有关集合论的调研
数学中的集合论研究
数学中的集合论研究数学一直以来都是一门具有严密性和抽象性的学科，而其中集合论则是数学中的一个重要分支。
集合论是研究集合的性质、关系和运算的学科，既具有理论的基础性，也具备广泛的应用领域。
本文将介绍集合论的基本概念、运算规则及其在数学中的应用。
一、集合论的基本概念集合是集合论中的基本概念，可以理解为具有某种共同特性的事物组成的整体。
集合通常用大写字母表示，其中的元素用小写字母表示，并用花括号 {} 表示。
例如，集合 A 可以表示为 A = {a, b, c}，表示 A包含了元素 a、b 和 c。
在集合论中，还有一些基本的概念需要介绍：1. 子集：集合 A 的所有元素都是集合 B 的元素时，称集合 A 是集合 B 的子集，记作 A ⊆ B。
2. 包含关系：如果 A 是 B 的子集，并且 B 也是 A 的子集，则 A 和B 相等，记作 A = B。
3. 并集：两个集合 A 和 B 的并集是包含 A 和 B 中所有元素的集合，表示为 A ∪ B。
4. 交集：两个集合 A 和 B 的交集是同时属于 A 和 B 的元素组成的集合，表示为A ∩ B。
5. 差集：集合 A 中去掉属于集合 B 的元素后，得到的新集合称为A 减去 B，表示为 A - B。
二、集合论的运算规则集合论中的运算规则包括交换律、结合律、分配律等，这些规则体现了集合运算的性质和特点。
1. 交换律：对于任意两个集合 A 和 B，交集和并集满足交换律，即A ∩B = B ∩ A，A ∪ B = B ∪ A。
2. 结合律：对于任意三个集合A、B 和C，交集和并集满足结合律，即(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)，(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)。
3. 分配律：对于任意三个集合A、B 和C，交集和并集满足分配律，即A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)，A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪C)。
从集合论的观点看中学数学中的概念和问题
从集合论的观点看中学数学中的概念和问题集合论是数学中最基础的学科之一，它研究的是集合及其相互之间的关系。
在中学数学中，很多概念和问题都可以用集合论的观点来解释和解决。
本文将从集合论的角度分析中学数学中的一些概念和问题。
一、集合集合是集合论中最基本的概念，对于中学数学中的概念和问题也至关重要。
集合是指由一些互不相同的元素组成的整体，这些元素可以是数、字母、图形等等。
在中学数学中，我们经常会遇到集合的定义、元素和集合的关系等概念。
例如，在初中数学中，我们学习的实数集，就是由所有实数所组成的集合。
在高中数学中，我们学习的函数概念，也可以理解为将自变量的集合映射到因变量的集合，即一个元素对应了另一个元素的集合关系。
二、并、交、补在集合论中，除了集合的概念之外，集合之间的运算也很重要。
其中最常用的运算有并、交和补。
这些运算在中学数学中也经常用到。
并集指两个或多个集合中所有元素组成的新集合，包含原有集合中所有的元素，且不重复。
在中学数学中，我们经常使用并集来求解集合的合并问题。
例如，若$A=\\{1,2,3\\}$，$B=\\{3,4,5\\}$，则$A\\cup B=\\{1,2,3,4,5\\}$。
这就是将$A$和$B$中的元素进行合并，去除重复元素得到的新集合。
交集指两个或多个集合中公共元素组成的新集合。
在中学数学中，我们经常使用交集来求解集合的交集问题。
$A\\cap B=\\{3\\}$。
这就是将$A$和$B$中的元素进行比对，留下既属于$A$又属于$B$的元素得到的新集合。
补集指集合$A$相对于集合$B$中不属于$B$的元素组成的新集合。
在中学数学中，我们经常使用补集来求解集合的差集问题。
例如，若$A=\\{1,2,3\\}$，$B=\\{3,4,5\\}$，则$A-B=\\{1,2\\}$。
这就是将$A$中的元素与$B$中的元素比对，留下不属于$B$的元素得到的新集合。
三、映射映射是集合论中的一个重要概念，它用来描述元素在两个集合之间的对应关系。
对集合论的评价
集合论是一种非常强大的数学理论，具有广泛的应用价值。
它被用来描述和分类“集合”，提供了研究集合和集合之间关系的方法和工具。
集合论在纯数学和应用数学中都占据着重要的地位，比如在数论、拓扑学、测度论、概率论等领域中都有广泛的应用。
集合论具有很强的逻辑性，其起点是对集合的定义和性质的研究，通过明确集合的概念和集合之间的关系，建立了一套严密的逻辑体系。
集合论的基本概念和定理都是通过严格的推理和证明得出的，具有很强的逻辑性和严谨性。
这种逻辑性使得集合论成为其他数学分支的基础，为数学的发展提供了坚实的基础。
集合论不仅仅是一门纯粹的数学理论，它在各个领域都有广泛的应用。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于算法设计、数据库管理、人工智能等领域。
在物理学中，集合论被用来描述物理实验的结果和理论模型的构建。
在经济学中，集合论被用来描述市场的结构和经济模型的建立。
总的来说，集合论是一门强大的数学工具，不仅在理论数学中占据着重要的地位，而且在应用数学和自然科学领域中也有广泛的应用。
它为人类文明的发展做出了巨大的贡献。
集合论的发展
集合论的发展一、引言集合论是数学的一个重要分支，研究集合及其性质、运算和关系。
它在数学领域的发展对于推动数学的发展起到了重要作用。
本文将从集合论的起源、基本概念、公理系统以及一些重要的发展阶段进行详细介绍。
二、集合论的起源集合论的起源可以追溯到19世纪，当时数学家们开始研究一些集合的性质和运算规律。
然而，在集合论的发展初期，由于集合的概念不够清晰，数学家们在集合论的研究中遇到了一些难点。
三、基本概念1. 集合集合是由一些确定的对象组成的整体。
这些对象可以是数、字母、图形等等。
集合中的对象称为元素，用小写字母表示。
例如，集合A={1, 2, 3}表示由元素1、2、3组成的集合A。
2. 元素元素是集合中的对象，可以是任意类型的对象。
元素可以属于一个或者多个集合。
3. 子集如果一个集合A的所有元素都属于另一个集合B，那末集合A是集合B的子集。
用符号“⊆”表示。
例如，集合A={1, 2}是集合B={1, 2, 3}的子集。
4. 并集两个集合A和B的并集是包含了A和B中所有元素的集合，用符号“∪”表示。
例如，集合A={1, 2}，集合B={2, 3}，则A∪B={1, 2, 3}。
5. 交集两个集合A和B的交集是包含了A和B中共同元素的集合，用符号“∩”表示。
例如，集合A={1, 2}，集合B={2, 3}，则A∩B={2}。
四、公理系统为了解决集合论中的一些难点，数学家们提出了一套公理系统，用于定义集合的基本性质和运算规律。
这套公理系统被称为Zermelo-Fraenkel公理系统，简称ZF公理系统。
ZF公理系统包括了一些基本公理和推理规则，通过这些公理和规则可以构建出整个集合论的体系。
五、集合论的发展阶段1. Cantor的集合论19世纪末，德国数学家Georg Cantor提出了集合论的第一个系统化理论。
他通过引入无穷集合和基数的概念，研究了不同基数的集合之间的关系。
他的工作奠定了集合论的基础，并为后来的数学发展提供了重要的工具。
对集合论评价的认识
对集合论评价的认识集合论作为数学中的一门基础理论，自20世纪初诞生以来，一直受到广泛的关注和研究。
它不仅在数学中有着重要的地位，也在其他学科如计算机科学、哲学等领域中具有重要的应用价值。
以下是我对集合论的评价和认识。
集合论是一门非常重要的数学基础理论。
它的基本概念和方法是现代数学发展的基础，几乎所有的数学分支都与集合论有着千丝万缕的联系。
例如，集合论为数理逻辑和代数基础提供了理论基础，为拓扑学和微积分学提供了工具。
此外，集合论也为计算机科学和人工智能等领域提供了重要的理论基础。
集合论的理论体系非常严密，具有极高的形式化程度。
集合论的公理化体系使得集合论的推理具有严格的逻辑性和准确性，避免了数学中出现的悖论和错误。
因此，集合论的研究和应用具有极高的可靠性和稳定性，为数学和其他学科的发展提供了坚实的基础。
集合论的应用范围非常广泛。
除了在数学领域有广泛的应用外，集合论在其他学科如计算机科学、哲学、语言学、经济学等领域中也有重要的应用。
例如，在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据库、算法设计、编程语言等方面；在哲学中，集合论被用于分析语言、研究认知过程等方面；在经济学中，集合论被用于研究市场结构、博弈论等方面。
但是，集合论也存在一些问题和争议。
其中最为著名的是罗素悖论，即“全集合中是否有一个集合包含所有不包含自身的集合”。
这个问题揭示了集合论的一个重要问题，即是否存在一个包含所有集合的集合。
这个问题引发了一系列的讨论和争议，最终导致了集合论的公理化体系的修正和完善。
集合论的应用也存在一些限制和问题。
例如，在一些实际问题中，集合的元素可能是无限的，这就要求在集合运算中引入无穷集合的概念。
但是，无穷集合的概念存在一些问题，如无穷集合的元素数量可能比自然数还要多，这就给集合论的应用带来了一定的限制和困难。
集合论作为数学中的一门基础理论，具有极高的重要性和应用价值。
它的严谨性和形式化程度使得集合论的理论体系具有高度的可靠性和稳定性，但是集合论也存在一些问题和争议。
集合概念的论文
集合概念的论文集合是数学中的基本概念，可以说是数学建立的基石之一。
集合论作为现代数学的一个重要分支，对数学的发展起到了巨大的推动作用。
本文将探讨集合概念的起源、基本性质和应用，并分析集合论的发展及其对数学的影响。
首先，集合的概念起源于人类对事物分类的需求。
在日常生活中，我们习惯于按照相似或共同特征将事物分组。
例如，把一堆水果分为苹果、橙子、香蕉等不同的集合。
数学家们开始意识到，通过集合的概念可以对这种分类进行抽象描述，并且可以用符号表示。
集合的基本定义是“一些确定的、互不相同的对象的整体”。
其中，确定性要求元素的归属关系是明确的，互不相同要求集合中的每个元素都是独特的。
根据这个定义，我们可以看到集合的重要特性，即元素的确定性和互异性。
在集合论中，我们可以使用不同的方法描述集合，如列表法、描述法和例证法等。
列表法是列举集合中的每个元素，例如集合A={1, 2, 3}；描述法是根据某种属性或条件来确定集合中的元素，例如集合B={x x是正整数，且x<10}，表示集合B由小于10的正整数构成；例证法是通过一个或多个例证来说明集合。
集合论的基本运算包括并集、交集、差集和补集。
并集表示将两个集合中的所有元素合并成一个新的集合；交集表示两个集合中共有的元素组成的集合；差集表示某个集合中除去与另一个集合中相同的元素以外的剩余元素组成的集合；补集表示以某个全集为基准，减去一个集合中的元素后所得到的集合。
集合论的发展经历了不断推进和丰富，为数学建立了坚实的基础。
在19世纪末20世纪初，德国数学家Cantor 创立了集合论，并提出了集合的基数和基数比较的概念，将集合论推向了一个新的高度。
Cantor 的研究对于后来的数学发展带来了巨大的影响，为数学中的许多重要概念如无穷大、可数集等的引入打下了基础。
集合论的应用广泛而深远。
它不仅在数学中有着重要的地位，还被广泛应用于其他科学领域，如物理学、计算机科学等。
在物理学中，集合论帮助我们对物理对象和变量进行分类和描述；而在计算机科学中，集合论提供了一种抽象和描述问题的方式，为算法设计和数据结构提供了理论基础。
集合现状及策略的研究方向
集合现状及策略的研究方向
针对集合现状及策略的研究方向，可以从以下几个角度展开：
1. 集合现状分析：研究集合形成的原因、特点以及演化规律，包括集合的成员构成、关系网络等方面，以了解集合的组成和运作机制。
2. 集合策略研究：探索集合的目标、意图和行动规划等方面，分析集合的战略决策过程，如策略制定、实施和调整，以及集合内部的决策结构、沟通方式等。
3. 集合行为预测与干预：借助数据分析、模型建立等方法，预测集合的行为趋势和动态演化，为决策者提供科学依据，并研究如何有效地影响和引导集合行为，以维护社会秩序和安全。
4. 集合治理与管理：研究如何建立有效的机制和措施，对集合进行引导、监管和管理，以最大程度地减少不良影响，保障公共安全，促进社会稳定。
5. 跨学科研究与合作：鼓励不同学科领域的专家、学者和研究机构共同参与集合现状及策略研究，形成多学科交叉的合作模式，以提高研究的深度和广度。
需要注意的是，上述内容仅为参考，具体的研究方向还需要根据具体问题和研究背景进行具体拟定。
同时，研究过程应遵守相关法律法规以及伦理规范，确保研究的合法性和合规性。
数学逻辑学中的集合论与数理逻辑研究
数学逻辑学中的集合论与数理逻辑研究在数学逻辑学中，集合论和数理逻辑是两个重要的研究领域。
集合论主要研究集合的性质和关系，而数理逻辑则关注数学推理的形式化和计算问题。
集合论是一种基础的数学理论，它研究的是集合的概念、性质和运算。
集合可以看作是具有其中一种共同特征的对象的总体，这些对象可以是数字、字母、几何图形等等。
集合论的一个主要目标是确定集合之间的关系和操作，以及描述它们的性质。
集合论的基本概念包括包含关系、交并补运算、子集关系等等。
集合论的研究内容包括无穷集合、集合的基数、选择公理等等，这对于数学的发展和基础研究都具有重要意义。
数理逻辑是逻辑学的一个分支，它研究的是数学推理的形式化和计算问题。
数理逻辑主要有三个分支，分别是命题逻辑、一阶逻辑和模型论。
命题逻辑研究的是命题的真假和推理规则，一阶逻辑扩展了命题逻辑，引入了个体变量和谓词，从而能够处理更复杂的推理问题。
模型论是通过一种数学模型来研究逻辑系统的性质。
数理逻辑在数学证明、计算机科学和哲学等领域都有广泛的应用。
集合论和数理逻辑的研究对于数学的发展和应用具有重要意义。
集合论为数学提供了一种严谨的基础，通过集合论的概念和原理，我们能够更好地理解和定义其他数学概念，并且能够对它们之间的关系进行研究。
数理逻辑通过形式化和计算问题的研究，为数学证明和计算机科学提供了基础。
集合论和数理逻辑的研究可以推动数学的发展和创新，并且为其他学科的研究和应用提供理论基础。
因此，对于数学逻辑的研究，我们应该从集合论和数理逻辑两个方面进行深入思考和探索。
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有关集合论的调研姓名：李坚强学号090501211（惠州学院数学系2009级应数2班，邮编：516007，E-mail:550270521@）摘要：集合论关键词：集合论，康托，元素，基本规律，公理化集合论1.引言集合论是研究集合的数学理论。
它是数学的一个分支，但在数学中却占有一个机器独特的地位，其基本概念已经渗透到数学的几乎所有领域。
因此我们说集合论是现代数学的的基础。
集合论的起源可以追溯到16世纪末，主要是对数集进行了卓有成效的研究。
但集合论实际发展是由德国数学家康托在19世纪70年代到80年代创立的。
康托提出了基数、序数、超穷数和良序集等理论，奠定了集合论的深厚基础。
因此，康托被誉为集合论的创始人。
2.正文集合的基本定义与性质概括集合的定义集合是集合论的主要研究对象，也是数学中的基本概念。
一定范围的、确定的、可区别的事物，当作一个整体来看待，就叫作集合，简称集，其中各事物叫作集合的元素或简称元。
如①北京、天津、上海三城市；②全体英文大写字母；③《阿Q正传》中出现的不同汉字;④全体自然数；⑤平面上的所有直线,都是集合的例。
但池子中的水,古今著名小说就不算集合，因为不满足确定与可区别的条件。
事物m是集合S的元素有时也说成m属于S或S含有m，记为m∈S。
如果集合只含有有限个元素，便称为有穷集合，否则称为无穷集合。
在上面的例中，前三个是有穷集合，后两个是无穷集合。
集合与集合的关系按照集合的定义，当一个集合的所有元素都已知时，这个集合就确定了。
这时如果它是有穷集，便可将其元素全部列出，置于括弧之内来表示(什么顺序都无关系)。
如①｛北京、天津、上海｝，②｛A,B,C,…,Z｝，对于③虽有困难，但原则上还是办得到的。
但是，如果集合是无穷集，那么，上面的方法就行不通了。
这时只好利用能够刻画所有元素x的某一性质P(x)来加以概括。
如例④中的集合可表示为｛x｜x是自然数｝。
这种表示也适用于有穷集，如｛北京、天津、上海｝=｛x｜x=北京或x=天津或x=上海｝=｛x｜x为中国现有直辖市｝。
一个集合可以没有任何元素，这种集合只有一个，叫作空集,通常用北欧字母来记它。
如果集合B的元素都是A的元素,就称B为A的子集,或A包含B,记为B包含于A。
例如，偶数全体包含于自然数全体。
空集被看作是任何集合的子集。
任一集合A都是它自己的子集,即A包含于A。
A的异于自己的子集B称为A的真子集,记为B A。
两集合的相等（即含有同样的元素）可用包含关系来表达:A=B当且仅当A包含于B且B包含于A。
包含关系还具备传递性：即由A包含于B,B包含于C可得A包含于C。
要注意的是,属于关系∈与包含关系包含于是有区别的：∈是元素对集合的关系，而包含于是集合对集合的关系。
可以有包含于，但∈不成立。
集合之间的基本规律从任意两个集合A与B可以得到一些新的集合。
以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记为A∪B（A与B中的相同元素在并集中出现一次）。
以属于A且属于B的元素为元素的集合称为A与B的交(集)，记为A∩B。
以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差（集），记为AB；特别,当B包含于A时,可记为C A B，称为B 关于A的补（集）。
例如A=｛0,1,3｝,B=｛0,3,5,10｝，则A∪B＝｛0,1,3,5,10｝,A∩B={0,3},AB={1}。
并与交的运算分别服从交换律，结合律且共同服从分配律，即对任意的A，B，C，有A∪B=B∪A，(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，A∩B=B∩A，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)，A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)，A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)。
它们与差运算一起服从德·摩根定律：S(A∪B)=(S A)∩(S B)，S(A∩B)=(S A)∪(S B)。
这里S为任一集合，特别当S包含A与B时，有,。
集合的集合一个集合也可以以其他集合为元素。
这就是所谓集合的集合，如上面例⑤就是一个集合的集合，如果把直线看做是点的集合的话。
一个集合A的所有子集组成的集合是一个很重要的集合的集合，称为A的幂集,记为P(A)。
例如,当A=｛1,2,3｝时，P(A)={,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}}。
集合的集合是所谓集合族的特殊情形。
一般而论,如果对于某一集合I(≠)的每一个元素I∈I，都指定有一个确定的集合A i，那么，这些A i的全体就称为一个集合族,记为{A i,i∈I}。
例如,当I=N即自然数全体时,{A i,I∈N}就是集合序列：A1,A2,A3,…。
集合族的成员一般允许有重复，如果没有重复时，它就是一个集合的集合。
对于集合族{A i,I∈I},可定义它的并为｛x｜对某I∈I,x∈A i｝，记为。
仿此,可定义它的交为｛x｜对一切I∈I，x∈A i｝,记为。
特别当I=｛1,2,…,n｝时，通常将并写成,将交写成；当n=2时，就是上面的A1∪A2和A1∩A2。
当I=N时，通常将并写成，将交写成。
两个对象α，b按一定次序（譬如α在前,b在后）排列起来,称为一个序对，记为<α,b>，α称为它的第一坐标,b称为第二坐标。
两个序对<α,b>，<α′,b′>当且仅当α= α′,b=b′即各坐标分别相等时，规定它们是相等的。
因此,除非α=b,<α,b>≠<b, α>。
也可直接定义<α,b>为｛｛α｝,｛α,b｝｝,虽不大自然,却很精确。
同样可定义一般的有序n组。
设A，B为两个集合，从A，B中各取一个元素α，b所作序对<α,b>的全体组成一个集合,即｛<α,b>｜α∈A且b∈B｝,它称为A与B（按这次序）的直积或笛卡儿积，记为A×B。
直积概念也可从两个因子推广到n个因子，A1×A2×…×A n，记为，特别当各A i均等于A时，称为A的n次直幂,记为A n，它相当于所有从｛0,1,…,n-1｝到A的映射全体组成的集。
推而广之，所有从B到A的映射全体组成的集可以记为A。
集合论产生的背景集合论在19世纪诞生的基本原因，来自数学分析基础的批判运动。
数学分析的发展必然涉及到无穷过程，无穷小和无穷大这些无穷概念。
在18世纪，由于无穷概念没有精确的定义，使微积分理论不仅遇到严重的逻辑困难，而且还使实无穷概念在数学中信誉扫地。
19世纪上半叶，柯西给出了极限概念的精确描述。
在这基础上建立起连续、导数、微分、积分以及无穷级数的理论。
正是这19世纪发展起来的极限理论相当完美的解决了微积分理论所遇到的逻辑困难。
但是，柯西并没有彻底完成微积分的严密化。
柯西思想有一定的模糊性，甚至产生逻辑矛盾。
19世纪后期的数学家们发现使柯西产生逻辑矛盾的问题的原因在奠定微积分基础的极限概念上。
严格地说柯西的极限概念并没有真正地摆脱几何直观，确实地建立在纯粹严密的算术的基础上。
于是，许多受分析基础危机影响的数学家致力与分析的严格化。
在这一过程中，都涉及到对微积分的基本研究对象—连续函数的描述。
在数与连续性的定义中，有涉及关于无限的理论。
因此，无限集合在数学上的存在问题又被提出来了。
这自然也就导致寻求无限集合的理论基础的工作。
总之，为寻求微积分彻底严密的算术化倾向，成了集合论产生的一个重要原因。
集合论的诞生先驱数学分析严格化的先驱波尔查诺（1781－1848）也是一位探索实无穷的先驱，他是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。
他明确谈到实在无穷集合的存在，强调两个集合等价的概念，也就是后来的一一对应的概念。
他知道，无穷集合的一个部分或子集可以等价于其整体，他认为这个事实必须接受。
例如0到5之间的实数通过公式y=12x/5可与0到12之间的实数构成一一对应，虽然后面的集合包含前面的集合。
为此，他为无穷集合指定超限数，使不同的无穷集合，超限数不同。
不过，后来康托尔指出，波尔查诺指定无穷集合的超限数的具体方法是错误的。
另外，他还提出了一些集合的性质，并将他们视为悖论。
因此，他关于无穷的研究哲学意义大于数学意义。
应该说，他是康托尔集合论的先驱。
问题出现黎曼（1826－1866）是在1854年的就职论文《关于用三角级数表示函数的可能性》中首次提出“唯一性问题”的。
大意是：如果函数f（x）在某个区间内除间断点外所有点上都能展开为收敛于函数值的三角级数，那么这样的三角级数是否是唯一的？但他没有给予回答。
1870年海涅（1821－1881）证明：当f（x）连续，且它的三角级数展开式一致收敛时，展开式是唯一的。
进一步的问题是：当f（x）具有无穷多个间断点时，唯一性能否成立？康托尔就是通过对唯一性问题的研究，认识到无穷集合的重要性，并开始从事无穷集合的一般理论研究。
奠定基础早在1870年和1871年，康托尔两次在《数学杂志》上发表论文，证明了函数f（x）的三角级数表示的唯一性定理，而且证明了即使在有限个间断点处不收敛，定理仍然成立。
1872年他在《数学年鉴》上发表了一篇题为《三角级数中一个定理的推广》的论文，把海涅的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形。
为了描述这种集合，他首先定义了点集的极限点，然后引进了点集的导集和导集的导集等有关重要概念。
这是从唯一性问题的探索向点集论研究的开端，并为点集论奠定了理论基础。
集合论诞生1873年11月29日康托尔在给戴德金（1831－1916）的一封信中，终于把导致集合论产生的问题明确地提了出来：正整数的集合（n）与实数的集合（x）之间能否把它们一一对应起来。
同年12月7日，康托尔写信给戴德金，说他已能成功地证明实数的“集体”是不可数的，也就是不能同正整数的“集体”一一对应起来。
这个时期应该看成是集合论的诞生日。
集合论的发展成为系统学科然而集合论前后经历二十余年，最终获得了世界公认。
到二十世纪初集合论已得到数学家们的赞同。
数学家们为一切数学成果都可建立在集合论基础上的前景而陶醉了。
他们乐观地认为从算术公理系统出发，借助集合论的概念，便可以建造起整个数学的大厦。
罗素悖论在1900年第二次国际数学大会上，著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣布“……数学已被算术化了。
今天，我们可以说绝对的严格已经达到了。
”然而这种自得的情绪并没能持续多久。
不久，集合论是有漏洞的消息迅速传遍了数学界。
这就是1902年罗素得出的罗素悖论。
罗素构造了一个所有不属于自身（即不包含自身作为元素）的集合R。
现在问R是否属于R？如果R属于R，则R满足R的定义，因此R不应属于自身，即R不属于R；另一方面，如果R不属于R，则R不满足R的定义，因此R应属于自身，即R属于R。
这样，不论何种情况都存在着矛盾。