二次函数应用拱桥问题
二次函数的应用--拱桥问题
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
问题1 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？ 所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？
1．复习利用二次函数解决实际问题的方法
归纳： 1．由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当
3．应用新知， 巩固提高
问题5 有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m． （1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表 示的函数的解析式； （2）设正常水位时桥下的水深为 2 m，为保证过往 船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m．求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行．
二次函数的应用--拱桥问题
课件说明
• 二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中 涉及的求最大利润，最大面积等．这体现了数学的实 用性，是理论与实践结合的集中体现．本节课主要研 究建立坐标系解决实际问题．
课件说明
• 学习目标： 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系， 正确建立坐标系，并运用二次函数的图象、性质解决 实际问题．
2．探究“拱桥”问题
（1）求宽度增加多少需要什么数据？ （2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？ （3）如何求这组数据？需要先求什么？ （4）图中还知道什么？ （5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？
2．探究“拱桥”问题 问题3 如何建立直角坐标系？
l
2．探究“拱桥”问题
问题4 解决本题的关键是什么？
时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值
x b 2a
九年级数学下册课件：5.5 第3课时 用二次函数解决抛物线型拱桥问题
5.5 第3课时 用二次函数解决抛物线 型拱桥问题
情景导入 白娘子初见许仙是在西湖断桥，现在有一座类似的抛 物线形的拱桥，水面宽为6m时，水面离桥孔顶部 3m．因降暴雨水位上升1m， 此时水面宽为多少（精确到 0.1m）？
例题讲解
例1河上有一座桥孔为抛物线形的拱桥，水面 宽为6m时，水面离桥孔顶部3m．因降暴雨水位上 升1m，此时水面宽为多少（精确到0.1m）？
解：如图，建立直角坐标系. 则点A的坐标是（1.5，3.05），篮球在最大高度时的 位置为B（0，3.5）. 以点C表示运动员投篮球的出手处.
y
O
x
设以y轴为对称轴的抛物线的解析式为 y=a(x-0)2+k ， 即y=ax2+k.而点A，B在这条抛物线上，所以有
2.25a+k=3.05， k=3.5，
你能想出办法来吗？
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物 线，所以应当是个二 次函数
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为 y轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的 图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标系是（0.0），因此这个 二次函数的形式为 y ax2
位:m),则拱形门的宽度大约是
ห้องสมุดไป่ตู้
m1. 94
图2
3.图3是抛物线形拱桥,P处有一照明灯,水面OA宽4 m,以O为原 点,OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系,已知点P的坐标为 （3，32）. (1)求这条抛物线的函数表达式(不需要写出自变量的取值范围); (2)水面上升1.5 m,水面宽是多少?
解：(1)y=-x2+2x (2)2 m 图3
用二次函数解决抛物线型拱桥问题的教学思考
用二次函数解决抛物线型拱桥问题的教学思考
一、二次函数解决抛物线型拱桥问题
1. 抛物线型拱桥问题具有特殊的形式：抛物线型拱桥系统通常会出现
三维变形，其形态类似抛物线；
2. 二次函数可以用来解决抛物线型拱桥问题，因为它能够描述抛物线
型轮廓和大量的非线性关系；
3. 二次函数可以用来描述抛物线型拱桥的三维变形，可以进行模态变换，也可以完善抛物线型拱桥的结构模型，以便以最佳方式进行设计；
4. 通过使用二次函数，可以快速有效地解决复杂的抛物线型拱桥问题，用以描述拱桥的三维弧形特性，提高拱桥的稳定性；
5. 二次函数还可以与大量的有限元元素节点连接，以便更准确的表达
抛物线型构件的变形过程，便于拱桥本身的研究；
6. 二次函数还可以用来解决拱桥的非连续性，以提高拱桥的稳定性，
并达到最佳的结构性能。
二、二次函数解决抛物线型拱桥问题的步骤
1.首先对拱桥进行可靠的分析，实现拱桥几何图形模型的建立；
2. 建立起相关的参数模型，进行完整的原形映射，并分析拱桥的三维
变形特征；
3. 选择适当的二次函数来拟合抛物线型的拱桥特征，并结合参数模型，使拱桥获得最佳的状态；
4. 将拟合后的二次函数与有限元元素节点进行连接，实现对拱桥变形
过程的分析，以达到拱桥稳定性的最优解；
5. 最后，根据逐次考虑的设计要求，进行系统优化设计，直至抛物线型拱桥有力地满足设计要求，实现最优的结构实现。
三、总结
通过使用二次函数，可以对抛物线型拱桥采取有效的解决方案，在高效的设计过程中，更快更好的满足拱桥的设计要求，以保证拱桥的安全和有效解决拱桥的后续问题。
二次函数与拱桥问题
建立二次函数模型解决建筑类实际问题的一般步骤：(1) 根据题意建立适当的 ________________________ ； (2) 把已知条件转化为 __________________ ； (3) 合理设出函数 ___________________ ； (4) 利用 _________________ 法求出函数解析式；(5) 根据求得的解析式进一步分析、判断并进行有关的计算. 知识点1 :二次函数在桥梁中的应用1. 有一座抛物线拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20米，拱顶距离水面4米.在如图所示 的直角坐标系中，该抛物线的解析式为 ________________________ .2.有一座抛物线形的立交桥拱 ，这个桥拱的最大高度为 16 m ,跨度为40 m ,现把它的图形放在坐标系中(如图).若在离跨度中心 M 点5 m 处垂直竖立一根铁柱支撑拱顶 ，则这根铁柱的长为 _____ m.3. 如图是一座抛物线形拱桥，桥拱在竖直平面内与水平桥面相交于 A , B 两点，拱桥最高 点C 到AB 的距离为9 m , AB = 36 m , D , E 为拱桥底部的两点，且DE // AB ，点E 到直线 AB 的距离为7 m ,则DE 的长为 ___________ m .知识点2 :二次函数在隧道中的应用 4. 某隧道横断面由抛物线与矩形的三边组成,尺寸如图如示，以隧道横断面抛物线的顶点16为原点，以抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，则该抛物线的解析式为 知识点3:二次函数在其他建筑问题中的应用5.如图，某工厂大门是抛物线形水泥建筑， 大门底部地面宽4米，顶部距地面的高度为 4.4 米，现有一辆满载货物的汽车欲通过大门，其装货宽度为 2.4米，该车要想通过此门， 装货 后的高度应小于( ) A. 2.80 米B . 2.816 米C . 2.82 米D. 2.826 米\比米L -4 棊_'6•如图，某建筑的屋顶设计成横截面为抛物线形(曲线AOB 的薄壳屋顶.它的拱宽AB 为4 m拱高CO 为0.8 m •建立如图的直角坐标系，则屋顶的轮廓线所在的抛物线的解析式为知识点4 :二次函数在运动中的应用7.某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x 轴，出水点为原点，建立平 面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线 y = — x 2 + 4x(单位：米)的一部分，则水喷出 的最大高度是( )A . 4米B . 3米C . 2米D .1米----- 6m ----- ►A .第3秒B .第3.5秒C .第4.2秒D .第6.5秒&军事演习在平坦的草原上进行 ，一门迫击炮发射的一发炮弹飞行的高度 y(m)与飞行时间 x(s)的关系满足y = — 5X 2 + 10x.经过 ________ 秒炮弹到达它的最高点，最高点的高度是________ 米，经过 ________ 秒炮弹落到地上爆炸了.9•竖直向上发射的小球的高度 h(m)关于运动时间t(s)的函数解析式为h = at + bt ,其图象如图所示.若小球在发射后第 2秒与第6秒时的高度相等，则下列时刻中小球的高度最高的是y(m)与滑行时间x(s)之间的函数关系式是 m 才能停下来.12.如图，杂技团进行杂技表演，演员从跷跷板右端A 处弹跳到人梯顶端椅子B 处，其身体(看成一点)的路线是抛物线y = — 3x 1 2+ 3x + 1的一部分.5 (1)求演员弹跳离地面的最大高度；⑵已知人梯高BC = 3.4米，在一次表演中，人梯到起跳点 A 的水平距离是4米，问这次表 演是否成功？请说明理由.13•如图，小河上有一座拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分 ACB 和矩形的三 边AE, ED, DB 组成.已知河底 ED 是水平的，ED = 16米，AE = 8米，抛物线的顶点 C 到ED 的距离是11米，以ED 所在的直线为x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立平面直角坐标系. (1) 求抛物线的解析式；(2) 已知从某时刻开始的 40小时内，水面与河底 ED 的距离h(单位：米)随时间t(单位：时) 的变化满足函数关系 h =- ±(t — 19)2+ 8(0 w tw 40),且当水面到顶点 C 的距离不大于5米 时，需禁止船只通行，请过计算说明：在这一时段内 ，需多少小时禁止船只通行？1 当h = 2.6时，求y 与x 的关系式；(不要求写出自变量 x 的取值范围)2 当h = 2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由？10.如图，有一座抛物线形拱桥 水面下降1 m 后，水面宽为( ,当水位线在AB 位置时，拱顶离水面2 m ,水面宽为4 m , ) A . 5 mB . 6 mC/, 6 mD . 2 6m11.某一型号飞机着陆后滑行的距离 1.5x 2，该型号飞机着陆后滑行 —y = 60x —14.如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2 m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y = a(x —6)2 + h.已知球网与O 点的水平距离为9 m,高度为2.43 m，球场的边界距O点的水平距离为18 m.4、有座抛物线形拱桥（如图），正常水位时桥下河面宽20m,河面距拱顶4m为了保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于18m,求水面在正常水位基础上上涨多少米时，就会影响过往船只航行。
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师
二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故 （2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。
2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。
二次函数拱桥应用题doc
二次函数拱桥应用题.doc 二次函数拱桥应用题拱桥是一种常见的建筑结构，在城市和乡村中都可以见到。
它不仅能够承载重量，还可以美化环境。
在设计和建造拱桥时，数学是一个重要的工具。
其中二次函数在解决与拱桥相关的问题时起到了重要的作用。
二次函数的一般形式为y=ax^2+bx+c，其中a、b和c是实数，且a不等于0。
二次函数的图像是一个抛物线，具有对称轴和顶点。
在拱桥的设计中，二次函数可以用来描述桥梁的曲线形状。
例如，我们可以用二次函数来描述一座拱桥的高度与横轴距离之间的关系。
假设我们要设计一座拱桥，使得拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，那么我们可以使用二次函数来描述这个关系。
首先，我们需要确定二次函数的顶点位置。
顶点是二次函数的最高点或最低点，它位于对称轴上。
对于拱桥来说，我们希望拱桥的高度在横轴距离的不同位置上都能达到最大值，因此我们需要找到二次函数的最高点。
假设拱桥的起点为原点(0,0)，终点为坐标为(x,y)的点。
我们可以通过求解二次函数的顶点来确定拱桥的最高点。
顶点的横坐标可以通过求解二次函数的对称轴方程得到，对称轴方程为x=-b/(2a)。
将这个值代入二次函数的表达式中，我们可以求得顶点的纵坐标。
拱桥的高度与横轴距离之间的关系可以用二次函数来描述。
这个二次函数的顶点就是拱桥的最高点，拱桥的形状由这个二次函数的图像来表示。
在实际的拱桥设计中，我们需要考虑到许多因素，如桥梁的承重能力、材料的强度、施工的成本等。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的二次函数来描述拱桥的形状。
例如，我们可以选择一个顶点为(0,0)的二次函数y=ax^2来描述拱桥的形状。
在确定a的值时，我们需要考虑到桥梁的承重能力。
如果a的值过大，那么拱桥的曲线将会很陡峭，不利于行人和车辆的通行。
如果a的值过小，那么拱桥的曲线将会很平缓，可能无法承受桥梁的重量。
因此，我们需要在满足这些要求的前提下，选择一个合适的a的值。
二次函数拱桥问题技巧
二次函数拱桥问题技巧拱桥是一种古老而又美丽的建筑结构，广泛应用于城市的交通建设中。
在设计和建造拱桥的过程中，我们必须考虑多个因素，包括拱桥的高度、跨度、荷载以及拱线形状等。
在解决这些问题时，二次函数成为了一种能够帮助我们分析和建模的重要工具。
首先，我们需要明确二次函数的定义。
二次函数是一个以$x$的平方项为最高项的多项式函数。
其一般形式可以表示为$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中$a$、$b$和$c$是常系数。
二次函数图像呈现出一条平滑的曲线，其形状可以是开口向上或开口向下的拱形。
在拱桥问题中，我们常常需要根据已知条件建立二次函数模型，以分析和解决实际问题。
例如，假设我们想要设计一座拱桥，使得桥面的高度达到最大值，同时考虑到桥面的跨度应满足一定的要求。
这时，我们可以利用二次函数来描述桥面的高度，并通过优化方法来求解。
为了建立二次函数模型，我们需要首先确定函数的自变量和因变量。
在拱桥问题中，通常$x$轴表示桥面的宽度或跨度，$y$轴表示桥面的高度。
然后，我们需要考虑到已知条件。
例如，已知拱桥的两个支点之间的距离为$d$，那么我们可以设$x$的取值范围为$[0, d]$。
另外，对于一个平滑的拱形，我们可以假设二次函数在两个支点处的斜率为零。
这一条件可以转化为函数的导数为零的条件。
通过求解这些已知条件，我们可以确定二次函数的参数$a$、$b$和$c$的值。
在确定二次函数模型之后，我们可以利用这个模型来解决具体问题。
例如，我们可以利用二次函数模型来求解桥面的最大高度。
首先，求出二次函数的导函数$f'(x)$，然后令其等于零，解得极值点$x_0$。
接下来，我们计算$f(x_0)$，这就是桥面的最大高度。
除了求解最大高度，我们还可以利用二次函数模型来计算拱桥的其他性质。
例如，可以通过求解二次函数的零点来计算拱桥的支点位置。
在这个过程中，我们将二次函数设为零，并解得$x$的值。
这些值就是拱桥的支点的位置。
部编数学九年级上册专题09二次函数的实际应用—拱桥问题(解析版)含答案
2022-2023学年人教版数学九年级上册压轴题专题精选汇编专题09 二次函数的实际应用—拱桥问题考试时间：120分钟 试卷满分：100分一．选择题（共10小题，满分20分，每小题2分）1．（2分）（2021九上·虹口期末）如图所示，一座抛物线形的拱桥在正常水位时，水而AB 宽为20米，拱桥的最高点O 到水面AB 的距离为4米．如果此时水位上升3米就达到警戒水位CD ，那么CD 宽为（ ）A ．B ．10米C ．米D ．12米【答案】B 【解析】【解答】以O 点为坐标原点，AB 的垂直平分线为y 轴，过O 点作y 轴的垂线，建立直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，∵O 点到水面AB 的距离为4米，∴A、B 点的纵坐标为-4，∵水面AB 宽为20米，∴A（-10，-4），B （10，-4），将A 代入y=ax 2，-4=100a ，∴125a =-，∴2125y x =-，∵水位上升3米就达到警戒水位CD ，∴C 点的纵坐标为-1，∴21125x -=-∴x=±5，∴CD=10，故答案为：B ．【思路引导】先建立平面直角坐标系，设抛物线的解析式为y=ax 2，再求出解析式，最后利用二次函数的性质求解即可。
2．（2分）（2021九上·安阳期中）有一拱桥洞呈抛物线形，这个桥洞的最大高度是16m ，跨度为40m ，现把它的示意图(如图)放在坐标系中，则抛物线的解析式为（ ）A ．y ＝125 x 2＋ 58x B ．y ＝－125 x 2＋ 85 x C ．y ＝－ 58 x 2－ 125 x D ．y ＝－ 125 x 2＋ 85 x ＋16【答案】B 【解析】【解答】解：由图可知，该抛物线开口向下，对称轴为x ＝20，最高点坐标为（20，16），且经过原点，由此可设该抛物线解析式为 ()22016y a x =-+ ，将原点坐标代入可得 400160a += ，解得： 125a =- ，故该抛物线解析式为 ()22118201625255y x x x =--+=-+.故答案为：B.【思路引导】由题意可设抛物线解析式为y=a(x-20)2+16，将（0，0）代入可得a的值，据此可得抛物线的解析式.3．（2分）（2021九上·诸暨月考）如图是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，则水面下降1m时，水面宽度增加（ ）A．1m B．2mC．（﹣4）m D．（﹣2）m【答案】C【解析】【解答】解：如图，建立直角坐标系，设y=a（x-2）（x+2），∴2=a（0-2）（0+2），∴a=-12，∴y=-12（x-2）（x+2），当水面下降1米时，y=-1，∴-1=-12（x-2）（x+2），解得，∴水平宽度增加：（-4）m.故答案为：C.【思路引导】根据题意建立直角坐标系，结合数据求出二次函数解析式，再把y=-1代入抛物线解析式，则可求出此时的水面宽度，即可得出答案.4．（2分）（2020九上·郁南期末）如图所示，赵州桥的桥拱用抛物线的部分表示，其函数的关系式为 2125y x =- ，当水面宽度 AB 为20m 时，此时水面与桥拱顶的高度 DO 是（ ）A ．2mB ．4mC ．10mD ．16m【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得B 的横坐标为10，把x=10代入 2125y x =-，得y=-4，∴OD=4m，故答案为：B ．【思路引导】将x=10代入函数解析式求出y=-4，再求解即可。
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问题探究
y O
D A
x
C (?,-2) B (3,-3)
y 1 x2 3
问题1 一座抛物线拱桥,桥下的水面 离桥孔顶部3m时,水面宽6m.
问题研究
(3)一艘装满防汛器材的船在这条河流中航行,露出水面部分的高为0.5m,宽为4m.当水位上升1m时,这艘船能从桥 下通过吗?
y O
F D A
E (?,-1.5) C
B
x
y 1 x2 3
这节课，我的收获是--小结与回顾
完成达标检测
携手共进，齐创精品工程
Thank You
世界触手可及
学习目标
1.会建立直角坐标系解决实际问题; 2.会解决桥洞水面宽度问题.
学 1、完成新知探究的填空 2、做完后小组交流做题的方法
情境创设: 赵州桥桥拱跨径37.02m, 拱高7.23m. 你能建立恰当的直角坐标系并写出与该抛物线桥拱对应的二 次函数关系式吗?试试看.
1、先建立直角坐标系; 以桥拱的最高点为原点,过原点的水平线为横轴,过原点的铅垂线为纵轴建立直角坐标系.
二次函数应用拱桥问题
常见的桥孔形状有半圆型、椭圆型、马蹄形, 还有抛物线型.
太湖公园 拱桥
江苏周庄 拱桥
法国加尔 拱桥
卢浦大桥
湘潭湘江四大桥
链接
你对
赵有州哪桥些认识?
闻名中外的赵州桥是我国隋朝工匠李春和众多石匠发明并建造的一座扁平抛物线石拱桥. 赵州桥是我国造桥史上的杰作，世界桥梁史上的首创，是世界著名的古代石拱桥，到现在已经一千三百多 年了,比欧洲早了近1300年.赵州桥在桥梁建筑史上占有重要的地位，对我国后代桥梁建筑有着深远的影响.
2、求抛物线对应的二次函数关系式. y
o
设函数关系式为:
解决简单实际问题的步骤：
1、恰当地建立直角坐标系； 2、将已知条件转化为点的坐标； 3、合理地设出所求函数的关系式； 4、代入已知条件或点的坐标，求出 关系式；
5、利用关系式求解问题；
问题1 一座抛物线拱桥,桥下的水面 离桥孔顶部3m时,水面宽6m.