数据结构、算法与应用 第10章
数据结构算法和应用--C++ 语言描述
• 小写o符号
f(n)=o(g(n) )：当且仅当f(n)=O(g(n))且f(n)≠ Ω(g(n))。
2021/4/15
例一 递归问题
递归函数是一个自己调用自己的函数。 递归函数包括两种
2021/4/15
什么是数据结构？
在计算机科学中，数据结构（data structure）是计算 机中存储、组织数据的方式。
什么是 算法？
算法是指完成一个任务所需要的具体步骤和方法。也 就是说给定初始状态或输入数据，能够得出所要求或 期望的终止状态或输出数据。
--维基百科
2021/4/15
数据结构算法与应用 --C++ 语言描述
f(n)=O(g(n))：当且仅当存在正的常数c和n0，使得对于所有的n≥n0 , 有f(n)≤cg(n)。
Ω符号与大O 符号类似，它用来估算函数f 的下限值。
f(n)= Ω (g(n))：当且仅当存在正的常数c 和n0，使得对于所有的n≥n0， 有f(n) ≥cg(n)。
Θ符号适用于同一个函数g 既可以作为f 的上限也可以作为f 的下限 的情形。
P36 练习7 计算n！的非递归程序 int factorial (int n) { //非递归计算n！ if (n <= 1) return 1; int fact = 2; for (int i = 3; i <= n; i++)
fact *= i; return fact; }
2021/4/15
程序 性能
运行一个程序所需要的内存大小和时间 分析的方法 实验的方法
数据结构及应用算法教程修订版
20
假如中序遍历二叉排序树，所得序列将是有 序旳，即实现了对原始数据旳排序，二叉排序 树即由此得名。
原始序列数据 （49，38，65，76，49，13，27，52）
构造旳二叉排序树 49
38
65
13
49
7627Leabharlann 52中序遍历二叉排序树
for ( i=H.length; i>1; --i ) { // 调整堆来实现排序 H.r[1]←→H.r[i]; // 将堆顶统计和目前未经排序子序列 // H.r[1..i]中最终一种统计相互互换 HeapAdjust(H.r, 1, i-1); // 对 H.r[1] 进行筛选
} 13
} // HeapSort
13
s->data = T ->data;
s->next = head->next;
38
head->next = s; degression(T ->rchild ); } }
s 插入结点
旳指针操作
40
降序排列旳动态模型演示
49
38
76
13
40
134738069
1343890
143308
3138
13
32
字母集: s, t, a, e, i
出现频度: 5, 6, 2, 9, 7
编码: 101, 00, 100, 11, 01
29
0
1
电文: eat
13 01
16 01
6 00
7 01
7 0
1
9 11
数据结构、算法及其应用PPT(共70页)
Leftist Trees(左高树)
▪ 堆结构是一种隐式数据结构，用完全二叉树表 示的堆在数组中是隐式存贮的。由于没有存贮 结构信息，这种描述方法空间利用率很高。
▪ 尽管堆结构的时间和空间效率都很高，但它不 适合于所有优先队列的应用，尤其是当需要合 并两个优先队列或多个长度不同的队列时。因 此需要借助于其他数据结构来实现这类应用， 左高树就能满足这种要求。
if(!root) throw OutOfBounds(); x=root->data;//最大元素 HBLTNode<T> *L=root->LeftChild; HBLTNode<T> *R=root->RightChild; delete root; root=L; Meld(root,R); return *this; }
▪ 例-CPU调度
优先队列
▪ 优先队列是0个或多个元素的集合，每个元素 都有一个优先权或值。
▪ 对优先队列执行的操作有：
• 查找 • 插入一个新元素 • 删除
优先队列的线性表描述
▪ 描述最大优先队列最简单的方法是采用无序线 性表。
▪ 假设有一个具有n个元素的优先队列，插入操作 可以十分容易地在表的右端末尾执行，插入所 需时间为Θ(1)。删除操作时必须查找优先权最 大的元素，即在未排序的n个元素中查找具有最 大优先权的元素，所以删除操作所需时间为 Θ(n)。
优先队列的线性表描述
▪ 如果利用链表，插入操作在链头执行，时间为 Θ(1)，而每个删除操作所需时间为Θ(n)。
优先队列的线性表描述
▪ 另一种描述方法是采用有序线性表，当使用公 式化描述时元素按递增次序排列，使用链表时 则按递减次序排列，这两种描述方法的删除时 间均为Θ(1)，插入操作所需时间为Θ(n)。
《数据结构与算法分析》课件第10章
n
(10-3)
递归产生无穷序列x1，x2，…，xk，…。
对于i=2k，k=0, 1, 2, …，以及2k≤j≤2k+1，Pollard算法计
算xj-xi与n的最大公因子为
d=gcd(xj-xi, n)
(10-4)
如果d是n的非平凡因子，则在实现对n的一次因子分割时，
该算法输出n的因子d。
10.1.4 蒙特卡罗算法 在实际应用中常会遇到一些特殊的问题，即无论是采用
E)，其中每一条边(v, u)E有一个非负整数费用c(v, u)，要求找 出G的最小费用哈密顿回路。
从实际应用中抽象出的旅行售货员问题常常具有一些特 殊性质，如费用函数c往往具有三角不等式性质。当图G中的 顶点是平面上的点时，任意两个顶点间的费用就是这两个顶 点间的欧氏距离，故费用函数c具有三角不等式性质。下面 介绍具有三角不等式性质的旅行售货员问题的近似算法。
n=
p1m1
p
m 2
2
p
mk k
其中，p1＜p2＜…＜pk是k个素数；m1，m2，…，mk是k个整 数。如果n是合数，则n必有一个非平凡因子x，1＜x＜n，使 得x可以整除n。给定一个合数n，求n的一个非平凡因子的问 题称为因子分割问题。
下面算法可实现整数的因子分割：
int Split(int n) { int m = floor(sqrt( <= m; i++) if(n%i == 0)return i; return 1;
SF
X S，则称C覆盖了X。
SC
集合覆盖问题是要找出F中覆盖X的最小子集C*，使得
| C*| min{| C |, C F且C覆盖X}
(10-9)
图10-5所示是一个集合覆盖的例子，其中，用12个黑点 表示集合X；F={S1, S2, S3, S4, S5, S6}。可以看出，对于这个 例子，最小集合覆盖为C={S3, S4, S5}。
数据结构第10章习题
三、填空题
1. 设用希尔排序对数组{98，36，-9，0，47，23， 1，8，10，7}进行排序，给出的步长（也称增量 序列）依次是4，2，1则排序需__________趟， 写出第一趟结束后，数组中数据的排列次序 __________。 【南京理工大学 1997 三、5 （2分）】 2．若不考虑基数排序，则在排序过程中，主要进行 的两种基本操作是关键字的______和记录的 _____。 【北京邮电大学 2001 二、7 （4分）】 3．分别采用堆排序，快速排序，冒泡排序和归并排 序，对初态为有序的表，则最省时间的是_____ 算法，最费时间的是______算法。【福州大学 1998 二、10 (2分)】
பைடு நூலகம்
12．就排序算法所用的辅助空间而言，堆排序，快 速排序，归并排序的关系是（ a ） A．堆排序〈 快速排序〈归并排序 B．堆排序 〈 归并排序〈 快速排序 C．堆排序〉 归并排序 〉快速排序 D．堆排 序 > 快速排序 > 归并排序 E．以上答案都不 对 【西安交通大学 1996 三、1 (3分)】 13．将两个各有N个元素的有序表归并成一个有序表, 其最少的比较次数是( a ) A．N B．2N-1 C．2N D．N-1
2．比较次数与排序的初始状态无关的排序方法是 ( d )。【北方交通大学 2000 二、2（2分）】
A．直接插入排序 D．简单选择排序 B．起泡排序 C．快速排序
3．数据序列（8，9，10，4，5，6，20，1，2）只能是 下列排序算法中的( c )的两趟排序后的结果。 【合肥工业大学 1999 一、3 （2分）】 A．选择排序 B.冒泡排序 C.插入排序 D.堆排序 4．数据序列（2，1，4，9，8，10，6，20）只能是下 列排序算法中的( a )的两趟排序后的结果。 A. 快速排序 B. 冒泡排序 C. 选择排序 D. 插入排序 5．对序列{15，9，7，8，20，-1，4}进行排序，进行 一趟后数据的排列变为{4，9，-1，8，20，7，15}； 则采用的是（ c ）排序。【南京理工大学 1998 一、8（2分）】 A. 选择 B. 快速 C. 希尔 D. 冒泡
数据结构及应用算法教程参考答案
第1章绪论1.1 简述下列术语：数据，数据元素、数据对象、数据结构、存储结构、数据类型和抽象数据类型。
解：数据是对客观事物的符号表示。
在计算机科学中是指所有能输入到计算机中并被计算机程序处理的符号的总称。
数据元素是数据的基本单位，在计算机程序中通常作为一个整体进行考虑和处理。
数据对象是性质相同的数据元素的集合，是数据的一个子集。
数据结构是相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。
存储结构是数据结构在计算机中的表示。
数据类型是一个值的集合和定义在这个值集上的一组操作的总称。
抽象数据类型是指一个数学模型以及定义在该模型上的一组操作。
是对一般数据类型的扩展。
1.2 试描述数据结构和抽象数据类型的概念与程序设计语言中数据类型概念的区别。
解：抽象数据类型包含一般数据类型的概念，但含义比一般数据类型更广、更抽象。
一般数据类型由具体语言系统内部定义，直接提供给编程者定义用户数据，因此称它们为预定义数据类型。
抽象数据类型通常由编程者定义，包括定义它所使用的数据和在这些数据上所进行的操作。
在定义抽象数据类型中的数据部分和操作部分时，要求只定义到数据的逻辑结构和操作说明，不考虑数据的存储结构和操作的具体实现，这样抽象层次更高，更能为其他用户提供良好的使用接口。
1.3 设有数据结构(D,R)，其中，，试按图论中图的画法惯例画出其逻辑结构图。
解：1.4 试仿照三元组的抽象数据类型分别写出抽象数据类型复数和有理数的定义（有理数是其分子、分母均为自然数且分母不为零的分数）。
解：ADT Complex{数据对象：D={r,i|r,i为实数}数据关系：R={<r,i>}基本操作：InitComplex(&C,re,im)操作结果：构造一个复数C，其实部和虚部分别为re和imDestroyCmoplex(&C)操作结果：销毁复数CGet(C,k,&e)操作结果：用e返回复数C的第k元的值Put(&C,k,e)操作结果：改变复数C的第k元的值为eIsAscending(C)操作结果：如果复数C的两个元素按升序排列，则返回1，否则返回0IsDescending(C)操作结果：如果复数C的两个元素按降序排列，则返回1，否则返回0Max(C,&e)操作结果：用e返回复数C的两个元素中值较大的一个Min(C,&e)操作结果：用e返回复数C的两个元素中值较小的一个}ADT ComplexADT RationalNumber{数据对象：D={s,m|s,m为自然数，且m不为0}数据关系：R={<s,m>}基本操作：InitRationalNumber(&R,s,m)操作结果：构造一个有理数R，其分子和分母分别为s和mDestroyRationalNumber(&R)操作结果：销毁有理数RGet(R,k,&e)操作结果：用e返回有理数R的第k元的值Put(&R,k,e)操作结果：改变有理数R的第k元的值为eIsAscending(R)操作结果：若有理数R的两个元素按升序排列，则返回1，否则返回0IsDescending(R)操作结果：若有理数R的两个元素按降序排列，则返回1，否则返回0Max(R,&e)操作结果：用e返回有理数R的两个元素中值较大的一个Min(R,&e)操作结果：用e返回有理数R的两个元素中值较小的一个}ADT RationalNumber1.5 试画出与下列程序段等价的框图。
数据结构1800试题-第10章 排序 - 答案
第10章排序（参考答案）部分答案解释如下：18. 对于后三种排序方法两趟排序后，序列的首部或尾部的两个元素应是有序的两个极值，而给定的序列并不满足。
20. 本题为步长为3的一趟希尔排序。
24.枢轴是73。
49. 小根堆中，关键字最大的记录只能在叶结点上，故不可能在小于等于n/2的结点上。
64. 因组与组之间已有序，故将n/k个组分别排序即可，基于比较的排序方法每组的时间下界为O(klog2k),全部时间下界为O(nlog2k)。
二、判断题5. 错误。
例如冒泡排序是稳定排序，将4,3,2,1按冒泡排序排成升序序列，第一趟变成3,2,1,4，此时3就朝向最终位置的相反方向移动。
12. 错误。
堆是n个元素的序列，可以看作是完全二叉树，但相对于根并无左小右大的要求，故其既不是二叉排序树，更不会是平衡二叉树。
22. 错误。
待排序序列为正序时，简单插入排序比归并排序快。
三、填空题1. 比较,移动2.生成有序归并段（顺串）,归并3.希尔排序、简单选择排序、快速排序、堆排序等4. 冒泡,快速5. (1)简单选择排序 (2)直接插入排序（最小的元素在最后时）6. 免去查找过程中每一步都要检测整个表是否查找完毕，提高了查找效率。
7. n(n-1)/28.题中p指向无序区第一个记录，q指向最小值结点，一趟排序结束，p和q所指结点值交换，同时向后移p指针。
(1)!=null (2)p->next (3)r!=null (4)r->data<q->data(5)r->next (6)p->next9. 题中为操作方便，先增加头结点（最后删除），p指向无序区的前一记录，r指向最小值结点的前驱，一趟排序结束，无序区第一个记录与r所指结点的后继交换指针。
(1)q->link!=NULL (2)r!=p (3)p->link (4)p->link=s (5)p=p->link10.(1)i<n-i+1 (2)j<=n-i+1 (3)r[j].key<r[min].key (4)min!=i (5)max==i(6)r[max]<-->r[n-i+1]11.(1)N (2)0 (3)N-1 (4)1 (5)R[P].KEY<R[I].KEY (6)R[P].LINK(7)(N+2)(N-1)/2(8)N-1 (9)0 (10)O(1)(每个记录增加一个字段) (11)稳定（请注意I的步长为-1）12. 3,(10,7,-9,0,47,23,1,8,98,36) 13.快速14.(4,1,3,2,6,5,7)15.最好每次划分能得到两个长度相等的子文件。
第10章-数据结构与算法ppt课件(全)
考点3 数据结构的定义
数据对象：是性质相同的数据元素的集合，是数据的一 个子集。
1. 数据的逻辑结构
数据的逻辑结构：是对数据元素之间的逻辑关系的描述， 它可以用一个数据元素的集合和定义在此集合中的若干关系 来表示。
数据的逻辑结构与它们在计算机中的存储位置无关。 数据的逻辑结构有两个要素： 一是数据元素的集合，通常记为D； 二是D上的关系，它反映了数据元素之间的前后件关系， 通常记为R。
进行软件开发的能力。 6. 掌握数据库的基本知识，了解关系数据库的设计。
公共基础知识考试大纲
数据结构与算法考试内容： 1. 算法的基本概念；算法复杂度的概念和意义。 2. 数据结构的定义；数据的逻辑结构与存储结构；
数据结构的图形表示；线性结构与非线性结构的 概念。 3. 线性表的定义；线性表的顺序存储结构及其插入 与删除运算。 4. 栈和队列的定义；栈和队列的个数据结构可以表示成 B=（D，R）
其中 B 表示数据结构。为了反映 D 中各数据元素之间的前后 件关系，一般用二元组来表示。
例 一年四季的数据结构可以表示成 B =（D，R） D = {春，夏，秋，冬} R = {（春，夏），（夏，秋），（秋，冬）}
例 家庭成员数据结构可以表示成 B =（D， R） D = {父亲，儿子，女儿} R = {（父亲，儿子），（父亲，女儿）}
则称为非线性结构。 如 家庭成员之间辈分关系的数据结构是非线性
结构。
考点5 线性表的基本概念
10.3 线性表及其顺序存储结构
线性表（Linear List），由一组数据元素构成， 数据元素的位置只取决于自己的序号，元素之间的 相对位置是线性的。
线性表是由 n(n≥0) 个数据元素组成的一个有限 序列，表中的每一个数据元素，除了第一个外，有 且只有一个前件，除了最后一个外，有且只有一个 后件。
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46
More Tournament Tree Applications
• k-way merging of runs during an external merge sort • Truck loading
47
Truck Loading
n packages to be loaded into trucks each package has a weight each truck has a capacity of c tons minimize number of trucks
1 3
6
3
2
4 4 3 6
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Min Loser Tree For 16 Players
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Min Loser Tree For 16 Players
2 3
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3 4 1 3 2 6
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2 2 5
5 8
Sorted array.
17
Sort 16 Numbers
2 3
2
3
3
4
2
3 4 1 3 2 6
6 8 1
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Sorted array.
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44
1 2 2 3
Winner
3
2
6
3 5
4
5
4 4 3 6
8 8 9 1
5 9 5 7
7 3 2
6 6 9
9 4 5
5 2 5
8 8
Replace winner with 9 and replay matches. 45
Complexity Of Replay
• One match at each level that has a match node. • O(log n) • More precisely Theta(log n).
6 8 1
5 5 7
3 3 2
6 6 9
4 4 5
5 2 5
5 8
Sorted array.
24
Sort 16 Numbers
3 3
4
3
3
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5
3 4 1 3 2 2 6
6 8 1
5 5 7
3 3 2
6 6 9
4 4 5
5 2 5
5 8
Sorted array.
25
Sort 16 Numbers
3 3
• Get winner
O(1) time
• Remove/replace winner and replay
O(log n) time more precisely Theta(log n)
数据结构算法与应用
28
10.3 The CLASS WinnerTree
The left-most internal node at the lowest level is numbered 2s where s = ⎣log 2 ( n − 1) ⎦ . Therefore the number of internal nodes at the lowest level is n-2s, and the number LowExt of external nodes at the lowest level is twice this number.
Sorted array.
20
Sort 16 Numbers
2 3
2
3
3
4
2
3 4 1 3 2 2 6
6 8 1
5 5 7
3 3 2
6 6 9
4 4 5
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Sorted array.
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Sort 16 Numbers
2 3
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3
4
2
3 4 1 3 2 2 6
6 8 1
5 5 7
3 3 2
Chapter 10 Tournament Trees
信息科学与技术学院 黄方军
huangfj@
东校区实验中心B502
数据结构算法与应用
1
10.1 Introduction
• • Winner trees. Loser Trees.
数据结构算法与应用
2
Winner Trees
7
Applications
Sorting. Put elements to be sorted into a winner tree. Repeatedly extract the winner and replace by a large value.
8
Sort 16 Numbers
1 1
2
3
3 3 2
2 6 9
4 4 5
2 2 5
5 8
Sorted array.
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Sort 16 Numbers
1 1
2
3
1
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2
3 4 1 3 6
6 8 1
5 5 7
3 3 2
2 6 9
4 4 5
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Sorted array.
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Sort 16 Numbers
1 1
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2
3 4 1 3 6
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3 4 1 3 2 2 6
6 8 3 1
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Sorted array.
26
Time To Sort
• Initialize winner tree.
O(n) time
• Remove winner and replay.
O(log n) time
35
Min Loser Tree For 16 Players
3
4 4 3 6
8 8 1 5 7 3 2 6 9 4 5 2 5 8
36
Min Loser Tree For 16 Players
3
6
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4 4 3 6
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5 5 7
7 3 2 6 9 4 5 2 5 8
37
Min Loser Tree For 16 Players
Sort 16 Numbers
2 3
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3 4 1 3 2 6
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5 5 7
3 3 2
6 6 9
4 4 5
2 2 5
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Sorted array.
19
Sort 16 Numbers
2 3
2
3
3
42ຫໍສະໝຸດ 3 4 1 3 2 66 8 1
5 5 7
3 3 2
6 6 9
4 4 5
2 2 5
5 8
2 3
2
6
3
4
5
4 4 3 6
8 8 1
5 5 7
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6 6 9
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5 2 5
8 8
42
1 2
Winner
3
2
6
3
4
5
4 4 3 6
8 8 1
5 5 7
7 3 2
6 6 9
9 4 5
5 2 5
8 8
43
Complexity Of Loser Tree Initialize
• • • • One match at each match node. One store of a left child winner. Total time is O(n). More precisely Theta(n).
1 1
2
3
1
2
2
3 4 3 6
6 8 1
1 5 7
3 3 2
2 6 9
4 4 5
2 2 5
5 8
Replace winner with 6.
31
Replace Winner And Replay
1 1
2
3
1
2
2
3 4 3 6
6 8 6
1 5 7
3 3 2
2 6 9
4 4 5
2 2 5
5 8
Replay matches on path to root.
• Complete binary tree with n external nodes and n - 1 internal nodes. • External nodes represent tournament players. • Each internal node represents a match played between its two children; the winner of the match is stored at the internal node. • Root has overall winner.