高中数学第2章圆锥曲线2.1直线与球的位置关系2.2平面与球的关系学业分层测评北师大版选修4-1

第2章 圆锥曲线 2.1 直线与球的位置关系 2.2 平面与球的关系学
业分层测评 北师大版选修4-1
(建议用时：45分钟)
学业达标]
一、选择题
1.正方体的表面积是a ，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是( )
πa
3A.
πa 2B. C.πa
D.2πa 2x 3π＝2R 4π＝球S ∴，x 3
2
＝
R ，而球半径2
x 6＝a ，则x 设正方体的棱长为 【解析】.
πa 2
＝ 【答案】 B
2.把一个半径为R 的实心铁球熔化后铸成两个小球(不计损耗)，两个小球的半径之比
为1∶2，则其中较小球半径为( )
R 13A. R 3
33B. R 3255
C.
R 33D.
【解析】 设较小球半径为r ，则另一球半径为2r ，
，
3
R π4
3
＝3
)r (2π43＋3
r π43∴ .
R 3
33
＝r ∴，3R 19＝3
r ∴
【答案】 B
＝
AB ，BC ⊥AB 若.的球V 内有一个体积为1C 1B 1A ­ABC 在封闭的直三棱柱Ⅲ)全国卷3.()
(的最大值是V ，则3＝1
AA ，8＝BC ，6 【导学号：96990046】
A.4π
B.9π
2 C.6π
D.32π
3
【解析】 设球的半径为R ，∵△ABC 的内切圆半径为6＋8－10
2
＝2，∴R ≤2.又2R ≤3，∴R ≤32，∴V max ＝43π⎝ ⎛⎭⎪⎫323＝9
2
π.故选B.
【答案】 B
4.一个球与它的外切圆柱、外切等边圆锥(圆锥轴截面为正三角形)的体积之比为( ) A.2∶3∶5 B.2∶3∶4 C.3∶5∶8
D.4∶6∶9
【解析】 设球的半径为1，则球的外切圆柱的底面半径为1，高为2；球的外切等边圆锥的底面半径为3，高为3，所以球的体积为V 1＝43π，圆柱的体积为V 2＝π×12
×2＝
2π，圆锥的体积为V 3＝13×π(3)2
×3＝3π，所以V 1∶V 2∶V 3＝43
π∶2π∶3π＝4∶6∶9.
【答案】 D
5.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的1
6，经过这3个点的小
圆的周长为4π，那么球的半径为( )
A.4 3
B.2 3
C.2
D. 3
【答案】 B 二、填空题
6.平面α与球O 相交，交线圆圆心为O 1，若OO 1＝3，交线圆半径为4，则球O 的半径为________.
【解析】 设球O 的半径为R ，由题意知R 2
＝32
＋42
＝25，∴R ＝5. 【答案】 5
7.若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是________. 【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直，说明三棱锥的三条侧棱两两垂直，设其外接球的半径为R ，则有(2R )2
＝(3)2
＋(3)2
＋(3)2＝9，
∴外接球的表面积为S ＝4πR 2
＝9π. 【答案】 9π
8.如图2­1­7所示，已知球O 的面上四点A ，B ，C ，D ，DA ⊥平面ABC ，AB ⊥BC ，DA ＝
AB ＝BC ＝3，则球O 的体积等于________.
图2­1­7
【解析】 ∵DA ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，
∴DA ⊥BC ，DA ⊥AC . 又BC ⊥AB ，AB ∩DA ＝A ，
∴BC ⊥平面ABD ，
∴BC ⊥DB ，
则DC 的中点即为球心O . ，3＝BC ＝AB ＝DA 又 ，
3＝DC ，6＝AC ∴ .
9π
2＝3
⎝ ⎛⎭⎪⎫32π43＝球
V 的体积O 球∴ 9π
2
【答案】 三、解答题
9.已知半径为R 的四个球两两相切，下面三个球与桌面相切，求上面一个球的球心到
桌面的距离.
，将它们两两连接恰好组成一个正三棱
4O ，3O ，2O ，1O 设四个球的球心分别为 【解】.
为棱锥的高H 1
O ，则H ，垂足为4
O 3O 2O 面⊥H 1
O ，如图作R 2锥，各棱长均为 .R 233＝H 4
O ，则H 4
O 连接 为直角三角形，
4
HO 1
O ∵△ ，90°＝4HO 1
O ∠ ，
R 263＝H 1
O ∴ .
R ⎝ ⎛⎭⎪⎫263＋1从上面一个球的球心到桌面的距离为∴ 10.若正四面体的四个顶点都在表面积为36π的一个球面上，求这个正四面体的高.
【解】 如图，设正四面体边长为x ，设球半径为R .
36π.
＝2
R 4πx,33＝AH ∴
∴R ＝3，在Rt△AHS 中，
，
2
AH －2
SA ＝2
SH ，
2
x 23
＝2
⎝ ⎛⎭⎪⎫33x －2
x ＝2
SH ∴ ⎝ ⎛
⎭⎪⎫ 23x
－R ，9＝2
⎝ ⎛⎭⎪⎫33x ＋2
6
2＝x ∴ ∴SH ＝4，故正四面体的高为4.
能力提升]
1.半径为R 的三个球两两外切放置桌面上，与这三个球都外切的第四个小球也放在桌
面上，则小球的半径为( )
R A. R 12B. R 13
C. R 23
D. 【答案】 C
2.某管理员为加强对体育组环境的管理，订做了半径为2R ，高为20R 的圆柱形筐(有
盖也有下底)，用来盛放半径为R 的篮球，则该筐最多可放篮球的个数为( ) A.12 B.13 C.24 D.26 【解析】 设A ，B 为同一层球的球心，C ，D 为相邻一层的球心，这四个球心A ，B ，C ，D 的连线刚好构成一个正四面体，相邻两
层之间距离即为正四面体对棱之间的距离EF (如图所示).
12.7.
＝20R －2R
2R
，R 2＝EF 易求得 共13个“间隔”，即共放了13层，
∴13×2＝26.
∴该筐最多可放篮球的个数为26.
【答案】 D
3.如图2­1­8所示，一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内放一个半径为r 的铁球，并向容器内注水，使水面恰与铁球相切，将球取出后，则容器内的水深是
__________.
图2­1­8
【解析】 由题意，轴截面PAB 为正三角形，故当球在容器内时，水深为3r ，水面半
.
3
r π53
＝3r π43－r ·32)r 3π(13＝球V －圆锥V ＝V ，容器内水的体积就是r 3径为
.
h 33，则水面半径为h 将球取出后，设容器中水的深度为 h
·2
⎝ ⎛⎭
⎪⎫
33h π13＝′V 此时容器内水的体积为 .
r 3
15＝h ，得′V ＝V 由.3
h π19
＝ .
r 315即铁球取出后水深为 4.在球面上有四点P ，A ，B ，C ，若PA ，PB ，PC 两两垂直，且PA ＝PB ＝PC ＝a ，求这个
球的体积和表面积.
，由于
1O ⊙的交线为O 确定一个平面，设它与球B ，A ，P 可知PB ⊥PA 由 【解】的直径，且
1
O ⊙是AB ，故PB ⊥PA .a 2＝AP2＋BP2＝AB ∵PC ⊥PA ，PC ⊥PB ，
∴PC ⊥平面PAB . ，
PAB 平面⊥1
OO 又 .
PC ∥1
OO ∴ 是
PQ ，则直线Q 的另一个交点为1O ⊙与O ⊙，设O 交球面为大圆α作平面PC ，1OO 过中，
O ⊙，在CQ ，连接PQ ∈1
O 的交线，点PAB 与平面α平面 ∵PC ⊥PQ ，∠CPQ 为直角，
∴CQ 为⊙O 的直径.
设⊙O 的半径为R ，即球O 的半径为R ，在Rt△CPQ 中，
PC2＋PQ2
＝CQ ，
a 3＝a2＋2a 2 ＝ ，a 3＝R ∴2 ，
a 32＝R 即 ，3a π32
＝3)a 32(4π3＝球
V
∴ .2a π3＝2
)a 32
(
π4＝球S。