【解析】北京市海淀区2020届高三上学期期中考试数学试题

海淀区高三年级第一学期期中练习数学一、选择题1.已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A. 2 B. 1C. 0D. 2-【答案】D 【分析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果． 【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-， ∴a 的值可以为2-． 故选：D ．【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 2.下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ）A. y x =B. 2y x =C. y x =D.1y x =-【答案】D 【分析】结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．【详解】由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增；由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ．【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．3.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43S S =（ ） A. 1 B.53C. 83D. 3【答案】C 【分析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，33S a =Q ，且30a ≠，11332a d a d ∴+=+，可得120a d -=≠．∴()11143111434232282 3232332a da a S S a a a d ⨯++⨯-==⨯=⨯-+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.不等式11x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A. 102x << B. 1x > C. 01x <<D. 0x <【答案】A 【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【详解】不等式11x >的解集为()0,1，则其一个充分不必要条件可以是10,2⎛⎫⎪⎝⎭； 故选：A ．【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题．5.如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2απ+的值为（ ）A. 35-B.35C. 45-D.45【答案】B 【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin()2απ+的值． 【详解】角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，所以3cos 5α=则sin()3cos 52παα==+； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6.在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈u u u v u u u v u u u v .若32λμ+=，则=CD ABu u u vu u uv （ ） A.13B.12C. 1D. 2【答案】B 【分析】作出草图，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．可得四边形AECD 是平行四边形． AC AE AD =+u u u r u u u r u u u r，根据() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．可得1,AE AB μλ==u u u r u u u r ，又32λμ+=，可得12λ=，据此即可得出结果．【详解】如图所示，过C 作//CE AD ，又//CD AB ． ∴四边形AECD 是平行四边形．AC AE AD ∴=+u u u r u u u r u u u r， 又() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．1,AE AB μλ∴==u u u r u u u r，又3122λμλ+=∴=,，则1==2CDAE AB AB u u u r u u u r u u u r ． 故选：B ．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知函数32()2f x x x x k =+--.若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. [1,)-+∞ B. (,1]-∞- C. [0,)+∞ D. (,0]-∞【答案】A 【分析】根据题意将存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立转化为()()00f x f x -=-有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22x x k -=有根，进而转化为22y x x =-与y k =的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．【详解】∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-． 故选：A ． 【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．8.设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ=I 且()1i A B ϕ=U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=I ()i A ϕg ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=U ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③C. ①③D. ①②③【答案】A 【分析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N Aϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N ∴=∅=I U ，()()01i i A B A B ϕϕ∴==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B ϕ=I ，则()i A B ∉I ，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=；若()1i A B ϕ=I ，则()i A B ∈I ，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B Ai B ϕϕϕ=⋅I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B ϕ=U （）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ．【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题9.已知向量()1,2,(3,)a b t ==v v，且//a b v v ，则t = _____ 【答案】6 【分析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【详解】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=． 故答案为：6．【点睛】本题考查平行向量坐标运算公式的应用，考查计算能力．10.函数()6f x x =的零点个数是________ 【答案】1 【分析】首先求出函数()f x 的定义域为{}|0x x ≥，将原问题转化为260=，解方程，即可得出()f x 的零点个数．【详解】由题意可知()f x 的定义域为{}|0x x ≥，令()60f x x ==，可得260-=， 2=-（舍去）或3=，9x ∴=；所以函数()6f x x =的零点个数为1个． 故答案为：1．【点睛】本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点．11.已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a =____，5678a a a a +++=_____ 【答案】 (1). 0 (2). 1 【分析】直接利用数列的递推关系式11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥，求出数列的首项和5678a a a a +++的值．【详解】数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =， 则112log 10a S ===； 又567884567822,log 8log 41a a a a S S a a a a +++=-∴+++=-=； 故答案为：0,1．【点睛】本题考查了数列的数列的递推关系式11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b v的始点和终点，则a b ⋅v v的最大值为____________【答案】3 【分析】由图可知，要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果．【详解】由题意可知：则 cos cos ,a b a b a b b a b ⋅=⋅<⋅>=<>r r r r r r r r r，所以要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大， 由图形可知：当向量b AC =r u u u r 时，向量b r 在向量a r上的投影最大，即cos ,a b b a b ⋅=<>r r r r r 即a b ⋅r r的最大值为3． 故答案为：3．【点睛】本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力．13.已知数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意*n N ∈都成立，则p 的取值范围为__________ 【答案】ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．【详解】数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意的*n N ∈都成立， 则maxln n p n ⎛⎫⎪⎝⎭≥， 设()ln x f x x＝，则()21ln x xx f x x⋅-'＝ ， 令()21ln 0xf x x-'＝＝，解得x e =， 所以函数的单调增区间为()0,e ，函数的减区间为(),e +∞， 所以函数在x e =时函数取最大值， 由于n N ∈，所以当3n =时函数最大值为ln 33．所以p 的取值范围是ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．14.已知函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________. 【答案】 (1). 2π (2). 2π【分析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积； ②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值．【详解】函数()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==．所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22 22222⋅+⋅=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则22πω⎭⋅＝，解得ω的最小值为2π．故答案为：2π，2π．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题15.已知数列{}n a为各项均为正数的等比数列，n S为其n前项和，23a=，3436a a+=. ()1求数列{}n a的通项公式；()2若121nS<，求n的最大值.【答案】()113-=nna；()2 4【分析】（1）设等比数列{}n a的公比为q，由2343,36a a a=+=，可得123113,36.a qa q a q=⎧⎨+=⎩，即可求出结果．（2）3112131nnS-=<-，即可得出结论．【详解】解:()1在等比数列{}n a中，设{}n a公比为q.因为2343,36a a a=+=所以123113,36.a qa q a q=⎧⎨+=⎩所以23336q q+=.即2120q q+-=.则3q=或4q=-.因为0na>，所以0q>，所以3q=.因为213a a q ==， 所以11a =.所以数列{}n a 的通项公式1113n n n a a q --==()2在等比数列{}n a 中，因为()()1111nn a q S q q-=?-所以()13131132n nn S -==--因为121n S <， 所以()1311212nn S =-<. 所以3243n <. 所以5n <. 因为*n N ∈.所以4n ≤.即n 的最大值为4.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.已知函数π()=2sin cos()3f x x x ++. ()1求函数()f x 的最小正周期； ()2若()0f x m +≤对π[0,]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】()1π；()2(,1]-∞- 【分析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．【详解】解:()1因()2sin cos 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin sin 332x x x ππ⎛⎫=-+⎪⎝⎭12sin cos 222x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos 2x x x =-+1sin 222x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ== ()2“()0f x m +≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立”等价于“()max 0f x m +≤”因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=，即12x π=时()f x 的最大值为112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以10m +≤，所以实数m 的取值范围为(,1]-∞-.【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 17.已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0,(0))f 处切线方程为1y x =+()1求,b c 的值；()2若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.【答案】()111b c =⎧⎨=⎩；()2()(),00,1-∞⋃ 【分析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于,b c 的方程组，解出即可；（2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定a 的范围即可． 【详解】解：()1()2'2f x ax x b =++因为()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+，所以()()0101f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩解得11b c =⎧⎨=⎩ ()2()32113f x ax x x =+++，①当0a =时，()21f x x x =++不存在极大值，不符合题意.②当0a >时，()221f x ax x =++.令2210ax x ++=.(i )当440a =-≤V ，即1a ≥时，不符合题意.(ii )当440a =->V ，即01a <<时，方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根. 设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以()1f x 为极大值.③当0a <时，440a =->V 恒成立.设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '变化如表所示:所以，()2f x 为极大值.综上，若函数()f x 存在极大值，a 的取值范围为()(),00,1-∞⋃.【点睛】本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是一道综合题． 18.在ABC ∆中，7,5,8a b c ===.()1求sin A 的值；()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设APk PC=. ①求k 的取值范围；②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得APk PC=. 【答案】()1()2①⎛ ⎝⎦；②答案不唯一，取值在区间⎛ ⎝⎭上均正确【分析】（1）利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值； （2）①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围；②根据共线的条件求出在区间1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上即可【详解】解:()1在ABC V 中，7,5,8,a b c ===根据余弦定理2222b c a cosA bc +-=所以2225871cos 2582A +-==⨯⨯因为()0,A π∈，所以sinA =2=()2①在ABC V 中，根据正弦定理，得sin sin CP APA ACP=∠sin sin sin sin3AP ACP ACP k ACPPC A π∠∠====∠ 因为点P 为射线AB 上一动点， 所以20,3ACR π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭所以k的取值范围为⎛ ⎝⎦②答案不唯一.取值在区间1,3⎛ ⎝⎭上均正确.【点睛】本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19.已知函数ln ()x xf x e=. ()1判断函数()f x 在区间(0)1，上的单调性，并说明理由； ()2求证：1()2f x <.【答案】()1单调递增，理由见解+析；()2证明见解+析 【分析】（1）因为()0,1x ∈，对()f x 求导，可证()0f x '>恒成立，即可证明结果； （2）证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”．求()f x 的最大值即可证明． 【详解】()1函数()f x 在区间()0,1上是单调递增函数. 理由如下:由()x lnx f x e=，得()1x lnxx f x e-'=因为()0,1x ∈，所以11,ln 0x x ><. 因此10lnx x->.又因为0x e >， 所以()0f x '>恒成立.所以()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.()2证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”由题意可得，(0,)x ∈+∞.因为()1xlnxx f x e-'=令()1lnx xg x -=，则()2110g x x x '=--<.所以()g x 在()0,∞+上单调递减 因为()()1110,10g g e e=>=-<， 所以存在唯一实数0x ，使得()00g x =，其中()01,x e ∈.()(),, x f x f x '的变化如表所示:所以()0f x 为函数()f x 的极大值. 因为函数()f x 在(0,)+∞有唯一的极大值. 所以()()00max ln ox x f x f x e==因为001lnx x =， 所以()()000max 0ln 1o x x x f x f x e x e === 因为()01,x e ∈ 所以()0max 01112x f x x e e =<< 所以()12f x <【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求函数极值与最值，熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题．20.已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集； ()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>. 【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解+析； ()3证明见解+析【分析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<.记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈，进而利用反证法求解；【详解】解:()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，;{}1,2,3,5,8是“独立的”()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为:{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =.所以，M 至多有5个“关联子集”.若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a = 同理可得若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”. 所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾.所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集” 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”. 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A .若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾； 所以135,,A A A 都是“关联子集”所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-. 1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-. 所以12345,,,,a a a a a 是等差数列.()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<.记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈.因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素.假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+所以任取t T ∈，232n nt -≤+任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素. (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立.因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立.所以12n n a a --≥.所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-=因为4T ∈，所以121,3a a ==.因为222n n T -+∈，所以2222n n n na a --+=+所以22824n n a n --+-=所以123n a a a a -+=+n ，矛盾. 所以命题成立.【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.- 21 -。