甘肃省临夏中学2014-2015学年高二第一学期期中考试数学(文)试题 word版

甘肃省临夏中学2014-2015学年高二第一学期期中考试数学(文)试题
一、选择题（每小题3分，共12小题，总计36分，将正确选项填入答题栏）
1. 在ABC ∆中，::1:2:3A B C =，则::a b c 等于（ ）
A ．1:2:3
B ．3:2:1 C
． D
．2
2. 等差数列{}n a 中，19,793==a a ，则5a 为（ ）
A ．13
B ．12
C ．11
D ．10
3. 若0a b >>，则下列不等式成立的是（ ）
A ．b a a b > B
< C
D ．22
b a a b < 4. 已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩
，，表示的平面区域S 的面积为4，则a =( )
A ．-2
B ．2
C ．-4
D ．4
5. 设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若27320a a -=，则
=24S S （ ） A.8- B.5 C. 8 D. 15
6. 在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 的对边，若,1,3A b π=
=ABC ∆
，则a 的值为（ ）
A ．2 B
C
D ． 1 7. 已知等差数列{}n a 单调递增，且满足110,a a 是方程240x x a -+=的两根，则8a 的取值
范围是（ ）A. (2,4) B. (,2)-∞
C. (2,)+∞
D. (4,)+∞
8. ∆ABC 中内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c .
若22sin a c B C -==，，则A=（ ）
A ．56
π B ．23π C ．3π D ．6
π 9. 设1a >，0b >，若2a b +=，则121a b +-的最小值为( ) A
．3+ B ．6
C
． D
．
10. 在ABC ∆，三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若内角A 、B 、C 依次成等差数列，且不等式0862>-+-x x 的解集为}|{c x a x <<，则b 等于（ ）
A. 3
B. 32
C. 33
D. 4
11. 数列{n a }定义如下：1a =1，当2n ≥时，21
1()1()n n n a n a n a -+⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为偶数为奇数，若14n a =，则n 的值等于( )
A. 7
B. 8
C. 9
D. 10
12. 若实数,,a b c 满足222
8a b c ++=，则a b c ++的最大值为（ ）
A ．9 B
．
C ．
D
．二、填空题（每小题4分，共5小题，总计20分.将正确答案填入答题栏）
13. 设变量,x y 满足约束条件12422y x y x x y ≤+⎧⎪≥-⎨⎪+≥⎩
，则目标函数32z x y =-的最大值为 .
14. 等比数列{}n a 的各项均为正数，且154a a =，则
2122232425log log log log log a a a a a ++++=
.
15. 在塔底的水平面上某点测得塔顶的仰角为30︒，由此点向塔沿直线行走20米，测得塔顶的仰角为45︒，则塔高是 米.
16. 在数列{}n a 中，12a =，11ln 1n n a a n +⎛⎫=++
⎪⎝⎭，则5a = .
17. 在ABC ∆中，已知内角3A π=，边BC =ABC ∆的面积S 的最大值
为 ．
三、解答题（共5小题，总计44分）
18．（本小题满分8分）设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，a ＝2b sin
A .
(1)求角B 的大小；
(2)若a ＝33，c ＝5，求b .
19．（本小题满分8分）等差数列{n a }足：642=+a a ，36S a =，其中n S 为数列{n a }前n 项和．
(1)求数列{n a }通项公式；
(2)若*N k ∈，且k a ，k a 3，k S 2成等比数列，求k 值．
20.（本小题满分8分）若不等式(1－a )x 2－4x ＋6>0的解集是{x |－3<x <1}．
(1)解不等式2x 2＋(2－a )x －a >0；
(2)b 为何值时，ax 2＋bx ＋3≥0的解集为R .
21．（本小题满分10分）在数列{a n }中，a 1＝1,2a n ＋1＝⎝⎛⎭⎫1＋1n 2·a n (n ∈
N *)． (1)证明数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 2是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝a n ＋1－12
a n ，求数列{
b n }的前n 项和S n .
22．（本小题满分10分）某广场有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上
建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC ， △ABD ，经测量AD ＝BD ＝7米，BC ＝5米，AC ＝8米，∠C ＝∠D .
(1)求AB 的长度；
(2)若环境标志的底座每平方米造价为5 000元，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用较低(请说明理由)？较低造价为多少？(3＝1.732，2＝1.414)
答案
题
号
1
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
D
C D B B B C D A B C D
13、6 14、5 15
、1) 16、2ln 5+ 17
、
18、解:(1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得
sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12
. 由△ABC 为锐角三角形，得B ＝π6
. (2)根据余弦定理，得
b 2＝a 2＋
c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，
所以b ＝7. 19、解：（1）由条件，111113615331
n a d a d a a n a d a d d +++==⎫⎧⇒⇒=⎬⎨+=+=⎩⎭； （2）(1)2
n n n S +=， ∵22329(21)4k k k a a S k k k k k =⋅⇒=⋅+⇒=． 20、解:(1)由题意知1－a <0且－3和1是方程(1－a )x 2－4x ＋6＝0的两根，
∴⎩⎨⎧ 1－a <041－a
＝－261－a ＝－3，解得a ＝3.
∴不等式2x 2＋(2－a )x －a >0，即为2x 2－x －3>0，
解得x <－1或x >32
. ∴所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x |x <－1或x >32. (2)ax 2＋bx ＋3≥0，即为3x 2＋bx ＋3≥0，
若此不等式解集为R ，则b 2－4×3×3≤0，∴－6≤b ≤6.
21、(1)证明 由条件得a n ＋1(n ＋1)2＝12·a n n 2，又n ＝1时，a n n 2＝1，
故数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n n 2构成首项为1，公比为12的等比数列． 从而a n n 2＝12n －1，即a n ＝n 2
2
n －1. (2)由b n ＝(n ＋1)22n －n 22n ＝2n ＋12n ，得S n ＝32＋522＋…＋2n ＋12n ， 12S n ＝322＋523＋…＋2n －12n ＋2n ＋12
n ＋1， 两式相减得
12S n ＝32＋2⎝⎛⎭⎫122＋123＋…＋12n －2n ＋12n ＋1，所以S n ＝5－2n ＋52n
. 22、解: (1)在△ABC 中，由余弦定理，得cos C ＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC ＝82＋52－AB 2
2×8×5
.① 在△ABD 中，由余弦定理，得cos D ＝72＋72－AB 2
2×7×7
.②由∠C ＝∠D ，得cos C ＝cos D . ∴AB ＝7，∴AB 长为7米．
(2)小李的设计建造费用较低，理由如下：
S △ABD ＝12AB ·BD ·sin D ，S △ABC ＝12
AC ·BC ·sin C . ∵AD ·BD >AC ·BC ，∴S △ABD >S △ABC .
故选择△ABC 建造环境标志费用较低．
∵AD ＝BD ＝AB ＝7，∴△ABD 是等边三角形，∠D ＝60°.
∴S △ABC ＝103＝10×1.732＝17.32.
∴总造价为5 000×17.32＝86 600(元)．。