控制系统典型的输入信号word资料7页

第3章辅导

控制系统典型的输入信号

1. 阶跃函数

阶跃函数的定义是

式中A为常数。A等于1的阶跃函数称为单位阶跃函数，如图所示。它表示为

x r(t)＝l(t)，或x r(t)=u(t)

单位阶跃函数的拉氏变换为

X r(s)=L[1(t)]=1/s

在t＝0处的阶跃信号，相当于一个不变的信号突然加到系统上；对于恒值系统，相当于给定值突然变化或者突然变化的扰动量；对于随动系统，相当于加一突变的给定位置信号。

2. 斜坡函数

这种函数的定义是

式中A为常数。该函数的拉氏变换是

X r(s)=L[At]=A/s2

这种函数相当于随动系统中加入一按恒速变化的位置信号，该恒速度为A。当A＝l时，称为单位斜坡函数，如图所示。

3. 抛物线函数

如图所示，这种函数的定义是

式中A为常数。这种函数相当于随动系统中加入一按照恒加速变化的位置信号，该恒加速度为A。抛物线函数的拉氏变换是

X r(s)=L[At2]=2A/s3

当A＝1/2时，称为单位抛物线函数，即X r(s)=1/s3。

4. 脉冲函数

这种函数的定义是

式中A为常数，ε为趋于零的正数。脉冲函数的拉氏变换是

当A＝1，ε→0时，称为单位脉冲函数δ(t)，如图所示。单位脉冲函数的面积等于l，即

在t＝t0处的单位脉冲函数用δ(t-t0)来表示，它满足如下条件

幅值为无穷大、持续时间为零的脉冲纯属数学上的假设，但在系统分析中却很有用处。单位脉冲函数δ(t)可认为是在间断点上单位阶跃函数对时间的导数，即

反之，单位脉冲函数δ(t)的积分就是单位阶跃函数。

控制系统的时域性能指标

对控制系统的一般要求归纳为稳、准、快。工程上为了定量评价系统性能好坏，必须给出控制系统的性能指标的准确定义和定量计算方法。

1 动态性能指标

动态性能指标通常有如下几项：

延迟时间d t 阶跃响应第一次达到终值)(∞h 的50％所需的时间。

上升时间r t 阶跃响应从终值的10％上升到终值的90％所需的时间；对有振荡的系统，也可定义为从0到第一次达到终值所需的时间。

峰值时间p t 阶跃响应越过稳态值)(∞h 达到第一个峰值所需的时间。

调节时间s t 阶跃响到达并保持在终值)(∞h 5±％误差带内所需的最短时间；有时也用终值的2±％误差带来定义调节时间。

超调量σ％ 峰值)(p t h 超出终值)(∞h 的百分比，即

在上述动态性能指标中，工程上最常用的是调节时间s t （描述“快”），超调量σ％（描述“匀”）以及峰值时间p t 。

2 稳态性能指标

稳态误差是时间趋于无穷时系统实际输出与理想输出之间的误差，是系统控制精度或抗干扰能力的一种度量。稳态误差有不同定义，通常在典型输入下进行测定或计算。

一阶系统的阶跃响应

一. 一阶系统的数学模型

由一阶微分方程描述的系统，称为一阶系统。一些控制元部件及简单系统如RC 网络、发电机、空气加热器、液面控制系统等都是一阶系统。

因为单位阶跃函数的拉氏变换为R(s)=1/s ，故输出的拉氏变换式为 取C(s)的拉氏反变换得 或写成

式中，c ss =1，代表稳态分量；t T

tt

e

c 1--=代表暂态分量。当时间t 趋于无穷，暂态分

量衰减为零。显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图所示。响应曲线具有非振荡特征，故又称为非周期响应。

一阶系统的单位阶跃响应

二阶系统的阶跃响应

典型二阶系统方框图，其闭环传递函数为： 式中

K v --开环增益；

ωn --无阻尼自然频率或固有频率，m

v

n T K =ω； ζ--阻尼比，m

n T ωζ21

=

。

二阶系统的闭环特征方程为

s 2+2ζωn s+ω2n =0

其特征根为

1. 临界阻尼(ζ=1)

其时域响应为

上式包含一个衰减指数项。c(t)为一无超调的单调上升曲线，如图3-8b 所示。

(a) (b) (c)

ζ≥1时二阶系统的特征根的分布与单位阶跃响应

2. 过阻尼(ζ＞1)

具有两个不同负实根])1(,[221n s s ωζζ-±

-=的惯性环节单位阶跃响应拉氏变换

式。其时域响应必然包含二个衰减的指数项，其动态过程呈现非周期性，没有超调和振荡。图为其特征根分布图。

3. 欠阻尼（0<ζ＜1）

图3-9 0<ζ＜1时二阶系统特征根的分布 图3-10 欠阻尼时二阶系统的单位阶跃响应

4. 无阻尼(ζ＝0)

其时域响应为

在这种情况下，系统的响应为等幅(不衰减)振荡，

图ζ＝0时特征根的分布 图ζ＝0时二阶系统的阶跃响应

5. 负阻尼（ζ＜0）

当ζ＜0时，特征根将位于复平面的虚轴之右，其时域响应中的e 的指数将是正的时间函数，因而t

n e ζω-为发散的，系统是不稳定的。

显然，ζ≤0时的二阶系统都是不稳定的，而在ζ≥1时，系统动态响应的速度又太慢，所以对二阶系统而言，欠阻尼情况是最有实际意义的。下面讨论这种情况下的二阶系统的动态性能指标。

欠阻尼二阶系统的动态性能指标

1. 上升时间t r

上升时间t r 是指瞬态响应第一次到达稳态值所需的时间。

由此式可见，阻尼比ζ越小，上升时间t r 则越小；ζ越大则t r 越大。固有频率ωn 越大，t r 越小，反之则t r 越大。

2. 峰值时间t p 及最大超调量M p

最大超调量 π

ζζ)1/(max 2)(--=∞-=e c c M p

最大超调百分数 %100.)

()

(%)1/

(max 2π

ζζδ--=∞∞-=

e c c c c

3. 调整时间t s

图3-13 二阶系统单位阶跃响应的一对包络线 图3-14 调节时间和阻尼比的近似关系

根据以上分析，二阶振荡系统特征参数ζ和ωn 与瞬态性能指标(δ