材料力学第4章 弯曲内力
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材料力学刘鸿文第六版最新课件第四章 弯曲内力
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第三章 扭 转
§3.1 扭转的概念和实例 §3.2 外力偶矩的计算 扭矩和扭矩图 §3.3 纯剪切（薄壁圆筒扭转问题） §3.4 圆轴扭转时的应力 §3.5 圆轴扭转时的变形 §3.6 圆柱形密圈螺旋弹簧的应力和变形 §3.7 非圆截面扭转的概念 §3.8 薄壁杆件的自由扭转
第四章 弯曲内力
M l
e
(l
x2 )
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
FB
B
Me lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
Me l
M x
FA
Me
a
b
A
C
x1
x2
l
FS
+
M
a l
M
e
+
－
b l
M
e
FB
B
Me
lx
(3)根据方程画内力图
FS
(
x1
)
M l
e
FS (x2 )
M
(x1)
M l
Me
l e x1
a l F(lx2 )
FA a F
b
A x1
C
x2
l
FS
bF
+l
－
M
FB (3)根据方程画内力图
B
b
FS (x1) l F
FS
( x2
)
a l
F
x
a l
F
x
FA a F
b
《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
《材料力学》第四章 弯曲内力
ql FS = R A－qx＝ －qx 2 x qlx qx 2 M = R A x－qx ⋅ ＝ － 2 2 2
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学——4梁的弯曲内力
21
例题1 图所示，悬臂梁受集中力F作用， 试作此梁的剪力图和弯矩图 解： 1.列剪力方程和弯矩方程
FQ ( x) F
(0＜x＜l ) (0≤x＜l)
M ( x) Fx
2.作剪力图和弯矩图 由剪力图和弯矩图可知：
FQ M
max max
F Fl
22
例题 2简支梁受均布荷载作用，如图示， 作此梁的剪力图和弯矩图。 解：1.求约束反力 由对称关系，可得： 1 FAy FBy ql 2 2.列剪力方程和弯矩方程
Q2 Q1– Q2=P
x
x
梁的内力计算的两个规律：
（1）梁横截面上的剪力FQ，在数值上等于该截 面一侧（左侧或右侧）所有外力在与截面平行方 向投影的代数和。即：
FQ
F
yi
若外力使选取研究对象绕所求截面产生顺时针 方向转动趋势时，等式右边取正号；反之，取 负号。此规律可简化记为“顺转剪力为正”， 或“左上，右下剪力为正”。相反为负。
12
二、例题
[例1]：求图（a）所示梁1--1、2--2截面处的内力。 q 2 解：截面法求内力。 qL 1 1--1截面处截取的分离体 1 a y qL A M1 x1 Q1 图（b） 2 b 如图（b）示。
x
图（a）
Y qL Q1 0 Q1 qL
mA( Fi ) qLx1 M1 0 M1 qLx1
作梁的剪力图 FQB右=4kN/m×2m=8kN，FQD=0
34
35
27
3. 弯矩图与剪力图的关系
(1)任一截面处弯矩图切线的斜率等于该截面 上的剪力。 (2) 当FQ图为斜直线时，对应梁段的M图为二 次抛物线。当FQ图为平行于x轴的直线时，M图 为斜直线。
材料力学-- 弯曲内力
1 q ( x2 a ) 2 0 2
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
q( x )dx dFS ( x )
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
M(x)+d M(x)
dFS x q x dx
剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
26
q(x)
dFS x q x dx
第五章
弯曲内力
1
第五章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §4.5 §5.6
弯曲内力
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力―剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及 其应用 用叠加法作弯矩图
2
§5.1 平面弯曲的概念
一、弯曲变形
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
O FN Fs M F
q
符号规定：使轴线曲率增加的M 为正；引起拉伸变形的FN为正； 将Fs对研究对象上任一点取矩， 若力矩的转向为顺时针的，则剪 24 力为正，反之均为负。
y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
q( x )dx dFS ( x )
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
M(x)+d M(x)
dFS x q x dx
剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
26
q(x)
dFS x q x dx
第五章
弯曲内力
1
第五章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §4.5 §5.6
弯曲内力
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力―剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及 其应用 用叠加法作弯矩图
2
§5.1 平面弯曲的概念
一、弯曲变形
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
O FN Fs M F
q
符号规定：使轴线曲率增加的M 为正；引起拉伸变形的FN为正； 将Fs对研究对象上任一点取矩， 若力矩的转向为顺时针的，则剪 24 力为正，反之均为负。
材料力学-第四章 弯曲内力
7 . 线是一条在该纵向对称面内的平面曲线,这种弯曲称为平面弯曲
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
刘鸿文材料力学 I 第6版_4_弯取内力
43
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
(3) 在剪力Q为零处, 弯矩M取极值。
注意: 以上结论只在该 段梁上无集中力 或集中力偶作用 时才成立。
44
(4) 在集中力作用点： 剪力图有突变，突变值 即为集中力的数值，突 变的方向沿着集中力的 方向(从左向右观察)； 弯矩图在该处为折点。
(5) 在集中力偶作用点: 对剪力图形状无影响； 弯矩图有突变，突变值 即为集中力偶的数值。
2
AC段: N 1 qa Q qa qy 2
M qa y 1 qy2
2
(3) 轴力图
(4) 剪力图
35
(4) 剪力图
(5) 弯矩图
BC段:
M 1 qa x
2
qa
AC段:
M qa y 1 qy2
特点： 2
在刚节点处，弯矩值连续 ;
Q
1 qa 2
36
特点： 在刚节点处，弯矩值连续; 可以利用刚节点的平衡， 对内力图进行校核。
(2) 求剪力方程和弯矩方程
需分段求解。
分为两段：AC和CB段。 AC段 取x截面，左段受力如图。
由平衡方程，可得:
Q(x) Pb l
(0 x a)
M (x) Pb x
(0 x a)
l
CB段 取x截面，
x
Q
M
17
CB段 取x截面， 左段受力如图。 由平衡方程，可得:
外侧均可，但需标出正 负号； (3) 弯矩画在受压侧。
32
例 5 刚架
已知：q，a。
求：内力图。
解：(1) 求支反力 结果如图。
(2) 求内力 BC段:
X 0
MQ
N Dx
N 0
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2m
解：
1、求支反力
20 10 3 160 20 2 10
mB 0, FRA
72kN
72
FQ
72mΒιβλιοθήκη x88A 0, FRB 148kN
(kN)
80
M
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
16
(kN· m)
144
极值点
x2
FQ 0
m F q B F RB
梁变形后轴线
纵向对称面
F RA
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述 四、梁的分类 简支梁：一端固定铰支，一端 可动铰支； 悬臂梁：一端为固定端，一端 自由； 外伸梁：简支梁的一端或两端 外伸一部分； 多跨静定梁（联合梁） 简支梁 悬臂梁 外伸梁
F A
主梁 （基本部分）
C 次梁 （附属部分）
材料力学
第4章 弯曲内力
例题3
A
FR A
试作图示简支梁的剪力图和弯矩图
a
F C
b
解： 1、求支反力
B
FR B
x
l
Fb l
m 0 m 0
A B
FRB Fa l FRA Fb l
2、列内力方程 分段函数 AC段
(0 x a ) F FQ ( x) FRA Fb l 有突变 Fa Fb l 值为F M ( x) FRA x x l M CB段 (a x l ) FQ ( x) FRA Fb l 斜向下直线 Fab 无变化 Fb l M ( x) FRA x x l 斜率：FQ Fb l 3、绘制内力图
几何意义：FQ图上某点的切线斜率等于梁上该点处的荷载集度q 几何意义：M图上某点的切线斜率等于梁上该点处的 剪力值FQ 几何意义：反应M图曲线的凹凸方向.
x
M
q (x)
d 2 M ( x) q( x)＞0 2 dx
q (x)
M
d 2 M ( x) x q( x)＜0 2 dx
材料力学
第4章 弯曲内力
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
x2 2 1
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB
2m
解：
1、求支反力 FRA 72kN FRB 148kN
72
FQ
72
60
(kN)
x
88
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
规定q( x)向上为正 取dx微段为研究对象.
F
y
0 FQ ( x) [FQ ( x) dFQ ( x)] q( x)dx 0
dFQ ( x) dx
q( x)
FQ
二、剪力图和弯矩图
以x为横坐标，以FQ、M 为纵坐标， 绘制FQ F（ ）、M M （x）的关系图线， Q x 即为剪力图、弯矩图。
x
正的剪力画在x轴的上侧，负的画在下侧. 正的弯矩画在x轴的下侧，负的画在上侧. 弯矩图画在受拉侧.
M
x
材料力学
第4章 弯曲内力
例题2
A
FR A
1 2 ql
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述
外力特点：垂直于杆轴线的横向外 一、工程实际中的受弯杆 力（集中力、分布力）或作用在杆轴 线平面内的力偶。 二、外力特点与变形特点 三、对称弯曲与非对称弯曲 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。 对称弯曲（平面弯曲）：杆有一纵 向对称平面，且外力均作用在该平面 内，由对称性可知，杆轴线变形后将 在此平面内弯曲成一平面曲线，此种 弯曲称为对称弯曲或平面弯曲。 非对称弯曲：杆不具有纵向对称平 面，或虽有纵向对称平面， 但外力不作用在此对称平 对称轴 A 面内，这种弯曲统称为 非对称弯曲。
材料力学
第4章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
材料力学
第4章 弯曲内力
• • • • •
本章主要内容 梁的内力（剪力、弯矩） 剪力图、弯矩图 剪力、弯矩与荷载集度之间为微积分关系 叠加法作弯矩图
材料力学
第4章 弯曲内力
梁 斜 水 挡 易 简
§4-1 概述 一、工程实际中的受弯杆
桥大梁
挡 土 墙
工程中存在许多构件，在外力作用下，杆轴线在变形后由直线 变为曲线，此种变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主的杆件称为梁。 二、外力特点与变形特点 外力特点：垂直于杆轴线的横向外力（集中力、分布力）或作 用在杆轴线平面内的力偶。 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。
1 M 极值 （ 16） 72 3.6 2
M极值 113.6kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
x
A FR A
C
M
FQ
F a B
弯矩：
M M
M
M
使得梁的底部受拉为正，反之为负.
ΣF
C C
M FQ
ΣF
C C
FR B
FQ
FQ
ΣF
FQ
FQ
ΣF
剪力=截面一侧所有外力的代数和 弯矩=截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和
不论左段梁、右段梁，向上的外力总是引起该截面正的弯矩
材料力学
第4章 弯曲内力
例题1
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
dFQ ( x) dx
q( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
80
M
16
(kN· m)
144
113.6
M1 0 M 2 144kN m CB段 FQ3 72kN FQ4 88kN M3 16kN m M 4 80kN m 极值点 x 3.6m
2 M 2 M1 FQ ( x)dx 1 x1 x2
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
4 Fa Fa M B 0 FRA 3a 2 F 集中力F作用的左侧与右侧，剪力有 突变，突变值为F，弯矩不变.
4-4 5-5
FQ4 FRA F F
M 4 FRAa Fa Fa
3-3
FQ5 FRB F M 5 FRB a Fa
M 3 FRAa 2Fa
解：
截面法
A
1、求支反力
x l
FR B
F l a FRB l
M
0
M
B
0
A FR A
C
M
FQ
F a B
2、求内力
Fa FQ FRA l
Fa FRA l 取左段梁
F
y
0
M
C
0
M FQ
M FRA x
剪力
若取右段梁
FR B
弯矩
Fa x l
符合作用力与反作用力定律 Fa M FRB (l x) F ( x a) x FQ、M 正负号也要重新规定. l
③
①
x
②
m
②
①
M
④ ⑤ M
① ③ ② x ② ③ M
x
斜直线 或水平直线
向下凸抛物线
C处有 向下的尖角
C处有向突变 逆时针向上
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB
3、绘制内力图 微分关系 积分关系
dFQ ( x) dM ( x) FQ ( x), q ( x) dx dx
dM ( x ) F
Q
( x)dx, dFQ ( x) q( x)dx
材料力学
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系
解：
1、求支反力
20 10 3 160 20 2 10
mB 0, FRA
72kN
72
FQ
72mΒιβλιοθήκη x88A 0, FRB 148kN
(kN)
80
M
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
16
(kN· m)
144
极值点
x2
FQ 0
m F q B F RB
梁变形后轴线
纵向对称面
F RA
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述 四、梁的分类 简支梁：一端固定铰支，一端 可动铰支； 悬臂梁：一端为固定端，一端 自由； 外伸梁：简支梁的一端或两端 外伸一部分； 多跨静定梁（联合梁） 简支梁 悬臂梁 外伸梁
F A
主梁 （基本部分）
C 次梁 （附属部分）
材料力学
第4章 弯曲内力
例题3
A
FR A
试作图示简支梁的剪力图和弯矩图
a
F C
b
解： 1、求支反力
B
FR B
x
l
Fb l
m 0 m 0
A B
FRB Fa l FRA Fb l
2、列内力方程 分段函数 AC段
(0 x a ) F FQ ( x) FRA Fb l 有突变 Fa Fb l 值为F M ( x) FRA x x l M CB段 (a x l ) FQ ( x) FRA Fb l 斜向下直线 Fab 无变化 Fb l M ( x) FRA x x l 斜率：FQ Fb l 3、绘制内力图
几何意义：FQ图上某点的切线斜率等于梁上该点处的荷载集度q 几何意义：M图上某点的切线斜率等于梁上该点处的 剪力值FQ 几何意义：反应M图曲线的凹凸方向.
x
M
q (x)
d 2 M ( x) q( x)＞0 2 dx
q (x)
M
d 2 M ( x) x q( x)＜0 2 dx
材料力学
第4章 弯曲内力
x2
x 72 8 x 88
x 3.6m
x1
dM ( x) FQ ( x)dx
x1
M 2 M1 FQ ( x)dx
x1
M1 0 M 2 72 2 144kN m CB段 F 72kN Q3 FQ4 72 20 8 88kN M3 72 2 160 16kN m M 4 20 2 20 2 1 80kN m
x2 2 1
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB
2m
解：
1、求支反力 FRA 72kN FRB 148kN
72
FQ
72
60
(kN)
x
88
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
规定q( x)向上为正 取dx微段为研究对象.
F
y
0 FQ ( x) [FQ ( x) dFQ ( x)] q( x)dx 0
dFQ ( x) dx
q( x)
FQ
二、剪力图和弯矩图
以x为横坐标，以FQ、M 为纵坐标， 绘制FQ F（ ）、M M （x）的关系图线， Q x 即为剪力图、弯矩图。
x
正的剪力画在x轴的上侧，负的画在下侧. 正的弯矩画在x轴的下侧，负的画在上侧. 弯矩图画在受拉侧.
M
x
材料力学
第4章 弯曲内力
例题2
A
FR A
1 2 ql
材料力学
第4章 弯曲内力
§4-1 概述
外力特点：垂直于杆轴线的横向外 一、工程实际中的受弯杆 力（集中力、分布力）或作用在杆轴 线平面内的力偶。 二、外力特点与变形特点 三、对称弯曲与非对称弯曲 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。 对称弯曲（平面弯曲）：杆有一纵 向对称平面，且外力均作用在该平面 内，由对称性可知，杆轴线变形后将 在此平面内弯曲成一平面曲线，此种 弯曲称为对称弯曲或平面弯曲。 非对称弯曲：杆不具有纵向对称平 面，或虽有纵向对称平面， 但外力不作用在此对称平 对称轴 A 面内，这种弯曲统称为 非对称弯曲。
材料力学
第4章 弯曲内力
第四章 弯曲内力
材料力学
第4章 弯曲内力
• • • • •
本章主要内容 梁的内力（剪力、弯矩） 剪力图、弯矩图 剪力、弯矩与荷载集度之间为微积分关系 叠加法作弯矩图
材料力学
第4章 弯曲内力
梁 斜 水 挡 易 简
§4-1 概述 一、工程实际中的受弯杆
桥大梁
挡 土 墙
工程中存在许多构件，在外力作用下，杆轴线在变形后由直线 变为曲线，此种变形称为弯曲变形。 以弯曲变形为主的杆件称为梁。 二、外力特点与变形特点 外力特点：垂直于杆轴线的横向外力（集中力、分布力）或作 用在杆轴线平面内的力偶。 变形特点：杆的轴线弯曲成曲线。
1 M 极值 （ 16） 72 3.6 2
M极值 113.6kN m
第4章 弯曲内力
例题5
q0 A
1 2 q0l
试作图示悬臂梁的剪力图和弯矩图
q (x) 一次直线
x
解： 1、求x截面荷载集度
B
l
q0 q ( x ) (l x ) l
2、列内力方程
二次曲线
FQ
1 2 6 q0l
三次曲线
M
1 1 q0 FQ ( x) q ( x)(l x) (l x) 2 2 2 l 1 1 M ( x) q( x)(l x) (l x) 2 3 q0 (l x)3 6l
x
A FR A
C
M
FQ
F a B
弯矩：
M M
M
M
使得梁的底部受拉为正，反之为负.
ΣF
C C
M FQ
ΣF
C C
FR B
FQ
FQ
ΣF
FQ
FQ
ΣF
剪力=截面一侧所有外力的代数和 弯矩=截面一侧所有外力对该截面形心力矩的代数和
不论左段梁、右段梁，向上的外力总是引起该截面正的弯矩
材料力学
第4章 弯曲内力
例题1
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系
y A dx q (x) B x
M (x)
M (x) +dM (x)
C
FQ(x) +d FQ (x)
q (x)
dx
推导
dFQ ( x) dx
q( x)
dM ( x ) FQ ( x) dx
d 2 M ( x) q ( x) 2 dx
80
M
16
(kN· m)
144
113.6
M1 0 M 2 144kN m CB段 FQ3 72kN FQ4 88kN M3 16kN m M 4 80kN m 极值点 x 3.6m
2 M 2 M1 FQ ( x)dx 1 x1 x2
2、分段求控制截面内力并绘图 AC段 FQ1 FQ1 72kN
4 Fa Fa M B 0 FRA 3a 2 F 集中力F作用的左侧与右侧，剪力有 突变，突变值为F，弯矩不变.
4-4 5-5
FQ4 FRA F F
M 4 FRAa Fa Fa
3-3
FQ5 FRB F M 5 FRB a Fa
M 3 FRAa 2Fa
解：
截面法
A
1、求支反力
x l
FR B
F l a FRB l
M
0
M
B
0
A FR A
C
M
FQ
F a B
2、求内力
Fa FQ FRA l
Fa FRA l 取左段梁
F
y
0
M
C
0
M FQ
M FRA x
剪力
若取右段梁
FR B
弯矩
Fa x l
符合作用力与反作用力定律 Fa M FRB (l x) F ( x a) x FQ、M 正负号也要重新规定. l
③
①
x
②
m
②
①
M
④ ⑤ M
① ③ ② x ② ③ M
x
斜直线 或水平直线
向下凸抛物线
C处有 向下的尖角
C处有向突变 逆时针向上
材料力学
第4章 弯曲内力
20kN
例题6
试用简易方法作图示外伸梁的剪力图和弯矩图
160kN· m 20kN/m
1 2 3 A C 3 1 2
FRA
2m 8m
4 5 6 B 5 6 D 4 FRB
3、绘制内力图 微分关系 积分关系
dFQ ( x) dM ( x) FQ ( x), q ( x) dx dx
dM ( x ) F
Q
( x)dx, dFQ ( x) q( x)dx
材料力学
第4章 弯曲内力
FQ(x)
§4-4 剪力、弯矩和荷载集度之间的关系 一、微分关系