工程流体力学 第4章 旋涡理论和势流理论
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《工程流体力学》教学课件—04流体动力学基础
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第四节 恒定总流动量方程和动量矩方程
2
1
dA1
1
1
u1
dA2
1
2
t时流体质点系边界
2
2
u2
t+t时流体质点系边界
恒定总流，取过流断面1-1、2-2为渐变流断面，面积为A1、A2 ，
过流断面及总流的侧表面所围空间为控制体。控制体内的流体，
经dt时间，由1-2运动到1’-2'位置。
ρ gdQ ρ gu1dA1 ρ gu2dA2
z1
p1 ρg
u12 2g
ρ
gdQ
z2
p2 ρg
u22 2g
ρ
gdQ
hl 'ρ
gdQ
上式对总流过流断面积分
z1 A1
p1 ρg
ρ
gu1dA1
u12 ρ 2g
A1
gu1dA1
z2 A2
p2 ρg
ρ
gu 2dA2
u
2 2
ρ
2g
A2
第四章 流体动力学基础
第一节 理想流体运动微分方程
流体动力学三大方程之一，是牛顿第二定律的流体 力学表达式。
一、方程推导
根据牛顿第二运动定律 在y方向有 Fy=may，即：
D'
z
A'
p
p y
dy 2
dz p(x,y,z) B' O’
dx D dy
A
B
C'
p
p y
dy 2
C
y
o
x
(p
p y
dy 2
)
d
清华工程流体力学课件第四章不可压缩流体的有旋2
工程流体力学
为了把流体微团的速度进行分解，并以数学
形式表达出来，现将上式进行改造。在第一
式右边 、 ，在第二式右边 、 ， 1 v dy
1 w dz
1 u dx
1 w dz
2 x
2 x
2 y
2 y
在第三式右边 1 u dx 、 1 v dy ，重新整理后可得
2 z
2 z
到
u c u u x d x 1 2 u y x v d y 1 2 u z w x d z 1 2 u z w x d z 1 2 x v u y d y
第四章 不可压缩流体的有旋流 动和二维无旋流动
第一节 流体微团运动分析 第二节 有旋流动和无旋流动 第三节 无旋流动的速度势函数 第四节 二维平面流动的流函数 第五节 基本的平面有势流动 第六节 平面势流的叠加流动
2020/7/27
工程流体力学
2020/7/27
欢 迎 进 入 第 四 章 的 学 习
维平面势流理论。
2020/7/27
工程流体力学
第一节 流体微团运动分析
刚体的一般运动可以分解为移动和转动 两部分。流体与刚体的主要不同在于它具 有流 动性，极易变形。因此，任一流体微 团在运动过程中不但与刚体一样可以移动 和转动，而且还会发生变形运动。所以， 在一般情况下流体微团的运动可以分解为 移动、转动和变形运动三部分。
v c v y v d 1 2 y x v u y d x 1 2 v z w y d z 1 2 x v u y d x 1 2 w y v z d z
w c w w z d z 1 2 w x u z d x 1 2 w y v z d y 1 2 w y v z d z 1 2 u z w x d x
为了把流体微团的速度进行分解，并以数学
形式表达出来，现将上式进行改造。在第一
式右边 、 ，在第二式右边 、 ， 1 v dy
1 w dz
1 u dx
1 w dz
2 x
2 x
2 y
2 y
在第三式右边 1 u dx 、 1 v dy ，重新整理后可得
2 z
2 z
到
u c u u x d x 1 2 u y x v d y 1 2 u z w x d z 1 2 u z w x d z 1 2 x v u y d y
第四章 不可压缩流体的有旋流 动和二维无旋流动
第一节 流体微团运动分析 第二节 有旋流动和无旋流动 第三节 无旋流动的速度势函数 第四节 二维平面流动的流函数 第五节 基本的平面有势流动 第六节 平面势流的叠加流动
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工程流体力学
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欢 迎 进 入 第 四 章 的 学 习
维平面势流理论。
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工程流体力学
第一节 流体微团运动分析
刚体的一般运动可以分解为移动和转动 两部分。流体与刚体的主要不同在于它具 有流 动性，极易变形。因此，任一流体微 团在运动过程中不但与刚体一样可以移动 和转动，而且还会发生变形运动。所以， 在一般情况下流体微团的运动可以分解为 移动、转动和变形运动三部分。
v c v y v d 1 2 y x v u y d x 1 2 v z w y d z 1 2 x v u y d x 1 2 w y v z d z
w c w w z d z 1 2 w x u z d x 1 2 w y v z d y 1 2 w y v z d z 1 2 u z w x d x
流体力学漩涡理论
A
V Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
AB
V cos(V , ds )ds
AB
Vxdx Vydy Vzdz AB
A
速度环量单位为
m2 /s
V Vs
B
ds
漩涡理论
沿封闭周线C的速度环量
c c V s d s
V
α Vs
ds C
cV ds
V
c
xdx
V
ydy
1 2
VR2
p2(x2 2y2)c1 2V 2c
pp0 12V2VR2
结论：
旋涡外部压力分布：
pR
p0
1 2
V2
旋涡内部压力分布： pp012V2VR2
旋涡中心 r0, V 0
旋涡中心的相对压力为
pp0 VR2
旋涡外部:速度越大压力越小 旋涡内部:速度越小压力越小
兰金涡:
（Rankine）
r<R内为旋 转抛物面
3.速度环量的计算： （1）直接由定义计算 （2）由斯托克斯定理，计算漩涡强度
4.毕奥－沙伐尔定理的应用— —诱导速度场的计算
作业 105页 1（1），8，11，15
dt
漩涡理论
汤姆逊定理和斯托克斯定理说明：
1) 推论: 流场中原来没有旋涡和速度环量的, 就永远无 旋涡和速度环量。 原来有旋涡和速度环量的，永远有旋涡并保 持环量不变
2）在理想流体中,速度环量和旋涡不生不灭。 因为不存在切向应力，不能传递旋转运动。
2）流场中漩涡的产生起因于：粘性，非正压
流场，非有势力。
第五章：旋涡理论(vortex theory) 1.旋涡场的基本概念（涡线，涡管，旋涡强
流体力学 第四章
等式右边第一项写成
d d d u (dx) + v (dy ) + w (dz ) ∫ dt dt dt u2 v2 w2 = ∫ d + d + d 2 2 2
等式右边第二项，由 欧拉运动微分方程：
du 1 p dt = f x ρ x dv 1 p = fy ρ y dt dw 1 p = fz ρ z dt
亥姆霍兹第一定理：在同一瞬间涡管各截面上 的涡通量都相同 由该定理得到：涡管（涡线）本身首尾相接， 形成一封闭的涡环或涡圈；涡管（涡线）两端 可以终止于所研究流体的边壁上（固体壁面或 自由面）。
亥姆霍兹第二定理（涡管守恒定理）：正压性 的理想流体在有势的质量力作用下，涡管永远 保持为由相同流体质点组成的涡管。
龙卷 台风
日常生活中把绕某一中心旋转的流动（不一定 圆周运动）称作涡旋，即看流体质点运动迹线 来判断运动是否有旋。从流体力学的观点看， 这样的判断是不对的。 例：均匀流，切变流，自由涡，受迫涡 在迹线为同心圆的恒定流动中,速度与半径成 反比的流动称作自由涡，速度与半径成正比的 流动称作受迫涡
流体的涡旋运动有严格的定义： 流体速度的旋度不等于零，称为有旋运动，又 称作涡旋运动。 ω≠0 本节讨论的是涡旋运动的基本概念。
§1 环流定理
速度环流：在流场中任取封闭曲线k，如图所 示。速度V 沿该封闭曲线的线积分称为速度沿 封闭曲线 l 的环量，简称速度环量，用Γ 表 示，即
Γ = ∫ V dl =
l
∫ v cos α dl
l
式中 V ——在封闭曲线上的速度矢量； α ——速度与该点上切线之间的夹角。
速度环量是个标量，但具有正负号。规定沿曲 线逆时针绕行的方向为正方向，沿曲线顺时针 绕行的方向为负方向。 速度环量是旋涡强度的量度，通常用来描述漩 涡场。 Γ = ∫ V dl = ∫∫ × V dσ = ∫∫ n dσ
第四章 旋涡理论和势流理论
海南大学
第四章 旋涡理论和势流理论
主编：孙文策 教师：马庆芬
第四章 旋涡理论和势流理论
海南大学机电学院
工程流体力学
1 流体微团的运动分析
流体的流动分类 流体微团的运动：平移
平移 转动
有旋运动
无旋运动 转动 变形
变形
线变形
角变形
海南大学机电学院
工程流体力学
1.1 平移
如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、d ，经过dt时间后该四边形 移到 a’、b’、c’ d’，形状、大小没有变化，仅是平移了一段距离。 各点的速度大小和方向没有变化，即没有变形和转动。
条 件
速度势
无旋运动
海南大学机电学院
势流运动
工程流体力学
3.1 速度势
用势函数表示速度矢量：
d 2n dA
海南大学机电学院
斯托克斯定理得证
工程流体力学
3.2 斯托克斯定理
二. 定理证明
3.有限单连通域的斯托克斯定理证明： 将微元面积的结果推广到有限大面积中。把有限大面积划分成无数 个微元面积 求出每条边
再求和，内周线上的环 量相互抵消，只剩下沿 外周界线 L的环量。
d ，然后
d ABCD ( vA u A )dxdy x y
2z
海南大学机电学院
dA
dI 2n dA
斯托克斯定理得证
工程流体力学
d 2z dA dI
3.2 斯托克斯定理
二. 定理证明
2.空间任意平面上的斯托克斯定理证明： 以ABCA为周线的微元面积为dA,其周线上的速度环流为
u dtdy u y tan dt dy y
v dtdx v tan x dt dx x
第四章 旋涡理论和势流理论
主编：孙文策 教师：马庆芬
第四章 旋涡理论和势流理论
海南大学机电学院
工程流体力学
1 流体微团的运动分析
流体的流动分类 流体微团的运动：平移
平移 转动
有旋运动
无旋运动 转动 变形
变形
线变形
角变形
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工程流体力学
1.1 平移
如图：在流场中取一四边形流体a、b、c、d ，经过dt时间后该四边形 移到 a’、b’、c’ d’，形状、大小没有变化，仅是平移了一段距离。 各点的速度大小和方向没有变化，即没有变形和转动。
条 件
速度势
无旋运动
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势流运动
工程流体力学
3.1 速度势
用势函数表示速度矢量：
d 2n dA
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斯托克斯定理得证
工程流体力学
3.2 斯托克斯定理
二. 定理证明
3.有限单连通域的斯托克斯定理证明： 将微元面积的结果推广到有限大面积中。把有限大面积划分成无数 个微元面积 求出每条边
再求和，内周线上的环 量相互抵消，只剩下沿 外周界线 L的环量。
d ，然后
d ABCD ( vA u A )dxdy x y
2z
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dA
dI 2n dA
斯托克斯定理得证
工程流体力学
d 2z dA dI
3.2 斯托克斯定理
二. 定理证明
2.空间任意平面上的斯托克斯定理证明： 以ABCA为周线的微元面积为dA,其周线上的速度环流为
u dtdy u y tan dt dy y
v dtdx v tan x dt dx x
工程流体力学第4章流体在圆管中的流动
流体在圆管中的摩擦系数
定义
表示流体在圆管中流动时， 流体与管壁之间的摩擦力 与压力梯度之间的比值。
影响因素
流体的物理性质、管道的 粗糙度、流动状态等。
测量方法
通过实验测定，常用的实 验设备有摩擦系数计和流 阻仪等。
流体在圆管中的流动效率
定义
表示流体在圆管中流动的能量转 换效率，即流体在流动过程中所 消耗的能量与流体所具有的能量
流速分布受流体粘性和密度的影响， 粘性越大、密度越小，靠近管壁处流 速降低越快。
03
流体在圆管中的流动现象
流体阻力
01
02
03
定义
流体在流动过程中，由于 流体内部以及流体与管壁 之间的摩擦力而产生的阻 力。
影响因素
流体的物理性质、流动状 态、管道的形状和尺寸等。
减小阻力措施
选择适当的流速、优化管 道设计、使用减阻剂等。
之比。
影响因素
流体的物理性质、管道的形状和尺 寸、流动状态等。
提高效率措施
优化管道设计、改善流体物性、降 低流速等。
流体பைடு நூலகம்圆管中的流动稳定性
定义
表示流体在圆管中流动时，流体的速 度和压力等参数随时间的变化情况。
影响因素
流动稳定性控制
通过控制流体物性、流速和管道设计 等措施，保持流体在圆管中的流动稳 定性。
根据输送距离、流量和扬程要求，选择合适的水 泵。
输送效率
优化输送管道布局，降低流体阻力，提高输送效 率。
输送安全性
确保输送过程中不发生泄漏、堵塞等安全问题。
液压系统
液压元件
根据液压系统要求，选择合适的液压元件，如油泵、阀、油缸等。
系统稳定性
确保液压系统在各种工况下稳定运行，避免压力波动和振动。
高等流体力学第4章
假定：定常流动情况 v 0
t
利用理想流体 Lamb 形式的运动方程
v
v
v
v
f
1
p
t
2 f G
1 p
理想正压流体且质量力有势的运动方程
v
v
v
G
v
0
t 2
但如果流体不可压缩，此因素就自然不存在了。
5、
( )v
此项代表涡量与速度沿涡量方向的变化率的乘积，
使涡束有拉伸也有收缩。此项在运动方程中没有
对应的项，从而使涡量变化具有独特的性质。
§2-3 开尔文定理
Kelvin 定理——沿物质线的环量不变定理 如果理想流体是正压，且质量力有势， 则沿任一封闭物质线的速度环量在运动过程中保持不变。
ui x j
u j xi
旋涡运动的基本方程
(v
)
(
)v
v
t
f
1
p 2v
1 ( v)
3
称为普遍的涡量方程， 也称为普遍的亥姆霍兹方程（General Helmholtz Equation）。
任意曲面的涡通量。
ndA Lv dl
A
式中， A为表面积， L为周线长度。
§2-2 涡量方程
t
利用理想流体 Lamb 形式的运动方程
v
v
v
v
f
1
p
t
2 f G
1 p
理想正压流体且质量力有势的运动方程
v
v
v
G
v
0
t 2
但如果流体不可压缩，此因素就自然不存在了。
5、
( )v
此项代表涡量与速度沿涡量方向的变化率的乘积，
使涡束有拉伸也有收缩。此项在运动方程中没有
对应的项，从而使涡量变化具有独特的性质。
§2-3 开尔文定理
Kelvin 定理——沿物质线的环量不变定理 如果理想流体是正压，且质量力有势， 则沿任一封闭物质线的速度环量在运动过程中保持不变。
ui x j
u j xi
旋涡运动的基本方程
(v
)
(
)v
v
t
f
1
p 2v
1 ( v)
3
称为普遍的涡量方程， 也称为普遍的亥姆霍兹方程（General Helmholtz Equation）。
任意曲面的涡通量。
ndA Lv dl
A
式中， A为表面积， L为周线长度。
§2-2 涡量方程
流体力学5-漩涡理论说课材料
(vy vx )dxdy x y
y
d
vx
vx y
dy
c
而
(vy x
vx y
)
2z
微矩形面积ds上的环量：
v y dy
av x
0
dx
vy
vy x
dx
b x
d 2zd S 2n d S 2 d J
漩涡理论
2 有限平面
C 2nd2J （单连通区域）
单连通区域： C 所包围的区域σ内全部是流
ds
A BV d sV xd x V yd y V zd z
A B
A B
A
漩涡理论
2. 若已知速度场，求沿一条闭曲线的速度环量
对于无旋场:
c cVxdx Vydy Vzdz
c x dx y dy z dz c d 0
对于有旋场:
V
α Vs
ds C
c cVsds2nd
————斯托克斯定理
即涡管永远由相同的流体质点所组成。 但涡管的形状和位置可能随时间变化。
涡管
涡管
漩涡理论
海姆霍兹第三定理 ——涡管旋涡强度不随时间而变
正压、理想流体在有势质量力作用下，涡管 的旋涡强度不随时间而变。
2 J (斯 托 克 斯 定 理 ）
不 随 时 间 变 化 （ 汤 姆 逊 定 理 ）
J不 随 时 间 变 化
定义 AB ABVsds
速度环量是标量，速度方向与
积分AB曲线方向相同时（成锐 角）为正,反之为负。
ΓAB＝－ΓBA
A
V
Vs
B
ds
漩涡理论
速度环量的其他表示形式：
AB V ds
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4.2.2 直线运动
平行平板间流动，理想流体流动，流线为平行线 1.抛物线形速度分布 平行平板间，层流流动
umax y2 (2 y ) ux h h u y 0
线变形速度：
u y ux x 0, y 0 x y
剪变形角速度：
umax umax 1 u y ux 2y y z ( ) (2 ) (1 ) 2 x y 2h h h h
4.3.2 兰姆运动微分方程
将欧拉运动微分方程变形，以x方向为例：
u y dux ux ux ux u y u u uz (ux uy uz ) uy ( ) uz ( x z ) dt t x x x y x z x
2 2 2 ux ux u y uz ( ) 2u yz 2uz y t x 2 dux ux u 2 ( ) 2(uz y u yz ) 即： dt t x 2 du y u y u 2 同理可得： dt t y ( 2 ) 2(uxz uzx )
剪变形角速度：
1 u y ux 1 z ( ) (0 0ห้องสมุดไป่ตู้) 0 2 x y 2
第4章 旋涡理论和势流理论
平均旋转角速度：
1 u y ux 1 z ( ) (0 0 ) 0 0 2 x y 2
ε=0，γ=0—流体微团形状不变 ω≠0 — 流体运动有旋 2.速度与矢径成反比
第4章 旋涡理论和势流理论
平均旋转角速度为：
1 u y ux 1 z ( ) [(2 x y 2 ) ( x 2 2 y)] 2 x y 2 1 1 7 ( x y ) ( x 2 y 2 ) (1 2) (12 22 ) 2 2 2
第4章 旋涡理论和势流理论
平均旋转角速度：
z (
1 u y ux 2y ) 2umax (1 ) 2 x y h
ω ≠0，γ≠0—流体微团在做直线运动的同时，有剪 切变形，伴随有旋运动。 2.均匀速度分布
u x u 0 u y 0
线变形速度： x y z 0 剪变形角速度： x y z 0 平均旋转角速度： x y z 0
剪变形角速度：
1 u y ux y 2 x2 z ( ) 2 x y 2 ( x 2 y 2 )2
平均旋转角速度：
1 u y ux z ( )0 2 x y
ε≠0，γ≠0—流体微团在运动过程中发生形状改变 ω=0 — 流体运动无旋
第4章 旋涡理论和势流理论
比较速度场的旋度和平均旋转角速度：
i j k 1 1 1 u rot u 2 2 x y z 2 ux u y uz
无旋即有势！
流体微团是否旋转
无旋运动 ω=0，即rot u=0 有旋运动 ω≠0，即rot u≠0
不能仅从宏观流体流动的特征来判断！ 圆周流动，直线流动
运动微分方程求解困难，在一定条件下可以得到 方程的解。
u 前提条件： t 0,
f U ,
f ( p)
对不可压缩流体：
u2 p ( U ) 2u 2
4.4.1 欧拉积分
在无旋流场中的积分， ω=0 矢量式：
u2 p ( U ) 0 2
第4章 旋涡理论和势流理论
[例]判断下列流场是势流还是涡流。 (1) ux=-2y, uy=3x (2) ux=0, uy=3xy
1 u y ux 1 ( ) [解](1) z 2 x y 2 (3 2) 0 ，为有旋流动，涡流 1 u y ux 1 3 ( ) (3 y 0) y ，y=0时为无旋流动 (2) z 2 x y 2 2
第4章 旋涡理论和势流理论
4.1.2 剪变形角速度
流体微团中某一直角的减小速度的一半 γ
1 u z u y ( ) x 2 y z 1 u x u z ) y ( 2 z x 1 u y u x ( ) z 2 x y
局部 惯性力 变位 质 量 力 表 面 力 矢量式
du 1 f p dt
求解ux，uy，uz，ρ，p，需要补充两个方程：
u v w 连续方程： t x y z 0
状态方程：ρ=常数；ρ=f (p)；ρ=f (p,T)
第4章 旋涡理论和势流理论
诱导速度场 — 台风外围的流场 直角 坐标
y u x 2 x 2 y 2 x u y 2 2 2 x y
极坐标
ur 0 u 2 r
第4章 旋涡理论和势流理论
线变形速度：
u x xy x x ( x 2 y 2 ) 2 xy u y y y ( x2 y 2 )2
duz uz u 2 ( ) 2(u yx ux y ) dt t z 2
矢量式：
du u u2 ( ) 2u dt t 2
u u2 1 ( ) p f 2u t 2
第4章 旋涡理论和势流理论
4.4 欧拉积分和伯努利积分
第4章 旋涡理论和势流理论
加速度在x方向上的分量：
dux ux ux ux ux ax ux uy uz dt t x y z
对微元体应用牛顿第二定律：F ma 在x方向上：
xyz
max Fx
du x p f x xyz xyz dt x
u2 p 可得： S ( 2 U ) 0,
u2 p U 2
在同一条流线上与 空间点位置无关
则在同一条流线上：
u2 p U 2
常数
伯努利积分方程
在重力场中：
U zg
p u2 z C1 (流线常数) g 2g
第4章 旋涡理论和势流理论
在点(1,2)处的线变形速度、剪变形速度以及平均 旋转角速度。
[解] 平面流场，uz=0,，线变形速度为：
u x x 2 xy 2 1 2 4 x u y y 2 xy 2 1 2 4 y
线变形速度为：
z (
1 u y u x 1 ) [(2 x y 2 ) ( x 2 2 y )] 2 x y 2 1 1 3 ( x y )( x y 2) (1 2)(1 2 2) 2 2 2
4.4.2 两种积分的物理意义及应用
欧拉积分方程 伯努利积分方程
例4-1~3
伯努利方程
理想流体，定常、无旋流动：
单位质量流体的总能量在整个流场中处处相等！
有旋流动：
单位质量流体的总能量仅沿同一条流线守恒！
使用伯努利方程时注意区分：
理想非理想，定常非定常，有旋无旋
第4章 旋涡理论和势流理论
2 2 2 2 u x y y , u x y x ，求此流场 [例]平面流场， x y
令
x, y, z 0 ，整理可得：
ux u u u 1 p ux x u y x uz x f x t x y z x u y u u u 1 p ux y u y y uz y f y t x y z y uz u u u 1 p ux z u y z uz z f z t x y z z
亥姆霍兹速度分解定理
4.1.1 线变形速度
单位长度在单位时间内长度的改变量 ε 三维流体微团
u x u x ( x , y , z , t ) u y u y ( x , y , z , t ) u z u z ( x , y , z , t )
u x x x u y y y u z x z
标量式：
u2 p x ( 2 U ) 0 u2 p ( U ) 0 y 2 u2 p ( U ) 0 z 2
u2 p U 2
与空间坐标无关 常数
u2 p U 2
欧拉积分方程
教学内容
第0章 绪论
第1章 流体的主要物理性质
第2章 流体静力学
第3章 流体流动的基本方程
第4章 旋涡理论和势流理论
第5章 相似理论与量纲分析 第6章 粘性流体管内流动 第7章 粘性流体绕物体的流动
第4章 旋涡理论和势流理论
4.1 流体微团的运动分析
流体微团的运动： 平动+旋转+变形（线变形，角变形）
下标—剪切变形作用面法线方向
4.1.3 平均旋转角速度
流体微团中过同一点若干条直线旋转的平均值 ω
第4章 旋涡理论和势流理论
1 u z u y ) x ( 2 y z 1 u x u z ( ) y 2 z x 1 u y u x ( ) z 2 x y
刚体，运动无旋
第4章 旋涡理论和势流理论
4.3 理想流体运动微分方程
牛顿第二定律在理想流体中的应用。
4.3.1 欧拉运动微分方程
质量力+表面力=作用于流体上的力，取微元体 以x方向上的受力为例： 质量力： f x xyz 表面力：
p xy z x
微元体的质量： m xyz
第4章 旋涡理论和势流理论
4.2.1 圆周运动
台风、弯曲水路等，流线为同心圆 1.速度与矢径成正比 台风中心部分速度分布： 直角 坐标
u x 0 y u y 0 x
极坐标
u r 0 u r0
线变形速度：
u y ux x 0, y 0 x y
1 p du x f x dt x du y 1 p f y dt y du z 1 p f z dt z
平行平板间流动，理想流体流动，流线为平行线 1.抛物线形速度分布 平行平板间，层流流动
umax y2 (2 y ) ux h h u y 0
线变形速度：
u y ux x 0, y 0 x y
剪变形角速度：
umax umax 1 u y ux 2y y z ( ) (2 ) (1 ) 2 x y 2h h h h
4.3.2 兰姆运动微分方程
将欧拉运动微分方程变形，以x方向为例：
u y dux ux ux ux u y u u uz (ux uy uz ) uy ( ) uz ( x z ) dt t x x x y x z x
2 2 2 ux ux u y uz ( ) 2u yz 2uz y t x 2 dux ux u 2 ( ) 2(uz y u yz ) 即： dt t x 2 du y u y u 2 同理可得： dt t y ( 2 ) 2(uxz uzx )
剪变形角速度：
1 u y ux 1 z ( ) (0 0ห้องสมุดไป่ตู้) 0 2 x y 2
第4章 旋涡理论和势流理论
平均旋转角速度：
1 u y ux 1 z ( ) (0 0 ) 0 0 2 x y 2
ε=0，γ=0—流体微团形状不变 ω≠0 — 流体运动有旋 2.速度与矢径成反比
第4章 旋涡理论和势流理论
平均旋转角速度为：
1 u y ux 1 z ( ) [(2 x y 2 ) ( x 2 2 y)] 2 x y 2 1 1 7 ( x y ) ( x 2 y 2 ) (1 2) (12 22 ) 2 2 2
第4章 旋涡理论和势流理论
平均旋转角速度：
z (
1 u y ux 2y ) 2umax (1 ) 2 x y h
ω ≠0，γ≠0—流体微团在做直线运动的同时，有剪 切变形，伴随有旋运动。 2.均匀速度分布
u x u 0 u y 0
线变形速度： x y z 0 剪变形角速度： x y z 0 平均旋转角速度： x y z 0
剪变形角速度：
1 u y ux y 2 x2 z ( ) 2 x y 2 ( x 2 y 2 )2
平均旋转角速度：
1 u y ux z ( )0 2 x y
ε≠0，γ≠0—流体微团在运动过程中发生形状改变 ω=0 — 流体运动无旋
第4章 旋涡理论和势流理论
比较速度场的旋度和平均旋转角速度：
i j k 1 1 1 u rot u 2 2 x y z 2 ux u y uz
无旋即有势！
流体微团是否旋转
无旋运动 ω=0，即rot u=0 有旋运动 ω≠0，即rot u≠0
不能仅从宏观流体流动的特征来判断！ 圆周流动，直线流动
运动微分方程求解困难，在一定条件下可以得到 方程的解。
u 前提条件： t 0,
f U ,
f ( p)
对不可压缩流体：
u2 p ( U ) 2u 2
4.4.1 欧拉积分
在无旋流场中的积分， ω=0 矢量式：
u2 p ( U ) 0 2
第4章 旋涡理论和势流理论
[例]判断下列流场是势流还是涡流。 (1) ux=-2y, uy=3x (2) ux=0, uy=3xy
1 u y ux 1 ( ) [解](1) z 2 x y 2 (3 2) 0 ，为有旋流动，涡流 1 u y ux 1 3 ( ) (3 y 0) y ，y=0时为无旋流动 (2) z 2 x y 2 2
第4章 旋涡理论和势流理论
4.1.2 剪变形角速度
流体微团中某一直角的减小速度的一半 γ
1 u z u y ( ) x 2 y z 1 u x u z ) y ( 2 z x 1 u y u x ( ) z 2 x y
局部 惯性力 变位 质 量 力 表 面 力 矢量式
du 1 f p dt
求解ux，uy，uz，ρ，p，需要补充两个方程：
u v w 连续方程： t x y z 0
状态方程：ρ=常数；ρ=f (p)；ρ=f (p,T)
第4章 旋涡理论和势流理论
诱导速度场 — 台风外围的流场 直角 坐标
y u x 2 x 2 y 2 x u y 2 2 2 x y
极坐标
ur 0 u 2 r
第4章 旋涡理论和势流理论
线变形速度：
u x xy x x ( x 2 y 2 ) 2 xy u y y y ( x2 y 2 )2
duz uz u 2 ( ) 2(u yx ux y ) dt t z 2
矢量式：
du u u2 ( ) 2u dt t 2
u u2 1 ( ) p f 2u t 2
第4章 旋涡理论和势流理论
4.4 欧拉积分和伯努利积分
第4章 旋涡理论和势流理论
加速度在x方向上的分量：
dux ux ux ux ux ax ux uy uz dt t x y z
对微元体应用牛顿第二定律：F ma 在x方向上：
xyz
max Fx
du x p f x xyz xyz dt x
u2 p 可得： S ( 2 U ) 0,
u2 p U 2
在同一条流线上与 空间点位置无关
则在同一条流线上：
u2 p U 2
常数
伯努利积分方程
在重力场中：
U zg
p u2 z C1 (流线常数) g 2g
第4章 旋涡理论和势流理论
在点(1,2)处的线变形速度、剪变形速度以及平均 旋转角速度。
[解] 平面流场，uz=0,，线变形速度为：
u x x 2 xy 2 1 2 4 x u y y 2 xy 2 1 2 4 y
线变形速度为：
z (
1 u y u x 1 ) [(2 x y 2 ) ( x 2 2 y )] 2 x y 2 1 1 3 ( x y )( x y 2) (1 2)(1 2 2) 2 2 2
4.4.2 两种积分的物理意义及应用
欧拉积分方程 伯努利积分方程
例4-1~3
伯努利方程
理想流体，定常、无旋流动：
单位质量流体的总能量在整个流场中处处相等！
有旋流动：
单位质量流体的总能量仅沿同一条流线守恒！
使用伯努利方程时注意区分：
理想非理想，定常非定常，有旋无旋
第4章 旋涡理论和势流理论
2 2 2 2 u x y y , u x y x ，求此流场 [例]平面流场， x y
令
x, y, z 0 ，整理可得：
ux u u u 1 p ux x u y x uz x f x t x y z x u y u u u 1 p ux y u y y uz y f y t x y z y uz u u u 1 p ux z u y z uz z f z t x y z z
亥姆霍兹速度分解定理
4.1.1 线变形速度
单位长度在单位时间内长度的改变量 ε 三维流体微团
u x u x ( x , y , z , t ) u y u y ( x , y , z , t ) u z u z ( x , y , z , t )
u x x x u y y y u z x z
标量式：
u2 p x ( 2 U ) 0 u2 p ( U ) 0 y 2 u2 p ( U ) 0 z 2
u2 p U 2
与空间坐标无关 常数
u2 p U 2
欧拉积分方程
教学内容
第0章 绪论
第1章 流体的主要物理性质
第2章 流体静力学
第3章 流体流动的基本方程
第4章 旋涡理论和势流理论
第5章 相似理论与量纲分析 第6章 粘性流体管内流动 第7章 粘性流体绕物体的流动
第4章 旋涡理论和势流理论
4.1 流体微团的运动分析
流体微团的运动： 平动+旋转+变形（线变形，角变形）
下标—剪切变形作用面法线方向
4.1.3 平均旋转角速度
流体微团中过同一点若干条直线旋转的平均值 ω
第4章 旋涡理论和势流理论
1 u z u y ) x ( 2 y z 1 u x u z ( ) y 2 z x 1 u y u x ( ) z 2 x y
刚体，运动无旋
第4章 旋涡理论和势流理论
4.3 理想流体运动微分方程
牛顿第二定律在理想流体中的应用。
4.3.1 欧拉运动微分方程
质量力+表面力=作用于流体上的力，取微元体 以x方向上的受力为例： 质量力： f x xyz 表面力：
p xy z x
微元体的质量： m xyz
第4章 旋涡理论和势流理论
4.2.1 圆周运动
台风、弯曲水路等，流线为同心圆 1.速度与矢径成正比 台风中心部分速度分布： 直角 坐标
u x 0 y u y 0 x
极坐标
u r 0 u r0
线变形速度：
u y ux x 0, y 0 x y
1 p du x f x dt x du y 1 p f y dt y du z 1 p f z dt z