《电路分析》二阶电路教案
电路分析—二阶电路
A sin U 0
， arctan
ω0
，0，间的关系:
sin 0
0 A U0
δ
ω
duC U 0 t i C e sin t dt L
uL L
0 uC U 0e t sin( t )
di 0 U 0e t sin( t ) dt
整理得 解答形式为
di 2( 2 i ) 2i1 6 i1dt 2i dt
d2i di 8 12i 12 2 dt dt
二阶非齐次常微分方程
i i i
第二步，求通解 i ： p2 8 p 12 0 特征根为 p1= 2 ，p2 = 6
临界阻尼 （critically damped case） 欠阻尼 （under damped case）
L R2 C
(一) R 2
L C
不等的实根 p1，p2 解答形式为 L
S uC + C i
R
uC A1e p1t A2e p2t
uC (0 ) uC (0 )U 0 duC C i (0 ) i (0 )0 dt t 0
(natural frequency) 解答形式
uC Ae
t
sin(t )
其中A ， 为待定系数。
由起始始值
uC (0 ) U 0 duC i (0 ) C dt
0
t 0
定系数。
A( )sin A cos 0
解得
U0 A sin
d 2 u1 3 K du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C
电路分析课件-二阶电路
+
R
-C
L
(2) R 2 L C
P R ( R )2 1 2L 2L LC
特徵根為一對共軛複根
令： R (衰减系数)
2L
0
1 (谐振角频率) LC
则
2 0
2
(固有振荡角频率)
P j
uc的解答形式： uc A1e p1t A2e p2t e (t)( A1e jt A2e jt )
1 ，
LC
2
uc U0 sin(t 900 ) uL
i U0 sint L
+
-C
t
等幅振盪
L
(3) R 2 L C
P1
P2
R 2L
uc A1e t A2te t
由初始条件duc dt
uc (0 ) U0 A1 U0
(0 ) 0 A1( ) A2
0
解出：
A1 A2
(4)定常數
1 Asin 2
iL (0 )
100 A cos
100Asin
0
uL (0 )
45
A 2
iL 1 2e100t sin(100 t 45 )
50 W
50 V
R iR
0.5H L C
100 μF
iL
iC
(5)求iR
iR iL iC
iL
LC
d2iL dt 2
或設解答形式為： iR 1 Ae100t sin(100t )
A
2
小結：
(1)二階電路含兩個動態元件，用二階常微分方程描述。
(2)二階電路的性質取決於特徵根，特徵根取決於電路 的結構和參數，與激勵和初值無關。
电路分析第7章 二阶电路1
根据 uC(0－) = uC(0＋) ＝10V
i(0－) = i(0＋) = 0
uC (0) K sin 10 i(0) duC K ( sin d cos ) 0 t=0 = dt C
arctan(
uC 10.33e 0.5t sin( .94t 75.5)V t 0 1
d 1.94 ) arctan( ) 75.5 K 10.33, 0.5
i 2.6e 0.5t [1.94cos( .94t 75.5) 0.5 sin( .94t 75.5)]A20 t 0 1 1
t1 t2 t3 iL uC
欠阻尼衰减振荡
电量
uC
t1时间段 减小 增大
uC ( K 1 K 2t )e s1t ( K 1 K 2t )e 2t
根据 uC(0－) = uC(0＋)＝ 10V i(0－) = i(0＋) = 0 duC dt i(0) t=0 = C
duC K 2e 2 t 2( K1 K 2 t )e 2 t dt
K1=10
s1.2 0.5 0.5 4 0.5 j1.94
L R 1 Rd 2 4 C
两个共轭复根 欠阻尼
19
解：（3）R = 1 s1, s2 0.5 j0.5 15 0.5 j1.94 uC(t) = e-t [K1cosd t + K2sind t] uC Ke t sin( d t ) Ke 0.5t sin( .94t ) 1 – 衰减因子 d – 衰减振荡角频率
uC uL uR 0
1 2 1 2 w( t ) Li ( t ) CuC ( t ) 2 2
二阶电路教学设计
二阶电路教学设计摘要：本文旨在设计一份针对二阶电路的教学设计，通过理论和实践相结合的方式，帮助学生全面了解和掌握二阶电路的基本原理、特性和应用。
本文主要分为三个部分：理论知识介绍、实验设计和实验报告分析。
一、理论知识介绍1.1 二阶电路的基本概念介绍二阶电路的定义、特点和基本分类，包括有源二阶电路和无源二阶电路的区别。
1.2 二阶电路的频率响应特性介绍二阶电路的频率响应特性，包括幅频特性和相频特性，并解释其背后的原理。
1.3 二阶电路的传递函数介绍二阶电路的传递函数表示方法，包括标准形式、零极点形式和极点频率形式，并讲解如何通过传递函数计算电路的频率响应特性。
1.4 二阶电路的稳态响应和暂态响应介绍二阶电路的稳态响应和暂态响应的概念和计算方法，以及二阶电路的阻尼比、共振频率和带宽的定义和计算。
二、实验设计2.1 实验目的明确本次实验的主要目的和学习要点，包括了解二阶电路的基本特性、掌握二阶电路的频率响应特性测量方法等。
2.2 实验器材和仪器列出本次实验所需的器材和仪器清单，包括二阶电路示波器、信号发生器、电流电压表等。
2.3 实验步骤和操作详细描述实验的具体步骤和操作流程，包括搭建电路、调节仪器、测量数据等。
2.4 实验数据记录与分析记录并分析实验过程中的数据，包括幅频特性曲线和相频特性曲线的绘制，以及对实验数据的解读和分析。
三、实验报告分析在实验报告分析阶段，要求学生根据实验数据和理论知识，对实验结果进行分析和总结，包括对二阶电路的频率响应特性的理解、实验结果与理论计算结果的比较和分析，发现实验中的问题并提出改进措施等。
结论：通过本次二阶电路的教学设计，学生能够全面了解和掌握二阶电路的基本原理、特性和应用。
通过理论和实践相结合的学习方式，学生能够更好地理解电路原理，掌握实验操作技巧，并能够独立进行电路实验设计和数据分析。
这样的教学设计有助于提高学生的实践能力和创新意识，培养学生的问题解决能力和团队合作精神。
电路分析-二阶电路
i(t) C
t
t=0
=
i(0) =?
C
t
iR +
uS
-
L +
C uC
-
两个初始条件 uS = 0 ，uC(0) = ?
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
设 解为 uC(t) = Kest 代入微分方程
d2u LC Cdt2
+
RC
duC d
+
uC
=
0
LCs2Kest + RCsKtest + Kest = 0
=0
i +
uS
-
R
i=
C
duC dt
L +
C uC
-
LC
d2i dt2
+ RC
di d
+i=0
s1 = -2 s2 = -4
t
1 8
d2i dt2
+
3 4
d di
+i=0
d2i dt2
+6
di d
+ 8i = 0
t
§7-2 RLC串联电路的零输入响应
例 解：(2) 若以iL(t)为求解变量 i R
( LCs2 + RCs + 1 ) Kest = 0
特征方程 LCs2 + RCs + 1 =
特 征0方 程 的 根 （ 固 有 频 率 ）
ax2 + bx +c = 0
- RC (RC)2 s1、 2= ± 24LLC
= -
R 2L
±
(
R 2L
)2
-
电路分析基础第七章__二阶电路
第七章二阶电路重点要求:1. 理解二阶电路零输入响应过渡过程的三种情况;2. 了解二阶电路的阶跃响应和冲击响应。
3.学习数学中的拉普拉斯变换的定义、性质及反变换的方法;4.掌握用拉普拉斯变换求解电路的过渡过程的方法。
1§7-1 二阶电路的零输入响应二阶电路:由二阶微分方程描述的电路。
典型的二阶电路是RLC串联电路。
求全响应方法:1.经典法(时域分析法)全响应= 稳态分量(强制分量) + 暂态分量(自由分量)2.拉普拉斯变换法(频域分析法)2响应曲线:U 0u C , u L , i 0ωtiu Cu L§7-1 二阶电路的零输入响应220p ααω=−±−一. 问题的提出经典法解动态电路过渡过程存在的问题：对较复杂的电路，联立求解微分方程特别是定积分常数比较困难。
若激励不是直流或正弦交流时，特解不容易求得。
二. 拉氏变换法用积分变换的原理简化求解电路过渡过程时域电路解微分方程时域响应f(t)取拉斯变换复频域电路解代数方程复频域响应F(s)取拉斯反变换7.2 动态电路的复频域分析应用拉氏变换法进行电路分析称为电路的一种复频域分析方法，也叫运算法！是数学中的一种积分变换.优点：对复杂电路﹑无稳态情况﹑换路时出现强迫跃变等用拉氏变换法较经典法方便。
三. 拉普拉斯变换的定义设函数f(t)在0≤t ≤∞时有定义，则积分称为原函数f(t)的拉普拉斯变换（象函数）。
()dte tf s F st∫∞−−=0)(式中s=σ+ j ω----复频率。
单位：熟悉的变换:相量法⎩⎨⎧=∫∞+∞−)s (21)(ds e F j t f stj c j c π反变换正变换ZH1.象函数F (s)存在的条件：∞<∫∞−−dt et f st0)(说明：电路分析中的函数都能满足上述条件。
2. 在电路中积分的下限定义为“0-”, 更有实际意义(将奇异函数也包括在内)。
[][]⎩⎨⎧==−)( )()( )( S F t f t f S F 1简写正变换反变换在电路分析中通常直接查表得到。
电路分析基础7二阶电路
U0
2
uC
2
U 0 0 e t d
dt
iL
结果分析
U00 e t d
*过渡过程中电场和磁场能量相互转换，由于耗能
电阻的存在，总能量逐渐减少。
0dt2 2dt22dt
C 放能
放能
吸能
L 吸能
放能
放能
R 耗能
耗能
耗能
电压上升，电流上升，电感磁场能 量向电容电场转移
u U ,i 0 , d u i 0 ,d iu 0 dt C dtL
电流为零，电压达到最大值，电路 能量完全存储于电容电场中
（至此完成一个能量转移周期，无耗能元件，总能量守恒）
i(t)
+
C
uL
-
iCdu, uLdi
dt
dt
d2u LCdt2 u 0
即 s1 2
s2 4
式(1)的全解，即电压响应为
u C t U S A 1 e s 1 t A 2 e s 2 t t 0 2
电流响应为
i t C d d C t u t C 1 s 1 e s 1 tA C 2 s 2 e s 2 t A t 0 3
*欠阻尼情况下，电路具有衰减振荡的过渡过程。
uc(t) 和iL的包络线函数分别为
U00 et d
U 0 e t
d L
称 为衰减系数， 越大，则电压和电流衰减越
快；称 d 为衰减振荡角频率， d 越大，则电压 和电流振荡越剧烈。
*由
2R L,d
1
R2
(3) uc 的过零点为 dtk /2 (k 0 ,1 ,2 ,...)
电路分析基础二阶电路
R
＋
＋
C
L
O tm
t
C －
－
L
0 t tm
t tm
《电路分析基础》
第5章 二阶电路的时域分析
2、重根：(临界阻尼)
R Rd
R2
L C
uc ( A Bt )e st
3、共轭复根：(欠阻尼)
临界点
L R2 C
R Rd
uc e t ( A sin d t B cos d t )
duc dt
(特征方程)
特征根: s
1 ,2
R R 2 1 ( ) 2L 2L LC
记: R 2 L (阻尼电阻) d
C
《电路分析基础》
第5章 二阶电路的时域分析
二阶全响应形式：
1、两不等实根：(过阻尼) R Rd
L R2 C L R2 C R2 L C
uc Ae s1t Be s2 t U S
t0 , K在1，由KVL, 有
di iR L uc U s dt
iC
可得
d 2uc R duc 1 1 uc Us dt 2 L dt LC LC
(二阶常系数线性非齐次微分方程)
duc d 2uc RC LC 2 uc U s dt dt
s2 R 1 s 0 L LC
引例：
如何工作，实现汽车点火的？
汽车点火系统
《电路分析基础》
第5章 二阶电路的时域分析
§5-1
二阶电路的零输入响应
t<0 , K在1,电路稳定，有
u c (0 ) U s
RLC串联电路零输入响应
i (0 ) 0
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( p1e p2t
p2 e p1t )
U0 j2
0 e j e ( j)t
e e j ( j)t 0
U 00
e t
e j(t )
e j (t ) j2
U 00 e t sin(t )
iL
(t)
iC
(t)
C
duc (t) dt
U0 L
e t
s in t
3)欠阻尼时的响应曲线
e j cos j sin
e e j(t )
j (t )
sin(t )
j2
cos(t ) e j(t) e j(t) 2
7.1 二阶电路的零输入响应
一、二阶电路中的能量振荡
理想二阶电路-----即R=0，无阻尼情况
+ U0
C
L
_
(a)
-
iCL来自(b)CL
i (c)
_
C
L
U0
，即
R
2
L （R2 4L
C
C
）
时，p1、p2为不相等的负实数。
此时固有频率为不相等的负实数。
2)过阻尼时的响应
当特征根为不相等的实数时，方程的 解的形式为:
uC (t) A1e p1t A2e p2t
其中：
p1
R 2L
R
2
1
2L LC
R p2 2L
R
2
1
2L LC
而 i C duC
p2 p1
3)过阻尼时的响应曲线
U0
uC(t ) I0
iL(t )
O
tm
t
非振荡放电过程的响应曲线
2、临界阻尼情况
1)过阻尼的条件
当
R
2
1
，即 R 2
L （R 2
L）
2L LC
C
C
时，p1、p2为相等的负实数。
此时固有频率为不相等的负实数。
2)临界阻尼时的响应
当特征根为相等的负实数时，方程 的解的形式为:
+ (d)
二、二阶电路的微分方程
uC (0 ) uC (0 ) U 0
iL (0 ) iL (0 ) 0
S（t=0）
R
iL( t )
+
+ uL(t) -
+
uC(t)
uL(t)
_
_
i
R、L、C 串联的二阶电路
列写电路方程为 uC uR uL 0
其电路电流为： i C duC
dt
因此：
uC (t) ( A1 A2t)e pt
其中：
R p1 p2 p 2L
非振荡放电过程的解为：
u *C
(t)
U0 p1 p2
( p1e p2t
p2e p1t )
令：p1
p2
p
R 2L
取极限，根据罗必塔法则：
d ( p1e p2t p2e p1t )
uC (t)
U0
lim
p2 p1
第七章 二阶电路
❖ 重点： 1．电路微分方程的建立 2 ．特征根的重要意义 3 ．微分方程解的物理意义 ❖ 难点： 1 ．电路微分的解及其物理意义 2 ．不同特征根的讨论计算
7.0 知识复习
一、二阶齐次微分方程的通解形式
ay''by'c 0
其特征方程为：
ap 2 bp c 0
特征根：
b b2 4ac
dt
， duC
I0
dt t 0
C
，
且电路的初始条件 iL (0 ) I 0 ，
有
uC (0 ) U 0
同时
iL (0 ) iL (0 ) 0
i C duC dt
, duC
I0 0 0
dt t 0
C
C
初始条件为： uC (0 ) U 0
du C
0
dt t 0
代入: uC (t) A1e p1t A2e p2t
p1,2 2a
4a
当特征方程有不同的实根p1、p2时:
y A1e p1t A2 e p2t
当特征方程有相同的实根p时:
y ( A1 A2t)e pt
当特征方程有共轭的复根 p1,2 j :
y e( j)t et ( A1 cos t A2 sin t)
二、欧拉公式
e j cos j sin
U0 uC(t ) U 0 0 e t
O
-
2
t
iL(t )
振荡放电过程的响应曲线
3)无阻尼的情况
无阻尼情况是欠阻尼的一种特殊情况。
当 R 0 时， 0， 0
，
1， LC
2
此时的响应为：uC
(t)
U0
s in (0 t
) 2
iL
(t)
U0 0 L
sin
0t
U
0
C L
sin 0t
•由此可见，u(t)i(t)和均为正弦函数， 电路的响应为等幅振荡响应，称为系统 的固有频率；
0 sin
根据欧拉公式：
e j cos j sin
e j cos j sin
e e j(t )
j (t )
sin(t )
j2
cos(t ) e j(t) e j(t) 2
可将特征根写为：
p1 0e j， p2 0e j
因此：
uC (t)
U0 p1 p2
dp2 d ( p2 p1)
dp2
U0 (e p1t p1te p1t ) U0et (1 t)
iL
(t)
C
duC dt
U0 L
tet
tm
1
3)临界阻尼时的响应曲线
U0
I0
uC(t )
iL(t )
O 1/
t
临界阻尼情况的响应曲线
3、欠阻尼情况
1)欠阻尼的条件
当
R
2
1 ，即R 2
解出 A1,A2
得出:
uC (t)
U0 p1 p2
( p1e p2t
p2e p1t )
iL (t) C
duC dt
CU0 p1 p2 p1 p2
(e p1t
e p2t )
U0
(e p1t e p2t )
L( p1 p2 )
diL dt
p1e p1t
p2e p2t
0
tm
p1
1
p2
ln
其中：
p1
R 2L
R
2
1
2L LC
R p2 2L
R
2
1
2L LC
•由特征根的性质（不等的实数、相等的实
数或共轭的复数）确定通解的具体形式。
•再据电路的初始条件即可得出通解中的待 定系数。
四、二阶电路特征根的讨论
1、过阻尼情况——非振荡放电过程
1)过阻尼的条件
当
R 2L
2
1 LC
uR
Ri
RC
duC dt
uR
L
di dt
LC
d 2uC dt 2
所以，电路方程为：
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
三、二阶电路微分方程的求解
方程
LC d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
的特征方程为: LCp 2 RCp 1 0
特征根为：
p R
R
2
1
2L 2L LC
L
2L LC
C
R（2 4L
C
）
时，p1、p2为一对共轭复数，其实部为
负数。
此时固有频率为不相等的负实数。
2)欠阻尼时的响应
令： R 2L
2
1
R
2
LC 2L
则微分方程的特征根：
p1 j
p2 j
与 及 0之间存在三角关系：
0 2 2 0
arctg
0 cos