同分母的分式加减法
初升高数学衔接课程-- 分式运算 (教师版含解析)
第2章 分式运算【知识衔接】————初中知识回顾————(一)分式的运算规律1、加减法 同分母分式加减法：c b a c b c a ±=± 异分母分式加减法：bc bd ac c d b a ±=±2、乘法：bd ac d c b a =⋅3、除法：bc ad c d b a d c b a =⋅=÷4、乘方：n nn ba b a =)( (二)分式的基本性质1、)0(≠=m bm am b a2、)0(≠÷÷=m mb m a b a ————高中知识链接————比例的性质(1)若d c ba=则bc ad = (2)若d c ba =则d d c b b a ±=±(合比性质) (3)若d c ba =(0≠-db )则d b d bc a c a -+=-+(合分比性质) (4)若d c b a =＝…＝n m ，且0≠+++n d b 则b a n d b m c a =++++++ (等比性质) 分式求解的基本技巧1、分组通分2、拆项添项后通分3、取倒数或利用倒数关系4、换元化简5、局部代入6、整体代入7、引入参数8、运用比例性质【经典题型】初中经典题型1．若代数式4x x -有意义，则实数x 的取值范围是( ) A ． x =0 B ． x =4 C ． x ≠0 D ． x ≠4【答案】D【解析】由分式有意义的条件:分母不为0，即x-4≠0，解得x≠4，故选D ．2．化简：，结果正确的是( )A ． 1B ．C ．D ．【答案】B 【解析】试题分析：原式==．故选B ．3．当x =______时，分式523x x -+的值为零． 【答案】5． 【解析】解：由题意得：x ﹣5=0且2x +3≠0，解得：x =5，故答案为：5．4．先化简，再求值： 22121x x x x x x ⎛⎫-÷ ⎪+++⎝⎭，其中x =22． 【答案】21x -，7． 【解析】试题分析：根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．试题解析：原式=()22121x x x x x x ++-⋅+=()2211x x x x x +-⋅+=()()2111x x x x x-+⋅+=21x - 当x =22=(2221-=8-1=7．高中经典题型例1：化简232||211x x x x x +-+-- 解：原式＝22|)|1()1()1(x x x -+- 当0≥x 且1≠x 时，原式＝x +1当0<x 且1-≠x 时，原式＝xx +-1)1(2 例2：化简：++++3223bab b a a a 442222223223311b a b a a b b a b ab b a a b -+-+--+-+-例3：计算2)(32222233332222-++÷---++nm m n n m m n n m m n n m m n n m m n 解：设a m n =，b nm =，则1=ab ∴原式＝2)(32223322-++÷---++b a b a b a b a b a ＝ba ab b a b a ab b a ab b a +-+----++2)(32223322＝2222232)()()(nm n m b a b a b a b a b a b a -+-=-+=+-⋅-+ 例4：计算abbc ac c b a ac ab bc b a c bc ac ab a c b +---++----+---222 解：既不便于分式通分，又不适合分组通分，试图考察其中一项，从中发现规律ca b a c a b a b a c a c a b a bc bc ac ab a c b ---=-----=--=+---11))(()()())((2 因此不难看出，拆项后通分更容易 ∴原式＝))(())(())((b c a c b a a b c b a c c a b a c b ---+------- ＝))(()()())(()()())(()()(b c a c a c b c a b c b c b a b c a b a b a c a -----+----------- ＝ac b c a c a b c b c a b a -=---+-+-----2111111 例5：若1=abc ，求111++++++++c ac c b bc b a ab a 解：∵1=abc ，∴bc a 1=，将式中的a 全换成bc1 ∴原式＝11111++++++++c bcc c b bc b bc bc b bc ＝11111=++++++++bc b bc bc b b bc b 例6：已知x z y x y z y x z z y x ++-=+-=-+且0≠xyz ，求分式xyzx z z y y x ))()((+++的值 解：分析：已知条件以连比的形式出现，可引进一个参数来表示这个连比，从而将分式化成整式。
分式加减法(共9张PPT)
计算 ：
例1
5aa2b2 b33aa2b2 b58 aa2b2b
把分子看作 一个整体， 先用括号括
起来！
解：原式= (5a2b3)(3a2b5)(8a2b) a2b
=
5a2b33a2b58a2b a2b
=
a 2b ab 2
=
a b
注意：结果要化为 最简分式！
尝试完成下列各题：
分母不变,分子相加减.
分式加减法
1．同分母分数如何进行加减法运算，举例说
明
同分母的分数相加减， 分母不变,分子相加减.
2．你认为
1 a
2 a
?
3．猜一猜，同分母的分式应该如何加减?
同分母的分式相加减，分母不变,分子相加减.
1类比同分母分数加减法法则，概括同分母分 式的加减法法则
2会熟练地应用同分母分式的加减法法则进 行计算
x2 x1 x1
x3
x2
x 1 x1
x3
x
x
1
.
例2
计算 ：
x2 x y
y2 yx
解：原式=
x2
y2
x y (x y)
=
x2 y2 xy xy
= x2 y2 =x+y
x y
分母不同，先 化为同分母。
(1)
3b x
b x
;
(2) aabbaa ;
3aa2b2
b2
ba2
计算 3b b
2 分母不同，先化为同分母。
同分母分式相加减：分母不变，分子相加减
2
x 4 x4 x2x2 分母不变,分子相加减.
2会熟练地应用同分母分式的加减法法则进行计算
(1) ? x2. 1．同分母分数如何进行加减法运算，举例说明
分式的加减 课件
你认为
1 1 ? 2a 3a
1 1 ? x 1 x 1
异分母分式的加减法法则：
1、异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的 分式，再加减
2、数学表达式：ba
c d
ad bd
bc bd
ad bc bd
例2 计算 ：
1
1
（1）2c2d 3cd 2
1
1
（2）2p 3q 2p 3q
（3）x22x-
4
x
1
2
1、判断题：
(1)
a
a
b
a
a
b
a
b
a
a
b
0
（X）
(2) 1 x 1 x x1 x1 x1
（X）
2.下列各式计算正确的是( D )
A. 1 1 1
a b ab
B. m m 2m
a b ab
C. b b 1 1
aa a
D. 1 1 0
ab ba
3、计算：
(1（) x
3x 1）2
(
x
3 1)
2
(2) 3y
2x 2y
2xy x 2 xy
课堂小结:
⑴ 分式加减运算的方法思路：
异分母 相加减
通分 转化为
同分母 相加减
分母不变 转化为
分子（整式） 相加减
（2）分子相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子 看成一个整体，用括号括起来，再运算。
（3）分式加减运算的结果要约分，化为最简分式 （或整式）。
分式的加减
计算：
(1) 1 8
3 8
(3) 1 5
3 20
(2) 1 8
3 8
同分母分式加减法
同分母分式加减法
同分母分式加减法是指在计算过程中所涉及的分式具有相同的分母。
对于同分母分式的加减法，我们可以将分子相加或相减，而分母保持
不变。
具体的步骤如下：
1. 确定分母：找出所有分式中的分母，将它们作为新的分式的分母。
2. 确定分子：将原始分式中的分子进行相加或相减。
3. 化简分式：对新的分子以及保持不变的分母进行化简，使其分子和
分母没有公共因子。
4. 约分分式：如果可能，对分子和分母进行约分，使其最简。
下面是一个例子：
假设我们要计算以下同分母分式的加减法：(2/5) + (1/5) - (3/5)
1. 确定分母：分母都是5，所以新的分式的分母也是5。
2. 确定分子：将原始分式中的分子进行相加或相减：2 + 1 - 3 = 0。
3. 化简分式：新的分子为0，分母保持不变，即0/5。
4. 约分分式：分子为0，所以最简形式为0。
所以，(2/5) + (1/5) - (3/5) = 0。
同分母分式的加减法教学反思
同分母分式的加减法教学反思同分母分式的加减法教学反思一、综述上周四，我教的是初一的数学，主要是讲解同分母分式的加减法。
由于是初学，我特别重视本次教学，思考其中的技巧及讲解的方法。
今后我也将不断的完善我的教学技巧和方法，以更有效的帮助学生学习本次知识。
二、对本次教学的评价本次教学，我重视学生思想和技能的训练，特意安排让学生进行真实的分式加减运算，以掌握这一技能。
在讲解中，我根据学生的反应，以图形和实际例题来说明同分母分式的加减法，有效的帮助学生理解其中的原理和规律。
总的来说，本次教学让学生从理论上和实践上都更加深刻了对同分母分式的加减法的理解。
三、教学存在的不足尽管本次教学取得了较好的效果，但仍然存在一些不足的地方： 1. 讲解时的思路可以更加清晰，严密。
有时可能过于随意，让学生感到有些茫然。
2. 再讲解实际的例题时，应该引入一些较复杂的例子来挑战学生的思维，提高技能训练的效果。
3. 临时起意的可以增加一些小游戏，更好地激发学生积极性及记忆效果。
四、今后在教学时的改进措施根据本次教学中存在的不足，今后我将重点改进以下几个方面： 1. 讲解时要注重思路的严密性，以更加清晰的思路来讲解，同时要注重引导学生思考，让他们能够从实际案例中抽取规律。
2. 讲解实际例题时，可以引入一些更复杂的实际案例，以锻炼学生的技能。
3. 在教学过程中，可以增加一些小游戏，同时，可以引入一些比较生动的图片或视频，以更好地激发学生的学习兴趣。
五、总结本次教学对我来说很有意义，我认为每次教学都是一个宝贵的机会，可以从中收获许多，不断地完善自己的教学技巧。
今后，我会根据本次教学的反思，对同分母分式的加减法进行更细致的探索，以提高自己的教学能力。
同分母分式的加减运算
例2 通分
1 1 与 2
2x 3y
2 a 与 b
ab ab
解：1 最简公分母为6xy
1 13y 3y , 2 22x 4x 2x 2x 3y 6xy 3y 3y 2x 6xy
2 最简公分母是a ba b
a ab
aa b a ba b,
问题2：想一想，异分母的分数如何加减？
如 1 1 应该怎样计算？ 23
【异分母分数加减法的法则】
通分，把异分母分数化为同分母分数。
问题3：想一想，异分母的分式如何进行加减？
如
11 ab
应该怎样计算？
异分母的分式
转化 通分
同分母的分式
异分母分式通分时，通常取最简单的公分母
（简称最简公分母）作为它们的共同分母。
xy x y
;（
）
× (6) x 3 2 x 1 .
3xy
3xy
3xy
（
）
2、 计算：
1 y x
xy xy
yx x y
1
2 3x x y
2x y 2x y
3x x y
2x y
2x y 1 2x y
3 x 2 x 1 x 3 4 a a
x2
x2
2
a c3 a2 b2
b c3 a2 b2
a c3 b c3
a2 b2
ab
a2 b2
1 ab
同分母分式加减的基本步骤： 1、分母不变，把分子相加减。 （1）如果分式的分子是多项式，一定要加上括 号； （2）如果是分子式单项式，可以不加括号。 2、分子相加减时，应先去括号，再合并同类项； 3、最后的结果，应化为最简分式或者整式。
同分母分式的加减法 讲课课件
例题&解析
☞
2 2 2
5a b 3 3a b 5 8 a b 例1.计算 2 2 2 ab ab ab 2 2 2 (5a b 3) (3a b 5) (8 a b) 解：原式= 2 ab 把分子看作一
个整体,先用括 5a = 号括起来
b 3 3a b 5 8 a b 2 ab 2 a b 强调:结果 = 2 要化为最简 ab
m 2n n 2n m n 1 nm nm nm nm
同分母分式加减的法则及一般步骤： 1. 分母不变，把分子相加减. 2.如果分式的分子是多项式，一 定要加上括号. 3. 分子相加减时，应先去括号， 再合并同类项. 4. 最后的结果，应化为最简分式 或者整式.
【同分母的分式加减法法则】
A C AC 4、你能用字母来表示上述法则吗? . B B B
同分母的两个分式相加（减），分母不变，把分 子相加（减）.
运用&新知
（1） 1
☞ 计算（1 – 3 口答）
x +1 1 (2) - =1 x x
2 1 - =a a a
a 2a 3a 注意:结 (3) + = 0 b +1 b +1 b +1 果要化为 2 2 x -4 x 4 最简分式 = x+2 (4) x2 x2 x - 2 或整式. 2 2 2 2 a b a -b (5) = = a+b a-b a-b a-b x 2 x 1 x 3 x + 2 - x +1+ x - 3 x = (6) x 1 x 1 x 1 x +1 x+1
2 2 2
a = b
分式法则
分式定义：一般地，如果A,B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B叫做分式。
分式A/B中，A叫做分子，B叫做分母。
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分尸的值不变。
用字母表示为A/B=(A*C)/(B*C), A/B=(A÷C)/(B÷C)(C≠0)。
分式法则一、乘法法则分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。
用字母表示(a/b)*(c/d)=(a*c)/(b*d);二、除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与除式相乘。
用字母表示（a/b）÷(c/d)= (a/b)*(d/c)= (a*d)/(b*c);知识拓展：（1）分式乘、除法的运算按从左到右的顺序进行，结果如果不是最简分式，要进行约分。
（2）根据分式乘法法则有：①分式与分式相乘时，如果分子和分母是多项式，那么先分解因式，再看能否约分，然后相乘；②整式与分式相乘时，可以直接把整式看成分母是1的代数式，再与分式相乘；③分式的乘法实质就是约分，所以计算结果如能约分的，必须约分，或通过分解因式后能约分的也要约分，必须把结果化为最简分式或整式。
（3）根据法则我们知道，分式的除法需转化成乘法，转化过程实际上是“一变一倒”的过程，即除号变为乘号，除式的分子与分母颠倒位置。
当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的代数式进行运算。
分式的乘方分式乘方要把分子、分母分别乘方。
用字母表示分式的乘方法则是：知识拓展：（１）分式的乘方法则是由乘方的意义和分式的乘法法则推导出来的。
（２）分式的乘方法则中“把分子、分母分别乘方”，是把分子、分母分别看做一个整体，如分式的加减法一、同分母分式加减法法则。
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
用字母表示为：（a/c）+（b/c）=（a+b）/c。
二、异分母分式加减法法则。
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。
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• (一）知识与技能 • 类比同分母分数加减法的法则得出同分母分
式加减法则.会进行同分母分式加减法的运算. • （二）过程与方法 • 由学生自主探索解题途径，在此过程中，通
过观察、对比等手段，会进行同分母分式加减 法的运算.加强学生的直觉思维，培养学生的观 察能力； • （三）情感与价值观要求 • 在行同分母分式加减法的运算过程中激发学 生学数学的兴趣，培养创新能力和探索精神． • 重点：同分母分式加、减运算 • 难点：同分母分式加减运算的结果的处理.
3x 2y 3x 2y 3x 2y
3x 2y 1 3x 2y
3、计算：
• （1）x 2 x 1 x 3 x1 x1 x1
（2）5x 3y 2x x2 y2 y2 x2
4、 已知 1 1 3, 求 5x xy 5 y 的值；
xy
x xy y
83.、
已 已知 知2xx2-
x yx y
x y
x y
3
ac a2 b2
bc a2 b2
ac bc a2 b2
ca b
a2 b2
c ab
2.计算：
1 3 10 2
xxx
3 10 2 x
5 x
2 x2 y2
xy yx
x2 y2 xy xy
x2 y2 x y
x y
3 3x 2y
3x 2y 2y 3x
3y3x
4+z ,1求=xx0y2 ,求yyz2x2
zx
+z 2
的1 值 的；值. x2
0 因此也有
f g
f g
由于
f f g g
因此也有 f f g g
计算： ac bc ab ba
解
ac ab
bc ba
ac ab
bc
a
b
ac bc ac bc ab ab ab
ca b
c
ab
1.计算：
1 7 3 8
xxx
738 x
2 x
2 x2 y2
x y xy
x2 y2 x y
ac bc ab ba
f f gg
计算：
x2
x2 2xy
y2
x2
y2 2xy
y2
解
x2
y2
x2 2xy y2 x2 2xy y2
x2
x2 y2 2xy
y2
x yx x y2
y
x x
y y
计算：
f f gg
解 f f f f 0 0
gg
g
g
从例3 看到， f f gg
即
f h f h
gg g
计算： 3x2 3xy x y x y
解
3x2 3xy 3x2 3xy 3x(x y) 3x
xy xy xy
x y
注意:
把分子相加减后，要进行因式分解，通过约分，把 所得结果化成最简分式．
计算
3x2
3xy
x y x y
x2
y2
x2 2xy y2 x2 2xy y2
一、自主学习
•
a
1、填空： b a
a
b
a
b
x y 2x 3y
x
y
2x 3y
• 小结：
• •
2、计算 1 5
2 5
=
，
12 55
• 并思考同分母分数的加减法的法则是
• 3、你能类比得出同分母分式加减法的法则吗？ 用公式如何表示？
同分母的分式加减法则是： 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．