图论基础与网络流习题集锦
图论习题课——精选推荐

图论习题课⼀、填空题1、对下列图,试填下表(是??类图的打〝√ 〞,否则打〝?〞)。
①②③2、若图G=中具有⼀条汉密尔顿回路,则对于结点集V 的每个⾮空⼦集S ,在 G 中删除S 中的所有结点得到的连通分⽀数为W ,则S 中结点数|S|与W 满⾜的关系式为。
3、设有向图D 为欧拉图,则图D 中每个结点的⼊度.4、数组{1,2,3,4,4}是⼀个能构成⽆向简单图的度数序列,此命题的真值是 .5、“3,3K 是欧拉图也是哈密顿图”这句话是_______。
(填对或错)6、极⼤可平⾯图的每⼀个⾯的次数都是_________.7、5阶完全图的边连通度是.8、图G是2-⾊的当且仅当G是.⼆、选择题1、下列⽆向图可能不是偶图的是( )(A) ⾮平凡的树(B)⽆奇圈的⾮平凡图(C) n(1)n ⽅体图(D) 平⾯图2、关于平⾯图,下列说法错误的是( )(A) 简单连通平⾯图中⾄少有⼀个度数不超过5的顶点;(B)极⼤外平⾯图的内部⾯是三⾓形,外部⾯也是三⾓形;(C) 存在⼀种⽅法,总可以把平⾯图的任意⼀个内部⾯转化为外部⾯;(D) 平⾯图的对偶图也是平⾯图。
3、已知图G的邻接矩阵为,则G有().A.5点,8边B.6点,7边C.6点,8边D.5点,7边4、设图G=,则下列结论成⽴的是( ).A.deg(V)=2∣E∣B.deg(V)=∣E∣C.EvVv2)deg(=∑∈D.Vv=∑∈)deg(5、设完全图K n有n个结点(n≥2),m条边,当()时,K n中存在欧拉回路.A.m为奇数B.n为偶数C.n为奇数D.m为偶数6、设G是连通平⾯图,有v个结点,e条边,r个⾯,则r= ( ).A.e-v+2 B.v+e-2 C.e-v-2 D.e+v+27、下列定义正确的是( ).A含平⾏边或环的图称为多重B不含平⾏边或环的图称为简单图C含平⾏边和环的图称为多重D不含平⾏边和环的图称为简单图8、以下结论正确是( ).A仅有⼀个孤⽴结点构成的图是零图B⽆向完全图Kn每个结点的度数是nC有n(n>1)个孤⽴结点构成的图是平凡图D图中的基本回路都是简单回路9、下列数组能构成简单图的是( ).(A) (0,1,2,3) (B) (2,3,3,3) (C) (3,3,3,3) (D) (4,2,3,3)10、n阶⽆向完全图Kn中的边数为().(A) 2)1(+nn(B) 2)1(-nn(C) n (D)n(n+1)11、以下命题正确的是( ).(A) n(n≥1)阶完全图Kn都是欧拉图(B) n(n≥1)阶完全图Kn都是哈密顿图(C) 连通且满⾜m=n-1的图(∣V∣=n,∣E∣=m)是树(D) n(n≥5)阶完全图Kn都是平⾯图12、下列结论不正确是( ).(A) ⽆向连通图G是欧拉图的充分必要条件是G不含奇数度结点(B) ⽆向连通图G有欧拉路的充分必要条件是G最多有两个奇数度结点(C) 有向连通图D是欧拉图的充分必要条件是D的每个结点的⼊度等于出度(D) 有向连通图D有有向欧拉路的充分必要条件是除两个结点外,每个结点的⼊度等于出度13、⽆向完全图K4是().(A)欧拉图(B)哈密顿图(C)树(D)平⾯图14、在如下各图中()欧拉图。
图论基础与网络流习题集锦

图论简介
平行边:即重边。 环:即自环。 简单图:不含平行边且不含环的图。 度:无向图中,与某点关联的边的数量。 入度,出度:有向图中,与某点关联的入边和出边 的数量。 K-正则图:无向简单图中所有点的度数都为K。 握手定理:所有点度数之和等于2*|E|。
同构:两个无向图<V1,E1>与<V2,E2>,若存在双 射函数f:V1->V2,使得对于任意vi,vj ∈ V1,f(vi),f(vj) ∈ V2时, <vi,vj> ∈ E1当且仅当<f(vi),f(vj)> ∈ E2, 则称这两个无向图同构。
网络流习题集锦:闭合子图
最大权闭合子图类问题:
给定一些事件。
事件之间有依赖关系,比如若选了A就一定要选B。
建图的经典思想: S->(pA S->B->T A->(c)B 用c作为最小割
网络流习题集锦:加工顺序
有N个工作,M种机器,每种机器你可以租或者买过来. 每个工作包括若干道工序,每道工序需要某种机器来 完成,你可以通过购买或租用机器来完成。现在给出这 些参数,求最大利润。 N<=1200,M<=1200
解答: 将所有工人看做一个点排成一排在左边,所有产品看 做一个点排成一排在右边,若某个工人会制造某个产 品,则在相应的两个点上连容量为1的边。
此时,我们考虑到对这个图做网络流,源向左边每个 点都连一条容量为K的边,右边每个点向终点连一条容 量为K的边,如果没有流满,那么显然是不可能有解的。 而如果流满,则根据Hall定理,我们也可以知道它是有 解的,然后一遍一遍进行二分图匹配即可。
网络流习题集锦:路径覆盖
路径覆盖类题目,主要是指这样一类问题:给定一个 图以及一系列行走规则,问如何使用最小的代价将用 一系列按照行走规则的路径覆盖住。 下面我们就来具体问题具体反分析。
图论500题

【HDU】1213 How Many Tables 基础并查集★1272 小希的迷宫基础并查集★(简单题)1325&&poj1308 Is It A Tree? 基础并查集★1856 More is better 基础并查集★1102 Constructing Roads 基础最小生成树★1232 畅通工程基础并查集★+1233 还是畅通工程基础最小生成树★1863 畅通工程基础最小生成树★1875 畅通工程再续基础最小生成树★1879 继续畅通工程基础最小生成树★3371 Connect the Cities 简单最小生成树★1301 Jungle Roads 基础最小生成树★1162 Eddy's picture 基础最小生成树★1198 Farm Irrigation 基础最小生成树★1598 find the most comfortable road 枚举+最小生成树★★1811 Rank of Tetris 并查集+拓扑排序★★3926 Hand in Hand 同构图★3938 Portal 离线+并查集★★2489 Minimal Ratio Tree dfs枚举组合情况+最小生成树★4081 Qin Shi Huang's National Road System 最小生成树+DFS★★4126 Genghis Khan the Conqueror 枚举+最小生成树+DFS(难)★★★★1829&&poj2492 A Bug's Life 基础种类并查集★1558 Segment set 计算几何+并查集★3461 Code Lock 并查集(有点难想到)★★3367 Pseudoforest最大生成树★2473 Junk-Mail Filter 并查集+设立虚父节点(马甲)★★3172 Virtual Friends 带权并查集★3635 Dragon Balls 带权并查集★3047 Zjnu Stadium 带权并查集★3038 How Many Answers Are Wrong 种类并查集★★2818 Building Block 带权并查集★3234 Exclusive-OR 异或并查集(难)★★★2121 Ice_cream’s world II 最小树形图(要输出根有点恶心)★★4009 Transfer water 最小树形图(模板题)★3311 Dig The Wells 斯坦纳树(状压DP)(模板题)★★4085 Peach Blossom Spring 斯坦纳树(状压DP)(有可能是森林...)★★★2586 How far away ? LCA★2874 Connections between cities LCA★3486 Interviewe RMQ★2888 Check Corners 二维RMQ★3183 A Magic Lamp RMQ(有点难想到,有点难联系到RMQ)★★【POJ】1258 最经典的MST★1789 Truck History 最小生成树★1287 Networking 简单★2349 Arctic Network 简单★1611 The Suspects 并查集★2377 kruskal★2524 Ubiquitous Religions 并查集★2236 Wireless Network 并查集+计算几何★2560 Kruskal并查集★1861 Kruskal★3625 prim★1679 - The Unique MST(基础) 判断MST是否唯一★3522 - Slim Span(基础) 求一颗生成树,让最大边最小边差值最小★2485 Highways MST中的最长边★2395 最小生成树的最长边★1751 Highways 求出方案★POJ-1182 食物链种类并查集★★POJ 1456 Supermarket 贪心+区间合并★POJ-1703 种类并查集★POJ-1988 种类并查集★POJ-1733 Parity game 种类并查集,先要离散化一下,不影响结果★POJ-1417 True Liars(难) 并查集+DP 种类并查集★★POJ-2912 Rochambeau(难) baidu的题,很不错...是食物链的加强版.判断裁判比较难想.★★★POJ 2728 Desert King(中等) 最优比率生成树★★POJ 1639 Picnic Planning(较难) 顶点度数有限制的最小生成树★★POJ 3164 Command Network(难) 最小树形图★★poj3723 好题!!! ★★poj3228 好好题!!! ★★【ZOJ】ZOJ-3261 逆向并查集★★====================以下是最短路系列========================= 【HDU】1548 A strange lift 基础最短路(或bfs)★1690bus system –松弛小麻烦2544 最短路基础最短路★3790 最短路径问题基础最短路★2066 一个人的旅行基础最短路(多源多汇,可以建立超级源点和终点)★2112 HDU Today 基础最短路★1874 畅通工程续基础最短路★1217 Arbitrage 货币交换 Floyd (或者 Bellman-Ford 判环)★1245 Saving James Bond 计算几何+最短路★1317 XYZZY Bellman-Ford判环,有负权★1535 Invitation Cards 有向图的来回最短路,(反向建图)★1546 Idiomatic Phrases Game 最短路★2680 Choose the best route 最短路★2923 Einbahnstrasse最短路★3339 In Action 最短路+背包★2224 The shortest path 双调旅行商问题★★2807 The Shortest Path 矩阵运算+最短路(floyd)★★1595 find the longest of the shortest枚举+最短路(删掉任意一条边的最长最短路)★★3986 Harry Potter and the Final Battle 枚举+最短路(删掉任意一条边的最长最短路)★★1599 find the mincost route floyd求最小环★1839 Delay Constrained... 二分下限+最短路(带限制最短路)★★3631 Shortest Path Floyd插点法★★4114 Disney's FastPass最短路+二维状压DP(难)★★★3832 Earth Hour 三点连通(斯坦纳树)★3873 Invade the Mars Dij变体(好题!,带限制最短路)★★★4063 Aircraft 几何构图+最短路★★★★hdu4179 Difficult Routes dis[][]开二维状态的最短路(带限制最短路)★★1869 六度分离 Floyd最短路★1385 Minimum Transport Cost 最短路+输出路径(输出字典序最小路径,有点恶心)★★1224 free DIY Tour 最短路+输出路径★1142 A Walk Through the Forest 最短路+记忆搜索★★1596 find the safest road 乘积最小的最短路★1598 find the most comfortable road 二分速度差+最短路(带限制最短路)★★2722 Here We Go(relians) Again 最短路★2962 Trucking 二分+最短路(带限制最短路)★★1690 Bus System 最短路★2433 Travel 删边+最短路之和(预处理桥边)★★★2363 Cycling 二分+最短路(带限制最短路)★★2377 Bus Pass 最短路(寻找一个点的最长最短路最小)★★2833 WuKong最短路+记忆化搜索(求两条最短路的最多公共点)★★1688 Sightseeing 最短次短路条数★★3191 How Many Paths Are There 次短路条数★★2482 Transit search 最短路★★★3768 Shopping 最短路+dfs(或最短路+状压DP)★★3035 War 平面图最小割(建图麻烦)★★3870 Catch the Theves平面图最小割(建图麻烦)★★3860 Circuit Board 平面图最小割(建图麻烦)★★【POJ】1062 昂贵的聘礼竟然可以和最短路联系起来★★1094 Sorting It All Out Floyd判环+拓扑排序★1125 Stockbroker Grapevine Floyd★1135 Domino Effect 最短路,比较有意思★★1161 Walls 最短路(图太恶心了)★★1502 MPI Maelstrom Floyd★1511 Invitation Cards 来回最短路★1556 The Doors 计算几何+最短路★★1724 ROADS 带限制的最短路,dis[][]开二维来记录信息(或广搜)★★1734 Sightseeing trip floyd最小环路径★1797 Heavy Transportation 二分枚举+最短路★1847 Tram 简单最短路★1860 Currency Exchange 货币兑换★1949 Chores 反向建边,求最长路★★2139 Six Degrees of Cowvin Bacon Floyd★2240 Arbitrage 货币兑换★2253 Frogger二分+最短路★2312 坦克大战spfa最短路本质变形-->广搜★2387 Til the Cows Come Home 基础最短路★2394 Checking an Alibi 最短路★2449 Remmarguts' Date A*求第K短路★★2457 Part Acquisition 最短路 (输出路径)★★2472 106 miles to Chicago 乘积最短路(log一下,乘变加)★★2502 Subway2570 Fiber Network floyd3013 圣诞树3037 Skiing3072 Robot3114 Countries in War 强联通+最短路3160 Father Christmas flymouse强联通+最长路3255 Roadblock3259 Wormholes (寻找负权回路)3268 Silver Cow Part3311 Hie with the Pie floyd+状压3328 Cliff Climbing3439 Server Relocation3463 Sightseeing 次短路条数31593521 Geometric Map 计算几何+最短路3549 GSM phone 计算几何+最短路3594 Escort of Dr. Who How3613 Cow Relays 经过N条边的最短路 // floyd + 二分矩阵3615 Cow Hurdles3621 最优比率环3635 full tank?3660 传递闭包3662 Telephone Lines======================以下是差分约束系列======================= 【HDU】1384 Intervals1529 Cashier Employment1531 King1534 Schedule Problem3440 House Man3592 World Exhibition3666 THE MATRIX PROBLEM【POJ】120112751364171629492983315931693687============================以下是二分匹配系列================== 普通匹配,多重匹配【HDU】1068 Girls and Boys最大独立集1150 Machine Schedule最小点覆盖1151 Air Raid最小边覆盖1179 Ollivanders: Makers of Fine Wands since 382 BC.最大匹配裸1281 棋盘游戏最大匹配1498 50 years, 50 colors最小点覆盖1507 Uncle Tom's Inherited Land*最大匹配1528 Card Game Cheater最大匹配1845 Jimmy’s Assignment最大2063 过山车最大匹配2119 Matrix最小点覆盖裸2444 The Accomodation of Students最大匹配2768 Cat vs. Dog最大独立集3081 Marriage Match II—最大流+二分3360 National Treasures最小点覆盖1045 也可搜索1350 最小路径覆盖-----还有待理解3118 类似二分匹配3729最大匹配2389最大匹配—HK算法1054最小点-小小的麻烦—最大匹配/2-双向边2819 完全匹配1668 二分+多重匹配3605 多重匹配3861 强连通+二分匹配2236 无题IIhdu3468hdu4185 oil—建图麻烦【POJ】1087 A Plug for UNIX1274 The Perfect Stall1469 COURSES1486 Sorting Slides 二分图的必须边1548 Robots1698 Alice's Chance1719 Shooting Contest1904 King's Quest 求二分图所有可能的匹配边2060 Taxi Cab Scheme 最小路径覆盖2112 Optimal Milking 二分+多重匹配2226 Muddy Fields 行列的覆盖2239 Selecting Courses2289 Jamie's Contact Groups 二分+多重匹配2446 Chessboard2536 Gopher II2584 T-Shirt Gumbo2594 Treasure Exploration 可相交最小路径覆盖2672 Hotkeys2724 Purifying Machine3020 Antenna Placement3041 Asteroids 简单行列匹配3189 Steady Cow Assignment 二分+多重匹配3207 Ikki's Story IV - Panda's Trick3216 Repairing Company3343 Against Mammoths3692 Kindergarten2771 最大独立集===========================以下是KM算法系列================== 【HDU】2255 奔小康赚大钱1533 Going Home1853 Cyclic Tour3488 Tour3435 A new Graph Game2426 Interesting Housing Problem2853 Assignment3718 Similarity3722 Card Game3395 Special Fish2282 Chocolate2813 One fihgt one(水题)2448 Mining Station on the Sea3315 My Brute3523 Image copy detection【POJ】2195 Going Home 最小权值匹配2400 Supervisor, Supervisee 输出所有最小权匹配2516 Minimum Cost 最小权值匹配或最小费用流3565 Ants3686 The Windy's最小权值匹配===================以下是最大团&稳定婚姻系列==================== 【HDU】1530 Maximum Clique1435 Stable Match3585 maximum shortest distance 二分+最大团1522 Marriage is Stable1914 The Stable Marriage Problem【POJ】1129 四色定理着色问题1419 最大独立集2989 极大团3487 The Stable Marriage Problem 稳定婚姻===================以下是强双联通系列======================== 【HDU】强连通:1269 迷宫城堡判断是否是一个强连通2767 Proving Equivalences 至少加几条边让整个图变成强连通-缩点后入度出度3836 Equivalent Sets 至少加几条边让整个图变成强连通1827 Summer Holiday 传递的最小费用3072 Intelligence System 传递的最小费用3861 The King’s Problem 强连通+二分匹配3639 Hawk-and-Chicken 强连通缩点 + 树形dp(累加子节点的总权值)3594 Cactus 仙人掌图双连通:2242 考研路茫茫——空调教室双联通缩点+树形DP2460 Network 边双连通3849 By Recognizing These Guys, We Find Social Networks Useful 双连通求桥3896 Greatest TC 双连通4005 The war 边双连通LCA:2586 How far away ?2874 Connections between cities3078 Network LCA+排序3830 Checkers 二分+LCA【POJ】强连通:1236 Network of Schools2553 The Bottom of a Graph 好题!找出度为0的集合2186 Popular Cows 好题!缩点后找出度为0的,其他分量都指向它的集合2375 Cow Ski Area 强连通2762 Going from u to v or from v to u? 缩点+拓扑排序3160 Father Christmas flymouse强连通+最短路3180 The Cow Prom 判断有几个环,分量中元素大于1的个数3114 Countries in War 强连通+最短路3592 Instantaneous Transference 强连通分量+最长路1904 King's Quest 强连通+并查集双连通:1523SPF 求割点与割点对应连通分量3694 Network 边双连通 (同hdu2460)3177 Redundant Paths 构造边双连通缩点—重边不要加入3352 Road Construction构造边双连通缩点—同3177无重边2942 Knights of the Round Table (点双连通经典题)1515 Street Directions (无向图改有向图)1438 One-way Traffic (混合图改有向图)LCA:1330 Nearest Common Ancestors1470 Closest Common Ancestors1986 Distance Queries3417 Network3728 The merchant LCA+并查集,更新询问2763 Housewife Wind LCA+树状数组=====================以下是2-SAT系列==================== 【HDU】3062 Party1824 Let's go home3622 Bomb Game3715 Go Deeper1815 Building roads2723 Get Luffy Out1816 Get Luffy Out *1814 Peaceful Commission4115 Eliminate the Conflict【POJ】2296 Map Labeler2723 Get Luffy Out2749 Building roads3207 Ikki's Story IV - Panda's Trick3648 Wedding3678 Katu Puzzle3683 Priest John's Busiest Day3905 Perfect Election======================以下是欧拉回路系列======================= 【HDU】1878 欧拉回路判断裸3018 Ant Trip 一笔画问题11162894 兹鼓欧拉回路1956混合欧拉3472 混合欧拉【POJ】2513 欧拉路1041 John's trip 欧拉回路1386 Play on Words 单词接龙2230 Watchcow欧拉回路2513 Colored Sticks 无向图欧拉路2337 Catenyms欧拉路径1392 Ouroboros Snake 兹鼓欧拉回路1780 code1637 混合欧拉【zoj】1992======================以下是拓扑排序系列======================== 【HDU】1285 确定比赛名次2094 产生冠军2647 Reward工人要求奖励-反向建图3342 Legal or Not1811 Rank of Tetris 拓扑+并查集3231 三维拓扑【POJ】1094 Sorting It All Out Floyd+拓扑2367 Genealogical tree3660 Cow Contest3687 Labeling Balls 神奇的拓扑1128 Frame Stacking DFS版拓扑1270 Following Orders 拓扑+回溯1420 Spreadsheet 模拟拓扑2762 Going from u to v or from v to u? 强连通+拓扑3553 Task schedule========================以下是竞赛图系列======================== 竞赛图下的哈密顿问题Strange Country II ZOJ-3332Task Sequences POJ-1776The book SGU-122Tour Route POJ-3780Tour Route HDOJ-3414=========================以下是网络流系列======================= 1532 Drainage Ditches(基础) [最大流]3549 Flow Problem(基础) [最大流]3572 Task Schedule [最大流]任务分配,判断满流2732 Leapin' Lizards( 难) [最大流]3338 Kakuro Extension [最大流][数和]神奇最大流行进列出2883 kebab [最大流]判断满流3605 Escape [最大流](多重匹配3081 Marriage Match II [二分最大流]+并查集3277 Marriage Match III [二分最大流]同上,多了拆点3416 Marriage Match IV [最大流]最短路+最大流2485 Destroying the bus stations [最大流]最短路+最大流3468 Treasure Hunting [最大流](二分匹配)+最短路3551 Hard Problem [最大流]3998 Sequence(难) [DP+最大流]最长上升子序列3917 Road constructions [最大权闭包]3879 Base Station [最大权闭包]3061 Battle [最大权闭包]3996 Gold Mine [最大权闭包]3472 HS BDC [混合欧拉]hdu4183 来回走不重复点的网络流.-------------------------1533 Going Home(基础) [费用流]3488 Tour [费用流]圈3435 A new Graph Game [费用流]圈1853 Cyclic Tour [费用流]圈2686 Matrix [费用流]3376 Matrix Again [费用流]3667 Transportation [费用流]拆边3315 My Brute [费用流](可用KM)3395 Special Fish [费用流](可用KM匹配)2448 Mining Station on the Sea [费用流](可用最短路+KM匹配) 4067 Random Maze(难) [费用流]3947 River Problem(难) [费用流]神奇费用流,流量不等式建图3046 Pleasant sheep and big big wolf [最小割]1565 方格取数(1) [最小割]1569 方格取数(2) [最小割]3820 Golden Eggs [最小割]方格加强3491 Thieves [最小割]最小点割集3657 Game [最小割]最大点权独立集3313 Key Vertex [最小割]3251 Being a Hero [最小割]3157 Crazy Circuits [上下流]3002 King of Destruction [全局最小割]3691 Nubulsa Expo [全局最小割]【POJ】1087 A Plug for UNIX [最大流](可用二分匹配)1274 The Perfect Stall [最大流](可用二分匹配)1325 Machine Schedule [最大流](可用二分匹配)1698 Alice's Chance [最大流](可用二分匹配)2239 Selecting Courses [最大流](可用二分匹配)2446 Chessboard [最大流](可用二分匹配) 好题啊2536 Gopher II [最大流](可用二分匹配)2771 Guardian of Decency [最大流]二分匹配最大独立集3041 Asteroids [最大流](简单二分匹配)2584 T-Shirt Gumbo [最大流](多重匹配)3189 Steady Cow Assignment(中等) [二分最大流](多重匹配) 1149 PIGS [最大流] 绝对经典的构图题1273 Drainage Ditches [最大流](基础)1459 Power Network(基础) [最大流]3281 Dining [最大流]2112 Optimal Milking(基础) [二分最大流]2289 Jamie's Contact Groups [二分最大流]2391 Ombrophobic Bovines(中等) [二分最大流]2455 Secret Milking Machine(基础) [二分最大流]3228 Gold Transportation [二分最大流](并查集)2699 The Maximum Number of Strong Kings(较难) [枚举人数 + 最大流]3498 March of the Penguins(中等) [最大流]枚举汇点,满足点容量限制的网络流2987 Firing(较难) [最大权闭包]1637 Sightseeing tour(Crazy) [混合欧拉]2135 Farm Tour [费用流] (来回最短路)2175 Evacuation Plan(中等) [费用流] 消圈2195 Going Home [费用流]2516 Minimum Cost [费用流]3422 Kaka's Matrix Travels(中等) [费用流]拆点3680 Intervals(较难) [费用流]经典,费用流+离散化3686 The Windy's [费用流](KM匹配)3762 The Bonus Salary! [费用流]1815 Friendship(中等) [最小割]最小点割集1966 Cable TV Network(中等) [最小割]最小点割集2125 Destroying The Graph(难) [最小割]最小点权覆盖3084 Panic Room(中等,好题) [最小割]边连通度3204 Ikki's Story I - Road Reconstruction(基础) [最小割]求关键边3308 Paratroopers(较难) [最小割]乘积取对数,最小点权覆盖3436 ACM Computer Factory [最小割]收集流,残留搜集找边3469 Dual Core CPU(中等) [最小割]收集流3921 Destroying the bus stations [最小割]点连通2396 Budget(中等) [有源汇的上下界可行流]3155 Hard Life(很挑战一题) [最大密度子图]2914 Minimum Cut [无向图最小割]====================以下是dancing links系列====================== 1001 Easy Finding POJ-37401002 Power Stations HDOJ-36631003 Treasure Map ZOJ-32091004 Lamp HDOJ-28281005 whosyourdaddy HDOJ-34981006 Bomberman - Just Search! HDOJ-3529 1007 Square Destroyer POJ-10841008 Matrix HDOJ-21191009 Divisibility HDOJ-33351010 Radar HDOJ-22951011 Fire station HDOJ-36561012 Repair Depots HDOJ-31561013 Dominoes HDOJ-25181014 Street Fighter HDOJ-39571015 Sudoku Killer HDOJ-14261016 Sudoku POJ-26761017 Sudoku POJ-30741018 Sudoku POJ-30761019 Su-Su-Sudoku HDOJ-27801020 Sudoku HDOJ-31111021 Sudoku HDOJ-39091022 Squiggly Sudoku HDOJ-40691023 Triangle War II ZOJ-30381024 A Puzzling Problem HDOJ-16031025 Maximum Clique HDOJ-1530hust1017 精确覆盖。
图论复习题

图论复习题(二)图论复习题一、选择题1.设图G =<V , E >,v ∈V ,则下列结论成立的是 ( C ) . A .deg(v )=2∣E ∣ B . deg(v )=∣E ∣ C .E v Vv 2)deg(=∑∈ [PPT 23] D .Ev Vv =∑∈)deg(定理1 图G=(V ,E )中,所有点的次之和为边数的两倍 2.设无向图G 的邻接矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡0101010010000011100100110则G 的边数为( B ).A .6B .5C .4D .33、 设完全图K n 有n 个结点(n ≥2),m 条边,当( C )时,K n 中存在欧拉回路.A .m 为奇数B .n 为偶数C .n 为奇数D .m 为偶数解释:K n 每个结点的度都为n -1,所以若存在欧拉回路则n -1必为偶数。
n 必为奇数。
4.欧拉回路是( B )A. 路径B. 简单回路[PPT 40]C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路5.哈密尔顿回路是( C )A. 路径B. 简单回路C. 既是基本回路也是简单回路D.既非基本回路也非简单回路[PPT 40]:哈密尔顿回路要求走遍所有的点,即是基本回路的点不重复,也可以是简单回路的边不重复。
6.设G 是简单有向图,可达矩阵P(G)刻划下列关系中的是( C ) A 、点与边 B 、边与点 C 、点与点 D 、边与边7.下列哪一种图不一定是树(C )。
A.无简单回路的连通图B. 有n 个顶点n-1条边的连通图C. 每对顶点间都有通路的图D. 连通但删去一条边便不连通的图8.在有n 个结点的连通图中,其边数(B )A.最多有n-1条B.至少有n-1条C.最多有n 条D.至少有n 条9.下列图为树的是(C )。
A 、>><><><=<},,,,,{},,,,{1d c b a a a d c b a GB 、>><><><=<},,,,,{},,,,{2d c d b b a d c b a GC 、>><><><=<},,,,,{},,,,{3a c d a b a d c b a GD 、>><><><=<},,,,,{},,,,{4d d c a b a d c b a G 10、下面的图7-22是(C )。
图论与网络流理论课后答案

图论与网络流理论课后答案图论与网络流理论是计算机科学中非常重要的两门课程。
学生在学习这些课程时,需要掌握各种算法和理论,以便在实际应用中解决各种问题。
然而,在学习课程后,学生需要进行一些练习,以巩固他们所学的内容,并提高他们的技能水平。
一种非常有效的学习方法是通过解答题目来练习。
本文将提供一些图论与网络流理论的练习题答案,帮助学生评估他们自己的能力,发现自己的错误,以及加强自己的学习。
1. 图论(1)给定一个无向图G=(V,E),其中V为点的集合,E为边的集合。
一个环是一条从一个点出发,经过若干不同的点,最终返回起点的路径。
请问,如何判断一个无向图中是否存在环?答:可以使用深度优先搜索(DFS)算法来判断是否存在环。
在遍历图的过程中,如果遇到一个已经标记为已访问的顶点,且该顶点不是当前顶点的父亲,则该图中存在一个环。
(2)给定一个带权重的图G=(V,E),其中每条边都有一个权重。
请问,如何找到一个最小生成树?答:可以使用Prim算法或Kruskal算法来找到一个最小生成树。
在Prim算法中,从一个起始节点开始,将其与最短的相邻节点相连,并将其加入到生成树中。
然后,重复此过程,直到所有节点都加入到生成树中。
在Kruskal算法中,首先将所有边按权重排序,然后按照升序逐个添加边,并检查是否形成了环。
如果没有形成环,则将该边添加到生成树中,否则舍弃该边。
2. 网络流理论(1)给定一个网络流G=(V,E),其中源点为s,汇点为t,每条边都有一个容量和一个费用。
请问,如何找到一个最小费用流?答:可以使用最小费用最大流算法来找到一个最小费用流。
该算法包含两个步骤。
第一步是找到一个最大流,可以使用Ford-Fulkerson 算法或者Edmonds-Karp算法。
第二步是通过增广路径来增加流量,直到达到最小费用。
(2)给定一个有向无环图G=(V,E),其中每个节点都有一个点权,且每条边都有一个边权。
请问,如何找到从源点s到汇点t的一条最长路径?答:可以使用动态规划来解决该问题。
图论与网络流理论

1.2 最短路问题
1、赋权图 对图G的每条边e,赋以一个实数w(e),称为边e的权。
每个边都赋有权的图称为赋权图。 权在不同的问题中会有不同的含义。例如交通网络
中,权可能表示运费、里程或道路的造价等。
解:Herschel 图的一个顶点二划分如下: 可见 Herschel 图是一个二部 图。
Peterson 图中含有奇圈,因此不是二部图。
8 连通性
图中两点的连通:如果在图G 中u,v 两点间有路相通,则 称顶点u,v 在图G 中连通。
连通图(connected graph):若图G 中任二顶点都连通, 则称图G 是连通图。
1. 算法思想:先从图G 中找出权最小的一条边作为最小生成树的边, 然后逐次从剩余边中选边添入最小生成树中,每次选边找出不与已选 边构成圈的权最小的一条边。直至选出υ (G) −1条边为止。
(二)Prim算法(Robert Clay Prim,1957)
(三) Prim 算法的矩阵实现―求最小树的 权矩阵法
事实上,假如G 不连通,则至少有一个连通分支的顶点数不 超过n。在此连通分支中,顶点的度至多是n −1。这与δ (G) ≥ n矛盾。 证毕。
例1.1.7 若图中只有两个奇度顶点,则它们必连通。
证明:用反证法。设u、v为仅有的两个奇度顶点。假如u与v
不连通,则它们必分属于不同的连通分支。将每个分支看成一个图 时,其中只有一个奇度顶点。这与推论1.1.1 矛盾。证毕。
为边集的图称为G的补图,记为 G
定理1.1.1 对任何图G,其各顶点度数之和等于边数的2倍,
即 d(v) 2 vV (G)
OI刷题录——图论

OI刷题录——图论前言省选过后写了一些图论题,从中选出50道集合在这里,给想写图论的一点帮助。
大部分较为基础,神犇就不要过来虐我了。
大部分题目是POJ的,每道题后都给出我提交情况,写明WA,TLE,RE等的原因,方便大家吸取教训。
50道题目包括:最短路3道,Tarjan 4道,最小生成树3道,差分约束系统6道,网络流29道(包含线性规划与网络流24题),杂项5道。
提供我的每道题AC代码以及其他资料的压缩包,以下为下载地址:百度云网盘115网盘最短路spfa,dijkstra为图论基础算法,应熟练应用。
spfa是可以扩展到二维的。
先将距离小于等于R的点对连无向边,形成一张图。
dist[i][j]表示从j到达i时的最短路,朝向为向量(xi-xj,yi-yj)。
spfa时枚举跟i相连的点k,由状态dist[i][j]转移到状态dist[k][i],更新完dist[k][i]的值后将其入队(如果还未入队的话)。
spfa结束后取Min{dist[n][i]},1≤i<n。
本题关键在于计算向量转角,题目中已经提示使用atan2( )。
atan2(x,y):返回向量(x,y)跟x轴正方向的夹角(弧度制),值域为(-π,π],(x,y)在x轴上方返回值为正,下方为负。
两向量夹角:D=abs(atan2(x1,y1)-atan2(x2,y2)),如果D>π,则D=2π-D,最后应转成角度制即D=D/π*180。
Compile Error:POJ下sqrt和atan2应进行强制类型转换。
Wrong Answer:最开始没有用atan2,用了比较矬的方法。
滑槽顶、楼梯底和终点为传送入口,滑槽底、楼梯顶和起点为传送出口。
一旦达到入口就会被送到出口。
从每个出口向其后面的每个入口连一条有向边,贪心计算步数作为权值,然后跑一遍spfa即可得出答案。
步数计算:1、一开始将步长定为最大,以这步长前进。
2、如果会踩到中途某一传送入口则减小步长,如果还是入口则再减小,减小到不是入口用最大步跨过去,继续以最大步前进,又遇到入口则重复操作。
图论复习题

图论及网络总复习题一、选择题1、设G是由5个顶点构成的完全图,则从G中删去()边可以得到树。
A.6 B.5 C.8 D.42、下面哪几种图不一定是树()。
A.无回路的连通图B.有n个结点,n-1条边的连通图C.对每对结点间都有通路的图D.连通但删去任意一条边则不连通的图。
3、5阶无向完全图的边数为()。
A.5 B.10 C.15 D.204、把平面分成x个区域,每两个区域都相邻,问x最大为()A.6 B.4 C.5 D.35、设图G有n个结点,m条边,且G中每个结点的度数不是k,就是k+1,则G中度数为k的节点数是()A.n/2 B.n(n+1) C.nk-2m D.n(k+1)-2m 6、图G1和G2的结点和边分别存在一一对应关系是G1和G2同构的()。
A.充分条件B.必要条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7、设G=<V,E>为有向图,V={a,b,c,d,e,f},E={<a,b>,<b,c>,<a,d>,<d,e>,<f,e>}是()。
A.强连通图B.单向连通图C.弱连通图D.不连通图8、无向图G中的边e是G的割边(桥)的充分必要条件是()。
A.e是重边B.e不是重边C.e不包含在G的任一简单回路中D.e不包含在G的某一简单回路中9、在有n个结点的连通图中,其边数()A.最多有n-1条B.至少有n-1条C.最多有n条D.至少有n条10.设无向简单图的顶点个数为n,则该图最多有()条边。
A.n-1 B.n(n-1)/2 C. n(n+1)/2 D.n211.n个结点的完全有向图含有边的数目()。
A.n*n B.n(n+1) C.n/2 D.n*(n-l)12.在一个无向图中,所有顶点的度数之和等于所有边数()倍。
A.1/2 B.2 C.1 D.413.连通图G是一棵树,当且仅当G中()A.有些边不是割边B.所有边都是割边C.无割边集D.每条边都不是割边14.4个顶点的完全图G,其生成树个数是()。
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北京大学 朱睿
大纲
图论部分: 1.图论简介 2.生成树与生成树计数 3.欧拉回路与哈密顿回路 4.割与流,匹配
网络流问题部分: 1.习题 2.习题 3.更多的习题
图论简介
一个无向图G一般被抽象为一个二元组<V,E> 1.V是一个集合并被称为G的点集。 2.E是V的无序积的多重子集,被称为G的边集。其 元素被称为无向边。
思考:如何找到图中的网络流模型?
提示:发现“折线”这一条件的特殊性。
网络流习题集锦:股票走势
解答: 首先考虑如何建图。 假设我们将每只个股都看做一个点,如果A与B可以放 在一张纸上,就连一条边,这样得到了一个无向图。 但是很不幸,这个无向图没有给我们提供任何信息。 考虑到折线一定是连续的,那么两个可以在同一张纸 上的股票,是可以定义序关系的的。 将无向图改造成有向图,若某只股票的折线完全高于 另一只股票的折线,那么连一条有向边,这样我们得 到了一个拓扑图,问题转化成了用最少的链来覆盖这 个有向图,即最小链覆盖。 使用匹配/网络流解决最小链覆盖,由于链上每个节点 都有一个后继节点,那么将每个点拆成两个点排成两 排,若A能到B则从A左向B右连边,那么答案就是n匹配数。
网络流习题集锦:路径覆盖
路径覆盖类题目,主要是指这样一类问题:给定一个 图以及一系列行走规则,问如何使用最小的代价将用 一系列按照行走规则的路径覆盖住。 下面我们就来具体问题具体反分析。
网络流习题集锦:股票走势
小L最近迷恋上了炒股,他拿到了n支股票在0到k-1时 刻的价格表。他想要把每只股票的价格根据时刻依次 连成一个走势折线图,以此观察股票的情况。 但是小L不想铺张浪费,所以在每张纸上他不想只画 一条折线,而是把尽量多的折线画到一张纸上,使用 尽量少的纸。两条折线能够画到一张纸上,是要求它 们不相交,包括在端点处。 数据规模: 1≤n≤100,2≤k≤25
流: 假设G(V,E) 是一个有限的有向图,它的每条边 (u,v)∈E都有一个非负值实数的容量c(u,v) 。如果 (u,v)不属于E,我们假设c(u,v) = 0 。我们区别两个 顶点:一个源s和一个汇t。一个网络流是一个对于 所有结点u和v都有以下特性的实函数f:V×V→R 其满足以下三个要求: 1.容量限制:f(u,v) <= c(u,v) 2.斜对称:f(u,v) = -f(v,u) 3.流守恒:除非u=s或u=t,否则Σ(w∈V) f(u,w) = 0 则该网络流的流量为s的总输出(或t的总输入)
提Hale Waihona Puke :按位处理。网络流习题集锦:最优选择
解答:首先可以发现,位与位之间没有任何关系,可 以按位处理。也就是说,我们只需要确定某个点选0还 是选1就可以了。 由于只有01不同的点才会产生代价,那么我们自然的 想到了最小割,也就是使01不同的边尽量少。
图论简介
平行边:即重边。 环:即自环。 简单图:不含平行边且不含环的图。 度:无向图中,与某点关联的边的数量。 入度,出度:有向图中,与某点关联的入边和出边 的数量。 K-正则图:无向简单图中所有点的度数都为K。 握手定理:所有点度数之和等于2*|E|。
同构:两个无向图<V1,E1>与<V2,E2>,若存在双 射函数f:V1->V2,使得对于任意vi,vj ∈ V1,f(vi),f(vj) ∈ V2时, <vi,vj> ∈ E1当且仅当<f(vi),f(vj)> ∈ E2, 则称这两个无向图同构。
网络流习题集锦:闭合子图
最大权闭合子图类问题:
给定一些事件。
事件之间有依赖关系,比如若选了A就一定要选B。
建图的经典思想: S->(pA)A->(inf)B->(pB)T S->A->T S->B->T A->(c)B 用c作为最小割
网络流习题集锦:加工顺序
有N个工作,M种机器,每种机器你可以租或者买过来. 每个工作包括若干道工序,每道工序需要某种机器来 完成,你可以通过购买或租用机器来完成。现在给出这 些参数,求最大利润。 N<=1200,M<=1200
有向图欧拉回路的充要条件:每个点的入度和等于出 度和。那么此时该图至少要保证入度和-出度和是一个 偶数。 然后使用网络流,源点向所有入度和>出度和的点连 一条大小为|入度和-出度和|/2的边,所有出度和>入度 和的点连一条|出度和-入度和|/2的边。 无向图中边(vi,vj)若变成了有向边<vi,vj>,那么在流中 连一条容量为1的边<vj,vi>,意为反悔。满流则有解。
生成树与生成树计数
生成树:一个连通无向图的极小连通子图,被称为 这个图的生成树
最小生成树:一个边带权的连通无向图的极小连通 子图,同时包含最小的边权 —Prim算法 —Kruskal算法 生成树计数问题:如何求出一个连通无向简单图的 不重复生成树个数?
生成树与生成树计数
Matrix-Tree(矩阵树)定理: 假设图G是一个包含n个点无向图。
在这个图上运行费用流,就能得到最小代价。
网络流习题集锦:营救行动
一个N个点M条边的带点标号的无向图,经过一条边需 要一定的时间。现在有K个人在0号点,K个人可以分 头行动。在访问第i号点之前不能经过第i+1号点,K个 人中任意一个经过某个点之后就可以认为该点被访问 了。问访问完所有点的前提下,这K个人的行走路径长 度之和最小是多少。
定义G的度数矩阵D[G]为一个n*n的矩阵,并且对于 任意i ≠ j,有Dij=0;当i=j时,Dij为节点i的度数。 定义G的邻接矩阵A[G]为一个n*n的矩阵,并且对于 任意<i,j>属于G的边集时,Aij为1;否则为0。 定义G的Laplace算子(Kirchhoff矩阵)为C[G]=D[G]A[G]。 那么图G的生成树个数为C[G]的任意一个n-1阶主子 式(即去掉第r行第r列,r任意)的行列式之绝对值。
割:设Ci为网络N中一些弧的集合,若从N中删去Ci 中的所有弧,即:使得从顶点Vs到顶点Vt的路集为 空集时,称Ci为Vs和Vt间的一个割。
割与流,匹配
最大流:从s到t的所有可行的网络流中,流量最大 的网络流。
最小割:从s到t的割中,删除边权和最小的割。 对于一个给定的s和t,最大流=最小割
割与流,匹配
网络流习题集锦:星际竞速
N个点M条边的有向图,将所有点从1~N标号,每条边 Eij都只能从编号小的点走到编号大的点,代价为Pij。
可以使用瞬移,从任意点瞬移到i号点的代价为Ai。 要求从一个标号为N+1的孤立点出发,经过所有点一 次且仅一次,问最小代价。 N <=800,M<=15000
网络流习题集锦:星际竞速
解答: 将所有工人看做一个点排成一排在左边,所有产品看 做一个点排成一排在右边,若某个工人会制造某个产 品,则在相应的两个点上连容量为1的边。
此时,我们考虑到对这个图做网络流,源向左边每个 点都连一条容量为K的边,右边每个点向终点连一条容 量为K的边,如果没有流满,那么显然是不可能有解的。 而如果流满,则根据Hall定理,我们也可以知道它是有 解的,然后一遍一遍进行二分图匹配即可。
网络流习题集锦:营救行动
其实这也是一道路径覆盖的题目,相当于把1~n这个序 列拆成K个序列,并使得总路程和最小。
于是我们可以先用改动过的Floyd算法求出在保证只访 问标号比i,j都小的节点的前提下,i到j的最短路。 之后和上题有相似之处,将点i拆成两个点Ai和Bi。 对于i!=0,由Ai向Bi连一条费用为0容量为1的边,然后 Bi向汇点连一条容量为1费用为0的边。 源点向B0连一条容量为k费用为0的边。 每个B点都向比自己大的A点连一条容量为1费用为最 短路的边。 等等,这个算法好像有问题? 与上一题不同的是,这题要求遍历所有节点。因此我 们应该把所有A->B的边增设下界1。
网络流习题集锦:星际竞速
解答: 建立虚拟源st与虚拟汇en。 将每个点都拆成两个两个点,如u -> (u, u’)。 从st向所有u连边,容量为1费用为0; 从所有u’向en连边,容量为1费用为0; 若u,v之间在原图中有边,那么在u与v’之间连边,费用 为路径费用Puv,容量为1。 从st向所有v’连边,费用为瞬移到v点的代价。
网络流习题集锦:趣味工厂
有一个工厂,工厂中有n个工人与n种产品。每个工人 能够生产这些产品中的一部分。
现在我们希望作一个k天的工作规划,使得每一天每一 个产品恰好有一个工人在从事生产,并且在这k天内每 个工人都不会生产重复的产品。 1≤n≤100, 1≤k≤n 思考:直接的贪心算法是否正确?
网络流习题集锦:趣味工厂
一个有向图D一般被抽象为一个二元组<V,E> 1.V是一个集合并被称为D的点集。 2.E是V的卡氏积的多重子集,被称为D的边集。其 元素被称为有向边。 图的阶:即|V|。 零图:|E| = 0。 基图:将D的有向边改为无向边,成为一个无向图。 无向完全图:简单无向图中每个点都与其他点相邻。 有向完全图:简单有向图中对于任意vi,vj ∈ V都有 <vi,vj> ∈ E且<vj,vi> ∈ E。
网络流习题集锦:欧拉回路
给定一张包含N个点M条边的图,其中有些边是单向 边有些边是双向边。问是否存在欧拉回路。
N和M范围不限定,试给出尽量优秀的算法。
网络流习题集锦:欧拉回路
解答:首先我们知道,若该混合图有欧拉回路,一定 有一种方法使得给该图中所有无向边定向后的有向图 仍然有欧拉回路。那么我们首先给所有无向边随意定 一个向。
同样的,我们可以定义边覆盖集(即用边覆盖所有 点)与边独立集(即任意两条边之间没有共同点)。
割与流,匹配
匹配:G的一个边独立集,又被称为G的一个匹配。 极大匹配与最大匹配。
二部图(二分图):若无向图G的点集V可以分割 成两个互不相交的子集,并且对于边集E中的所有 边(vi,vj)所关联的两个顶点vi和vj都分属这两个子集, 那么图G就被称为一个二部图。 二部图匹配的霍尔定理(婚姻定理):设有二部图 G=<V1,V2,E>且|V1|<=|V2|,则该图有完美匹配的 充要条件是,对于任意V1的子集S,设|S|=k,则与 S相连的点集大小 不小于k。 推论:若G为k-正则二部图,那么G中存在k个边不 同的完美匹配。