2021年甘肃省临夏市临夏中学高三上学期第一次摸底考试数学(文)试题

2021年甘肃省临夏市临夏中学高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}{}21,0,1,21A B x x ，=-=≤，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2 2．在复平面内,复数23i z i +=对应的点的坐标为 A ．()3,2 B ．()2,3C ．()–2,3D ．()3,2- 3．已知向量(1,)a m =，向量(1,3)b =-，若//a b ，则m =（ ）A B ． C 3D ．4．设120202019a =，2019log b =20201log 2019c =，则( ) A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >>D ．a c b >> 5．执行如图所示的程序框图，输出的s 值为A ．1B ．2C ．3D ．4 6．若12x π=，则44sin cos x x -的值为（ ）A ．2B ．C ．12D ．12-7．函数y =||2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．8．已知双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为y =，则双曲线的离心率为( )A ．2BCD ．29．已知正方体1111ABCD A B C D -内有一个内切球O ，则在正方体1111ABCD A B C D -内任取点M ，点M 在球O 内的概率是( )A ．4πB ．8πC ．6πD ．12π10．函数()1ln x f x x+=的图像在1e x =处的切线方程是（ ）. A ．10ex y --=B ．10ex y +-=C ．20e x y e +-=D ．20e x y e --=11．已知直线512x π=和点(,0)6π恰好是函数())f x x ωϕ=+的图象的相邻的对称轴和对称中心，则()f x 的表达式可以是A ．())6f x x π=- B ．())3f x x π=-C ．())3f x x π=+D ．())6f x x π=+ 12．设定义在R 上的函数()y f x =满足任意t R ∈都有1(2)()f t f t +=，且(0,4]x ∈时，()'()f x f x x>，则6(2017)f ，3(2018)f ，2(2019)f 的大小关系是（ ） A ．6(2017)3(2018)2(2019)f f f <<B ．3(2018)6(2017)2(2019)f f f <<C ．2(2019)3(2018)6(2017)f f f <<D ．2(2019)6(2017)3(2018)f f f <<二、填空题 13．已知函数2log ,0,()22,0,x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩则1(())4f f =__________． 14．若22log log 1m n +=，那么m n +的最小值是________.15．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，60A =︒，4b =，a =ABC △的面积等于__________．16．半径为4的球的球面上有四点A ,B ,C ,D ，已知ABC 为等边三角形且其面积为则三棱锥D ABC -体积的最大值为_____________________．三、解答题17．已知等差数列{}n a 满足32a =，前3项和392S =. （1）求{}n a 的通项公式（2）设等比数列{}n b 满足11b a =，415b a =，求{}n b 的通项公式n b 及{}n b 的前n 项和n T . 18．如图，直三棱柱中，AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =,点M 是11A B 的中点.（1）求证：1B C //平面1AC M ；（2）求三棱锥11A AMC -的体积.19．某省高考改革实施方案指出:该省高考考生总成绩将由语文、数学、外语3门统一高考成绩和学生自主选择的学业水平等级性考试科目共同构成.该省教育厅为了解正就读高中的学生家长对高考改革方案所持的赞成态度,随机从中抽取了100名城乡家长作为样本进行调查,调查结果显示样本中有25人持不赞成意见.下面是根据样本的调查结果绘制的等高条形图.(1)根据已知条件与等高条形图完成下面的2×2列联表,并判断我们能否有95％的把握认为“赞成高考改革方案与城乡户口有关”?（2)利用分层抽样从持“不赞成”意见家长中抽取5名参加学校交流活动，从中选派2名家长发言，求恰好有1名城镇居民的概率.20．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，点在C 上 （1）求C 的方程（2）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点,A B ，线段AB 的中点为M .证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.21．已知函数()32f x x x b =-++，()lng x a x =. （1）若()f x 在1,12x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭上的最大值为38，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有()()22g x x a x ≥-++恒成立，求实数a 的取值范围. 22．在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程是：2(x m t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数，m 是常数）．以O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=．（1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）若直线l 与曲线C 相交于P ，Q 两点，且||2PQ =，求实数m 的值．23．已知()|||2|().f x x a x x x a =-+--（1）当1a =时，求不等式()0f x <的解集；（2）若(,1)x ∈-∞时，()0f x <，求a 的取值范围.参考答案1．A【分析】先求出集合B 再求出交集.【详解】21,x ≤∴11x -≤≤， ∴{}11B x x =-≤≤，则{}1,0,1AB =-，故选A ．【点睛】本题考查了集合交集的求法，是基础题.2．D【分析】根据复数除法运算求得z ，根据复数几何意义可得结果.【详解】 ()2232332i i i z i i i++===- z ∴对应的点的坐标为：()3,2- 本题正确选项：D【点睛】本题考查复数的几何意义、复数的运算，属于基础题.3．B【分析】直接利用向量平行的坐标表示求m 的值.【详解】由题得1(1)0,m m ⨯-=∴=故选B【点睛】本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4．C根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出,,a b c 的取值范围，从而可得结果.【详解】120200201901912a >==,20192019log log 201910b <<==,202020201log log 102019c =<=, a b c >>,故选C.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于基础题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5．B【分析】根据程序框图中的条件逐次运算即可.【详解】运行第一次， =1k ，2212312s ⨯==⨯- ， 运行第二次，2k = ，2222322s ⨯==⨯- ， 运行第三次，3k = ，2222322s ⨯==⨯- ， 结束循环，输出=2s ，故选B .【点睛】本题考查程序框图，属于容易题，注重基础知识、基本运算能力的考查.6．B【解析】利用平方差公式以及二倍角的余弦公式化简原式，再将12x π=代入即可.【详解】 ()()442222sin cos sin cos sin cos x x x x x x -=-+22sin cos cos 2x x x =-=-， 因为12x π=，cos 2cos62x π∴-=-=-，故选B. 【点睛】 二倍角的余弦公式具有多种形式，是高考考查的重点内容之一,此类问题往往是先化简，再求值.7．D【解析】分析:先研究函数的奇偶性，再研究函数在π(,π)2上的符号，即可判断选择.详解：令||()2sin 2x f x x =， 因为,()2sin 2()2sin 2()x x x R f x x x f x -∈-=-=-=-，所以||()2sin 2x f x x =为奇函数，排除选项A,B; 因为π(,π)2x ∈时，()0f x <，所以排除选项C ，选D. 点睛：有关函数图象的识别问题的常见题型及解题思路：（1）由函数的定义域，判断图象的左、右位置，由函数的值域，判断图象的上、下位置；（2）由函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）由函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）由函数的周期性，判断图象的循环往复．8．D【分析】利用双曲线的渐近线方程,推出,a b 的关系,然后求解双曲线的离心率即可.【详解】双曲线22221x y a b-=的一条渐近线方程为y =,可得b a =即222231c a e a-==-,解得2e =, 故选D.【点睛】本题主要考查双曲线的渐近线与离心率，属于基础题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解.9．C【分析】先求出正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的体积以及正方体的体积,再利用几何概型概率公式求解.【详解】设正方体的棱长为2，则其体积为8，正方体1111ABCD A B C D -的内切球O 的半径是其棱长的一半, 其体积为3144133V ππ=⨯=, 则点M 在球O 内的概率是4386ππ=，故选C. 【点睛】本题主要考查球的体积公式以及几何概型概率公式的应用，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型.10．D【分析】 求出导函数，将1ex =代入可得切线斜率，结合选项可得结果. 【详解】 ()1ln x f x x +=,()()2211ln ln 'x x x x f x x x ⨯-+-∴==, 所以切线斜率221ln 1'1e k f e e e -⎛⎫=== ⎪⎝⎭,只有选项D 中直线斜率为2e ,故选D. 【点睛】本题主要考查利用导数求切线的斜率，意在考查对基础知识的掌握情况，属于基础题. 11．B 【解析】 由题意541264T πππ=-=，T π=，又2T πω=，∴2ω=．sin(2)06πϕ⨯+=，,3k k Z πϕπ=-∈，故选B ．【考点】三角函数的图象与五点法． 12．A 【解析】 【分析】函数f （x ）满足f （t +2）=()1f t ，可得f （x ）是周期为4的函数．6f （2017）=6f （1），3f（2018）=3f （2），2f （2019）=2f （3）．令g （x ）=()f x x，x ∈（0，4]，则g′（x ）=()()2'xf x f x x -＞0，利用其单调性即可得出． 【详解】函数f （x ）满足f （t +2）=()1f t ，可得f （t +4）=()12f t +=f （t ），∴f （x ）是周期为4的函数．6f （2017）=6f （1），3f （2018）=3f （2），2f （2019）=2f （3）．令g （x ）=()f x x，x ∈（0，4]，则g′（x ）=()()2'xf x f x x -，∵x ∈（0，4]时，()()'f x f x x＞，∴g′（x ）＞0，g （x ）在（0，4]递增， ∴f （1）＜()22f ＜()33f ，可得：6f （1）＜3f （2）＜2f （3），即6f （2017）＜3f （2018）＜2f （2019）． 故答案为：A 【点睛】本题考查了函数的周期性单调性、利用导数研究函数的单调性、构造法，考查了推理能 力与计算能力，属于难题．(2)解答本题的关键有两点，其一是求出函数的周期是4，其二是构造函数g （x ）=()f x x，x ∈（0，4]，并求出函数的单调性.13．-2 【分析】先计算出1()24f =-,再求14f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得解. 【详解】由题得22211()log log 2244f -===-， 所以14f f ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=f(-2)=2222-=-. 故答案为-2. 【点睛】本题主要考查对数和指数运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.14．【分析】由对数的运算性质可得2mn =,由基本不等式可得m n +≥从而求得m n +的最小值. 【详解】22log log 1m n +=,即2log 1mn=,2mn ∴=，由基本不等式可得m n +≥=当且仅当m n =时,等号成立,故m n +的最小值是故答案为【点睛】本题考查对数的运算性质,以及基本不等式的应用,注意检验等号成立的条件.15．【解析】在ABC △中，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-， 即212164c c =+-，解得2c =，故ABC △的面积11sin 4222S bc A ==⨯⨯=16．【分析】求出ABC 为等边三角形的边长，画出图形，判断D 的位置，然后求解即可. 【详解】ABC 为等边三角形且其面积为2AB =6AB =， 球心为O ，ABC 的外心为O '，显然D 是O O '的延长线与球的交点，如图：2632O C '=⨯=，2OO '==，则三棱锥D ABC -高的最大值为6，则三棱锥D ABC -体积的最大值为：3163⨯=.故答案为：【点睛】本题主要考查了球的内接多面体和体积的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力以及转化能力，本题求体积的最大值，实际是求高的最大值，求高是关键，属于中档题. 17．（1）12n n a +=；（2）12n n b -=，21nn T =-． 【详解】（1）设{}n a 的公差为d ，则由已知条件得，．化简得11322,,2a d a d +=+=解得11=1,2a d =，故通项公式1=1+2n n a -，即+1=2n n a ． （2）由（1）得141515+1=1==82b b a ，．设{}n b 的公比为q ,则3418b q b ==,从而2q ．12n n b -=故{}n b 的前n 项和1(1)1(12)21112n n n n b q T q ．18．(1)证明见解析；（2）16. 【分析】（1）连接1A C 交1AC 与N ，则N 为1A C 的中点，利用三角形中位线定理可得1//MN B C ，再由线面平行的判定定理可得结果；（2）由等积变换可得11A AMC V -11A A C M V -=，再利用棱锥的体积公式可得结果. 【详解】（1）连接1A C 交1AC 与N ，则N 为1A C 的中点， 又M 为11A B 的中点，1//MN B C ∴，又因为MN ⊂平面1AC M ，1B C ⊄平面1AC M ， 1//B C ∴平面1AC M ；（2）因为，直三棱柱111A B C ABC -中，AC BC ⊥,1AC BC ==,12CC =，且点M 是11A B 的中点 所以11A AMC V -11A A C M V -=11113A C M S AA ∆=⨯11111132A C B S AA ∆=⨯⨯ 11111123226=⨯⨯⨯⨯⨯=. 【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理、利用等积变换求三棱锥体积，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 19．（1）没有把握；（2）35. 【分析】(1)根据所给数据以及等高条形图可完成22⨯列联表,利用公式求出2 3.03K ≈，与临界值比较即可得结论； (2)利用列举法，确定基本事件的个数以及符合条件的事件数，再利用古典概型概率公式可求出恰好有1名城镇居民的概率. 【详解】(1)完成22⨯列联表,如下:代入公式,得2K 观测值:22()100(300675) 3.03 3.841()()()()45557525n ad bc k a b c d a c b d -⨯-==≈<++++⨯⨯⨯∴我们没有95%的把握认为”赞成高考改革方案与城乡户口有关”.(2)城乡户口与农村户口比为3:2，∴抽取5人中城镇户口的有3人，设为,,A B C ，农村户口的有2人，设为,a b ，5人选2人共有,,,,,,,,,AB AC Aa Ab BC Ba Bb Ca Cb ab ，10种选法， 其中恰有1名城镇户口的有,,,,,Aa Ab Ba Bb Ca Cb ，6种， 所以恰有1名城镇居民的概率为63105P ==. 【点睛】本题主要考查独立性检验以及古典概型概率公式的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象的发生20．（1）22184x y += （2）12OM k k ⋅=-【解析】试题分析：（Ⅰ22421,a b=+= 求得228,4a b ==,由此可得C 的方程.（II ）把直线方程与椭圆方程联立得()222214280.k x kbx b +++-=,所以12222,,22121M M M x x kb b x y kx b k k +-===+=++于是1,2M OMMy k x k ==-12OM k k ⇒⋅=-.试题解析：解：（Ⅰ）由题意有2242,1,2a a b=+= 解得228,4a b ==,所以椭圆C 的方程为2222184x y +=. （Ⅱ）设直线():0,0l y kx b k b =+≠≠,()()()1122,,,,,M M A x y B x y M x y ,把y kx b =+代入2222184x y +=得()222214280.k x kbx b +++-= 故12222,,22121M M M x x kb bx y kx b k k +-===+=++ 于是直线OM 的斜率1,2M OM M y k x k ==- 即12OM k k ⋅=-,所以直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值. 考点：本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆及计算能力、逻辑推理能力.21．（1）0b =.（2）1a ≤- 【解析】试题分析：(1) 求出函数()f x 的导函数，解出函数的单调区间，通过研究函数的极值和边界值得到函数的最大值，求出实数b 的值；(2)把()()22g x x a x ≥-++ 整理，分离出参数a,得到22x x a x lnx-≤-，把右边构造一个函数()t x ，求出()t x 的最小值，问题可解. 试题解析：（1）由()32f x x x b =-++，得()232f x x x '=-+ ()32x x =--，令()0f x '=，得0x =或23x =. 函数()f x '，()f x 在1,12⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上的变化情况如下表：1328f b ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，24327f b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，1223f f ⎛⎫⎛⎫∴-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 即最大值为133288f b ⎛⎫-=+= ⎪⎝⎭，0b =. （2）由()()22g x x a x ≥-++，得()22x lnx a x x -≤-.[]1,x e ∈，1lnx x ≤≤，且等号不能同时取得，lnx x ∴<，即0x lnx ->. 22x xa x lnx -∴≤-恒成立，即22minx x a x lnx ⎛⎫-≤ ⎪-⎝⎭.令()22x x t x x lnx-=-，[]1,x e ∈，则()()()()2122x x lnx t x x lnx -+--'=. 当[]1,x e ∈时，10x -≥，1lnx ≤，220x lnx +->，从而()0t x '≥.()t x ∴在区间[]1,e 上为增函数，()()11min t x t ∴==-，1a ≤-.22．(1)0x y m --=，22(3)9x y -+=；(2)1m =-或7m =． 【分析】（1）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用点到直线的距离公式求出结果． 【详解】（1）因为直线l的参数方程是：2(2x m ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩是参数），所以直线l 的普通方程为0x y m --=． 因为曲线C 的极坐标方程为6cos ρθ=， 故26cos ρρθ=， 所以226x y x +=所以曲线C 的直角坐标方程是22(3)9x y -+= （2）设圆心到直线l 的距离为d ，则d =又d ==， 所以|3|4m -=， 即1m =-或7m =． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，点到直线间的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．23．（1）(,1)-∞；（2）[1,)+∞ 【分析】（1）根据1a =，将原不等式化为|1||2|(1)0x x x x -+--<，分别讨论1x <，12x ≤<，2x ≥三种情况，即可求出结果；（2）分别讨论1a ≥和1a <两种情况，即可得出结果. 【详解】（1）当1a =时，原不等式可化为|1||2|(1)0x x x x -+--<；当1x <时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(1)0x ->，显然成立， 此时解集为(,1)-∞；当12x ≤<时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，解得1x <，此时解集为空集； 当2x ≥时，原不等式可化为(1)(2)(1)0x x x x -+--<，即2(10)x -<，显然不成立；此时解集为空集；综上，原不等式的解集为(,1)-∞；（2）当1a ≥时，因为(,1)x ∈-∞，所以由()0f x <可得()(2)()0a x x x x a -+--<， 即()(1)0x a x -->，显然恒成立；所以1a ≥满足题意；当1a <时，2(),1()2()(1),x a a x f x x a x x a-≤<⎧=⎨--<⎩，因为1a x ≤<时， ()0f x <显然不能成立，所以1a <不满足题意； 综上，a 的取值范围是[1,)+∞. 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型.。