材料力学-- 弯曲内力
《材料力学》课程讲解课件第四章弯曲内力
x
∴ 弯曲构件内力：Fs －剪力，M －弯矩。
若研究对象取m - m 截面的右段：
Y 0, Fs F FBY 0.
mC 0,
FBY
FBY (l x) F(a x) M 0.
Fs
F (l a) l
,
M F (l a) x 18 l
1. 弯矩：M 构件受弯时，横截面上
存在垂直于截面的内力偶矩 （弯矩）。
由 Fy 0, 得到：
A
FAy
a
Mc
C FSc
FAy q 2a FSc 0
FSc FAy q 2a qa
（剪力FS 的实际方向与假设方
向相反，为负剪力）
由 MC 0, 得到：
MC FAy 2a 2qa a M1 0
MC FAy 2a 2qa a M1 2qa2
F
M (x) FAY x M A
F(x L) (0 x l)
x
③根据方程画内力图
FL
x
41
§4-4 剪力方程和弯矩方程 剪力图和弯矩图
q
例题4-2
悬臂梁受均布载荷作用。
x
试写出剪力和弯矩方程，并
q
l
x
FS
M x
FS x
画出剪力图和弯矩图。
解：任选一截面x ，写出
剪力和弯矩方程
ql FS x＝qx
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
P
主要产生弯曲变形的杆--- 梁。
q
M
二、平面弯曲的概念：
RA
NB
3
F1
q
F2
M
纵向对称面
平面弯曲 受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在
材料力学弯曲内力
材料力学弯曲内力材料力学是研究物质在外力作用下的变形和破坏规律的科学。
而弯曲内力则是材料力学中的一个重要概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
弯曲内力是指在梁或梁式结构中由外力引起的内部应力状态，它是由梁的外部受力状态和几何形状决定的。
在工程设计和结构分析中，了解和计算弯曲内力是非常重要的，本文将对材料力学中的弯曲内力进行详细的介绍。
首先，我们来看一下弯曲内力的产生原理。
当梁受到外力作用时，梁内部会产生弯曲变形，这时梁内部就会产生弯曲应力。
弯曲内力包括正应力和剪应力两部分，正应力是沿梁的纵向方向产生的拉压应力，而剪应力则是梁内部产生的剪切应力。
这些内力的大小和分布是由梁的受力情况和截面形状决定的。
其次，我们来讨论一下弯曲内力的计算方法。
在工程实践中，我们通常采用梁的截面性质和外力矩的大小来计算弯曲内力。
对于矩形截面的梁，我们可以通过简单的公式来计算出弯曲内力的大小和分布。
而对于复杂形状的截面，我们则需要借助数值计算或者有限元分析来得到准确的结果。
在实际工程中，我们通常会使用专业的结构分析软件来进行弯曲内力的计算，这样可以大大提高计算的准确性和效率。
接着，我们来谈一下弯曲内力的影响因素。
弯曲内力的大小和分布受到多种因素的影响，包括外力的大小和方向、梁的截面形状和材料性质等。
在设计和分析过程中，我们需要充分考虑这些因素，以确保结构的安全性和稳定性。
此外，梁的支座条件和边界约束也会对弯曲内力产生影响，这些因素需要在计算中进行合理的考虑和处理。
最后，我们来总结一下弯曲内力的重要性。
弯曲内力是梁和梁式结构中非常重要的内部应力状态，它直接影响着结构的安全性和稳定性。
在工程设计和分析中，准确计算和合理分析弯曲内力是非常重要的，它可以帮助工程师们更好地理解和把握结构的受力情况，从而保证结构的安全性和可靠性。
总之，弯曲内力是材料力学中一个重要的概念，它在工程实践中有着广泛的应用。
通过对弯曲内力的了解和计算，我们可以更好地设计和分析工程结构，保证结构的安全性和稳定性。
《材料力学》第四章 弯曲内力
M FS
F S
（3）画出FS图与M图。 画出F 图与M 剪力图为一斜直线， 剪力图为一斜直线， x=0，FS=ql/2；x=l，FS=-ql/2； ； 弯矩图为一抛物线， 弯矩图为一抛物线， 由三点来确定： 由三点来确定： x=0及x=l时，M＝0； x=l/2， M＝ql2／8。 。
M x = a, M = O a AC段 x=0， AC段：x=0，M＝0 ； l
CB段 CB段：x=a, x=l, M＝ x= , M＝0
MO M =－ b l
试作轴的简力图和弯矩图
补例1 补例1
解
（1）求支反力。 求支反力。
1 ql 2
R A = RB =
（2）用截面法求剪力和弯矩方程。 用截面法求剪力和弯矩方程。
∑ mA = 0 ∑m
B
=0
l －m－P ⋅ + YB ⋅ l = 0 2 l －YA ⋅ l－m+P ⋅ = 0 2
YA－FSC＝0 , 3 FSC＝－ P 2
5 P B 2 3 Y A =－ P 2 Y =
m
（2）计算C截面的内力。 计算C截面的内力。
∑Y = 0 ,
P
l 13 mC＝0 , YA ⋅ －m＋M C＝0 , M C＝ Pl ∑ 4 8
求反力： 解 （1）求反力：
∑ X = 0, X = 0 ∑ Y = 0, P － Y ＝0 ∑ m ＝0， m － Pa ＝0
C C C C
YC＝ P m C＝ Pa
（2）列弯矩和轴力方程。 列弯矩和轴力方程。 AB段 AB段：M(x)= Px, N(x)=0 , BC段 BC段：M(y)=mC=Pa, N(y)=P ,
材料力学_：弯曲内力_：载荷集度、剪力和弯矩间的关系_
dFS( x) q( x) dx
If:在 x=x1 和 x= x2 两个横截面处无集中力作用
x2 x1
dFS
Байду номын сангаас
(
x)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
x2 q( x)dx
x1
FS ( x2 ) FS ( x1)
115
1265
23.6
+
1.7
27
（3）弯矩图 每段弯矩图均为斜直线。
MA0
FRA F
1
2
A
C
F FRB
3
D
B
M C FRA0.2 4.72kN m
M D FRB0.115 3.11kN m
MB 0
200
115
1265
最大弯矩发生在 C 截面
M max 4.72kN m
+
（4）校核
FRA 1 F 2
二、q(x)、FS(x)图、M（x）图三者间的关系
1.梁上有向下的均布荷载,即 q(x) < 0 FS(x)图为一向右下方倾斜的直线. M(x)图为一向上凸的二次抛物线.
M(x)
FS(x)
O
x
2.梁上无荷载段，q(x) = 0 剪力图为一条水平直线.
FS(x)
弯矩图为斜线.
O
x
dFS( x) q( x) dx
A
C
F 3 FRB
DB
1）集中力作用的C,D 两点： 剪力图发生突变,突变值F=25.3kN。
200
材料力学(刘鸿文)第四章-弯曲内力
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
P a q
a
P
a
a
a M＝qa2
q
a a
P=2qa
练习：计算下列各图中特殊截面上的内力
q
a
2a
P=qa
a
a M=qa2
a
§4-4
剪力方程和弯矩方程、剪力图和弯矩
一、内力方程： 任意截面处的内力表示为截面位置的函数； q x q x 例1、悬臂梁上作用均布载荷 写内力方程，并作内力图
M ( x) m Pa
x
(0 x a )
BC段:
Fs ( x) P
M ( x) m P( x a) 2 Pa Px
( a x 2a )
Fs ( x) 0
m=Pa
P
B C
M ( x) m Pa
(0 x a )
A
Fs ( x) P
弯矩图上凸；
总结3 3、梁上没有均布载荷时：
剪力的图 弯矩图
FS
Fb / l
F C
x
水平；
斜直线；
M
Fa / l
Fab / l
且剪力大于零时， 弯矩图上升； 剪力小于零时， 弯矩图下降；
x
总结4 4、集中力的作用点处
FS
Fb / l
F
C
Fa / l
剪力图 突变； 突变量 =集中力的大小； 突变的方向 弯矩图 顺集中力的方向
固定端截面处；
FS max＝ql
M max＝ql 2 / 2
M
ql 2 / 2
x
仔细观察内力图的特点 1885年，俄国人别斯帕罗夫开 始使用弯矩图；
《材料力学》 第五章 弯曲内力与弯曲应力
第五章 弯曲内力与应力 §5—1 工程实例、基本概念一、实例工厂厂房的天车大梁，火车的轮轴，楼房的横梁，阳台的挑梁等。
二、弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线。
变形特点——杆轴线由直线变为一条平面的曲线。
三、梁的概念：主要产生弯曲变形的杆。
四、平面弯曲的概念：受力特点——作用于杆件上的外力都垂直于杆的轴线，且都在梁的纵向对称平面内（通过或平行形心主轴且过弯曲中心）。
变形特点——杆的轴线在梁的纵向对称面内由直线变为一条平面曲线。
五、弯曲的分类：1、按杆的形状分——直杆的弯曲；曲杆的弯曲。
2、按杆的长短分——细长杆的弯曲；短粗杆的弯曲。
3、按杆的横截面有无对称轴分——有对称轴的弯曲；无对称轴的弯曲。
4、按杆的变形分——平面弯曲；斜弯曲；弹性弯曲；塑性弯曲。
5、按杆的横截面上的应力分——纯弯曲；横力弯曲。
六、梁、荷载及支座的简化（一）、简化的原则：便于计算，且符合实际要求。
（二）、梁的简化：以梁的轴线代替梁本身。
（三）、荷载的简化：1、集中力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比非常小时。
2、分布力——荷载作用的范围与整个杆的长度相比不很小时。
3、集中力偶（分布力偶）——作用于杆的纵向对称面内的力偶。
（四）、支座的简化：1、固定端——有三个约束反力。
2、固定铰支座——有二个约束反力。
3、可动铰支座——有一个约束反力。
（五）、梁的三种基本形式：1、悬臂梁：2、简支梁：3、外伸梁：（L 称为梁的跨长） （六）、静定梁与超静定梁静定梁：由静力学方程可求出支反力，如上述三种基本形式的静定梁。
超静定梁：由静力学方程不可求出支反力或不能求出全部支反力。
§5—2 弯曲内力与内力图一、内力的确定（截面法）：[举例]已知：如图，F ，a ，l 。
求：距A 端x 处截面上内力。
解：①求外力la l F Y l FaF m F X AYBY A AX)(F, 0 , 00 , 0-=∴==∴==∴=∑∑∑ F AX =0 以后可省略不求 ②求内力xF M m l a l F F F Y AY C AY s ⋅=∴=-==∴=∑∑ , 0)( , 0∴ 弯曲构件内力：剪力和弯矩1. 弯矩：M ；构件受弯时，横截面上存在垂直于截面的内力偶矩。
材料力学-第四章 弯曲内力
(Internal forces in beams)
纵向对称面
F1
F2
梁的轴线
A B
FRB
FRA
梁变形后的轴线与 外力在同一平面内
8
(Internal forces in beams)
4.梁的力学模型的简化(Representing a real structure by an idealized model) （1） 梁的简化 通常取梁的轴线来代替梁。
m dx
15
+
FS
m
FS
m
-
dx
m
FS
(Internal forces in beams)
2.弯矩符号
(Sign convention for bending moment)
+
M m
M
当dx 微段的弯曲下凸（即该段的下半部 受拉 ）时,横截面m-m上的弯矩为正；
m
（受拉）
当dx 微段的弯曲上凸（即该段的下半 部受压）时,横截面m-m上的弯矩为负.
12
(Internal forces in beams)
§4-2 梁的剪力和弯矩 (Shear- force and bending- moment in beams)
一、内力计算(Calculating internal force)
[举例] 已知 如图，F，a，l. 求距A端x处截面上内力. 解: 求支座反力
3
(Internal forces in beams)
§4-1 基本概念及工程 (Basic concepts and example problems)
《材料力学》第4章弯曲内力 课后答案
0 ； FS−C
= b F， a+b
M
− C
=
ba a+b
F
FS+C
=
−a a+b
F
，
M
+ C
=
ba a+b
F ； FSB
=
−A a+b
F
,MB
=
0
d解
图（d1）， ∑ Fy
=
0，F
=
1 2
ql
，
∑
M
A
= 0，M A
=
− 3 ql 2 8
仿题 a 截面法得
FSA
=
1 2
ql
，MA
=
−
3 8
ql
2
；
FS−C
FS (x) = −F
⎜⎛ 0 < x < l ⎟⎞
⎝
2⎠
M (x) = −Fx ⎜⎛0 ≤ x ≤ l ⎟⎞
⎝
2⎠
FS (x) = F
⎜⎛ l < x < l ⎟⎞
⎝2
⎠
45
M (x) =
FA x +
FB
⎜⎛ ⎝
x
−
l 2
⎟⎞ ⎠
，
FB
= 2F
M (x) = Fx − Fl ⎜⎛ l ≤ x ≤ l ⎟⎞
( ) 解
∑MB
=
0 ， FA
⋅l
+
ql 2
×
3l 4
− ql 2
=
0
， FA
=
5 ql 8
↑
( ) ∑ Fy
= 0 ， FB
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y
0:
C
qlx2 M 2
1 M 2 q( x2 a) 2 qlx2 2 10
另外还可以直接利用外力简化法求解内力。 内力与外力之间的大小关系规律： （1）横截面上的剪力在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力在轴线垂直方向投影的代数和。 （2）横截面上的弯矩在数值上等于该截面左侧（或 右侧）梁上所有外力对截面形心取矩的代数和。 内力符号与外力方向之间的关系规律： （1）“左上右下”的外力引起正值剪力，反之则相反。 （2）“左顺右逆”的外力偶引起正值弯矩，反之则相反 。 （3）所有向上的外力均引起正值弯矩，反之则相反。
q( x )dx dFS ( x )
x q(x) M(x) FS(x) dx
dx
M(x)+d M(x)
dFS x q x dx
剪力图上某点处的切线斜率 FS(x)+dFS(x) 等于该点处的荷载集度。
26
q(x)
dFS x q x dx
第五章
弯曲内力
1
第五章
§5.1 §5.2 §5.3 §5.4 §4.5 §5.6
弯曲内力
平面弯曲的概念 梁的计算简图 弯曲内力―剪力和弯矩 剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图 载荷集度、剪力和弯矩间的微分关系及 其应用 用叠加法作弯矩图
2
§5.1 平面弯曲的概念
一、弯曲变形
受力特点：垂直于轴线的横向力或轴线平面内的力偶。
O FN Fs M F
q
符号规定：使轴线曲率增加的M 为正；引起拉伸变形的FN为正； 将Fs对研究对象上任一点取矩， 若力矩的转向为顺时针的，则剪 24 力为正，反之均为负。
FN Fs M F M图 A F + 2FR O B
q
Fs图
– F
FN图
+ F
O O M (q ) F ( R Rcosq ) FR(1 cosq ) (0 q )
一、构件几何形状的简化：通常取梁的轴线来代替梁。 二、载荷简化 1. 集中力(N，kN) 2. 集中力偶(Nm， kNm) 3. 分布载荷(N/m，kN/m)
P 载荷集度q： q lim0 x x
5
P m q m
三、 支座简化 ①固定铰支座：2个约束 A A A ③固定端：3个约束
XA MA
[例5-4] 求下列外伸梁的内力方程并画内力图。 q
C a
A
RA
x
2a
RB
Fs qa 1 qa2 2
1 qa 4+
解：(1)计算支反力： B R 5 qa() RB 1 qa() A 4 4 (2)列剪力、弯矩方程：以A 为原点。
q(a x) (a x 0)
M
-
（3）画内力图：
x
ql FS ( x) －qx0 x l 2
M ( x)
FS
M
ql q x x2 2 2 q ( x l ) 2 1 ql 2 0 x l 2 2 8
(3)绘制剪力图、弯矩图 在FS=0处，M取得最大值。 14
F A RA
x x a
l
C b M(x) FS(x) F
B A
q
FAy
3a
[例5-6]作图示刚架的弯矩图。 解：(1) 求支座反力
Fx 0 : FCx 3qa
M C 0 : FAy
3qa 3a 2 9 qa 2a 4 9 qa 4
20
CF
Cx
F y 0 : FCy
FCy
2a
(2) 对各杆分段求内力
0 x2 l
(外侧受拉)
（2）画弯矩图
P1a+ P2 l
23
4. 平面曲杆：轴线为平面曲线的杆件。 内力情况及绘制方法与平面刚架相同。 [例5-8] 如图所示平面曲杆，已知F及R 。试画Fs、M 及FN 图。 解：建立极坐标，O为极点，OB 极轴，q表示截面m–m的位置。 R F 取研究对象，画其受力图如下 图示： q B A
B
q
3a
A 9qa 4
BA杆：以A为原点
F F
x
0 : FN ( x1 ) 0 0 x1 2a
C
9qa 4
3qa
FN 2
M2
q
FN 1
O x2
2a M1
0 : Fs ( x1 ) 9 qa 0 x1 2a y 4 M O 0 : M ( x1 ) 9 qax1 0 x1 2a 4
变形特点：原为直线的轴线变为曲线。 梁(beam)——以弯曲变形为主的构件。
3
对称轴
P q
m
轴线
RA
纵向对称面
RB
对称轴
平面弯曲：当所有外力(或者外力的合力)作用于纵 向对称面内时，杆件的轴线在对称面内弯曲成一条 平面曲线。 4
§5.2
梁的计算简图
计算简图：表示杆件几何特征与受力特征的力学模型。
a A x
F1
C
计算方法：截面法 例：求截面1-1上的内力。 解：(1)确定支反力RA和RB
Fy 0 :
RA F1 FS 0
F1 1
F2
m
B
1
RA (2)取左段梁为研究对象：
RB M FS F2 M
m
FS RA F1
RA
x
M C 0 : M F ( x a) R x 0 1 A
Fs (q ) Fsinq (0 q )
FN (q ) Fcosq (0 q )
25
§5.5 荷载集度、剪力和弯矩间的微分关系
q(x)
对dx 段进行平衡分析：
F y 0:
FS ( x ) q( x )dx FS ( x ) dFS ( x ) 0
B
9 2 qa图 BA杆：以A为原点
M ( x1 ) 9 qax1 0 x1 2a 4
M
C
弯矩图画在 BC杆：以C为原点 q 2 M ( x2 ) 3qax2 - x2 0 x2 3a 受拉侧 2
B 9qa 4 + FS C
A
m A RA x x a
C b
B RB
解：(1)计算支反力：
l x
m RA FS x m /l + mb /l M ma /l
M A 0 : RB m / l M B 0 : RA m / l
RA
M(x) FS(x) M(x) FS(x)
(2)建立剪力、弯矩方程：分AC、 CB两段考虑，以A为原点。 m FS ( x ) RA 0 x a AC段： l
（3）分段规律：
19
3. 刚架：在工程中，常遇到由不同取向的杆件，通过 杆端相互连接而组成的框架(frame)结构。 具有刚节点的框架称为刚架(rigid frame)。 刚节点：不能相对转动，也不能相对移动。 铰结点：能相对转动，不能相对移动。 注意：刚架的内力有Fs、M、FN , 这里只讲弯矩图画法。
6
②可动铰支座：1个约束 A
YA
XA
A A YA
A
YA
四、静定梁的三种基本形式 静定梁：仅由静力平衡条件就可确定梁的全部支反力和 内力。 ① 简支梁(simple beam)
② 外伸梁(overhanging beam)
③ 悬臂梁(cantilever beam)
7
§5.3
弯曲内力——剪力和弯矩
（2）求截面内力 1-1截面: Fs1 R A 1 F
4 M1 R A a M 0 1 F a Fa 5 Fa 4 4 2-2截面: Fs 2 R B 3 F 4 M 2 R B a 3 Fa 4
12
§5.4
剪力、弯矩方程和剪力、弯矩图
1. 内力方程： 剪力方程：FS=FS（x） 弯矩方程：M=M（x） 2. 剪力图和弯矩图：表示梁在各截面上剪力和弯矩的 图形。 FS x M 计算步骤： (1)确定支座反力； (2)分段建立剪力、弯矩方程； (3)作剪力图、弯矩图。 x
FS 1
BC杆：以C为原点
A 9qa 4
O
x1
Fy 0 : FN ( x2 ) 9 qa 0 x2 3a 4
FS 2
F
x
0 : Fs ( x2 ) 3qa qx2
q 2 x 2 2
0 x2 3a
0 x2 3a
21
9qa 4
C
3qa
M O 0 : M ( x2 ) 3qax2 -
M RA x F1 ( x a)
FS
8
RB
内力的正负规定: ①剪力FS: 绕研究对象顺时针转为正；反之为负。 或者说：左上右下的FS为正，反之相反。
FS(+) FS(–)
FS(+)
FS(–)
②弯矩M：使梁变成凹形的弯矩为正；使梁变成凸形 的弯矩为负。或者说：左顺右逆的M为正， 反之相反。
B
9qa + 4
A
FN C
22
3qa
[例5-7] 试作图示刚架的弯矩图。
F2 B a F1
解：（1）列各杆弯矩方程 BC杆：以C为原点
M ( x1 ) F1 x1
x2
l
x1 C
0 x1 a
(外侧受拉)
A P1a
P1a
BA杆：以B为原点
M ( x2 ) F1a F2 x2