圆柱与圆锥之间的关系
完整版)圆柱和圆锥综合讲义
完整版)圆柱和圆锥综合讲义圆柱与圆锥是几何图形中常见的形状，它们的特征和计算方法十分重要。
圆柱圆柱的底面是两个相等的圆，侧面是一个展开成长方形的曲面，高是两个底面之间的距离。
圆柱的侧面积可以用底面周长和高的乘积表示，记为S侧=Ch；表面积是侧面积加上两个底面积的和，即S表=S侧+2S底；体积是底面积和高的乘积，即V=Sh。
圆锥圆锥的底面是一个圆，侧面是一个展开成扇形的曲面，高是从顶点到底面圆心的距离。
圆锥的体积可以用底面积和高的乘积再除以3表示，即V=Sh/3.圆柱与圆锥的关系等底等高的圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
体积和高相等的圆锥与圆柱之间，圆锥的底面积是圆柱的三倍；体积和底面积相等的圆锥与圆柱之间，圆锥的高是圆柱的三倍。
练题1.圆柱体的体积与圆锥体的体积比是3∶1.（错误）2.圆柱体的高扩大2倍，体积就扩大2倍。
（错误）3.等底等高的圆柱和圆锥，圆柱的体积比圆锥的体积大2倍。
（错误）4.圆柱体的侧面积等于底面积乘以高。
（正确）5.圆柱体的底面直径是3厘米，高是9.42厘米，它的侧面展开后是一个正方形。
（错误）1.圆柱体的底面半径扩大3倍，高不变，体积扩大9倍。
2.把一个棱长4分米的正方体木块削成一个最大的圆柱体，体积是32立方分米。
3.长方体、正方体、圆柱体的体积公式是V=abh、V=a³、V=Sh。
4.把一个圆柱体的侧面展开得到一个边长4分米的正方形，这个圆柱体的体积是16立方分米。
5.把一团圆柱体橡皮泥揉成与它等底的圆锥体，高将扩大3倍。
例1：一台压路机的滚筒长2米，滚筒横截面的半径为0.6米。
如果每分钟转动5圈，它可以压多大的路面？例2：一个底面积为125.6平方米的圆柱形蓄水池容积为314立方米。
如果再深挖0.5米，水池容积将增加多少立方米？例3：一个底面半径为6厘米，高为10厘米的圆锥形灌满水，然后将水倒入一个底面半径为5厘米的圆柱形中，求圆柱形内水面的高度。
例1：一根长1.5米的圆柱形钢材被截成三段，如图，表面积比原来增加了9.6平方分米。
圆柱和圆锥的关系
圆柱和圆锥的关系V柱=S h S柱=V/h h柱=V/SV锥=S h/3S锥=3V/h h锥=3V/S1、底面积、体积分别相等的圆柱和圆锥，如果圆锥的高是75厘米，圆柱高（）。
V柱：V锥=1：1，S柱：S锥=1：1h柱：h锥=（1/1）：（3/1）=1/3 h柱=75*1/3=252、高、体积分别相等的圆柱和圆锥，如果圆锥的底面积是18平方厘米，圆柱底面积（）V柱：V锥=1：1，h柱：h锥=1：1，S柱=1/1=1，S锥=3/1=3，S柱：S锥=1：3 S柱=18/3=63、底面积相等的圆柱和圆锥，h柱：h锥=1：2，求V柱：V锥=设S柱=1 h柱=1，S锥=1 h锥=2，V柱=1*1=1，V锥=1*2/3=2/3 V柱：V锥=3：24、高、底面积相等分别相等的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱体积小（）h柱=1 S柱=1 h锥=1 S锥=1，V锥=1*1/3=1/3 V柱=1/1=1V柱：V锥=3：1，圆锥的体积比圆柱体积小：（3-1）/3=2/35、体积分别相等的圆柱和圆锥，圆柱的底面积是圆锥的一半，圆锥的高9厘米，求h柱V柱：V锥=1：1，S柱：S锥=1：2，h柱=1/1=1 h锥=3*1/2=3/2h柱：h锥=2：3，h锥=9厘米，h柱=9*2/3=6厘米6、体积分别相等的圆柱和圆锥，圆柱的底面周长是圆锥的2倍，求h柱：h锥=V柱：V锥=1：1，S柱：S锥=4：1，h柱：h锥=1/4：3/1=1：127、高、底面积相等分别相等的圆柱和圆锥，圆锥的体积比圆柱的体积少12立方厘米，圆锥的体积= V柱：V锥=3：1，V锥=12/（3-1）=6立方厘米8、高、底面积相等分别相等的圆柱和圆锥，圆锥的体积和圆柱的体积和是60，圆锥的体积=V柱：V锥=3：1，V锥=60*[1/（1+3）]=159、底面半径相等的圆柱和圆锥，h柱：h锥=1：2，圆柱的体积=72，圆锥的体积=？S柱：S锥=1：1 h柱：h锥=1：2，V柱：V锥= （1*1）：（1*2/3）=3：2 V锥=72*2/3=4810、h柱：h锥=1：2 ，圆锥底面半径是圆柱底面半径的一半，V柱：V锥=S柱：S锥=4：1，V柱：V锥=4：2/3=6：111、V柱：V锥=4：3，S柱：S锥=4：1，h锥=7.2 h柱=h柱：h锥=4/4：（3*3/1）=1：9 h柱=7.2/9=0.812、圆柱和圆锥的底面周长比=2：3，V柱：V锥=5：6，h柱：h锥=S柱：S锥=4：9 h柱：h锥=5/4：（3*6/9）=5：813、圆锥底面半径是圆柱底面半径的2倍，圆柱的体积比圆锥体积小3/4，h柱：h锥= S柱：S锥=1：4，V柱：V锥=1-3/4=1：4 ，h柱：h锥=1/1：（3*4/4）=1：3。
圆柱与圆锥体积的关系
圆柱与圆锥体积的关系一、引言在数学上，圆柱与圆锥体积的关系一直是一个重要的研究方向。
本文将从几何角度和数学公式两个方面，探究圆柱和圆锥之间体积的相关性，进而讨论其应用于实际生活中的一些例子。
二、圆柱体积与圆锥体积的定义圆柱体积的公式为：V = VV2ℎ，其中，V为圆柱底面的半径，ℎ为圆柱的高度。
而圆锥体积的公式为：V = 13VV2ℎ，其中，V为圆锥底面的半径，ℎ为圆锥的高度。
可以发现，两个公式的区别在于圆锥的体积公式的系数13，这也是圆柱和圆锥之间存在差异的关键。
三、圆柱体积和圆锥体积的比较在高度相同的情况下，圆锥和圆柱的底面半径相等，此时圆柱的体积将是圆锥体积的三倍。
而在底面半径相等的情况下，圆柱的高度是圆锥高度的三倍，因此圆柱体积也是圆锥体积的三倍。
从比较中可以看出，圆柱和圆锥之间的体积关系是相互关联的，而且存在着一定的对称性。
不同的形状和不同的参数，会呈现不同的相关性。
四、应用实例1.制作酒杯在制作酒杯时，圆锥的形状可以帮助我们实现酒杯中酒液的稳定，控制浓度，避免酒液波动和溢出。
同时，圆锥的体积公式也可以帮助我们合理计量酒液的配比，制作较为均衡的鸡尾酒。
2.计算雪糕体积在雪糕制作中，圆锥的形状也被广泛应用。
根据不同个体的食用需求，我们可以根据其各种参数来调整雪糕的形状和体积，满足用户的需求。
3.构建特殊建筑有些建筑需要遵循一定的形状和体积要求，如半球型，圆锥型等，这时候圆锥和圆柱体积的关系可以帮助我们准确计算和制造建筑的各种材料。
五、总结圆柱与圆锥体积的关系是一个非常有趣也是实用性较强的数学问题。
无论是在形状设计，建筑结构，还是细节制作上，圆柱和圆锥的体积公式都有着重要的意义。
希望本文内容能够帮助读者更好地理解这个问题，同时也能在实际生活中得到应用。
圆柱和圆锥体积之间的关系探究实验过程
圆柱和圆锥体积之间的关系探究实验过程
我们要探究圆柱和圆锥体积之间的关系。
首先，我们需要理解圆柱和圆锥的体积公式，然后通过实验来验证它们之间的关系。
圆柱的体积公式是：V_柱= π×r^2 ×h
圆锥的体积公式是：V_锥= 1/3 ×π×r^2 ×h
其中，r 是底面半径，h 是高。
从公式中我们可以看出，当圆柱和圆锥的底面半径和高都相同时，圆锥的体积是圆柱体积的1/3。
这就是我们要通过实验验证的关系。
实验步骤如下：
1. 准备一个圆柱形容器和一个圆锥形容器，确保它们的底面半径和高都相同。
2. 将圆柱形容器装满水。
3. 将圆柱形容器中的水倒入圆锥形容器中，观察需要多少次才能将圆锥形容器装满。
如果实验结果是圆柱形容器中的水需要3次才能将圆锥形容器装满，那么这就验证了我们的理论。
理论计算结果为：需要3次才能将圆锥装满。
实际实验中，如果结果接近这个数值，那么就可以验证圆柱和圆锥体积之间的关系。
完整版圆柱和圆锥之间的关系
P
A
B
P
Q
Q
P
C
Q
4、把一个圆柱在平坦的桌面上滚 动,那么滚动的面积是( B ).
A 表面积 B 侧面积 C 底面积
5、一个圆锥的体积是18.84 立方米,池底直径是3米,圆锥的
高是( 2m ).
6、一个圆柱的侧面积是12.56平方 厘米,底面半径是2厘米,那么这 个圆柱的体积是( 12.56cm3 ).
那么围成的圆柱（ B ）。
A 高一定相等 B 侧面积一定相等 C 侧面积和高都相等 D 侧面积和高都不 相等
20厘米
15 厘 米
2、冬天护林工人给圆柱形 的树干的下端涂防蛀涂 料,那么粉刷树干的面积 是指( B )。
A.底面积 C.表面积
B.侧面积 D.体积
3.如下图,有三块不同的硬纸片, 让它们分别绕PQ边旋转一周,
3、一个圆柱和一个与它等底等高圆锥的体积 之和是12立方米，圆柱的体积是（9 ）立方 米，圆锥的体积是（ 3）立方米。
(1)把这个圆柱形的
20cm
木材削成一个最大 的圆锥,削掉部份占 这个圆柱体积的几 分之几？
理解为：等底等高， V锥1份，V柱3份，削掉部份占 2份。
对比练习二 ：
1、一个圆柱和一个圆锥的体积和底面
等积等高 ,锥S是柱S的3倍。
对比， 它们高的比是 2：3，那么它们底面积
的比是（ 1:2 ）。
2、一个圆柱和一个圆锥的底面积 相等，它们高的比是2：3，那么它 们体积的比是（ 2:1 ） 。
等积不等高，求底面积的比 等底不等高 , 求体积的比
赋值法或代数法
20cm
(3)沿着底面直径把这个圆柱切开， 那么，它的表面积增加了多少 ？
圆柱和圆锥之间的关系
圆柱和圆锥之间的关系
圆柱和圆锥的关系：1、若等底等体积，圆锥高是圆柱高的三倍，反之圆柱高是圆锥高的三分之一。
2、若等底等高，圆柱体积是圆锥体积的三倍，反之圆锥体积是圆柱体积的三分之一。
3、若等高等体积，圆锥底面积是圆柱底面积的三倍，反之圆柱底面积是圆锥底面积的三分之一。
其中底是底面积。
圆柱是由两个大小相等、相互平行的圆形以及连接两个底面的一个曲面围成的几何体。
当圆柱的轴与圆柱的底面垂直时，称该圆柱为直圆柱；当圆柱的轴与圆柱底面不垂直时，称该圆柱为斜圆柱。
圆锥是一种几何图形，有两种定义。
解析几何定义：圆锥面和一个截它的平面组成的空间几何图形叫圆锥。
立体几何定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。
旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的底面。
不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面。
无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥的母线。
人教版六年级数学下册 圆柱与圆锥的关系 讲义
圆柱与圆锥的关系例题讲解例1、知识回顾：例2、判断。
(1)圆柱的体积是圆锥体积的3倍。
（）。
（）(2)等底等高的圆柱和圆锥，圆锥体积是圆柱体积的13(3)圆锥顶点到底面上任意一点的距离就是它的高。
（）(4)一个圆柱体与一个圆锥的体积和高分别相等，那么圆锥的底面积与圆柱的底面积比是3：1。
（）(5)一段圆柱体的钢材，切削成一个最大的圆锥体，切去部分是圆锥体积的2倍。
（）例3、圆柱与圆锥的V、S、h之间的关系：①S、h相等，则V圆柱：V圆锥=( ): ( )②V、S相等，则h圆柱：h圆锥= ( ): ( )③V、h相等，则S圆柱：S圆锥=( ): ( )例4、一个盛满水的圆锥体容器高9厘米，如果将水全部倒入与它等底等高的圆柱体容器中，则水高（）厘米。
例5、一个圆锥的体积是36立方厘米，和它底面直径相等，高也相等的圆柱的体积是（）立方厘米。
例6、等底等高的圆柱和圆锥的体积相差16立方米，这个圆柱的体积是（）例7、一个圆柱比一个与它等底等高的圆柱的体积多12立方分米，则这个圆柱的体积是_______立方米。
例8、一个圆柱和一个与它等底等高的圆柱的体积之和是24立方米，则这个圆柱的体积是______立方米。
例9、如图，圆柱形烧杯与圆锥形杯子的底面积相等，将圆柱形烧杯装满水后倒入圆锥形杯子，能装（）杯。
例10、把一个圆柱形的木块沿底面半径竖直切成两部分，表面积比原来增加了600cm2，已知圆柱形木料的底面直径为10cm，这根木料的体积是（）cm3。
课堂练习1、把一段圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分是圆锥体积的（ ）倍2、一个圆柱与一个圆锥的底面积相等，体积的比是2：3，已知圆柱高12cm ，则圆锥高（ ）cm3、一个圆柱与一个圆锥的底面积相等；圆柱的高是圆锥高的2倍；圆锥的体积是圆柱体积的（ ）A 、61B 、31C 、214、一个圆柱与一个圆锥等底等高；它们的体积之差为6.28cm 3；那么它们的体积之和是（ ）cm 3A 、9.42B 、12.56C 、15.75、图中的圆柱与圆锥；体积相比（ ）。
六年级下册数学试题-小升初满分题库：第二十五讲圆柱和圆锥(无答案PDF)全国通用
杯，且乙杯中的水未外溢。问：这时乙杯中的水位上升了多少厘米？
解析： 解答本题时，要注意到铁块在两个杯中排开的水的体积相同，结合圆柱的体积公式
V Sh即可求。
解 ：两个圆柱直径的比是 1: 2 ，所以底面面积的比是 1: 4 。铁块在两个杯中排开的水的体
积相同，所以乙杯中水升高的高度应当是甲杯中下降的高度的 答：这时乙杯中的水位上升了 0.5 厘米。
我试试：
1、 一个圆柱形水桶，底面积是 314平方厘米，高是 25厘米，它的容积是多少立方厘米？
2、挖一个圆柱形蓄水池，从里面量，底面周长是 25.12 米，深是 2.4 米，池内水面距底面 0.8 米。蓄水池内现有水多少立方米？
- 131 -
关爱成长每一天
3、皮球掉进一个盛有水的圆柱形水桶中，皮球的直径为 15厘米，水桶底面直径为 60厘米，
O 底面
底面
侧面 高 O 底面
底面周长
高
底面
S侧
2．圆锥
Ch
S表 S侧 2S底
高h Or
底面
侧面 底面
圆锥的体积计算公式： V 1 Sh 。 3
3．圆柱与圆锥的关系：
（1）一个圆柱的体积是和它等底等高的圆锥体积的
3 倍。
（2）当一个圆柱与一个圆锥的体积和底面积都相等时，圆锥的高是圆柱高的
（3）当一个圆柱与一个圆锥的体积和高都相等时，圆锥的底面积是圆柱底面积的
表面积：314 2 1884 251（2 cm2） 答：至少需要纸板的面积为 2512cm2
我试试：
1、一根圆柱形排水管，底面半径是 3厘米，高是 1米，求这根圆柱形排水管的表面积是多少
平方厘米？
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第十讲 圆柱和圆锥
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⑶ 如果圆柱与圆锥体积相 底面积也相等， 等，底面积也相等，它们 厘米， 的高相差 12 厘米，则圆 厘米； 柱的高是 ( 6 ) 厘米； 厘米。 圆锥的高是 ( 18 )厘米。 厘米
圆柱与圆锥体积相等， 圆柱与圆锥体积相等，高也相等 体积相等
之间的关系吗？ 你能说出它们 底面积 之间的关系吗？
1、圆柱和圆锥的体积都是12立方厘 米，高都是4平方厘米，圆柱的底面 积是（ 3 ）平方厘米，圆锥的底面 积是（ 9 ）平方厘米， 2、圆柱的底面积是圆锥的（ ）， 圆锥的底面积是圆柱的（ 3 ）倍。
1 3
当圆柱与圆锥的体积相 当圆柱与圆锥的体积相 高也相等时 等，高也相等时，圆柱 的底面积是圆锥的三分 的底面积是圆锥的三分 之一； 之一；圆锥的底面积是 圆柱的3倍 圆柱的 倍。
圆柱与圆锥体积相等， 圆柱与圆锥体积相等，底面积也相等 体积相等
你能说出它们 高 之间的关系吗？ 之间的关系吗？
1、圆柱和圆锥的体积都是18立方 厘米，底面积都是9平方厘米，圆 柱的高是（ 2 ）厘米，圆锥的高 是（ 6 ）厘米，
1 3
2、圆柱的高是圆锥的（ 的高是圆柱的（ 3 ）倍。
1 3
1 ），圆锥 3
如图,想想办法 想想办法,你能否求 拓展题 如图 想想办法 你能否求 它的体积?( 单位:厘米 厘米) 它的体积 单位 厘米
4 2 6
完
1 如果圆锥的体积是圆柱的 ⑷ 如果圆锥的体积是圆柱的 ，那么 3 它们一定等底等高。 它它们一定等底等高。… … …( × )
判断下列各题是否正确。 判断下列各题是否正确。 一个圆锥的高不变 圆锥的高不变， ⑸ 一个圆锥的高不变，底面半径扩大 3 倍倍，体积也扩大 3 倍。 … … ( × ) ⑹ 把一根 3米长的圆柱形木料锯成三段 米长的圆柱形木料锯成三段 表面积增加了12 平方分米， 段后表面积增加了 平方分米， 这根 木料的体积是60立方分米 立方分米。 木木料的体积是 立方分米。… ( × )
把一段圆柱形的木料削成一个最大的 ⑵ 把一段圆柱形的木料削成一个最大的 2 削去的部分是原体积的 圆圆锥 ，削去的部分是原体积的 。 3 ………………………(√ )
判断下列各题是否正确。 判断下列各题是否正确。 一个圆柱与圆锥等底等积 圆柱与圆锥等底等积， ⑶ 一个圆柱与圆锥等底等积，那么圆柱 1 柱的高一定是圆锥的 。 3… … … ( √ ) 锥… … … … … … …
圆柱体积是与它等底等高的圆锥 体积的3倍 体积的 倍
口答下列各题。 口答下列各题。 一个圆柱的体积是 立方厘米， ⑴ 一个圆柱的体积是 300 立方厘米， 与它等底等高的圆锥的体积是( 与它等底等高的圆锥的体积是 100 ) 立 方厘米。 方厘米。 一个圆锥的体积 立方厘米， ⑵ 一个圆锥的体积 是 90 立方厘米，与 它等底等高的圆柱的体积是 它等底等高的圆柱的体积是( 270 ) 立方 厘米。 厘米。
当圆柱与圆锥的体积相等， 当圆柱与圆锥的体积相等， 体积相等 底面积也相等时 底面积也相等时，圆柱的高 三分之一； 是圆锥的三分之一 是圆锥的三分之一；圆锥的 高是圆柱的3倍 高是圆柱的 倍。
口答下列各题。 口答下列各题。 一个圆柱与一个圆锥的体积相等， 圆柱与一个圆锥的体积相等 ⑴ 一个圆柱与一个圆锥的体积相等，底 面积也相等，圆柱的高是 分米,圆锥 面积也相等，圆柱的高是 9 分米 圆锥 ( )分米。 分米。 的高是27 分米 ⑵ 一个圆锥与一个圆柱体积相等，底面 一个圆锥与一个圆柱体积相等， 圆锥与一个圆柱体积相等 厘米， 积也相等，圆锥的高是 24 厘米，圆柱的 厘米。 高 ( 8 ) 厘米。
⑶ 一个圆柱的体积是 60 立 方分米， 方分米，比与它等底等高的 圆锥的体积多( 圆锥的体积多 40 ) 立方分 米。
口答下列各题。 口答下列各题。 把一个圆柱切削成一个最大的圆锥， ⑷ 把一个圆柱切削成一个最大的圆锥， 已已知削去部分的体积比圆锥体积大大 已知削去部分的体积比圆锥体积大大 立方分米， 人3.6立方分米，那么圆锥的体积是 立方分米 （（ 3.6 ）立方分米。 立方分米。 一个圆锥和一个圆柱等底等高， 圆锥和一个圆柱等底等高 ⑸ 一个圆锥和一个圆柱等底等高，它们 立方分米， 的的体积之和是 120 立方分米，这个 圆柱的体积是( 立方分米； 圆圆柱的体积是 90 )立方分米；圆锥 立方分米 体积比圆柱少 圆柱少( 立方分米。 体体积比圆柱少 60 )立方分米。 立方分米
口答下列各题。 口答下列各题。
一个圆柱与一个圆锥的体积相等， ⑴ 一个圆柱与一个圆锥的体积相等，高也 相等， 平方分米,圆锥的 相等，圆柱的底面积是 9 平方分米 圆锥的 平方分米。 底面积是 ( 27 )平方分米。 平方分米 ⑵ 一个圆柱与一个圆锥体积相等，高也相 一个圆柱与一个圆锥体积相等， 平方厘米， 等，圆锥的的底面积是 24 平方厘米，圆 平方厘米。 柱的底面积 ( 8 ) 平方厘米。
哪
62.8厘米 厘米 31.4 厘米
个 圆 柱 的 体 积 大 一 呢 ？ 些
拓展题：
一个圆柱与一个圆锥等底等高，那么圆 一个圆柱与一个圆锥等底等高，那么圆 圆柱与一个圆锥等底等高 锥体积是圆柱体积的三分之一 ； 如果 要使它们的体积相等， 要使它们的体积相等，则圆锥的高要 扩大3 ( 扩大 倍 ) ，或者把圆柱的高 或者把圆 ( 缩小 倍 )；也可以把圆锥的底面积 ；也可以把圆锥的底面积 缩小3 或者把圆 扩( 扩大 倍 ) ，或者把圆柱的底面积 扩大3 阔( 缩小 倍 )。 。 缩小3
（3）如果圆柱与圆锥体积相等， ）如果圆柱与圆锥体积相等， 高也相等， 高也相等，如果它们底面积一共 48 平方厘米，则圆柱的底面积是 平方厘米， 12 ( ) 平方厘米；圆锥的底面积 平方厘米； )厘米。 厘米。 是( 厘米 36
判断下列各题是否正确。 判断下列各题是否正确。
1 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 圆锥的体积等于圆柱体积的 。 3 是… … … … … … … … … ( × )
圆柱与圆锥之间的关系
西江中心小学 周建莲
回答下列问题。 回答下列问题。 圆柱的体积 = 底面积 × 高 V=sh 1 圆锥的体积 = 底面积 × 高 ×
1 V= SH 3
3
圆柱与圆锥等底等高 圆柱与圆锥等底等高
之间的关系吗？ 你能说说它们 体积 之间的关系吗？
圆锥体积是与它等底等高的圆柱 体积的三分之一