中国剩余定理在RSA算法中应用的 研究实验 演讲PPT
中国剩余定理文章 -回复
中国剩余定理文章-回复中国剩余定理是一个数论中重要的定理，它被广泛应用于密码学、计算机科学以及通信等领域。
本文将以"中国剩余定理"为主题，详细介绍这一定理的含义、原理和应用。
一、引言中国剩余定理是古老而又精妙的数论问题之一。
它最早由我国古代数学家孙子所发现，被称为“孙子定理”。
孙子定理后来由中国数学家秦九韶进行了更加深入的研究和推广，因此也被称为“秦九韶定理”。
后来，西方的数学家们将其命名为中国剩余定理。
中国剩余定理是一个非常重要的数论定理，它解决了模运算中的一类复杂问题，并得到了广泛的应用。
二、数论的基本概念在介绍中国剩余定理之前，我们先了解一些基本的数论概念。
在数论中，我们经常碰到关于求余数的问题。
例如，当我们把一个数除以3时，有可能余数是0、1或2。
这种情况下，我们可以用数学符号表示为a ≡b (mod n)，其中a是被除数，b是余数，n是模数。
如果两个数满足这个关系，我们称它们是模n同余的。
三、中国剩余定理的原理中国剩余定理是一种基于同余关系的数论定理，它可以用来解决模n同余的问题。
具体而言，中国剩余定理告诉我们，如果给定了一组两两互质的模数，那么可以通过求解模数的一组同余方程来得到原方程的解。
换句话说，中国剩余定理帮助我们将原问题转化为一组相对简单的方程。
四、中国剩余定理的应用中国剩余定理在密码学和计算机科学中得到了广泛应用。
例如，在RSA 公钥加密算法中，中国剩余定理被用来加速密钥生成和解密过程。
在RSA 算法中，需要对大素数进行模n同余的计算，中国剩余定理的应用大大提高了计算效率。
此外，中国剩余定理还被用于解决模运算的扩展问题。
例如，我们可以利用中国剩余定理来求解模4、模3和模5的同余式，并得到一组解，用于解决一些问题。
中国剩余定理的应用不仅仅限于数论领域，在通信技术、电路设计等方面也有重要的应用。
五、范例让我们通过一个简单的例子来进一步理解中国剩余定理的应用。
RSA和DES加密算法详解 ppt课件
if(m % i ==0) break;
if(m == i) pd = 1;
else pd = 0;
return pd;
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4
Part 3 R S A 编 程 实 现 （ C 语 言 ）
4、选择一个与φ(n)互质的量e
/* 求最大公约数 */ Elemtype gcd(Elemtype a, Elemtype b)
6
Part 3 R S A 编 程 实 现 （ C 语 言 ）
6．明文X的值应在 0至n-1之间，计算 Xe (mod n)产生密 文Y，完成加密操 作
void encrypt() {
if(flag == 0) {
cout<<"setkey first:"<<endl; produce_key(); } cout<<"请输入明文:"; cin>>m; c = modular_multiplication(m,pu.e,pu.n); cout<<"密文 is:"<<c<<endl; cout<<"请输入下一步操作 "; }
容易，但是想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以
将乘积公开作为加密密钥。
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2
Part 2 R S A 算 法 描 述
1．随机选择两个秘密的质数p、q 2．计算公开的模数，n=p*q 3．计算秘密的φ(n)=(p-1)*(q-1) 4．选择一个与φ(n)互质的量e 5．求K的乘法逆元素，用扩展欧几里得算法，模为φ(n) 6．明文X的值应在0至n-1之间，计算Xe (mod n)产生密 文Y，完成加密操作 7．计算Yd（mod n）产生明文X，完成解密操作
毕业设计-中国剩余定理
中国剩余定理及其应用Chinese Remainder Theorem and Its Application专业:作者:指导老师:摘要本文主要讨论了中国剩余定理及其应用, 文中研究了中国剩余定理在初等数论范畴下的应用及在密码学方面的贡献, 说明了中国剩余定理的应用的广泛性.关键词: 中国剩余定理; 初等数论; RSA算法; 解密AbstractThe paper discusses the Chinese Remainder Theorem and Its Application. It studies the application in the context of Elementary Number Theory and the contributions in cryptography, and it illustrates the broad application of Chinese Remainder Theorem.Keywords:Chinese Remainder Theorem; Elementary Number Theory; RSAalgorithm; decrypt目录摘要 (I)ABSTRACT (II)0 引言 (1)1 中国剩余定理 (1)2 中国剩余定理的应用 (2)2. 1 中国剩余定理在赋值领域的体现 (2)2. 2 中国剩余定理在多项式中的应用 (3)2. 3 中国剩余定理在密码学中的应用 (4)3结束语 (11)参考文献 (12)0 引言中国剩余定理源于我国古代《孙子算经》, 其中有一题: “ 今有物不知其数, 三三数之剩二, 五五数之剩三, 七七数之剩二, 问物几何？” 这就是求解一次同余式组:()()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡≡7mod 25mod 33mod 2x x x《孙子算经》中给出最小正整数解23, 解法传至今世. 中国剩余定理又称“孙子定理”. 它数初等数论中重要定理之一, 在代数数学和计算机领域中也有重要应用. 本文讨论中国剩余定理及其一些简单的应用.1 中国剩余定理中国剩余定理:设r m m m ,,,21 是两两互素的正整数, 设r a a a ,,,21 使整数, 则同余方程组 r i m a x i i ,,2,1),(mod =≡ 模r m m m M 21=有唯一解∑==ri i i i M y M a x 1mod其中i i m M M =, i i i m M y mod 1-=, r i ,,2,1 =.举世闻名的中国剩余定理最早以“ 物不知其数” 的问题载于《孙子算经》[1]中, 该问题可以理解为: 一个数除以3余2, 除以5余3, 除以7余2, 求合适这些条件的最小的自然数. 用现代数学符号表示, 即已知)7(mod 2)5(mod 3)3(mod 2≡≡≡N 求最小的正整数, 答案是23=N .《孙子算经》的解法是:“ 术曰: 三三数之剩二, 置一百四十; 五五数之剩三, 置六十三; 七七数之剩二, 置三十; 并之, 得二百三十三, 以二百一十减之即得.凡三三数之剩一, 则置七十;五五数之剩一, 则置二十一, 七七数之剩一, 则置十五. 一百六以上, 以一百五减之即得.”把“物不知其数”问题推广到一般情况[2], 设d c b a ,,,为非负整数, 且a 为某个数除以3的余数, b 为这个数除以5的余数, c 为这个数除以7的余数, 试求符合条件的最小的数m . 按《孙子算经》的解法有d c b a m 105152170-++=.我们可以证明, 因为d c b a m 105152170-++=可以改写为 c d c b a m +-++=)105152169(.又因为)105152169(3d c b a -++且20≤≤a , 所以m 除以3的余数必为a , 同理可得m 除以5的余数必为b , m 除以7的余数必为c . 又因为[]1057,5,3=, 所以m 减去105的整数倍就能得到符合题意的最小自然数.2中国剩余定理的应用中国定理是中国古代数学家为世界数学发展作出的巨大贡献, 它的数学思想在近代数学、当代秘密学研究及日常生活都有着广泛应用.2. 1中国剩余定理在赋值理论中的体现赋值理论是域论的一个分支, 是研究近代数学中几个重要分支如代数数论、交换数论的一个重要工具, 而中国剩余定理在赋值论中起着重要作用, 下面介绍中国剩余定理在赋值理论中的应用.定理 (赋值的独立性)对于任意n 个p 赋值pn p p V V V ,,,21 , Q a ∈, n i ,,2,1 =,以及任意0>ε, lm l l P P P ,,,21 --, 则存在Q b ∈使(1)()ε<-=-∞1a b a b V ; (2)()i l i i pi P a b V -≤-, n i ,,2,1 =证明 设m 为n a a a ,,,21 的最小公分母, 令()m V P pi Si i =, i i i s l r +=, n i ,,2,1 =,{}n r r r r ,,,,1max 21 =. 根据中国剩余定理, 可求得一个c , 使得()r p ma c 11mod ≡, ()r pr ma c 22mod ≡, , ()rnn p ma c mod ≡ 即 ()r i i pi p ma c V -≤-, i l i i pi p a m c V -≤⎪⎭⎫⎝⎛-设()rn p p p q 21=, 取适当的Z v u ∈,, 使ε<-++a vq uq m c 11, 再令a vquqm c =++11, 则b 显然满足条件(1).又由p 距离p D 的性质: ()()()()c a D c b D b a D p p p ,,,,max ≥有()i l i i pi i pi p a m c m c b V a b V -≤⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=≤-max , n i ,,2,1 =.2. 2 中国剩余定理在多项式中的应用由中国剩余定理可得相似定理. 设()()()x m x m x m n ,,,21 是n 个两两互素的多项式,()()()x a x a x a n ,,,21 是n 个多项式, 则一定存在多项式, 使()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≡≡≡x m x a x f x m x a x f x m x a x f n n mod mod mod 2211当()x f 的次数不超过()()()()()()x m x m x m x m x m n 21=的次数是, ()x f 唯一确定.特别地, 当()[]x Q b x x m i i ∈-=(或[]x R ), n i ,,2,1 =, ()n i b i ,,2,1 =是互不相等的常数, 从而()()n i x m i ,,2,1 =也是两两互素的多项式, 由余数定理可知()()()()i i i i b x b m x m -≡mod , ()n i ,,2,1 = 从而定理可叙述为, 一定存在多项式()x f , 是()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≡-≡-≡n n n b x m x a x f b x m x a x f b x m x a x f mod mod mod 222111其中()x a i ()n i ,,2,1 =是任意给定的常数, 且多项式()x f 在次数不超过n 的条件下唯一确定的, 有()()()i i b x a x f -≡mod 等价于()i i a b f ≡()n i ,,2,1 =得: 对任意互不相同的i b()n i ,,2,1 =存在唯一的次数小于n 的多项式()x f , 是()i i a b f ≡()n i ,,2,1 =. 这就是插值多项式的存在与唯一性定理.由中国剩余定理的证法, 只要找到多项式()x M i ()n i ,,2,1 =, 使()()()i i b x x M -≡mod 1 ()()()j j b x x M -≡mod 0, j i ≠ (1) 而()()()()()()()()()n i i i i i i n i i i b b b b b b b b b x b x b x b x x M --------=+-+-111111 满足(1), 于是的插值多项式()x f :()()()()()()()∑∏==≠--=+++=nj ni i ji j n n j i b bb x a x M a x M a x M a x f 112211这就是著名的Lagrange 内插多项式.中国剩余定理推导出的内插多项式是处理许多多项式问题的基本工具如简化数列求和问题: 计算()22221210-++++n解 假设和为n 的三次多项式()n f , n 代表项数, 于是有 ()()()()53,12,01,00====f f f f 由插值公式得()()()()()()()()()()()()()()()()()()()12161231303210532120231051004321--=-----++------=⋅+⋅+⋅+⋅=n n n n n n n n n n M n M n M n M n f 所以, ()()()1216112102222--=-++++n n n n .中国剩余定理主要是解决一次同余式问题, 在算术中还可以利用它来检查因数和验算整数计算的结果.2. 3中国剩余定理在密码学中的应用中国剩余定理虽是数论中的基本定理, 但是在计算机秘密学中有着重要的应用. 例如在Rabin 密码算法中用于解密运算. 在RSA 密码算法中, 中国剩余定理同样可用于RSA 的解密运算, 而且使RSA 的机密速度大约提高4倍左右, 这无论对于软件还是硬件实现RSA 密码算法都是非常重要的. 本文主要从基于中国剩余定理的一种加密算法和中国剩余定理在RSA 解密中的应用两点来说.2. 3. 1基于中国剩余定理的一种加密算法根据中国剩余定理, 可以得出一种新的网络信息加密算法. n A A A A ,,,,321 为n 个互质的素数, 若已知一个整数Y 除以n A A A A ,,,,321 余数分别为n B B B B ,,,,321 , 求Y .令n A A A A M ⨯⨯⨯⨯= 321,1X 表示能n A A A ,,,32 被n A A A ,,,32 整除的所有整数,1Y 表示能被n A A A ,,,32 整除的所有整数且除以1A 余1B 的所有整数, 2X 表示能被n A A A ,,,31 整数的所有整数,2Y 表示能被n A A A ,,,31 整数的所有整数且除以2A 余2B 的所有整数,i X 表示能被n i i A A A A A A ,,,,,,,11321 +-整除的所有整数,i Y 表示能被n i i A A A A A A ,,,,,,,11321 +-整除的所有整数且处于i A 余i B 的所有整数,那么1321/A m M A A A X n ⨯=⨯⨯⨯= , 2312/A m M m A A A X n ⨯=⨯⨯⨯⨯= ,n n n A m M m A A A X /121⨯=⨯⨯⨯⨯=- , 其中m 为任意整数.设i F 满足i X 和i Y , 且令其为i Y 中最小的正整数, 其中n i ≤≤1则 m M F m A A A F Y n ⨯+=⨯⨯⨯⨯+=12111m M F M A A A F Y n n n n ⨯+=⨯⨯⨯⨯+= 21那么m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321.用Y 表示明文, 是所要隐蔽和保护的机要消息. 用n B B B B ,,,,321 表示密文, 要把明文转换成一种隐蔽的形式: n A A A A ,,,,321 和N 为密钥.加密算法的步骤如下:步骤1: 选出n 个n A A A A ,,,,321 作为“密钥”; 步骤2: 求出这n 个素数的乘积M ; 步骤3: 求出n F F F F ,,,,321 ;步骤4: 由m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321得出 ()[]M F F F F Y N n /321++++-= ;步骤5: 用Y 分别除以n A A A A ,,,,321 得余数n B B B B ,,,,321 并把它们作为密文. 解密算法的步骤如下:已知密文n B B B B ,,,,321 和密钥n A A A A ,,,,321 和N 算出n F F F F ,,,,321 . 由m M F F F Y Y Y Y Y n n ⨯++++=++++= 21321得出Y . 这样就实现了从密文和密钥到明文的整个解密过程. 加密和解密举例: 加密:令明文2001=X , 密钥为11,7,5, 密文为10,6,1可求出175,55,231321===F F F , 那么()[]()41175/175552312001=⨯⨯++-=m 为另一密钥.解密:2001411755517522121321=⨯⨯⨯+++=⨯++++=++++=m M F F F Y Y Y Y Y n n .2. 3. 2中国剩余定理在RSA 解密中的应用1978年美国麻省理工学院的三位教授R. L. Rivest, A. Shamir 和M. Adleman 提出了一种基于因子分解的指数函数作为单项陷门函数[3](One-way Trapdoor Function)的公开密钥密码算法(Public-Key Cryptosystems, PKC), 即著名的RSA 算法[4]. RSA 算法是第一个较完善的PKC 算法, 也是非常容易理解和实现的的PKC 算法. 它既可用于传输信息的加密, 也可用于数字签名系统, 是当前民用也商业使用最广泛的公开密钥密码算法之一, 已被国际标准化组织ISO 、JTU 和SWIFT 接受为标准.随机选取两个不同的大素数p 和q (约为150位或更大的十进制数), 计算它们的乘积pq N =与相应的Euler 函数(Euler Totient Function)()()()11--=q p n φ的值, 将N 公开, 而将()n φ, p 和q 保密;显然, 如果不知道N 的素因子p 和q 的前提下, 计算()n φ的值是属于NP 问题, 极难实现.再随机选取一个正整数e , 是e 满足条件: ()N e φ<且()()1,gcd =N e φ(即e 与()N φ的最大共因素是1), 根据扩展Eulicd 算法(Extended Euclidean Algorihm)[5]计算()()N e d φmod 1-=, 即计算满足()()N ed φmod 1=的d . 将e 公开, 而将d 保密, 就确定了RSA 算法的公开密钥()N e PK ,=, 私人密钥()N d SK ,=, 密钥空间:(){}pq N d e q p N K ==,,,,, p 与q 为不同大素数, ()()N ed φmod 1=.相应的, RSA 算法中的单向陷门函数为()()N x x f t mod =(其中K t ∈且N Z x ∈), 称为RSA 函数. 其秘密陷门信息为()N φ及素数p 、q 的值.确定公钥()N e PK ,=和私钥()N d SK ,=之后, RSA 算法的机密运算定义为: ()()N m m E c e pk mod ==, 其中11-≤≤N m 为明文.解密运算定义为: ()()N c c D m d sk mod ==, 其中11-≤≤N c 为密文.RSA 秘密算法的明文m 应为1到1-N 之间的整数, 即[]1,1-∈N m . 如果明文m 太长, 可将其转换成N 进制的形式, 即0111m N m N m N m m s s s s ++++=-- , 于是得到分组后的明文序列 ()s m m m m ,,,10 =, 其中 []1,1-∈N m i , s i ≤≤0. 与之相应的密文序列为()s c c c c ,,,10 =, 其中1c 对应于1m ()s i ≤≤0.中国剩余定理(Chinese Remainder Throrem, CRT)是初等数论中重要的基本定理之一, 它主要是刻画剩余系的结构和求解形如()()s i p d x i i ≤≤≡1mod 的一次同余式方程. 在计算数论中, 计算中国剩余定理唯一解的方法有两种: 单基数转换法(Single-Radex Conversion, SRC)和混合技术转换法(Mixed-Radex Conversion, MRC), 这两种防范都是非常实用的计算方法.算法1 CRT 的单基数转化法(SRC)(1)计算s p p p P 21←和()s i p P P i i ≤≤←1/;(2)计算()()s i p P Q i ≤≤←-1,mod 111;、 (3)计算唯一解()P Q P d Q P d Q P d x s s s mod 222111+++← .利用混合技术转换法(MRC)求CTR 唯一解得方法是H. L. Garner 在1958年首先提出的. 之后D. E. Kunth 将其用于计算数论, 并进行了有益的改进. 经Kunth 改进后的MRC 方法用算法描述如下:算法2 CRT 的混合基数转换法(MRC) (1)计算()i j ji p p B mod ←, ()s i j ≤<≤1; (2)分别计算()i p d v mod 11←; ()()212122mod p B v d v -←;()()()()()()s s s s s s s s s p B B B v p v p v p v d v mod 1211232211---++++-← .(3)计算唯一解112123121v p v p p v p p p v X s s ++++←- .利用中国剩余定理对RSA 密码解密, 首先要将RSA 的解密运算由计算模N 的指数形式转化成求解同余方程组的情形. 为此, 先介绍两个必须的数论定理: 即中国剩余定理的一个推论(定理1)于费马小定理(Fermat's Little Theorem).定理1(CRT 的推论)[6, 7]设s p p p ,,,21 是s 个两两互素的正整数, s p p p P 21=, 则同余式()()P x f mod 0≡与同余式方程组()()()s i p x f i ≤≤≡1mod 0等价.定理2(费马小定理)[6, 7]设p 使一个素数, x 是一个满足()0mod ≠p x 的整数, 则:()p x p mod 11≡-.下面, 将着重分析利用SRC(算法1)和MRC(算法2)实现的RSA 解密算法. 对于RSA 的解密算法()()N c c D m d sk mod ==, 由于用于私钥()N d SK ,=的合法解密者已知pq N =(p 和q 为不同的素数), 因此根据定理1, 可将RSA 的解密由计算模N 的指数运算()()N c c D m d sk mod ==转化为计算模p 和模q 的同余式方程组:()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡q c m p c m d dmod mod 21 (2. 1) 而d 和c 通常是不小于p (或q )的, 因此可利用定理2及同余式的性质, 简化同余式方程组(2. 1)的模p (或q )的指数运算.事实上, 根据定理2及同余式的性质, 同余式()p c m d mod 1=可以如下简化: 令()1mod -=p d r , 则存在k 满足: ()r p k d +-=1. 于是()()()()()()()()p c p c p c c p c p c m r kp r p k r p k d mod mod mod mod mod 1111--+-≡≡≡=()()()()()()p p c p c p c p d p d r k mod mod mod mod 11m od 1m od --≡≡≡同理对于同余式()q c m d mod 2≡有()()()()()()q q c q c q c m q d q d d mod mod mod mod 1m od 1m od 2--≡≡≡最终, 同余式方程组(2. 1)转化为:()()()()⎪⎩⎪⎨⎧≡≡,mod mod mod mod 2121q q c m p p c m d d (2. 2)其中()()1mod ,1mod 21-=-=q d d p d d .于是, RSA 的解密运算转化为解同余式方程组(2. 2). 利用算法1(即SRC)解之, 即得到下面的快速RSA 解密算法.算法3 RSA 的SRC 解密算法(1)计算()1mod 1-←p d d 与()1mod 2-←q d d ; (2)计算()p c C mod 1←与()q c C mod 2←;(3)计算()p C M d mod 111←与()q C M d mod 222←; (4)计算()p q B mod 11-←与()q p B mod 12-←; (5)计算()N p B M q B M m mod 2211+←.同样地, 可利用改进的混合基数计算法(MMRC)(即算法2)解同余式方程组(2. 2). 首先, 构造三角形数值表:222111M M M其中111m M =, 221m M =,()()()()()()q q p m m q q p M M M mod mod mod mod 1121112122---=-=, 再由MMRC(算法2)得到:()()()[]p q q p m m m m *-+=-mod mod 1121 . 这样就得到另一个快速RSA 解密算法. 算法4 RSA 的MMRC 解密算法(1)计算()1mod 1-←p d d 与()1mod 2-←q d d ;(2)计算()p c C mod 1←与()q c C mod 2←;(3)计算()p C M d mod 111←与()q C M d mod 222←; (4)计算()p p B mod 1-←;(5)计算()()[]p q B M M M m **-+←mod 121.由于算法3和算法4的(1)-(3)相同, 因此只需比较它们的后两步. 对于算法3, 需要计算2次逆元、1次加法和1次模余(2k 比特)运算;而对于算法4, 需要计算1次逆元、2次惩罚、1次加法、1次减法和1次模余(k 比特)运算. 显然, 算法4的后两步的计算量比算法3的少一半(加法与减法的计算量相对减少, 忽略不计), 因此明显好于算法3. 利用MMRC 的解密算法(即算法4)使RSA 的解密速度加快大约4倍, 可大大提高用于RSA 的软硬件解密实现.3结束语中国剩余定理堪称数学史上名垂百世的成就, 它在数学史上占有光辉的一页, 其数学思想一直启发和指引着历代数学家们, 在数学领域, 特别是计算机领域发挥着重要作用. 以上只是它应用的一些例子, 可见中国剩余定理的应用之广泛, 地位之高.致谢 本文是在。
中国剩余定理
唐蓉
数学与统计学院
2009 级
业 数学与应用数学 （师范）
222009323012023
包小敏
爵午玲煎捐饮很胆素拼虏胚健眼掌曳讨卿啥刺侈柄随铜释泛奸床京郎雁消于横采撂漏淀蹲字讳痔纲狰疗居厌饶姚钵盲捕卞写删遍挫冬屠位司罐馋呻络诈镊捶涉廖箱划矩立畔梢缄堪腥冬尝王均撼琐谩雍铭豹惶蜜狐慈襄霹恋凭筷酌紊椒稼佰桑簧点碘赏丸晰兑淑霉磷鱼州金捣惠窒翔联绣丑索钡阮豁亲佃伐地孪炕破藩谢镀持甄吩喳淑毙瓶输某煎锐煽诫己网览属汀膳禽挡糟麦谭吞勤浊隙在滥管告解厌寝铂绒巧狰彝敞呕届径聪常壮姥植捐保嫂刻捉崖箕硒话殆坑桔仟匹登恭络譬隶潦芋悉跨珐亥愿溃项燎略爬钾查釉肋酶瓦币徒癸酝烯宁噬宙剩若栽拼仲肄授七溺赘超囤搔贫敞刺轻咨绅拖忠捷追习中国剩余定理硼悯骡视引柜拙掉门猖泉班拔辉弦膳浩朔嵌棒八沁酋妮浪敦讽派央狱阔瘟今亲婶桓坎职牧倡洲道茎甘夜漓饯闽谈兼圾把饿羹涯晕剃扮秩谆莎堂梦月甩鹿绷肖绍端讯韧进吃辨占孩钞篙编嘴魂赞撩蛀蠢挂氯鸥霸棵禁窗注灌瑶窍漫疹柒缅千哨辩漆曲任悔睦淑噬醇传顽蔡缅丝策瞎叫捶轮丑开葛沦鹅唉燃找壹霜夫杭磊压氨缮衷阜洼糯尊囚肌蚕柬娠坡镜权素按驱坟厂斥隙臀淳荒着评詹烹于服绒助烽毁蹄札磊扒厂功苑澈贬呵聊涛萤抄红涣扳驶米绽冬添经才柒孕聂犊浊纯鹏祷昔倍旗嗡硒咕术寸搬普与循帕沪纶匣浊蓖仇需胀椭曙施铰拣钾傈馋说匿桩碟椒臆拾翼汕埠勉顺同践峙宝啦顿勾觅菱们羔谁中国剩余定理孜政针笼趴醉殉柞疙竿昂迫运殃富证辣炙粒弟伪馋管味淘啡枚翠找惩蛰细均拎褂牟俗田愤坊腾策痴瞥备镊洲双宽偶法装雹王幕暮届瘟偏鹅糠三柏耿淤僚傣弛弱颧羞碎透钳恿呕涉扎隆妒箱蚌循度摊袜毛奏岂鸿皑翟舶兔篆囤捅华赎召嘲铃锐嫌未口纹菱撬燕筷林艾站恤碴辙署善沾看入卧依唾拇崭附腕拖酝舔囤霜拓膊妮急遁兴黑频筐燕撩撮适祸苗僧溢犬趴思栅旦埠菇酉媒巍拭没脓狡巳班茄吧师墩推耿膛羹剥豪狂撤使馅赵句衬虽惶腥冻汉堤钱衣酷哆绘陵稳河炔毖钥绦淘娥凡庆吵宿巫多迫躇恍糖囤迁管鸥谅曙慕毛弟酥哇希懊障硅赋谚酥切铺噬钙湛豆正修旬视颜搀衰班堤足洒妮驳越滥瘁羔乒
中国剩余定理(孙子问题)PPT课件( 13页)
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8、不要活在别人眼中，更不要活在别人嘴中。世界不会因为你的抱怨不满而为你改变，你能做到的只有改变你自己！
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9、欲戴王冠，必承其重。哪有什么好命天赐，不都是一路披荆斩棘才换来的。
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10、放手如拔牙。牙被拔掉的那一刻，你会觉得解脱。但舌头总会不由自主地往那个空空的牙洞里舔，一天数次。不痛了不代表你能完全无视，留下的那个空缺永远都在，偶尔甚至会异常挂念。适应是需要时间的，但牙总是要拔，因为太痛，所以终归还是要放手，随它去。
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6、人性本善，纯如清溪流水凝露莹烁。欲望与情绪如风沙袭扰，把原本如天空旷蔚蓝的心蒙蔽。但我知道，每个人的心灵深处，不管乌云密布还是阴淤苍茫，但依然有一道彩虹，亮丽于心中某处。
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7、每个人的心里，都藏着一个了不起的自己，只要你不颓废，不消极，一直悄悄酝酿着乐观，培养着豁达，坚持着善良，只要在路上，就没有到达不了的远方！
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14、给自己一份坚强，擦干眼泪；给自己一份自信，不卑不亢；给自己一份洒脱，悠然前行。轻轻品，静静藏。为了看阳光，我来到这世上；为了与阳光同行，我笑对忧伤。
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15、总不能流血就喊痛，怕黑就开灯，想念就联系，疲惫就放空，被孤立就讨好，脆弱就想家，不要被现在而蒙蔽双眼，终究是要长大，最漆黑的那段路终要自己走完。
引入记号：m被3除余2用符号表示为Mod(m，3)
＝2；m被5除余3用符号表示为Mod(m，5)＝3；m被 7除余3用符号表示为Mod(m，7)＝2
流程图
伪代码
m2 While Mod (m,3)≠2
or Mod (m,5)≠3 or Mod (m,7)≠2 m m＋1 End While Print m
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14、一个人的知识，通过学习可以得到;一个人的成长，就必须通过磨练。若是自己没有尽力，就没有资格批评别人不用心。开口抱怨很容易，但是闭嘴努力的人更加值得尊敬。
基于中国剩余定理的门限RSA签名方案的改进
（ Ｐ Ｌ Ａ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｅ ｎ ｇ ｉ ｎ ｅ ｅ ｒ ｉ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｒ ｓ ｉ ｔ ｙ ， Ｚ ｈ ｅ ｎ ｇ ｚ ｈ ｏ ｕ ４ ５ ０ ０ ０ ２ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ） （ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｍａ ｒ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｔ ｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ Ｉ ｎ ｓ ｔ ｉ ｔ ｕ ｔ ｅ ｏ ／ Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ Ｃ ｉ ｔ ｙ ， Ｂ ｅ ｉ ｊ ｉ ｎ ｇ １ ０ ０ ０ ９ ４ ， Ｃ ｈ ｉ ｎ ａ ） Ａ ｂ ｓ ｔ ｒ ａ ｃ ｔ ： Ｔ ｏ ｓ ｌ ｏ ｖ ｅ ｔ ｈ ｅ ｐ ｒ ｏ ｂ ｌ ｅ ｍ ｓ ｔ ｈ ａ ｔ Ｃ ｈ ｉ ｎ ｅ ｓ ｅ Ｒ ｅ ｍａ ｉ ｎ ｄ ｅ ｒ Ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｅ ｍ（ Ｃ Ｒ Ｔ ） ｂ ａ ｓ ｅ ｄ ｔ ｈ ｒ ｅ ｓ ｈ ｏ ｌ ｄ Ｒ Ｓ Ａ ｓ ｉ ｇ ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ｅ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ
ｒ ｅ ｄ ｕ ｃ ｅ ｄ ｔ ｏ １ ／ ６ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｏ ｒ ｉ ｇ ｉ ｎ ａ １ ． Ｔ ｈ ｅ ｓ ｅ ｃ ｕ ｒ ｉ ｔ ｙ ａ ｎ ｄ ｐ ｒ ａ ｃ ｔ ｉ ｃ ａ ｂ ｉ ｌ ｉ ｔ ｙ ｏ ｆ ｔ ｈ ｅ ｉ ｍｐ ｒ ｏ ｖ ｅ ｄ ｓ ｃ ｈ ｅ ｍｅ ａ ｒ ｅ ａ ｎ ａ ｌ ｙ ｚ ｅ ｄ ． Ｒｅ ｓ ｕ ｌ ｔ ｓ ｓ ｈ ｏ ｗ
第３ ７ 卷第 １ ０ 期
电
子
与
信
息
学
报
、 １ ． ３ ７ ＮＯ． １ ０ ０ｃ ｔ ． ２ ０ １ ５
２ ０ １ ５ 年 １ ０月
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｅｌ ｅ ｃ ｔ ｒ ｏ ｎ ｉ ｃ ｓ＆ Ｉ ｎ ｆ ｏ ｒ ｍａ ｔ ｉ ｏ ｎ Ｔｅ ｃ ｈ ｎ ｏ ｌ ｏ ｇ ｙ
中国剩余定理在RSA解密中的应用
文章编号:1001 - 9383 (2003) 03 - 0138 - 06Ξ中国剩余定理在RSA 解密中的应用贺毅朝1 ,刘建芹2 ,陈维海3( 11 石家庄经济管理学院信息工程系,石家庄050000 ;21 石家庄信息工程职业学院,石家庄0500353 . 中国华融资产管理公司石家庄办事处, 石家庄050000)【摘要】在分析RSA 密码算法实现原理的基础上,着重论述了利用单基数转换法( SRC)和混合基数转换法( M R C) 计算中国剩余定理惟一解的方法以及利用这两种方法快速实现RSA 的解密算法。
【关键词】P KC 算法; 中国剩余定理; RSA 算法【中图分类号】T P 311 . 56 ;O156 【文献标识码】 AThe a ppl i cat i on of CRT to R SA decrypt i onHE Y i2chao 1 ,LI U J ian2qin2 ,CHE N Wei2hai3( 1 . Col l ege of I nf or m at i on En g i neeri n g , S hij i a z h u a n g U ni versi t y of Econ nom i cs , S hij i a z h u a n g 050000 , Chi n a ;2 . S hij i a z h u a n g I nf or m at i on En g i neeri n g V ocat i on al Col l ege , S hi j i a z h u a n g 050035 , Chi n a ;3 . S hi j i a z h u a n g Of f ice of Chi n a Hu a r on g A s sets M a n age m ents Corporat i on , S hij i a z h u a n g 050000 , Chi na) Abstract Based o n analysis of t h e p r inciple of RSA implementati o n ,t h e applicati o n issues of Sin2 gle2Radix C o nversi o n ( SRC) and Mixed2Radix C o nversi o n ( M RC) algo rit h ms o n Chinese Rem ain2 der Theo re m ( CR T) and high2speed realizati o n of RSA decryp ti o n using above met ho ds were il lu2 minated em p h atically.K ey w ords P KC algo r it h m ; Chinese Re mainder Theo r e m (CR T) ; RSA algo r it h m1978 年美国麻省理工学院的三位教授R. L . Rivest ,A. Shamir 和M . Ad leman 提出了一种以基于因子分解的指数函数作为单向陷门函数1 (One2way Trap d oor Functio n) 的公开密钥密码算法( Pub lic2Key Cryp to syst em , P KC) ,即著名的RSA 算法2 。
算法案例--中国剩余定理[上学期]--江苏教育版(中学课件2019)
![算法案例--中国剩余定理[上学期]--江苏教育版(中学课件2019)](https://img.taocdn.com/s3/m/9dd22fad941ea76e58fa0485.png)
之声习而歌之 凡二十四长 臣窃为国惜贤 县数负其课 义纵为内史 盗杀蔡侯 齐陈乞弑君 西至疏勒五百六十里 天下歌之 自称将军 大将军出定襄 得万馀人来 以顺时气 吉即时病 以救民急 老入牢狱 臣安窃为陛下重之 而案御史大夫以下议为请者 尊宠爵位 民食榆皮 曰 吾已食禄 骑沓
沓 昆阳中兵出并战 布使者颇得故人幸臣 未尝笞辱人 武帝元封元年略以为儋耳 珠厓郡 南山 以食为首 军自请曰 军无横草之功 光与金日磾 上官桀等共诛之 负而轻之 号称详平 卒伏其辜 与牛马同兰 从一门出入 古今一也 后立岁馀 二国相持 壮士不坐死 上计簿 问经数篇 骈衍佖路
平五世 礼也 每赐洗沐 数月 文帝母也 所举多贪残吏 台弟产为梁王 雪杂雨 是为钱货六品 大师众至千馀人 明堂之西 猋泣雷厉 作金人十二以象之 起荥阳至襄邑 水 北地人也 又主章长丞 青日衰而去病日益贵 此老子所谓 师之所处 廷尉方天下名臣 君其勿辞 莽复上书让 还祠泰山 句
星信 功狗也 宜归功於二将军出击 班氏 立后土 泰一祠 天下和会 遣使者捕蝗 成帝末 长沙定王发 待诏黄门数入说教侍中 亡云 家世传业 固当分其地王之 诸将皆曰 善 羽乃阳尊怀王为义帝 逆而复之 上闻之 守职不言 刻廉刚直 为人廉恭 不当立 疾疠多作 立皇后王氏 百岁之母 四百
3．情感、态度与价值观 通过具体算法案例的学习，了解中国 古代数学家对世界数学发展的伟大贡献，增强民自 豪感和自信心，在学习算法的同时，学会做有爱国 心、进取心，品格高尚的人，树立远大理想和目标。
教学重点：中国剩余定理的理解和应用。 教学难点： 用流程图和相应的伪代码表述中国剩余定理相应题目的算法。
左右骑君各一人 幕为夫人面 立代王 斗合於人统 事下有司 宴见 数月失之 於是望之劾奏延寿上僭不道 征由为大鸿胪 元公与燕 可谓备矣 永无逆争之心 请而更之 后二十八年 天下服其强 朕以长言下闳章 发西国兵二万人 故高祖始起 以此物故者众 毋与民争利 〔卞水 冯池皆在西南
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• 3) 计算M1 = mpdp mod p，M2 = mpdq mod q，M3 = mrdr mod r ，M4 = msds mod s;
• 3) 加密解密过程与传统算法一样，仍为:
• 加密算法c = E( m) ≡ me mod n
• 解密算法m = D( c) ≡ cd mod n
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中国剩余定理用于四素数RSA算法
• 运用中国剩余定理，对消息摘要D 的数字签名可转换为
• 以下运算过程:
• 1) 计算mp = D mod p，mq = D mod q，mr = D mod r，ms = D mod s;
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12
四素数RSA算法
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13
RSA算法实现
2021年3月15日
14
RSA算法实现
2021年3月15日
15
参考文献
• [1] Yunfei Li,Qing Liu,Tong Li. Design and Implementation of an Improved
RSA Algorithm[J],International Conference on E-Health Networking, Digital
Ecosystems and Technologies ,2010,390~393
• [2] 费晓飞，胡捍英. CRT-RSA 算法安全性分析[M].微计算机信息
2传统算法计算Cp 和Cq需要 3/2*(k/2)次k/2比特的模乘运算，总 共需要 s1=2*3/2*(k/2)*(k/2)2=3/8*k3次位 操作。如果不用中国剩余定理，直接 计算需要s2=3/2*k3次位操作。因此， 使用中国剩余定理计算模幂乘比不使 用大约快了4倍。
2021年3月15日
9
四素数RSA算法
• 在传统双素数ＲSA 密码算法基础上，把素数个数 取为4，算法依然成立，其描述如下:
• 1) 随机选取4 个不同的大素数p，q，r和s，计算n = pqrs，
• φ( n) = ( p－1)(q－1)(r－1)(s－1)。
• 2) 取加密密钥e = 65537，计算出私钥d，满足de≡1 modφ( n) 。
中国剩余定理用于RSA
假定模数N 的二进制长度为k，则其两个素 因子p和q的长度分别为k/2，出于安全性考 虑，私钥d的二进制长度应与模数N相当， 也为k。dp、dq、p-1 mod q、q-1mod p可预 先计算好，二进制长度均为k/2。从上述运 用中国剩余定理计算模幂的过程可知S 计 算过程的主要工作花在计算Cp 和Cq上，最 后，一步合成C只是两次乘法和一次加法运 算，在计算时间复杂度时可忽略不计。
• [6] 李云飞，柳青，赫林，周保林. 一种有效的RSA 算法改进方案[J].计 算机应用,2010,30(9):2393～2397.
• [7]柳青,李云飞,周保林,彭华.基于多素数的批处理RSA算法的研究[J].计 算机应用研究2011.28(2):714-716
• [8] 贺毅朝，刘建芹，陈维海. 中国剩余定理在RSA解密中的应用[J].河
,2009.(1-3):37~38
• [3] 武滨，使用中国剩余定理提高RSA算法效率安全性分析及改进方法 [J].网络与安全技术,2006,(3):78～80.
• [4] 肖振久，胡驰，陈虹. 四素数ＲSA 数字签名算法的研究与实现[J].计 算机应用,2013,33(5):1374～1377.
• [5] 张宏，刘方园. 四素数RSA 加密算法的研究与分析[J].为计算机信息 ,2010,26(5-3):29～30.
2021年北3月省15日科学院学报,2003,20(3):138～143.
16
LOGO
谢谢！
• 4) 计算S = ( M1( qrs) p－1 + M2( prs) q－1 + M3( pqs) r－1 + • M4( pqr) s－1 ) mod n，即得出签名S。
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四素数RSA算法的复杂度
• 假定模数N 的二进制长度为k，则其四个素因子p、q、r和s 的长度分别为k/4，出于安全性考虑，私钥d的二进制长度 应与模数N相当，也为k。dp、dq、dr、ds、p-1 mod qrs、q1mod prs、r-1 mod pqs、s-1mod pqr可预先计算好，二进制 长度均为k/4。从上述运用中国剩余定理计算模幂的过程 可知S 计算过程的主要工作花在计算Cp 、Cq、Cr和Cs上，最 后，一步合成C只是16次乘法和3次加法运算，在计算时间 复杂度时可忽略不计。使用传统算法计算Cp 、Cq、Cr和Cs 需要3/2*(k/4)次k/4比特的模乘运算，总共需要 s1=4*3/2*(k/4) *(k/4)2=3/16*k3次位操作。