 t1 ,t 2 的大小就可以了。
解：设从出发地点至指定地点的路程是
S ，甲、乙两人走完这段路程所用的时间分别为
t1 ,t 2 ，根据题意有 t1 m t1 n S ， S