湖北省武汉第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试文科数学试卷(解析版)

湖北省武汉第二中学2014-2015学年高二上学期期中考试文科数学试卷（解析版）一、选择题1．直线04)1(2=+++y m x 与直线023=-+y mx 平行, 则=m （ ） A.2- B.3- C.2或3- D.2-或3- 【答案】Ｃ 【解析】试题分析：因为直线04)1(2=+++y m x 与直线023=-+y mx 平行，所以213mm --=+，解得2m =或-3，故正确答案为选项C. 考点：两直线平行的性质.2．直线043:=-+y x l 与圆4:22=+y x C 的位置关系是（ ） A.相交且过圆心 B.相交不过圆心 C.相切 D.相离 【答案】Ｃ 【解析】试题分析：由题意知圆的圆心坐标为(0,0)，半径2r =，所以圆心到直线的距离2d ==等于半径，所以直线和圆相切.故正确答案为选项C.考点：①直线和圆的位置关系；②点到直线的距离公式. 3．下图是一个程序框图, 则输出的结果为（ ）A.20B.14C.10D.7 【答案】A【解析】试题分析：由程序框图知：第一次循环1,5i a ==； 第二次循环2,14i a ==； 第三次循环3,7i a ==； 第四次循环4,20i a ==； 第五次循环5,10i a ==； 第六次循环6,5i a ==；...输出的a 值周期为5，因为跳出循环的i 值为2015，所以第2014次循环的20a =.故正确答案为选项A. 考点：程序框图4．某几何体的三视图如下图所示, 则该几何体的体积为（ ）A.163π B.203π C.403πD.5π 【答案】A 【解析】试题分析：由三视图可知该几何体是由一个球和圆锥组成的组合体，球的直径为2，半径为1.圆锥底面圆的直径为4，半径为2，高为3，则该几何体的体积2411623333V πππ=+⨯⨯=故正确答案为选项A.考点：几何体的三视图.5．统计甲、乙两支足球队在一年内比赛的结果如下：甲队平均每场比赛丢失5.1个球, 全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1; 乙队平均每场比赛丢失2.2个球, 全年比赛丢失球的个数的方差为6.0.据此分析： ①甲队防守技术较乙队好; ②甲队技术发挥不稳定;③乙队几乎场场失球;④乙队防守技术的发挥比较稳定.其中正确判断的个数是 （ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】试题分析：甲队平均每场比赛丢失1.5个球，乙队平均每场比赛丢失2.2个球，所以甲队技术比乙队好，故①正确，甲队全年比赛丢失球的个数的标准差为2.1，乙队全年比赛丢失球的个数的方差为6.0，所以乙队发挥比甲稳定，故②④正确，乙队几乎场场失球，故③正确，所以正确答案为选项D.考点：平均数、方差与标准差.6．下列说法正确的个数是 （ ） ①平行于同一直线的两条直线平行 ②平行于同一平面的两个平面平行③两条平行线中的一条和一个平面平行, 则另一条也与这个平面平行④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行, 则这条直线与另一平面也平行 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】试题分析：对于命题①的关键是平行线的传递性，所以命题正确； ②根据面面平行的性质和判定可得命题正确；③两条平行线中的一条和一个平面平行，另一条有可能在这个平面内，所以命题错误； ④一条直线与两个平行平面中的一个平面平行，这条直线也可能在另一个平面内，所以命题错误；故正确答案为选项B.考点：空间线面关系和面面关系. 7．已知圆221:()(2)4C x a y -++=与圆222:()(2)1C x b y +++=相外切, 则ab 的最大值为 （ ）A.2B.32C.94 D.【答案】C【解析】试题分析：根据已知，圆1C 的圆心为1(a,2)C -，半径为12r =，圆2C 的圆心为2(b,2)C --，半径为11r =，因为两圆外切，所以1212||r C C r =+，即3a b +=，由基本不等式得2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，故正确答案为选项C.考点：①圆与圆的位置关系；②基本不等式等.8．天气预报说, 在今后的三天中, 每三天下雨的情况不完全相间．．．．．．．．．．．．．, 每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：用1, 2, 3, 4表示下雨, 用5, 6, 7, 8, 9, 0表示不下雨; 从下列随机数表的第1行第2列开始读取直到末尾从而获得N 个数据.据此估计, 这三天．．中恰有两天．．．．下雨的概率近似为 （ ） 19 07 96 61 91 92 52 71 93 28 12 45 85 69 19 16 83 43 12 57 39 30 27 55 64 88 73 01 13 53 79 89 2 A.236 B.216C.41D.非ABC 的结果【答案】C【解析】 试题分析：由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，经随机模拟产生了如下36组随机数，在20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有：192、193、281、245、393、125、302、011、353，共9组随机数，所以所求概率为91364=，故正确答案为选项C. 考点：模拟方法估计概率.9．把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人1张, 事件A ：“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”是 （ ） A.不可能事件 B.必然事件C.对立事件D.互斥且不对立事件 【答案】D 【解析】试题分析：把红、黄、蓝3张卡片随机分给甲、乙、丙三人, 每人1张, 事件A ：“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”不可能同时发生，但事件A ：“甲得红卡”不发生时，事件B ：“乙得红卡”有可能发生，有可能不发生；所以事件A ：“甲得红卡”与事件B ：“乙得红卡”是互斥但不对立事件. 故正确答案为选项D.考点：对立事件、必然事件、不可能事件、互斥事件10．过点)4,3(P 在两坐标轴上的截距都是非负整数的直线有多少条？ （ ） A.4 B.5 C.6 D.7 【答案】D 【解析】试题分析：当直线经过原点时满足条件，直线方程为：43y x =； 当直线不过原点时，设直线方程为1x y a b +=，把点)4,3(P 代入可得：341a b+=；满足条件的,a b 有(6,8)，(4,16)，(5,10)，(9,6)，(15,5)，(7,7)；综上可得：满足条件的直线共有7条.故正确答案为选项D.考点：直线的截距式方程.二、填空题 11．武汉2中近3年, 每年有在校学生2222人, 每年有22人考取了北大清华, 高分率稳居前“2”, 展望未9年前景美好.把三进制数3)22222222(化为九进制数的结果为9)(.【答案】8888 【解析】试题分析：一般数制间的转换，十进制是桥梁，故先将3)22222222(转化为十进制，即3)22222222(=6560323232323232323201234567=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯，然后用除９取余倒排序的方法，将十进制转化成９进制，如下图所示：∴()39(22222222)8888=.考点：数制间的转换12．圆心在y 轴上, 半径为1, 且过点（1,2）的圆的标准方程是 .【答案】()2221x y +-=【解析】试题分析：由圆心在y 轴上，设出圆心坐标为()0,b ，又半径为1，∴所求圆的方程可设为为()221x y b +-=，所求圆过()1,2，将之代入圆的方程得：()2121b +-=，解之得：2b =，故所求圆的方程为：()2221x y +-=．考点：圆的定义和标准方程.13．已知线性相关的两个变量y x ,之间的几组数据如下表：其线性回归方程为a bx y +=∧, 则b a ,满足的关系式为 . 【答案】13216=+b a 【解析】试题分析：因为线性回归方程恒过样本中心点(),x y ，由表中所给数据得：1234562166x +++++==，021*******y +++++==，将之代入线性回归方程并化简得13216=+b a .考点：①线性回归方程；②样本中心点.14．某人有4把钥匙, 其中2把能打开门, 现随机地取1把钥匙试着开门, 不能开门就把钥匙放在旁边, 他第二次才能打开门的概率是 . 【答案】13【解析】试题分析：第二次打开门，说明第一次没有打开门，故第二次打开门的概率为221433⨯=，（若从排列组合的思维角度即1122114341123c c c c ==）.考点：随机事件的概率. 15．已知)1,0(,∈y x , 则++-+-+++222222)1()1(y x y x y x 22)1()1(-+-y x 的最小值为 .【答案】【解析】的几何意义为点(),x y 到原点()0,0的距离，(),x y 到点()0,1的距离，(),x y 到点()1,0的距离，22)1()1(-+-y x 的几何意义为点(),x y 到点()1,1的距离，所以求++-+-+++222222)1()1(y x y x y x 22)1()1(-+-y x 的最小值，即求(),x y 到上述四点的距离的和的最小值.如图，根据两点间距离最短可知，只有点(),x y 位于正方形对角线的交点时，才能分别与两组对角顶点都共线，此时点(),x y 到四个顶点的距离的和最小，易求得最小值为考点：①两点间距离公式；②数形结合思想.16．正四面体S —ABC 中, E 为SA 的中点, F 为∆ABC 的中心, 则异面直线EF 与AB 所成的角是 .【答案】60FEG ∠=︒ 【解析】试题分析：如下图，设正四面体S ABC -的棱长为2a ，取SB 的中点为G ,联结EG ,则结合已知得EG 为SAB ∆的中位线，即//EG AB ，且12EG AB a ==； 分别联结EF GF SF 、、,则FEG ∠即为所求，因为F 为正四面体底面中心，所以SF ABC ⊥平面,,AF ABC BF ABC ⊂⊂平面平面,∴,SF AF SF BF ⊥⊥,即SFA SFB ∆∆、均为Rt ∆，又E G 、分别SA SB 、的中点，即FE FG 、分别为Rt SFA SFB ∆∆、Rt 的中线，由直角三角形的性质（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）知11,22FE SA a FG SB a ====, ∴FEG ∆为等边三角形，∴60FEG ∠=︒，即为所求.考点：异面角的计算17．已知点),(y x P 满足1)sin ()cos (22=-+-ααy x , ]2,0(πα∈, 由P 点组成的图形的面积为 . 【答案】4π 【解析】试题分析：如下图所示，根据同角三角函数的平方关系得22sin cos 1αα+=，]2,0(πα∈，从几何的角度可将其轨迹视为原点为圆心，半径为1的圆， 即点()sin ,cos αα在单位圆上运动；由已知看出点),(y x P 与()sin ,cos αα的距离的平方为1，即两点间的距离为1，点),(y x P 随动点()s i n,c o s αα运动而运动，所以点P 构成的集合为：{}(,)|2P x y 原点为圆心，半径为的圆上的点或原点，所以由点P 围成的图形的面积为以原点为圆心，半径为2的圆，由圆的面积公式可得224s ππ=⨯=.考点：①同角三角函数的基本关系；②圆的定义和方程；③数形结合的思想.三、解答题 18．（本小题满分12分）下图是调查某地某公司1000名员工的月收入后制作的直方图.根据直方图估计：（Ⅰ）该公司月收入在1000元到1500元之间的人数; （Ⅱ）该公司员工的月平均收入; （Ⅲ）该公司员工收入的众数;（Ⅳ）该公司员工月收入的中位数;【答案】（Ⅰ）100人；（Ⅱ）2400元；（Ⅲ）2500元；（Ⅳ）2400元. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）直方图类的题，核心是要抓住频率之和为1，图中仅有欲求频率未知，所以用1减去其余各组频率之和即可，然后乘于总人数可得所求；（Ⅱ）由直方图求平均数只需用频率分布直方图各个小矩形的面积（即频率）乘底边中点的横坐标，然后求和可得；（Ⅲ）众数在频率分布直方图中，就是最高矩形的中点的横坐标；（Ⅳ）直方图中，中位数左边和右边的面积相等，都是0.5，据此易得所求.试题解析：（Ⅰ）根据频率分布直方图知，满足条件的频率为：()15000.00010.00030.00040.0005210.90.1-+++⨯=-=，所以满足条件的人数为：10000.1100⨯=人； （Ⅱ）据题意该公司员工的平均收入为：5000.000212505000.000417505000.000522505000.000527505000.000332505000.000137502400⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=元（Ⅲ）根据频率分布直方图知，最高矩形（由两个频率相同的矩形构成）的底边中点的横坐标为2500，即公司员工收入的众数为2500元；（Ⅳ）根据频率分布直方图知，中位数介于2000元至2500元之间，故可设中位数为x ，则由()0.00025000.00045000.000520000.52400x x ⨯+⨯+⨯-=⇒=，即公司员工收入的中位数为2400元.考点：①频率的定义和性质；②平均数、众数、中位数与频率直方图的关系. 19．（本小题满分13分）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的投篮命中次数, 乙组记录中有一个数据模糊，无法确认, 在图中以x 表示.（Ⅰ）如果乙组同学投篮命中次数的平均数为354, 求x 及乙组同学投篮命中次数的方差; （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下, 分别从甲、乙两组投篮命中次数低于10次的同学中,各随机选取一名, 记事件A ：“两名同学的投篮命中次数之和为17”, 求事件A 发生的概率.【答案】（Ⅰ）8x =，21116s =；（Ⅱ）13. 【解析】试题分析：（Ⅰ）已知平均数，根据平均数计算公式，x 可求，将相关数据代入方差公式即得所求；（Ⅱ）将甲乙两组满足条件的投蓝数依次两两组合，不重不漏，可得基本事件总数，然后将和为17的基本事件筛选出，可得目标基本事件数，最后用后者除以前者，可得所求.试题解析：（Ⅰ）据题意得89103544x x +++==,解之得8x =，方差2222135353511[2(8)(9)(10)]444416s =⨯-+-+-=；（Ⅱ）记甲组投篮命中次数低于10次的同学为12,A A ，他们的命中次数分别为9、7； 记乙组投篮命中次数低于10次的同学为123,,B B B ，他们的命中次数分别为8、8、9； 则从中任取两数，不同的选取方法有111213(,),(,),(,)A B A B A B ,212223(,),(,),(,)A B A B A B 共6种.，设“这两名同学的投篮命中次数之和为17”为事件C ，则C 中恰含有1112(,),(,)A B A B 共2种，21()63P C ∴==. 考点：①平均数和方差；②古典概型. 20．（本小题满分13分）三棱锥P －DEF 中, 顶点P 在平面DEF 上的射影为O.（Ⅰ）如果PE ＝PF ＝PD, 证明O 是三角形DEF 的外心（外接圆的圆心）（Ⅱ）如果1==PF PE , 2=PD , 2=EF , 5==DF DE ,证明 O 是三角形DEF 的垂心（三条高的交点） 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ））详见解析. 【解析】 试题分析：（Ⅰ）欲证点O 为DEF ∆的外心，即证点O 到DEF ∆三个顶点的距离相等，据题意易证POD POE POF ∆∆∆、、是三个全等的三角形，所以OD OE OF ==，即点O 为外心；（Ⅱ）欲证点O 为垂心，只需证,,DO EF EO DF FO DE ⊥⊥⊥，根据已知结合勾股定理易证PDE PEF PDF ∆∆∆、、均为,直角三角形，加之PO DEF ⊥平面，运用相关线面垂直和线线垂直的相关判定和定理，不难得出结论.试题解析：（Ⅰ）如图（一）所示，过点P 作PO DEF O ⊥平面于，分别连结DO EO FO 、、，则由线面垂直的定义可得,,PO DO PO EO PO FO ⊥⊥⊥，PD PE PF ==，∴根据HL 公理得Rt POD Rt POE Rt POF ∆≅∆≅∆∴OD OE OF ==,所以点O 为DEF ∆的 外心.（Ⅱ）如图（二）所示，过点P 作PO DEF O ⊥平面于，分别联结DO EO FO ==，并分别延长使交EF DF DE 、、于点G H I 、、，则根据已知2,1,PD PE DE ===有2222222222155PD PE PD PE DE DE ⎧+=+=⎪⇒+=⎨==⎪⎩,即：DPE ∆为t R ∆（勾股定理逆定理），同理可证：EPF DPF ∆∆、均为t R ∆，∴EP PD EP PF PD PDF EP PDF PF PDF PD PF P⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎨⎪⊂⎪⎪=⎩平面平面平面,DF PDF ⊂平面,∴EP DF ⊥，又PO DEFPO DF DF DEF ⊥⎧⇒⊥⎨⊂⎩平面平面,∴由DF EP DF PO EP POE DF POE PO POE EP PO P⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎨⎪⊂⎪⎪=⎩平面平面平面EH POE ⊂平面,∴DF EH ⊥,同理可证：,EF DG DE FI ⊥⊥，∴DG EH FI 、、分别是DEF ∆三边上的高，即：点O 为DEF ∆的垂心.考点：线面垂直和线线垂直的相关判定和定理考点：①三角形外心和垂心的定义；②线面垂直的定义、性质和判定；③勾股定理和三角形全等判定.21．（本小题满分14分）已知四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是边长为2的菱形, AC∩BD=O, AA 1=23, BD ⊥A 1A, ∠BAD=∠A 1AC=60°, 点M 是棱AA 1的中点.（Ⅰ）求证：A 1C ∥平面BMD;（Ⅱ）求证：A 1O ⊥平面ABCD;（Ⅲ）求三棱锥AMD B -的体积.【答案】（Ⅰ）详见解析； （Ⅱ）详见解析； （Ⅲ）B AMD V -=. 【解析】试题分析：（Ⅰ）欲证线面平行，通常从线线平行入手，M 是中点，加之ABCD 四边形是菱形，O 也为AC 中点，所以MO 为1AAC ∆的中位线，问题得于解决；（Ⅱ）根据已知边角关系易证1AOA ∆为直角三角形，即1AO AC ⊥，又根据菱形性质BD AC ⊥，给合已知1BD AA ⊥，可得1BD AAC ⊥平面，即1B D A O ⊥，所以自然可得1AO ABCD ⊥平面；（Ⅲ）本题要解决三棱锥的体积，核心是解决高的问题，据题意，过M 点作1AO 的平行线使交AC 于N ，则MN 即为三棱锥的高，又M 是1AA 的中点，所以112MN A O =，结合已知可得所求. 试题解析：（Ⅰ）如图，联结MO ，则由ABCD 四边形是棱形知O 为AC 中点，又M 是1AA 的中点，∴MO 为1AAC ∆的中位线，故1//MO AC ，而1,A C MO MD MD ⊂⊄平面B 平面B ，所以1A C//MD 平面B ； （Ⅱ）ABCD 四边形是菱形，∴其对角线AC BD 、互相垂直平分且平分对角， 又60BAD ∠=︒，∴ 30BAO ∠=︒，∴在Rt BAO 中，2,BO 1AB ==（30︒角所对直角边等于斜边的一半），则AO = ∴1AOA中，1AA =1160A AO AOC ∠=∠=︒,则由余弦定理得22211cos603AO AO +-︒=⇒= (2223+=，故由勾股定理知1AOA Rt ∆∆是，即11AO AO AO AC ⊥⇒⊥， 又由111111BD AC BD A A AC A AC BD A AC A A A AC AC A A A⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎨⎪⊂⎪⎪=⎩平面平面平面11AO A AC ⊂平面，∴1BD AO ⊥， ∴由111AO AC AO BD AC ABCD AO ABCD BD ABCD AC BD O⊥⎧⎪⊥⎪⎪⊂⇒⊥⎨⎪⊂⎪⎪=⎩平面平面平面；（Ⅲ）如图，过点M 作1//MN AO 交AC 于N ，则MN 为三棱锥M ABD -的高且11322MN AO ==，又122sin 6022ABD S ∆=⨯⨯⨯︒==，∴1332B AMD M ABD V V --===. 考点：①线面平行的判定；②线面垂直的判定；③勾股定理和余弦定理；④等积法.22．（本小题满分13分）已知圆0442:22=-+-+y x y x C ．（Ⅰ）写出圆C 的标准方程, 并指出圆心坐标和半径大小;（Ⅱ）是否存在斜率为1的直线m, 使m 被圆C 截得的弦为AB, 且OB OA ⊥（O 为坐标原点）．若存在, 求出直线m 的方程; 若不存在,说明理由．【答案】（Ⅰ）()()22129x y -++=，()1,2-，3；（Ⅱ）4-=x y 或1+=x y . 【解析】试题分析：（Ⅰ）由圆的一般方程()2222040x y Dx Ey F D E F ++++=+->得其圆心,22D E ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，从而可得圆C 的标准方程，此题也可以通过配方法直接得到圆C 的标准方程，然后再写出其圆心坐标和半径；（Ⅱ）首先根据题意设出m 的方程，然后与圆的方程联立消y 得关于x 的一元二次方程，运用韦达定理得到两根的和及积的关系，然后再根据OA OB ⊥不难得出关于两根和及积的方程，从而可求直线m 的方程. 试题解析：（Ⅰ）根据圆的一般方程结合已知得：2,E 4,F 4D =-==-，则241,22222D E --=-=-=-=-，3==，即圆心C 的坐标为()1,2-，半径为3，所以圆C 的标准方程为：()()22129x y -++=；（Ⅱ）根据题意可设直线b x y m +=:, 代入圆的方程得：044)1(2222=-++++b b x b x ，因为直线与圆相交, 所以01162<-+b b 244,122121-+=--=+b b x x b x x ， 设),(,),(2211y x B y x A , 则1122,y x b y x b =+=+，由OA OB ⊥得1212121212120011()()000y y y y x b x b x x x x x x --⋅=-⇒=-⇒+++=--， 0430)(2222121=-+⇒=+++b b b x x b x x , 得4-=b 或1=b ，均满足01162<-+b b ,故所求直线m 存在，且方程为4-=x y 或1+=x y .考点：①圆的一般方程和标准方程；②直线方程；③两直线垂直的斜率关系；④韦达定理；⑤数形结合思想和方程思想.。