东北大学管理科学与工程运筹学必备知识点
运筹学重点内容
1.科学决策科学决策是指决策者凭借科学思维，利用科学手段和科学技术所进行的决策。
程序性：在正确的理论指导下，按照一定的程序，正确运用决策技术和方法来选择行为方案。
创造性：决策总是针对需要解决的问题和需要完成的新任务，运用多种思维方法进行的创造性劳动。
择优性：在多个方案的对比中寻求能获取较大效益的行动方案，择优是决策的核心。
指导性：决策结果必须指导实践。
2. 运筹学运筹学是一种科学决策方法。
是依据给定目标和条件从众多方案中选择最优方案的最优化技术。
是一门寻求在给定资源条件下，如何设计和运行一个系统的科学决策方法。
与管理科学关系:管理科学涵盖的领域比运筹学更宽一些。
可以说，运筹学是管理科学最重要的组成部分。
与系统科学、系统分析、工业工程的关系:系统科学、系统分析、工业工程等学科的研究内容比运筹学的研究内容窄一些。
3.运筹学研究的特点科学性：运筹学是在科学方法论的指导下通过一系列规范化步骤进行的；运筹学是广泛利用多种学科的科学技术知识进行的研究。
运筹学研究不仅仅涉及数学，还要涉及经济科学、系统科学、工程物理科学等其它学科。
实践性：运筹学以实际问题为分析对象，通过鉴别问题的性质、系统的目标以及系统内主要变量之间的关系，利用数学方法达到对系统进行最优化的目的。
分析获得的结果要能被实践检验，并被用来指导实际系统的运行。
系统性：运筹学用系统的观点来分析一个组织（或系统），它着眼于整个系统而不是一个局部，通过协调各组成部分之间的关系和利害冲突，使整个系统达到最优状态。
综合性：运筹学研究是一种综合性的研究，它涉及问题的方方面面，应用多学科的知识，因此，要由一个各方面的专家组成的小组来完成。
4.运筹学模型运筹学研究的模型主要是抽象模型:数学模型。
数学模型的基本特点是用一些数学关系（数学方程、逻辑关系等）来描述被研究对象的实际关系（技术关系、物理定律、外部环境等）。
4.1模型特点它们大部分为最优化模型。
一般来说，运筹学模型都有一个目标函数和一系列的约束条件，模型的目标是在满足约束条件的前提下使目标函数最大化或最小化。
运筹学基础复习要点
《运筹学基础》复习要点一、基本概念与理论1．任意多个凸集的交集还是凸集。
2．任意多个凸集的并集不一定是凸集3．给定1R b ∈及非零向量n R a ∈，称集合}|{b x a R x H Tn=∈=是nR 的一个超平面。
4．由超平面}|{b x a R x H Tn=∈=的两个半平面}|{b x a R x H T n ≥∈=+和}|{1b x a R x H T n ≤∈=都是凸集。
5．设S 是凸集，S x ∈。
若对任何z y S z S y ≠∈∈,,，以及任何10<<λ，都有z y x )1(λλ-+≠，则称x 为S 的顶点。
6．如果一个LP 问题无界，则它的对偶问题必无可行解。
7．设w x ,分别为原始LP 问题、对偶问题的可行解，若b w x c T T =，则原始LP 问题、对偶问题的最优解分别为w x ,。
8.可行解x 是基本可行解的充分必要条件是x 的正分量，所对应的A 中列向量线性无关。
9.写出LP 问题的对偶问题0..min ≥≥⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax x c t s T的对偶问题是： 0..min ≥≤⎪⎩⎪⎨⎧w c w A w b t s TT10．设一个标准形式的LP 问题的基为B ，右端向量为b ，则对应的基本解是⎪⎪⎭⎫⎝⎛=-01b B x 。
11．线性规划问题的可行域是凸集。
12．设线性规划问题LP 为0..min ≥=⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax t s x c T B 为一个基，对应的典式为0..min 111≥=+⎪⎩⎪⎨⎧-=---x b B Nx B x t s x b B c z N B T TB ζ 其中),0(1T N TB Tc N B c -=-ζ。
13.线性规划问题的规范形式为0..min ≥≥⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax x c t s T14. 线性规划问题的标准形式为0..min ≥=⎪⎩⎪⎨⎧x b Ax t s xc T15.线性规划问题的一般形式为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==≥+=≥==n q j x qj x m p i b x a p i b x a t s x c j ji Ti i Ti T ,,1,,2,10,,1,,2,1..min 为自由变量16.对线性规划问题，关于它的解分三种情况：问题无解、问题无界和问题有最优解。
运筹学知识点总结
运筹学：应用分析、试验、量化的方法，对经济管理系统中人力、物力、财力等资源进行统筹安排，为决策者提供有依据的最优方案，以实现最有效的管理。
第一章、线性规划的图解法1.基本概念线性规划：是一种解决在线性约束条件下追求最大或最小的线性目标函数的方法。
线性规划的三要素：变量或决策变量、目标函数、约束条件。
目标函数：是变量的线性函数。
约束条件：变量的线性等式或不等式。
可行解：满足所有约束条件的解称为该线性规划的可行解。
可行域：可行解的集合称为可行域。
最优解：使得目标函数值最大的可行解称为该线性规划的最优解。
唯一最优解、无穷最优解、无界解（可行域无界）或无可行解（可行域为空域）。
凸集：要求集合中任意两点的连线段落在这个集合中。
等值线：目标函数z，对于z的某一取值所得的直线上的每一点都具有相同的目标函数值，故称之为等值线。
松弛变量：对于“≤”约束条件，可增加一些代表没使用的资源或能力的变量，称之为松弛变量。
剩余变量：对于“≥”约束条件，可增加一些代表最低限约束的超过量的变量，称之为剩余变量。
2.线性规划的标准形式约束条件为等式（=）约束条件的常数项非负（b j≥0）决策变量非负（x j≥0）3.灵敏度分析：是在建立数学模型和求得最优解之后，研究线性规划的一些系数的变化对最优解产生什么影响。
4.目标函数中的系数c i的灵敏度分析目标函数的斜率在形成最优解顶点的两条直线的斜率之间变化时，最优解不变。
5.约束条件中常数项b i的灵敏度分析对偶价格：约束条件常数项中增加一个单位而使最优目标函数值得到改进的数量。
当某约束条件中的松弛变量（或剩余变量）不为零时，这个约束条件的对偶价格为零。
第二章、线性规划问题在工商管理中的应用1.人力资源分配问题（P41）设x i为第i班次开始上班的人数。
2.生产计划问题（P44）3.套材下料问题（P48）下料方案表（P48）设x i为按各下料方式下料的原材料数量。
4.配料问题（P49）设x ij为第i种产品需要第j种原料的量。
运筹学复习要点
运筹学复习要点运筹学复习要点第二章线性规划与单纯形法一、标准型：规定具有下述条件的线性规划问题为标准型式的线性规划问题：1、目标函数为求最大；2、约束条件为等式约束；3、决策变量为非负。
二、线性规划问题具有的特征：1、每一问题都用一组决策变量（x1, x2, . . . ,xn）表示某一方案；2这组决策变量的值就代表一个具体方案，一般这些变量值是非负的；3、存在一定的约束条件，它们可用线性等式或不等式表示；4、都有一个要求达到的目标，它们可用决策变量的线性函数表示，称目标函数。
根据问题不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
三、图解法的结论：1、可行域一定是凸集，即该区域内任意两点间连线上的点仍在该区域内；2、线性规划最优解不可能在凸集内的点上实现；3、线性规划问题有可能存在无穷多最优解；4、如果可行域无界，则最优解可能是无界解；5、如果不存在可行域，则没有可行解，也一定不存在最优解；6图解法只适用于两个决策变量的情况。
四、单纯形法：其基本思路是首先确定一个初始基可行解，然后判断该基可行解是否为最优解。
如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换找出另一个基可行解，该基可行解的目标函数值应该优于原基可行解。
再判断新的基可行解是否为最优解，如果是最优解，则求解过程结束；如果不是最优解，则在此基础上变换再找出另一个新基可行解，如此进行下去，直到找到最优解为止。
五、最优性检验与解的形式：最优解的判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, ……… ,b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，则X(0)为最优解，称σj为检验数。
无穷最多解判别定理，若X(0) = (b′1, b′2, …… , b′m, 0, …… , 0)T为对应于基B的一个基可行解，且对于一切j = m + 1, …… , n，有σj6 0，又存在某个非基变量的检验数σm+k= 0，则线性规划问题有无穷多最优解。
运筹学知识点
运筹学知识点：绪论1.运筹学的起源2.运筹学的特点第一章线性规划及单纯形法1.规划问题指生产和经营管理中如何合理安排，使人力、物力等各种资源得到充分利用，获得最大效益。
2.规划问题解决两类问题：一是给定一定数量的人力、物力等资源，研究如何充分利用，以发挥其最大效果；二是已给定计划任务，研究如何统筹安排，用最少的人力和物力去完成。
3.规划问题的数学模型包含三个组成要素：决策变量、目标函数（单一）、约束条件（多个）。
线性规划问题的数学模型要求：决策变量为可控的连续变量，目标函数和约束条件都是线性的。
4.线性规划问题的标准形式：目标函数为极大、约束条件为等式、决策变量为非负、变量为非负5.划标准型时添加的松驰变量、剩余变量和人工变量6.理解可行解、最优解、基、基解、基可行解等概念，且掌握各类解间的关系7.用图解法理解线性规划问题的四种解的情况：无穷多最优解、无界解、无可行解、唯一最优解8.用图解法只有解决两个变量的决策问题9.线性规划问题存在可行解，则可行域是凸集。
10.线性规划问题的基可行解对应线性规划问题可行域的顶点。
11.线性规划问题的解进行最优性检验：当所有的检验数小于等于零时为最优解；尤其当检验数小于零时（即不等于零）有唯一最优解；当某个非基变量检验数为时，有无穷多最优解；当存在某个检验数大于零且对应的系数又小于等于零时，有无界解。
12.单纯形法的计算过程，可能出计算题13.入单纯形表前首先要化成标准形式。
14.确定换出变量时根据θ值最小原则，且要求公式中对应的系数大于零。
15.当线性规划中约束条件为等式或大于等于时，划为标准型后，系数矩阵中又不包含单位矩阵时，需要添加人工变量构造一个单位矩阵作为基。
16.人工变量的系数为足够大的一个负值，用—M代表17.一般线性规划问题的数学建模题（生产计划问题、人才资源分配问题、混合配料问题等）第二章对偶问题1.原问题和对偶问题数学模型的对应关系，可能出填空题和数学模型题2.每一个线性规划必然有与之相伴而生的对偶问题3.对偶问题的性质：弱对偶性、无界性、强对偶性、最优性、互补松弛性，其中互补松弛性可能出计算题4.原问题与其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题变量5.影子价格的定义，用互补松驰性理解影子价格的含义6.影子价格与企业的生产任务、产品结构、技术状况等相关，与市场需求无关7.理解影子价格是机会成本第三章运输问题1.运输问题的数学模型，出建模题2.掌握三个数字：m+n、m*n、m+n-13.解的退化及处理4.运输规划问题本质仍然是线性规划，系数矩阵的特殊性，利用表上作业法求解，核心依然是单纯形法5.表上作业法的计算过程，可能出大题6.什么是基格和空格及含义以及检验数的经济意义7.初始方案的方法，计算检验数的方法，调整方案的方法8.检验数的含义及检验规划与一般线性规划问题的差别9.产销不平衡问题的处理，包括产大于销和销大于产，假想地的单位运价设为零第四章整数规划1.整数规划的分类：纯整数、混合整数、0-1整数2.指派问题的数学模型，可能出建模题3.匈牙利法的计算过程4.解矩阵的特点：n个解1位于不同行不同列上5.分枝定界法分枝和定界的依据以及如何分枝和如何定界6.整数规划问题的求解方法及适用条件7.整数规划问题与其松弛问题解的关系第五章目标规划1.线性规划的局限：严格约束、单目标、约束同等重要2.目标规划问题的数学模型，可能会出建模题，强调目标函数由偏差变量、优先因素和权系数构成3.偏差变量的含义及特点，成对出现，非负且至少有一个为零4.目标约束是等式，等式左边添加一对偏差变量相减5.目标规划问题求解的单纯形表计算停止的规划：要么所有行的检验数均为非负，要么前i行检验数为非负，第i+1行存在负的检验数，但在负检验数上面存在正检验数6.目标规划的达成函数中的偏差变量的选择第六章图论与网络优化1.图论中的图研究对象间的关系，只关心图中有多少个点及点间有线相连2.树的定义及性质3.最小树的求解方法：避圈法和破圈法4.狄克斯屈拉算法的特点：不仅求出从始点到终点的最短路，还求出从始点其他任何各点的最短路5.有向图（点弧）非对称关系和无向图（点边）对称关系的应用6.可行流的定义：两大类的三个条件7.增广链的定义及特点8.最大流最小割定理9.用ford-fulkerson算法求网络中的最大流的计算过程10.算法的核心和实质是判断是否存在增广链，，即网络达到最大流的条件是网络中不存在增广链第七章网络计划技术1.关键路线的定点：持续时间最长、节点时差为零、不止一条2.工作持续时间的确定方法及使用条件3.节点最早时间、节点最迟时间的理解4.工作时间参数着重理解总时差和自由时差，即总时差是若干项工作共同拥有的机动时间，自由时差是某项工作单独拥有的机动时间5.绘制网络技术图的规则第八章动态规划1.动态规划是研究多阶段决策问题的理论和方法2.状态必须具备无后效性，及无后效性的定义3.动态规划和顺序解法和逆序解法的路径及应用条件。
管理科学与工程专业优质课运筹学与决策分析
管理科学与工程专业优质课运筹学与决策分析运筹学与决策分析是管理科学与工程专业中的一门优质课，该课程的目标是通过系统地研究运筹学方法和决策分析技术，培养学生运用这些技能解决实际管理问题的能力。
本文将从课程概述、课程内容、学习方法和运用前景四个方面来介绍管理科学与工程专业优质课运筹学与决策分析。
一、课程概述运筹学与决策分析是管理科学与工程专业中的一门重要课程，旨在培养学生掌握运筹学的基本理论和方法，以及决策分析的常用工具和技术。
通过学习这门课程，学生可以了解到如何运用数学模型和优化方法解决实际问题，并学会对不确定性进行决策分析，从而提高管理决策的质量和效果。
二、课程内容运筹学与决策分析的内容包括线性规划、整数规划、动态规划、网络优化、多目标决策、风险决策等方面的理论和方法。
课程主要包括以下几个方面的内容：1.线性规划：介绍线性规划的基本概念、理论和模型，通过具体案例演示线性规划方法的应用。
2.整数规划：介绍整数规划的基本原理和求解方法，学习如何通过整数规划模型解决实际问题。
3.动态规划：介绍动态规划的基本思想和应用，培养学生动态规划建模和求解问题的能力。
4.网络优化：介绍网络优化的基本概念和方法，学习如何应用网络优化解决实际问题。
5.多目标决策：介绍多目标决策的基本原理和方法，培养学生在多目标环境下进行决策的能力。
6.风险决策：介绍风险决策的基本原理和技术，学习如何对不确定性进行分析和决策。
三、学习方法在学习运筹学与决策分析课程时，学生可以采用以下几种学习方法：1.理论学习：通过课堂教学、教材阅读等方式，理解运筹学与决策分析的基本理论和方法。
2.案例分析：通过分析实际案例，掌握如何应用运筹学与决策分析方法解决实际问题。
3.编程实践：通过编程实践，培养学生运用运筹学与决策分析方法解决实际问题的能力。
4.团队合作：通过小组合作，培养学生在团队中合理分工、协作解决问题的能力。
四、运用前景运筹学与决策分析作为一门优质课，其运用前景非常广泛。
东北大学运筹学课件
线性规划问题及其数学模型
[eg.7]将下述问题化为标准型 min z = -x1+2x2-3x3 x1+ x2+ x3 ≤ 7 ① x1- x2+ x3 ≥ 2 ② -3x1+ x2+2x3 = 5 ③ x1,x2 ≥ 0，x3无约束 解：令x3 = x3’-x3”，x3’,x3” ≥ 0； ①式加上一个松弛变量x4；②式减去一个剩余变量x5； 令z’ = -z max z’ = x1- 2x2 + 3(x3’ - x3”) + 0x4 + 0x5 x1 + x2 + (x3’ - x3”) + x4 = 7 x1 - x2 + (x3’ - x3”) - x5 = 2 -3x1 + x2 + 2(x3’ - x3”) = 5 x1,x2,x3’,x3”,x4,x5 ≥ 0
11111111111111111nmnmnnjjiijjiiijjjjjijmijmjmmmnniiiijjjjiijmjmmnmniiiijjjjijmijmmnmiijiijjijmizcxcxcxcbaxcxcbcaxcxcbcaxcxcbccax?????????????????????????????????????????????????????????????????????nmjmijxijaibix121?28????????mimiijijiinmjaczbcz1101???01njjjjmzzczx??????于是nmjzcjjj1??????设01njjjmzzx???????令单纯形法29解的判别
O(0,0)
Q1(4,0)
6、可行基 基可行解对应的B为可行基。
基可行解 非可行解
运筹学知识重点、重要结论
第一章线性规划问题知识重点：1 ．将给定的线性规划问题化为标准型2 ．能根据简单的实际问题，建立线性规划问题的数学模型，并用单纯形法求解3 ．几个重要结论1 ）若线性规划问题存在最优解，它一定在可行域的某个顶点得到。
2 ）若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的任意一点都是最优解，即有无穷多最优解。
3 ）线性规划问题的每个基可行解对应可行域的一个顶点。
4 ）线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解。
第二章对偶理论与灵敏度分析知识重点：1 ．对于给定的线性规划问题，能写出它的对偶问题2 ．给定原问题（或对偶问题）的最优解，求对偶问题（或原问题）的最优解。
3 ．对偶单纯形法4 ．对偶问题的经济解释，影子价格5 ．几个重要结论1 ）若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。
2 ）若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。
3 ）若线性规化的原问题有无穷多最优解，则其对偶问题也一定具有无穷多最优解。
4 ）当对偶问题无可行解时，其原问题无最优解。
5 ）若线性规划问题和对偶问题都具有可行解，则该线性规划问题一定具有无限最优解或有限最优解。
第三章运输问题知识重点：•平衡问题的求解方法————表上作业法•不平衡问题的求解方法：先将其转换为平衡问题，然后用表上作业发求解。
3 ．表上作业法分三个步骤：1 ）确定初始方案————最小元素法2 ）进行最优性检验—————位势法3 ）调整、改进非最优方案——闭回路法4 ．几个重要结论•运输问题是一种特殊的线性规划问题，它一定有最优解•用表上作业法求解运输问题时要求：产、销平衡•当所有产地的产量和销地的销量均为整数值时，运输问题的最优解也为整数值•表上作业法与单纯形法在求解最优解的问题上没有本质的区别第四章目标规划知识重点：•根据简单的实际问题，建立目标规划模型•目标规划模型的求解方法：图解法，单纯形法•分析目标规划的优先因子变化对原满意解的影响•重要结论线性规划问题是目标规划问题的一种特殊形式。
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第一章线性规划与单纯性法1、线性规划问题的数学模型及各要素的基本特征线性规划问题的三个要素的基本特征（1）决策变量：每一个问题都用一组决策变量 ( x1 , x2 ,… , x n )表示某一方案，这组决策变量的值就代表一个具体方案。
一般这些变量取值是非负且连续的。
（2）约束条件：存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一组线性等式或线性不等式来表示。
（3）目标函数：都有一个要求达到的目标，它可用决策变量的线性函数（称为目标函数）来表示。
按问题的不同，要求目标函数实现最大化或最小化。
数学模型，其一般形式为：标准型式为：其中，x j(j=1,2,...,n)为决策变量，a ij(i=1,2,...,m;j=1,2,...,n)为工艺系数，b i(i=1,2,..,m）为资源系数，c j(j=1,2,...,n)为价值系数。
2、如何将线性规划问题转变为标准型（1）若目标函数要实现最小化，minZ=CX。
需将最小化转变为最大化，令Z’=-Z，的maxZ’=-CX。
（2）约束方程为不等式A：约束方程为≤的不等式，左端加入非负松弛变量。
B: 约束方程为≥的不等式，左端减去非负松弛变量。
（3）若变量x k 无约束时，令x k=x k’-x k’’ ，x k’,x k’’≥03、可行解，基，基可行解，可行基的概念及相互关系可行解：满足约束方程不等式，并且满足x k≥0，称为线性规划问题的可行解。
其中使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。
基：设A是约束方程组m×n维系数矩阵，其秩为m，B是矩阵A中的m×m阶的非奇异子矩阵，则称B为线性规划问题的一个基。
基可行解：满足非负条件（x k≥0）的基解，称为基可行解。
可行基：基可行解对应的基，称为可行基。
4、解的几何意义5、线性规划问题的几何意义定理 1：“若线性规划问题存在可行域，则其可行域是凸集”，要会证明。
引理 1：“线性规划问题的可行解X = ( x1 , x2 , ⋯ , x n ) T为基可行解的充要条件是X的正分量所对应的系数列向量是线性独立的”，要会证明（记住从必要性和充分性两方面证明）。
定理 2 “线性规划问题的基可行解 X 对应于可行域 D 的顶点。
”要会证明（利用反证法，从两个方面证明）。
定理 3 “若可行域有界，线性规划问题的目标函数一定可以在其可行域的顶点上达到最优”要会证明。
6、单纯形法求解线性规划的思路一般线性规划问题具有线性方程组的变量数大于方程个数，这时有不定的解。
但可以从线性方程组中找出一个个的单纯形，每一个单纯形可以求得一组解，然后再判断该解使目标函数值是增大还是变小，决定下一步选择的单纯形。
这就是迭代，直到目标函数实现最大值或最小值为止。
（从可行域中的某个基可行解开始到另一个基可行解，直到目标函数达到最优）7、线性规划解的判别定理8、单纯形法的计算步骤9、单纯形法的进一步讨论（1）大M法在一个线性规划问题的约束条件中加进人工变量后，要求人工变量对目标函数取值不受影响，为此假定人工变量在目标函数中的系数为( - M) ( M为任意大的正数) ，这样目标函数要实现最大化时，必须把人工变量从基变量换出。
否则目标函数不可能实现最大化。
（2）两阶段法第一阶段：不考虑原问题是否存在基可行解；给原线性规划问题加入人工变量，并构造仅含人工变量的目标函数和要求实现最小化。
然后用单纯形法求解上述模型，若得到ω= 0 ，这说明原问题存在基可行解，可以进行第二段计算。
否则原问题无可行解，应停止计算。
第二阶段：将第一阶段计算得到的最终表，除去人工变量。
将目标函数行的系数，换原问题的目标函数系数，作为第二阶段计算的初始表。
10、退化解及勃兰特规则退化：单纯形法计算中用θ规则确定换出变量时，有时存在两个和两个以上最小比值，这样在下一次的迭代中就有一个或者几个基变量等于零，这就出现退化解。
勃兰特规则：（1）选取c j-z j>0中下标最小的非基变量x k为换入变量。
（2）当按θ规则存在两个和两个以上最小比值时，选取下标最小的基变量为换出变量时。
11、（实际问题）建立线性规划模型的条件(1 ) 要求解问题的目标函数能用数值指标来反映，且为线性函数；(2 ) 存在着多种方案；(3 ) 要求达到的目标是在一定约束条件下实现的，这些约束条件可用线性等式或不等式来描述。
12、图解法第二章对偶理论和灵敏度分析1、对偶问题的基本性质（1）对称性：对偶问题的对偶是原问题。
（2）弱对偶性：若 X 是原问题的可行解，Y 是对偶问题的可行解。
则存在CX≤Yb。
（3）无界性：若原问题( 对偶问题)为无界解，则其对偶问题(原问题) 无可行解。
（4）可行解的最优性质：设X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解，当C X = Y b 时，X，Y是最优解。
（5）对偶定理：若原问题有最优解，那么对偶问题也有最优解；且目标函数值相等。
（6）互补松弛性：若X，Y分别是原问题和对偶问题的可行解。
那么Y XS = 0 和 YS X= 0 ，当且仅当X，Y为最优解。
（必须都会证明）2、对偶问题的经济解释——影子价格*y的值代表对第i 种资源的估价。
这种估价是针对具体工厂的具体产品而存在的一种特殊价格，称它i为“影子价格”。
影子价格随具体情况而异，在完全市场经济的条件下，当某种资源的市场价低于影子价格时，企业应买进该资源用于扩大生产；而当某种资源的市场价高于企业影子价格时，则企业的决策者应把已有资源卖掉。
可见影子价格对市场有调节作用。
3、对偶单纯形法的计算步骤如下4、对偶单纯行法与单纯行法的区别对偶单纯行法是运用对偶原理求解原问题的一种方法，而不是求解对偶问题的单纯行法。
它和单纯行法的主要区别在于：单纯行法是从一个原问题的基本可行解转到另一个基本可行解，即迭代中始终保持原问题的基本可行解，常数列b≥0，δ则由正分量变成≤0。
对偶单纯行法则是保持对偶问题是基本可行解（即检验数δ≥0），而原问题在非可行解（b≤0）的基础上逐步迭代达到基本可行解（b≥0）。
5、对偶单纯形法有以下优缺点（1）初始解可以是非可行解，当检验数都为负数时，就可以进行基的变换，这时不需要加入人工变量, 因此可以简化计算。
（2）当变量多于约束条件，对这样的线性规划问题，用对偶单纯形法计算可以减少计算工作量，因此对变量较少，而约束条件很多的线性规划问题，可先将它变换成对偶问题，然后用对偶单纯形法求解。
（3）在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中，有时需要用对偶单纯形法，这样可使问题的处理简化。
对偶单纯形法的局限性主要是，对大多数线性规划问题，很难找到一个初始可行基，因而这种方法在求解线性规划问题时很少单独应用。
6、改进单纯形法对单纯形法的改进当用单纯形表求解线性规划问题时，每行每列的数字都需要进行计算，而有些行列的数字在下一步计算时并不需要，改进单纯形法通过矩阵运算求解线性规划问题。
第三章运输问题1、运输问题的数学模型产销平衡条件下运输问题的数学模型2、表上作业法的步骤（1）找出初始基可行解。
（2）求各非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是否达到最优解。
如已是最优解，则停止计算，否则转到下一步。
（3）确定换入变量和换出变量，找出新的基可行解。
在表上用闭回路法调整。
（4）重复（2），（3）直到得到最优解为止。
3、确定初始基可行解（1）最小元素法最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后次小。
一直到给出初始基可行解为止。
最小元素法的缺点是：为了节省一处的费用，有时造成在其他处要多花几倍的运费。
（2）伏格尔法伏格尔法考虑到，一产地的产品假如不能按最小运费就近供应，就考虑次小运费，这就有一个差额。
差额越大，说明不能按最小运费调运时，运费增加越多。
因而对差额最大处，就应当采用最小运费调运。
伏格尔法同最小元素法除在确定供求关系的原则上不同，其步骤相同。
伏格尔法给出的初始解比用最小元素法给出的初始解更接近最优解。
4、最优解的判别（1）闭合回路法需给每一空格找一条闭回路。
用水平或者垂直线向前划，当碰到一数字格时可以转90度后，继续前进，直到回到起始空格为止。
当产销点很多时，这种计算很繁。
（2）位势法5、运输问题一般运输问题是要把某种产品（或物资）从若干个产地调运到若干个销地，每个产地烦人产量、每个销地的销量和产销各地之间的单位运价（或运距）已知，要求确定出使总运输费用最小的运输方案。
第五章整数规划1、整数规划2、分值定界法基本思想：设有最大化的整数规划问题A，与它相应的线性规划为问题B，从解问题B 开始，若其最优解不符合A 的整数条件，那么B 的最优目标函数必是 A 的最优目标函数 z * 的上界，记作z；而 A 的任意可行解的目标函数值将是z * 的一个下界z。
分支定界法就是将B 的可行域分成子区域(称为分支)的方法，逐步减小z和增大z，最终求到 z * 。
优缺点：可解纯整数规划问题和混合整数规划问题，它比穷举发优越，因为它只在一部分可行解的整数解中寻求最优解，计算量比穷举法小，但变量数目很大时，计算量也较大。
3、割平面法意义及原理：割平面法的基础仍然是用解线性规划的方法去解整数规划问题，首先不考虑变量 x i是整数这一条件，但增加线性约束条件（用几何术语，称为割平面）使得由原可行域中切割掉一部分，这部分只包含非整数解，但没有切割掉任何整数可行解。
这个方法就是指出怎样找到适当的割平面（不见得一次就找到），使切割后最终得到这样的可行域，它的一个有整数坐标的极点恰好是问题的最优解。
求切割方程的步骤：4、指派问题概念：在生活中经常遇到这样的问题，某单位需完成 n 项任务，恰好有 n 个人可承担这些任务。
由于每人的专长不同，各人完成任务不同（或所费时间），效率也不同。
于是产生应指派哪个人去完成哪项任务，使完成 n 项任务的总效率最高( 或所需总时间最小) 。
这类问题称为指派问题或分派问题。
当指派问题要求极小化时数学模型是：5、分值定界法求解最大化正数规划问题的步骤6、隐枚举法第八章动态规划的基本方法1、动态规划的基本概念和基本方程（1）阶段变量：把所给问题的过程，恰当地分为若干个相互联系的阶段，以便能按一定的次序去求解。
描述阶段的变量称为阶段变量，常用 k 表示。
（2）状态：表示每个阶段开始所处的自然状况或客观条件，它描述了研究问题过，程的状况，又称不可控因素。
状态变量应具有无后效性（马尔科夫性）：如果某阶段状态给定后，则在这阶段以后过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。
换句话说，过程的过去历史只能通过当前的状态去影响它未来的发展，当前的状态是以往历史的一个总结。
（3）决策：决策表示当过程处于某一阶段的某个状态时可以作出不同的决定（或选择），从而确定下一阶段的状态，这种决定称为决策。