2018年甘肃陇南中考数学试题及答案

2018年甘肃省陇南市数学试题本试卷满分150分(前三大题100分，第四大题50分)．考试时间120分钟．一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将此选项的代号填入题后的括号内． 1． 计算：29-= （ ）Ａ．5Ｂ．3Ｃ．-3 Ｄ．-12． 分解因式：24x -= （ ） Ａ．2(4)x -Ｂ．2(2)x - Ｃ．(2)(2)x x +- Ｄ．(4)(4)x x +-3． 下列图形中，能肯定12>∠∠的是 （ ）4．衡量一组数据波动大小的统计量是 ( ) A ．平均数 B ．众数 C ．中位数 D ．方差 5．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，若13AD AB =，DE ＝4， 则BC =（ ）A ．9B ．10C ． 11D ．126． 如图，P 是∠α的边OA 上一点，且点P 的坐标为（3，4）， 则sin α= ( )A ． 35 B ． 45 C ． 34D ．437． 顺次连结任意四边形各边中点所得到的四边形一定是 ( ) A ．平行四边形 B ．菱形 C ．矩形 D ．正方形 8．不等式组1030x x +<->⎧⎨⎩，的解集是 ( )Ａ． 3x > Ｂ． 1x <- Ｃ．3x < Ｄ．13x -<< 9．如图，下列图形中，每个正方形网格都是由边长为1的小正方形组成，则图中阴影部分面积最大的是 （ ）A1 2 1 2 2 12 1 ＯA ．B ．C ．D ．A.B.C. D.10．如图，AB 是⊙O 的直径，AB =4，AC 是弦， AC =23，∠AOC = （ ） A ．120° B ．1300 C ．140° D ．150°二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．将答案写在题中的横线上． 11． 方程2320x x -+=的根是 ．12．如图，用灰白两色正方形瓷砖铺设地面，第6个图案中灰色瓷砖块数为_________．13．你吃过兰州拉面吗？实际上在做拉面的过程中就 渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面， 面条的总长度у（cm ）是面条粗细（横截面 积）x （cm 2）的反比例函数，假设其图象如图所示， 则у与x 的函数关系式为__________ ．14．一养鱼专业户从鱼塘捕得同时放养的草鱼100条，他从中任选5条，称得它们的质量如下（单位：kg ）：1.3， 1.6， 1.3， 1.5， 1.3．则这100条鱼的总质量约为 kg ． 15．某商店一套西服的进价为300元，按标价的80%销售可获利100元，若设该服装的标价为x 元，则可列出的方程为 ． 16．如图，在△ABC 中，∠A =90，分别以B 、C 为圆心的两个等圆外切，两圆的半径都为1cm ，则图中阴影部分的面积为 cm 2．第16题图 第17题图 第18题图17．如图，D 、E 为△ABC 两边AB 、AC 的中点，将△ABC 沿线段DE 折叠，使点A 落在点F 处，若∠B =55°，则∠BDF = ．18．如图，直线AB 、CD 相交于点O ，∠AOC =300，半径为1cm 的⊙P 的圆心在射线OA 上，开始时，PO =6cm ．如果⊙P 以1cm/秒的速度沿由A 向B 的方向移动，那么当⊙P 的运动时间t （秒）满足条件 时，⊙P 与直线CD 相交． 三、解答题（一）：本大题共5小题，共38分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤．第1个图案 第2个图案 第3个图案19．(6分)计算：3124cos30(2)-+-．20． (6分)解方程：11322x x x-+=--．21．（8分)从某市近期卖出的不同面积的商 品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图，请结合图中的信息，解答下列问题： （1）卖出面积为2110130m 的商品房有 套，并在右图中补全统计图；（2）从图中可知，卖出最多的商品房约占全部卖出的商品房的%; （3）假如你是房地产开发商，根据以上提供的信息，你会多建住房面积在什么范围内的住房？为什么？22．(8分)如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 边上的一点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ，添加一个条件，使DE = DF ， 并说明理由．解： 需添加条件是 ． 理由是：23．(10分) 如图，两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图中给的数据信息，解答下列问题：（1）求整齐摆放在桌面上饭碗的高度y （cm ）与饭碗数x （个）之间的一次函数解析式； （2）把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是多少？四、解答题（二）：本大题共5小题，共50分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或验算步骤． 24．(8分)如图，小明想测量塔BC 的高度．他在楼底A 处测得塔顶B 的仰角为60；爬到楼顶D 处测得大楼AD 的高度为18米，同时测得塔顶B 的仰角为30，求塔BC 的高度．25．（10分）“中山桥”是位于兰州市中心、横跨黄河之上的一座百年老桥（图1）．桥上有五个拱形桥架紧密相联，每个桥架的内部有一个水平横梁和八个垂直于横梁的立柱，气势雄伟，素有“天下黄河第一桥”之称．如图2，一个拱形桥架可以近似看作是由等腰梯形ABD 8D 1 和其上方的抛物线D 1OD 8组成，建立如图所示的平面直角坐标系，已知跨度AB ＝44m ，∠A ＝45°，AC 1=4m ， D 2的坐标为（-13，-1.69），求： （1）抛物线D 1OD 8的解析式； （2）桥架的拱高OH ．图1 图226．(10分)如图，四边形ABCD 、DEFG 都是正方形，连接AE 、CG ． （1）求证：AE =CG ；（2）观察图形，猜想AE 与CG 之间的位置关系，并证明你的猜想．27．(10分)如图，点I 是△ABC 的内心，线段A I 的延长线交△ ABC 的外接圆于点D ，交BC 边于点E ． （1）求证：I D =BD ；（2）设△ABC 的外接圆的半径为5，I D =6，AD x =，DE y =，当点A 在优弧上运动时，求y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围．28．(12分)如图，抛物线212y x mx n =++交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，点P 是它的顶点，点A 的横坐标是-3，点B 的横坐标是1．(1)求m 、n 的值； (2）求直线PC 的解析式；(3）请探究以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 的位置关系，并说明理由．(参考数：2 1.41≈，3 1.73≈，5 2.24≈)附加题：（10分）如果你的全卷得分不足150分，则本题的得分将计入总分，但计入总分后全卷不得超过150分． 1．（5分）解方程x (x -1)=2． 有学生给出如下解法： ∵ x (x -1)=2=1×2=（-1）×（-2），∴ 1,12;x x =⎧⎨-=⎩或2,11;x x =⎧⎨-=⎩或1,12;x x =-⎧⎨-=-⎩或2,1 1.x x =-⎧⎨-=-⎩解上面第一、四方程组，无解；解第二、三方程组，得 x =2或x =-1． ∴ x =2或x =--1．请问：这个解法对吗？试说明你的理由．2． (5分) 在平面几何中，我们可以证明：周长一定的多边形中，正多边形面积最大． 使用上面的事实，解答下面的问题：用长度分别为2、3、4、5、6（单位：cm ）的五根木棒围成一个三角形（允许连接，但不允许折断），求能够围成的三角形的最大面积．2018年甘肃省陇南市数学试题参考答案与评分标准一、选择题（10小题，每小题3分，共30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案DCCDDBABDA二、填空题(8小题，每小题4分，共32分)11．1，2 12．14 13．128y x=，x >0 14．140 15．80%300100x -= 16．1π417．70o 18．48t << 说明：第13小题，不写x >0，不扣分． 三、解答题（一）(5小题，共38分) 19． 本小题满分6分解：原式=3234(8)2-⨯+- ………………………………………3分 23238=-- ………………………5分=8-． ……………………………………6分20． 本小题满分6分解：原方程即11322x x x --=--， …………………………1分方程两边都乘以(2x -)，得113(2)x x --=- …………………3分2x =∴． …………………………………5分经检验2x =是原方程的增根，∴ 原方程无解． ……………………………6分 21．本小题满分8分解：（1）150． ……………………2分………………4分（2）45． ………………………6分（3）需多建住房面积在90～110m 2范围的住房．因为需此面积范围住房的人较多，容易卖出去．……………………………8分 22． 本小题满分8分解： 需添加的条件是：BD =CD ，或BE =CF ． ………………2分添加BD =CD 的理由：如图，∵ AB =AC ，∴∠B =∠C ． …………………4分 又∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BDE =∠CDF ． …………………6分 ∴ △BDE ≌△CDF (ASA)．∴ DE = DF ． ………8分 添加BE =CF 的理由： 如图，∵ AB =AC ，∴ ∠B =∠C ． ………………4分∵ DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠BED =∠CFD ． …………6分 又∵ BE =CF ， ∴ △BDE ≌△CDF (ASA)．∴DE = DF ． ……………………8分 23． 本小题满分10分解：（1）设y kx b =+． …………2分由图可知：当4x =时，10.5y =；当7x =时，15y =． ……………4分把它们分别代入上式，得 10.54,157.k b k b =+⎧⎨=+⎩ ………………6分解得 1.5k =， 4.5b =．∴ 一次函数的解析式是 1.5 4.5y x =+． ……………8分 说明：只要求对 1.5k =， 4.5b =，不写最后一步，不扣分． (2)当4711x =+=时， 1.511 4.521y =⨯+=．即把这两摞饭碗整齐地摆成一摞时，这摞饭碗的高度是21cm ． ……………10分 说明：只要求对y =21，不写最后一步，不扣分． 四、解答题（二）(5小题，共50分) 24． 本小题满分8分 解： 如图，设BE x =米．在Rt △BDE 中， ∵ tan30BEDE =， ∴13x DE =． ………2分 ∴ 3DE x =． ………………………3分∵ 四边形ACED 是矩形，∴ 3AC DE x ==，18CE AD ==． 在Rt △ABC 中， ∵ tan 60BCAC =， ∴1833x x+=． ………………………5分 ∴ 9x =． ………………………………………7分∴ 91827BC BE CE =+=+=(米)． ……………………………8分25．本小题满分10分图1 图2解：（1）设抛物线D 1OD 8的解析式为2y ax = ． …………………………2分将x =-13，y =-1.69代入，解得 a =1001-． ∴ 抛物线D 1OD 8的解析式为y =1001-x 2． ………………………4分说明：只要求对a =1001-，不写最后一步，不扣分． （2） ∵ 横梁D 1D 8=C 1C 8=AB -2AC 1=36m ，∴ 点D 1的横坐标是-18． ………………………6分 代入y =1001-x 2，得y =-3.24， ………………………8分 又∵ ∠A ＝45°，∴ D 1C 1=AC 1=4m ．∴ OH =3.24+4=7.24m ． ………………………………………10分26． 本小题满分10分(1) 证明： 如图，∵ AD =CD ，DE =DG ，∠ADC =∠GDE =90o ， 又 ∠CDG =90o +∠ADG =∠ADE ， ……………2分∴ △ADE ≌△CDG ． ………………………4分∴ AE =CG ． …………………………5分 （2）猜想： AE ⊥CG ． …………………………6分 证明： 如图，设AE 与CG 交点为M ，AD 与CG 交点为N ． …………………… 7分 ∵ △ADE ≌△CDG ， ∴ ∠DAE =∠DCG ． ……………………8分 又∵ ∠ANM =∠CND ， ∴ △AMN ∽△CDN ． …………………9分 ∴ ∠AMN =∠ADC =90o ．∴ AE ⊥CG ． ……………………………10分 27． 本小题满分10分(1) 证明： 如图， ∵ 点I 是△ABC 的内心，∴ ∠BAD =∠CAD ，∠ABI =∠CBI ． ………………2分 ∵ ∠CBD =∠CAD ，∴ ∠BAD =∠CBD ． ……………………………3分 ∴ ∠BID =∠ABI +∠BAD =∠CBI +∠CBD =∠IBD ．∴ ID =BD ． ………………………5分 (2)解：如图，∵∠BAD =∠CBD =∠EBD ， ∠D =∠D ，∴ △ABD ∽△BED ． …………………………7分 ∴BD ADDE BD=． ∴ 22AD DE BD ID ⨯==． …………………8分 ∵ ID =6，AD =x ，DE =y ，∴ xy =36． ………………9分又∵ x =AD >ID =6， AD 不大于圆的直径10， ∴ 6<x ≤10．∴ y 与x 的函数关系式是36y x=．（610x <≤） …………………………10分 说明：只要求对xy =36与6<x ≤10，不写最后一步，不扣分． 28． 本小题满分12分解： (1)由已知条件可知： 抛物线212y x mx n =++经过A (-3，0)、B (1，0)两点．∴ 903,210.2m n m n ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=++⎪⎩ ……………………………………2分解得 31,2m n ==-． ………………………3分(2) ∵21322y x x =+-， ∴ P (-1，-2)，C 3(0,)2-． …………………4分设直线PC 的解析式是y kx b =+，则2,3.2k b b -=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩ 解得13,22k b ==-．∴ 直线PC 的解析式是1322y x =-． …………………………6分说明：只要求对1322k b ==-，，不写最后一步，不扣分．(3) 如图，过点A 作AE ⊥PC ，垂足为E ．设直线PC 与x 轴交于点D ，则点D 的坐标为(3，0)． ………………………7分 在Rt △O CD 中，∵ O C =32，3OD =，∴ 2233()3522CD =+=． …………8分 ∵ O A =3，3OD =，∴AD =6． …………9分 ∵ ∠C O D =∠AED =90o，∠CD O 公用， ∴ △C O D ∽△AED ． ……………10分∴ OC CD AE AD =， 即335226AE =． ∴ 655AE =． …………………11分∵65 2.688 2.55>，∴ 以点A 为圆心、直径为5的圆与直线PC 相离． …………12分 附加题：本大题满分10分 1． 答案一：对于这个特定的已知方程，解法是对的．……………2分理由是：一元二次方程有根的话，只能有两个根，此学生已经将两个根都求出来了，所以对．………………………………………………5分答案二：解法不严密，方法不具有一般性．………………2分理由是：为何不可以2=3×23等，得到其它的方程组？此学生的方法只是巧合了，求对了方程的根．………………………5分2．解：因为周长一定（2+3+4+5+6=20cm）的三角形中，以正三角形的面积最大．取三边尽量接近，使围成的三角形尽量接近正三角形，则面积最大．…………2分此时，三边为6、5+2、4+3，这是一个等腰三角形．………………3分可求得其最大面积为610.……………………………………5分。