交大数理逻辑数理逻辑和集合论复习提纲
交大数理逻辑课件数理逻辑和集合论复习提纲
4．使用推理规则证明： P(QR)，S∨P, Q S R
《数理逻辑》样卷
六．应用题（共20分）
1. 甲、乙、丙、丁四人参加考试，有人问他们，谁的成绩最 好，甲说：“不是我”,乙说：“是丁”,丙说：“是乙”, 丁说：“不是我”.四人的回答只有一人符合实际，问是 谁的成绩最好，若只有一人成绩最好，他是谁？
A．A=B
B．BA
C．AB
D．A≠B
8．下列一阶谓词公式中，是逻辑有效 式的是____________。
A. x(F(x) G(x))
B. xF(x) xF(x)
C. Байду номын сангаасF(x,y) R(x,y)) R(x,y)
D. xyF(x,y) xyF(x,y)
9．设 f：B→C, g：A→B. 则下面命 题是错误的是___________。
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数
试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
A. A∩B B. A∪B
C. A-B D. (A∪B)-(A∩B)
7．集合A和B定义如下，则它们之间 满足_________关系。
集合论与数理逻辑的基本概念与推理
数理逻辑在计算机科学中应用
形式化验证
数理逻辑为计算机科学提供了形式化 验证的方法，可以用于验证计算机程
序的正确性和安全性。
数据库理论
数据库理论中的关系模型就是基于数 理逻辑中的谓词演算而建立起来的。
人工智能与知识表示
数理逻辑在人工智能领域也有广泛应 用，如知识表示、推理机制等。
自动定理证明
自动定理证明是计算机科学中的一个 重要领域，它利用数理逻辑的原理和 方法来实现计算机自动推理和证明。
集合论与数理逻辑在发展过程中相互借鉴、相互促进，共同推动了数学和逻辑学的发展 。
学科发展趋势预测
集合论的发展趋势
随着数学和计算机科学的不断发展，集合论将更加注重实际应用和计算复杂性方面的研究，同时也会 关注与其他学科的交叉融合。
数理逻辑的发展趋势
数理逻辑将继续致力于形式化方法和自动推理技术的研究，推动人工智能和计算机科学领域的发展， 同时也会关注逻辑学本身的基础问题和哲学问题。
可以关注集合论和数理逻辑中的计算复杂性和可计算性问题，研究有效的算法和计算模型，为计算机科学和 人工智能领域的发展提供理论支持。
THANKS
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证明的判定
一个证明是否正确，取决于所使用的推理规则是否正确、 所依据的已知命题是否真实以及推导过程是否严谨无误。
03
集合论中的数理逻辑应用
集合划分与等价关系
集合划分
将集合划分为若干个非空子集，这些子集两两不相交 且并集为原集合。
等价关系
在集合上定义一种二元关系，满足自反性、对称性和 传递性，从而可以将集合划分为若干个等价类。
表示方法
集合通常用大写字母表示，如A、B、C等。集合中的元素用小写字母表示，如a、b、c等。可以 用列举法或描述法来表示集合。
数理逻辑与集合论精要与题解
数理逻辑与集合论精要与题解第一部分内容精要
第1章命题逻辑的基本概念1
11命题1
12命题联结词及真值表1
13合式公式2
14重言式2
15命题形式化3第2章命题逻辑的等值和推理演算4
21等值定理4
22等值公式4
23命题公式与真值表的关系6
24联结词的完备集6
25对偶式6
26范式7
27推理形式8
28基本的推理公式8
29推理演算9
210归结推理法9第3章命题逻辑的公理化11
31公理系统的结构11
32命题逻辑的公理系统11
33公理系统的完备性和演绎定理12
34命题逻辑的另一公理系统——王浩算法12
35命题逻辑的自然演绎系统13
36非标准逻辑13第4章谓词逻辑的基本概念15
41谓词和个体词15
42函数和量词15
43合式公式16
44自然语句的形式化16
45有限域下公式的表示法17
46公式的普遍有效性和判定问题17第5章谓词逻辑的等值和推理演算18
51否定型等值式18
52量词分配等值式18
53范式18
54基本推理公式19
55推理演算20
56谓词逻辑的归结推理法21第6章谓词逻辑的公理化22
61谓词逻辑的公理系统22
62谓词逻辑的自然演绎系统23
63递归函数24第7章一阶形式理论及模型25 71一阶语言及一阶理论25
72结构、赋值及模型26...。
集合与简易逻辑-数理-大纲
集合的运算
并集
两个集合A和B的并集是由所有属于A或 属于B的元素所组成的集合，记作A∪B。
补集
对于任意集合A，由所有不属于A的 元素所组成的集合称为A的补集，记
作A'或~A。
交集
两个集合A和B的交集是由所有既属于 A又属于B的元素所组成的集合，记作 A∩B。
全集
包含所有元素的集合称为全集，通常 记作U。
逻辑在哲学和语言学中的应用
哲学推理
逻辑是哲学推理的基础。在哲学中，逻辑被用来分析和评估论证的 有效性。
语言学研究
语言学研究语言的本质、结构和变化。在语言学中，逻辑被用来分 析语言的语法和语义，以及语言的逻辑推理。
人工智能
人工智能是研究如何让计算机模拟人类智能的领域。在人工智能中， 逻辑被用来表示和推理知识，以及实现基于知识的系统。
逻辑的哲学问题
1
逻辑的哲学问题涉及到逻辑的本质、逻辑真理的 性质以及逻辑推理的有效性等方面的问题。
2
这些问题涉及到哲学、语言学和数学等多个学科 领域，对于理解人类思维和语言表达的本质有着 重要的意义。
3
解决这些问题的过程有助于推动哲学和逻辑学的 发展，并深化我们对自身思维方式和语言表达的 理解。
数理逻辑的发展趋势
悖论是指一个推理或陈述 包含自相矛盾的观点或结 论，即使它们在表面上看 起来合理或正确。
常见的逻辑悖论
包括说谎者悖论、全能悖 论、理发师悖论等。
悖论的解决方法
包括逻辑修正、语义学解 决等方法。
03
数理逻辑
命题演算
基本概念
命题是具有真或假值的陈述句。命题演算是研究命题 之间逻辑关系的演绎系统。
基本逻辑联结词
THANKS
数理逻辑与集合论
初学数学分析，很多概念理解的并不深刻，这份笔记只是初学阶段的一点整理。
本篇为一些在数学分析中涉及的基本理论，包括集合论的基本概念与ZFC公理、数理逻辑基础，目的是为后续内容做好铺垫。
一、数理逻辑基础这一块内容是为了整个笔记的完整性，以重述概念为主。
1.1命题逻辑Definition 1.1.1命题是一个非真即假的陈述句。
通过逻辑连接符¬,∨,∧,→,↔，可以利用较简单的命题来构造复合命题，即Definition 1.1.2命题公式按如下规则生成：(1)命题变元是命题公式；(2)若P是命题公式，则¬P是命题公式；(3)若P,Q是命题公式，则P∧Q,P∨Q,P→Q,P↔Q是命题公式；(4)当且仅当有限次应用1-3条规则得到的包含命题变元，逻辑联结词和圆括号的有意义的符号串是命题公式。
一个非常简单的递归定义，看上去还是非常清晰的。
Definition 1.1.3若A→B是一个永真式，则称其为永真蕴含式，记作A ⇒B。
特殊地，若命题A蕴涵着某个假命题，则A为假，这即是反证法的思想：为了证明A为假，先假设A是真，再证明A蕴涵着某个一定为假的命题。
1.2变量与量词Definition 1.2.1变量是表示某种特定类型的数学对象的符号，称未被指定为某个具体对象的变量为自由变量，否则称之为约束变量。
Definition 1.2.2设P(x)是一个关于自由变量x的命题。
全称量词∀读作“对任意的”，即“∀x∈X:P(x)为真”与“P(x)对所有的x ∈X均为真”等价。
类似地，存在量词∃读作“存在”。
多个量词可以嵌套在一起，否定一个命题会使得该命题中的全称量词变为存在量词，存在量词变为全程量词。
1.3相等相等遵守以下四条相等公理：Axiom 1.3.1(自反公理)给定任意的对象x，有x=x。
Axiom 1.3.2(对称公理)给定任意两个同类型的对象x,y,若x=y，则y=x。
Axiom 1.3.3(传递公理)给定任意三个同类型的对象x,y,z，若x=y 且y=z，则x=z。
数理逻辑与集合论(第二版)精要与题解
数理逻辑与集合论(第二版)精要与题解数理逻辑与集合论(第二版)精要与题解是针对数理逻辑与集合论
大学课程编辑的教学参考书，它把数理逻辑与集合论的一些基本概念
和部分重要的定理作了详细的讲述，尤其全书附带了相当多的实例题
和习题，有助于读者加强对数理逻辑与集合论的理解，使学生更好地
学习和理解数理逻辑与集合论的基本知识，以及运用它们解决相关问
题的过程。
数理逻辑与集合论作为一门综合性学科，其最大特点在于理论上
的逻辑性，它是从数学和逻辑学理论上结合出来的综合性学科，既提
供了可靠的知识体系，又表达出较强的抽象能力和综合能力。
其次，
它藉由符号运算，以及建立数学关系性质的抽象理论进行研究，以验
证各种具有实际意义的数学推理，简单的说，就是通过数理逻辑的基
本原语和推理规则，来推导出有证明性的结论，其收集许多实际问题
的解决技术，作为相关工业应用，依赖于数学发展，特别是工业上的
自动控制和机电系统，突出表现为微积分、实变函数理论和精细数学
等领域，被用来描述工程数学解决的实际问题。
可以说，数理逻辑与集合论(第二版)精要与题解是一部很有价值
的参考书，它为大学生能够更好地了解数理逻辑与集合论的理论构建
及相关的研究手段提供了深入的参考资料，更是提供了实践性的内容，帮助高校的学生更好地掌握数理逻辑与集合论，培养学生良好的分析
解决实际问题、具有创新精神和实践能力的学术工作者。
(完整版)数理逻辑知识点总结
(完整版)数理逻辑知识点总结什么是数理逻辑？数理逻辑是一门研究命题、命题之间关系以及推理规律的学科。
它运用数学的方法来研究逻辑的基本概念和原理，用符号表示和描述逻辑概念，以及通过推理规则对命题进行推导。
命题与逻辑连接词1. 命题是陈述性语句，例如，“今天是晴天”。
在逻辑中，常用字母p、q、r等表示命题。
2. 逻辑连接词是用来构建复合命题的词语，例如，“与”、“或”、“非”等。
常用的逻辑连接词有：- “与”（合取）：表示两个命题同时为真；- “或”（析取）：表示两个命题中至少有一个为真；- “非”（否定）：表示对命题的否定。
命题逻辑的推理规则1. 合取分配律（并）：(p ∧ q) ∧ r = p ∧ (q ∧ r)2. 析取分配律（或）：(p ∨ q) ∨ r = p ∨ (q ∨ r)3. 合取律（并）：p ∧ p = p4. 析取律（或）：p ∨ p = p5. 否定律：¬(¬p) = p6. De Morgan定律：- ¬(p ∧ q) = ¬p ∨ ¬q- ¬(p ∨ q) = ¬p ∧ ¬q命题的等价性1. 蕴含：p → q 表示当p为真时，q也为真；2. 等价：p ↔ q 表示当p与q同时为真或同时为假时成立。
命题逻辑的证明方法1. 直接证明法：直接证明命题的真假；2. 反证法：假设命题为假，推导出矛盾，得出命题为真；3. 归谬法：假设命题为真，推导出矛盾，得出命题为假；4. 数学归纳法：通过证明基础情形和推导情形的真假来证明命题。
数理逻辑的应用数理逻辑在计算机科学、数学推理、形式语言学和人工智能等领域有广泛的应用。
它能够帮助我们分析问题、进行推理以及验证和证明复杂的命题。
在算法设计、数据库查询优化、自然语言处理等方面发挥着重要作用。
以上是关于数理逻辑的基本知识点总结，希望能对您有所帮助。
数理逻辑与集合论-提纲
集合论第二章集合及其运算子集：A⊆B iff ∀x(x∈A⇒x∈B)相等：A=B iff A⊆B & B⊆A真子集：A⊂B iff A⊆B & A≠B空集：不含任何元素的集合。
记为∅。
x∈A∪B iff x∈A or x∈Bx∈A∩B iff x∈A & x∈Bx∈A-B iff x∈A & x∉Bx∈～A iff & x∉A环和：A⊕B=A∪B-A∩B=(A-B)∪(B-A)幂集：x∈P(A) iff x⊆A广义并：x∈∪∏ iff ∃Y(Y∈∏ & x∈Y)广义交：x∈∩∏ iff ∀Y(Y∈∏⇒ x∈Y)}定理1 ①A∩(A∪B)=A②～(A∩B)=～A∪～B③A⊕B=～A⊕～B第三章映射（1）迪卡尔积:<x,y>∈A X B iff x∈A & y∈B关系：R⊆A X B恒等关系：<x,x>∈IAiff x∈A<x,y>∈IAiff x=y & x∈A定义域：Dom(R)={x|<x,y>∈R}值域： Ran(R)={y|<x,y>∈R}定理2 ①A X(B∪C)=(A X B)∪(A X C)②A X(B∩C)=(A X B)∩(A X C)第五章关系复合：<x,y>∈RoS iff ∃z∈B(<x,z>∈R & <z,y>∈S) 例：R={<1,2>,<1,3>} S={<2,1>,<2,2>},求RoS 关系的逆：<x,y>∈R-1 iff <y,x>∈RR⊆A X A关系的幂：①R0=IA②R n+1=R n oR自反性：R[ref] iff ∀x(x∈A ⇒ <x,x>∈R)反自反性：R[irref] iff ∀x(x∈A ⇒ <x,x>∉R) 对称性：R[sym]iff ∀x∀y(<x,y>∈R ⇒<y,x>∈R) 反对称性：R[asym] iff∀x∀y(<x,y>∈R & x≠y⇒ <y,x>∉R)拟反对称性：R[imasym] iff∀x∀y(<x,y>∈R ⇒ <y,x>∉R)传递性：R[tra] iff∀x∀y∀z(<x,y>∈R&<y,z>∈R ⇒ <x,z>∈R)自反闭包:R⊆A X A，若R*满足①R⊆R*②R*[ref]③∀S⊆A X A(R⊆S & S[ref]⇒R*⊆S)称R*是R的自反闭包，记r(R)。
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2.4 联结词的完备集PQ = (PQ)， PQ = (PQ)
2.5 对偶式
2.6 范式
求命题公式的对偶式、(主)析取范式、(主)合取范式及用途
2.7 推理形式（重言蕴涵的几个结果：P31）
2.8 基本的推理公式（(1)-(11):P31）
2.9 推理演算 2.10 归结推理法
常用推理规则、直接证明法、附加前提 证明法、归结法
3．在关于二元关系性质的叙述中，正 确的是__________。
A. 若关系R、S具有自反性，则R∩S一 定有自反性；
B. 存在既是对称的也是反对称的关系 C. 若R、S是传递的，则R∪S也是传
递的； D. 若R、S是自反的，则R－S也是自
反的。 4．含有3个元素的集合共有_______
种不同的划分.
前提：x(F(x)G(x))，F(a)
结论：G(a)
证明： ① F(a)
前提引入
② x(F(x)G(x)) 前提引入
③ F(a)G(a)
②UI
④ G(a)
①③假言推理
考试和答疑安排
考试时间：
18周星期五(12月31日)，8:00-10:00AM 考试地点：340402
答疑安排：
18周星期三(12月29日)，3:00-5:00 答疑地点：31号楼3楼教师休息室
p(qq) p0 0
（交换律，结合律） （矛盾律） （零律）
由最后一步可知，该式为矛盾式.
2.计算集合A={ ，{}}的幂集
解：P(A)=P({, {}})
= {, {}, {{}}, { , {}}}
《数理逻辑》试题样卷
三.判断题（10%）
设S、T为任意集合， 若S－T= ，则S=T 。（ ）
第5章 谓词逻辑的等值和推理演算
5.1 否定型等值式（证明）
量词否定等值式、量词辖域收缩和扩张等值 式、量词分配等值式、消去量词等值式
5.2 量词分配等值式（证明）
5.4 基本的推理公式(证明方法，(1)-(10):P77-78)
5.5 推理演算(UI,EI,UG,EG和命题推理规则)
5.6 谓词逻辑的归结推理法
A. A∩B B. A∪B
各章内容比例
第一、二章 命题逻辑 (20%)
第四、五章 谓词逻辑 (20%)
第九章)
第十一章 函数
(10%)
第十二章 集合的基数 (5%)
《数理逻辑》试题样卷
一. 选择题（10%）
1．设S、T、M为任意集合，则下列命题中，命题
真值是真的是
。
A． 是的子集
B. 若S－T= ，则S=T
第11章 函 数
11.1 函数 11.2 函数的合成和函数的逆
第12章 集合的基数
12.2 集合的等势 12.3 有限集合与无限集合 12.4 集合的基数
试题结构
卷面
一. 选择题（10%） 二. 填空题（20%） 三. 判断题（10%） 四. 运算题（20%） 五. 证明题（20%） 六. 应用题（20%）
C．若~S∪T=E，则S∩T≠
D. 若S∪T=S∪M，则T=M
二. 填空题：（20%）
1、 公式 (pq) r 的成真赋值是______________
《数理逻辑》试题样卷
四. 运算题：（20%）
1.用等值演算法判断公式q(pq)的类型
解 q(pq)
q(pq) （蕴涵等值式） q(pq) （德摩根律）
A. 4 B. 10 C. 5 D. 6 5．设A、B为任意集合，下面命题为
真的是__________。 A．P(A)∪P(B)=P(A∪B) B. P(A∩B)=P(A)∩P(B)
C. P(A-B)=P(A)-P(B) D. 若A-B= ，则B A
《数理逻辑》样卷
6．设A、B是集合，右图的文氏图的 阴影部分的区域可用________表 达式表示
第10章 关 系
10.1 二元关系重要关系(、E、I、L、D、) 10.2 关系矩阵和关系图 10.3 关系的逆、合成、限制和象 10.4 关系的性质(性质判断和证明) 10.5 关系的闭包 对称闭包、自反闭包和传递闭包的定义和构造方法 10.6 等价关系和划分( 会求商集、类、划分并会证明) 10.7 相容关系和覆盖( 会求类并会证明) 10.8 偏序关系(会画哈斯图，求特殊元素)
第9章 集 合
9.1 集合的概念和表示方法
9.2 集合间的关系和特殊集合
9.3 集合的运算
9.4 集合的图形表示法
9.5 集合运算的性质和证明(9.5.3不包括)
9.6 有限集合的基数
包含排斥原理及应用（作业）
会运用集合运算的性质证明有关集 合运算的命题成立与否、进行化简， 定理证明主要在9.5.1，9.5.4，而 9.5.2只要记住结论
《数理逻辑》样卷
一、单选题（共10分）
1．下列命题公式中，是重言式的 是____________。
A． (p q) q B. (p q) (p q) C. p∧q D. p q
2．设A、B、C、D为任意集合， 下面命题为真的是 ____________。
A．A－(B∪C)＝(A－B)∩(A－C) B. 若AB，则有~A ~B C. ~(A∪B)= ~A∪~B D. ~(A ∩B)= ~A ∩~B
《数理逻辑与集合论》
复习提纲
第1章 命题逻辑的基本概念
1.1 命题 1.2 命题联结词及真值表 1.3 合式公式 1.4 重言式（三类公式的关系：P8） 1.5 命题形式化 1.6 波兰表达式
第2章 命题逻辑的等值和推理演算
2.1 等值定理 会运用等值式证明两个公式是否相等、判断公式的类型
2.2 等值公式
第4章 谓词逻辑的基本概念
4.1 谓词和个体词 谓词的定义，谓词逻辑与命题逻辑的关系 4.2 函数和谓词 自由变元、约束变元及量词的辖域 4.3 合式公式（合法性判断） 4.4 自然语句的形式化（与作业结合复习） 4.5 有限域下公式(x)P(x)、(x)P(x)的
表示法
在{1,2}上的量化公式、解释
五. 证明题（20%）
证明 A=B C=D AC=BD 证： 任取<x,y>
<x,y>AC xA yC xB yD <x,y>BD
《数理逻辑》试题样卷
六.应用题：（20%）
证明苏格拉底三段论: “人都是要死的, 苏格拉底是人，所 以苏格拉底是要死的.”
令 F(x): x是人, G(x): x是要死的, a: 苏格拉底