高考数学圆锥曲线的常用公式及结论(非常推荐)

高考数学圆锥曲线的常用公式及结论(非常推荐)
高考数学圆锥曲线的常用公式及结论(非常推荐)

高考数学常用公式及结论

圆锥曲线

1.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=??=?.

2.椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式

)(21c a x e PF +=,)(2

2x c

a e PF -=.

3.椭圆的的内外部

(1)点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的内部22

00221x y a b ?+<.

(2)点00(,)P x y 在椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>的外部22

00221x y a b

?+>.

4. 椭圆的切线方程

(1)椭圆22221(0)x y a b a b +=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是00221x x y y

a b +=.

(2)过椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程

00221x x y y

a b

+=. (3)椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是

22222A a B b c +=.

5.双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的焦半径公式

21|()|a PF e x c =+,2

2|()|a PF e x c

=-.

6.双曲线的内外部

(1)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的内部22

00221x y a b ?->.

(2)点00(,)P x y 在双曲线22

221(0,0)x y a b a b -=>>的外部22

00221x y a b

?-<.

7.双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1)若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-22

22

b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22

22b

y a x (0>λ,焦

点在x 轴上,0<λ,焦点在y 轴上).

8. 双曲线的切线方程

(1)双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>上一点00(,)P x y 处的切线方程是

00221x x y y

a b

-=. (2)过双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦

方程是

00221x x y y

a b

-=.

(3)双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与直线0Ax By C ++=相切的条件是

22222A a B b c -=.

9. 抛物线px y 22=的焦半径公式 抛物线22(0)y px p =>焦半径02

p CF x =+. 过焦点弦长p x x p

x p x CD ++=+++=21212

2.

10.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2

οοy p

y

或或)2,2(2pt pt P P (,)x y o o ,

其中 2

2y px =o

o .

11.二次函数2

2

24()24b ac b y ax bx c a x a a

-=++=++(0)a ≠的图象是抛物线:

(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241

(,)24b ac b a a -+-;(3)

准线方程是241

4ac b y a

--=.

12.抛物线的内外部

(1)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的内部22(0)y px p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =>的外部22(0)y px p ?>>. (2)点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的内部22(0)y px p ?<->. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)y px p =->的外部22(0)y px p ?>->. (3)点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的外部22(0)x py p ?>>.

(4) 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =>的内部22(0)x py p ?<>. 点00(,)P x y 在抛物线22(0)x py p =->的外部22(0)x py p ?>->.

13. 抛物线的切线方程

(1)抛物线px y 22=上一点00(,)P x y 处的切线方程是00()y y p x x =+. (2)过抛物线px y 22=外一点00(,)P x y 所引两条切线的切点弦方程是

00()y y p x x =+.

(3)抛物线22(0)y px p =>与直线0Ax By C ++=相切的条件是22pB AC =.

14.两个常见的曲线系方程

(1)过曲线1(,)0f x y =,2(,)0f x y =的交点的曲线系方程是

12(,)(,)0f x y f x y λ+=(λ为参数).

(2)共焦点的有心圆锥曲线系方程22

2

21x y a k b k +=--,其中22max{,}k a b <.当22min{,}k a b >时,表示椭圆; 当2222min{,}max{,}a b k a b <<时,表示双曲线.

15.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 AB =

1212||||AB x x y y ==-=-(弦端点

A ),(),,(2211y x

B y x ,由方程???=+=0)y ,x (F b

kx y 消去y 得到02=++c bx ax ,0?>,α为

直线AB 的倾斜角,k 为直线的斜率).

16.圆锥曲线的两类对称问题

(1)曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是

00(2-,2)0F x x y y -=.

(2)曲线(,)0F x y =关于直线0Ax By C ++=成轴对称的曲线是

2222

2()2()

(,)0A Ax By C B Ax By C F x y A B A B

++++--=++.

17.“四线”一方程

对于一般的二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=,用0x x 代2x ,用0y y 代2y ,用

002x y xy +代xy ,用02x x +代x ,用02y y

+代y 即得方程 0000000222

x y xy x x y y

Ax x B Cy y D E F ++++?++?+?+=,曲线的切线,切点弦,

中点弦,弦中点方程均是此方程得到.

圆锥曲线全部公式及概念

圆锥曲线 1.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ =??=? 离心率c e a == 准线到中心的距离为2a c ,焦点到对应准线的距离(焦准距)2b p c =. 通径的一半(焦参数):2 b a . 2.椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式及两焦半径与焦距构成三角形的面积: 21()a PF e x a ex c =+=+,22()a PF e x a ex c =-=-;1221tan 2 F PF F PF S b ?∠=. 3.椭圆的的内外部: (1)点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的内部2200221x y a b ?+<. (2)点00(,)P x y 在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的外部2200221x y b ?+>. 4.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率c e a ==2a c ,焦点到对应准线 的距离(焦准距)2p c = 通径的一半(焦参数):2 b a 焦半径公式21|()|||a PF e x a ex c =+=+,2 2|()|||a PF e x a ex c =-=-, 两焦半径与焦距构成三角形的面积122 1cot 2 F PF F PF S b ?∠=. 5.双曲线的内外部: (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 6.双曲线的方程与渐近线方程的关系: (1)若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程:22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线,可设为λ=-22 22b y a x (0>λ,焦点在x 轴上;0<λ,焦点在y 轴上). (4) 焦点到渐近线的距离总是b 7.抛物线px y 22 =的焦半径公式: 抛物线2 2(0)y px p =>焦半径02p CF x =+. 过焦点弦长p x x p x p x CD ++=+++=212122. 8.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2 y p y 或2 (2,2)P pt pt P (,)x y ,其中 22y px =. 9.二次函数22 24()24b ac b y ax bx c a x a a -=++=++(0)a ≠的图象是抛物线:(1)顶点坐标为24(,)24b ac b a a --;(2)焦点的坐标为241(,)24b ac b a a -+-;(3)准线方程是2414ac b y a --=. 10.以抛物线上的点为圆心,焦半径为半径的圆必与准线相切;以抛物线焦点弦为直径的圆,必与准线相切;以抛物线的焦半径为直径的圆必与过顶点垂直于轴的直线相切. 11.直线与圆锥曲线相交的弦长公式: AB = 1212||||AB x x y y ==-=-

2020高考数学圆锥曲线试题(含答案)

2020高考虽然延期,但是每天练习一定要跟上,加油! 圆锥曲线 一. 选择题: 1.(福建卷11)又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点,且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(海南卷11)已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2, -1)的距离与点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. (4 1 ,-1) B. (4 1,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.(湖北卷10)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 1 1 c a <2 2 c a . 其中正确式子的序号是B

A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.(湖南卷8)若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.(江西卷7)已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=u u u u r u u u u r 的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C .(0, 2 D .,1)2 6.(辽宁卷10)已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A ) A B .3 C D .92 7.(全国二9)设1a >,则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是( B ) A . B . C .(25), D .(2 8.(山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ,焦点在X 轴上且长轴长为 A B C D -

高考数学圆锥曲线与方程章总结题型详解

圆锥曲线与方程 题型一 定义运用 1..(2017·湖南高考模拟(理))已知抛物线2 2x y = 上一点P 到焦点F 的距离为1,,M N 是直线2y =上 的两点,且2MN =,MNP ?的周长是6,则sin MPN ∠=( ) A . 4 5 B . 25 C . 23 D . 13 【答案】A 【解析】由题意,22p = ,则 122p = ,故抛物线22x y = 的焦点坐标是10,2?? ??? ,由抛物线的定义得,点P 到准线1 2y =- 的距离等于PF ,即为1 ,故点P 到直线2y =的距离为132122d ??=---= ??? . 设 点P 在直线MN 上的射影为P' ,则3 '2 PP = . 当点,M N 在P'的同一侧(不与点P'重合)时,35 2=622 PM PN MN ++> ++ ,不符合题意;当点,M N 在P'的异侧(不与点P'重合)时,不妨设()'02P M x x =<<,则'2P N x =- ,故由 2=6PM PN MN ++= ,解得0x = 或2 ,不符合题意,舍去, 综上,M N 在两点中一定有一点与点P'重合,所以 24552 sin MPN <= = ,故选A. 2.(2017·河南高考模拟(文))已知直线()()20y k x k =+>与抛物线2 :8C y x =相交于A ,B 两点,F 为C 的焦点,若2FA FB =,则点A 到抛物线的准线的距离为( ) A .6 B .5 C .4 D .3 【答案】A 【解析】由题意得,设抛物线2 8y x =的准线方程为:2l x =-,直线()2y k x =+恒过定点()2,0-, 如图过,A B 分别作AM l ⊥于M ,BN l ⊥于N ,连接OB , 由2FA FB =,则2AM BN =,点B 为AP 的中点, 因为点O 是PF 的中点,则1 2 OB AF = ,

高考数学一轮复习专题突破训练圆锥曲线

圆锥曲线 一、填空题 1、(2015年江苏高考)在平面直角坐标系xoy 中,P 为双曲线221x y -=右支上的一个动点,若P 到直线10x y -+=的距离大于c 恒成立,则c 的最大值 为___ 2 __________。 2、(2013年江苏高考)双曲线19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 。 3、(2013年江苏高考)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆C 的标准方程为 )0,0(122 22>>=+b a b y a x ,右焦点为F ,右准线为l ,短轴的一个端点为B ,设原点到直线BF 的距离为1d ,F 到l 的距离为2d ,若126d d =,则椭圆 C 的离心率为 。 4、( 南京、盐城市高三二模)在平面直角坐标系xoy 中,已知抛物线C : y x 42=的焦点为F ,定点)0, 22(A ,若射线FA 及抛物线C 相交于点M ,及抛物线C 的准线相交于点N ,则FM :MN= 5、(苏锡常镇四市 高三教学情况调研(二))已知双曲线22 221(,0) x y a b a b -=>的离心率等于2,它的焦点到渐近线的距离等于1,则该双曲线的方程为 ▲ 6、(泰州市 高三第二次模拟考试)已知双曲线22 14x y m -=的渐近线方程为 2 y x =± ,则m = ▲

7、(盐城市 高三第三次模拟考试)若抛物线28y x =的焦点F 及双曲线 22 13x y n -=的一个焦点重合,则n 的值为 ▲ 8、( 江苏南京高三9月调研)已知双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的渐近 线方程 为y =±3x ,则该双曲线的离心率为 ▲ 9、( 江苏苏州高三9月调研)已知双曲线22 15 x y m -=的右焦点及抛物线 212y x =的焦点相同,则此双曲线的渐近线方程为 ▲ 10、(南京市、盐城市 高三)若双曲线222(0)x y a a -=>的右焦点及抛物线 24y x =的焦点重合,则a = ▲ . 11、(南通市 高三)在平面直角坐标系xOy 中,以直线2y x =±为渐近线,且经过抛物 线24y x =焦点的双曲线的方程是 12、(苏州市 高三上期末)以抛物线24y x =的焦点为顶点,顶点为中心,离心率为2的双曲线标准方程为 13、(泰州市 高三上期末)双曲线12222=-b y a x 的右焦点到渐近线的距离是其 到左顶点距离的一半,则双曲线的离心率e = ▲ 14、(苏锡常镇四市2014届高三5月调研(二))在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线22 19x y m -=的一个焦点为(5,0),则实数 m = ▲ 15、(南京、盐城市2014届高三第二次模拟(淮安三模))在平面直角坐 标系xOy 中,双曲线x 2a 2-y 2 b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线及抛物线y 2=4x Y

圆锥曲线公式大全

圆锥曲线知识考点 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率:1 21 2180<α≤0(tan x x y y --==) α 2、直线方程: ⑴点斜式:直线l 经过点),(000y x P ,且斜率为k : ()00x x k y y -=- ⑵斜截式:已知直线l 的斜率为k ,且与y 轴的交点为),0(b :b kx y += ⑶两点式:已知两点) ,(),,(222211y x P x x P 其中),(2121 y y x x ≠≠: 121 121 y y y y x x x x --=-- ⑷截距式:已知直线l 与x 轴的交点为A )0,(a ,与y 轴的交点为B ),0(b : 1x y a b += ⑸一般式:0=++C By Ax (A 、B 不同时为0, 斜率B A k -=,y 轴截距为B C -) (6)k 不存在?a x b a x o =??=)的直线方程为过(轴垂直,90α 3、直线之间的关系: 222111:,:b x k y l b x k y l +=+= ⑴ 平行:{ ? ?≠=2121212 1//b b k k k k l l 且都不存在 , 2 1 2121C C B B A A ≠= ⑵ 垂直:{ ?? ⊥-=?-==2 121211 1.0 21k k k k k k l l 不存在,02121=+B B A A ⑶平行系方程:与直线0=++C By Ax 平行的方程设为:0=++m By Ax ⑷垂直系方程:与直线0=++C By Ax 垂直的方程设为: 0=++n Ay Bx ⑸定点(交点)系方程:过两条直线 :,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 的交点的方程设为: 0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ 反之直线0)(2 2 2 1 1 1 =+++++C y B x A C y B x A λ中,λ取任何一切实

高考数学圆锥曲线专题复习

圆锥曲线 一、知识结构 1.方程的曲线 在平面直角坐标系中,如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹 )上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系: (1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点.那么这个方程叫做曲线的方程;这条曲线叫做方程的曲线. 点与曲线的关系若曲线C的方程是f(x,y)=0,则点P0(x0,y0)在曲线C上?f(x0,y 0)=0; 点P0(x0,y0)不在曲线C上?f(x0,y0)≠0 两条曲线的交点若曲线C1,C2的方程分别为f1(x,y)=0,f2(x,y)=0,则 f1(x0,y0)=0 点P0(x0,y0)是C1,C2的交点? f2(x0,y0) =0 方程组有n个不同的实数解,两条曲线就有n个不同的交点;方程组没有实数解,曲线就没有交点.

2.圆 圆的定义:点集:{M ||OM |=r },其中定点O 为圆心,定长r 为半径. 圆的方程: (1)标准方程 圆心在c(a,b),半径为r 的圆方程是 (x-a)2 +(y-b)2 =r 2 圆心在坐标原点,半径为r 的圆方程是 x 2 +y 2 =r 2 (2)一般方程 当D 2 +E 2 -4F >0时,一元二次方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0 叫做圆的一般方程,圆心为(-2D ,-2 E ),半径是 2 4F -E D 22+.配方,将方程 x 2 +y 2 +Dx+Ey+F=0化为 (x+2D )2+(y+2 E )2=44 F -E D 22+ 当D 2 +E 2 -4F=0时,方程表示一个点 (-2D ,-2 E ); 当D 2 +E 2-4F <0时,方程不表示任何图形. 点与圆的位置关系 已知圆心C(a,b),半径为r,点M 的坐标为(x 0,y 0),则 |MC |<r ?点M 在圆C 内,|MC |=r ?点M 在圆C 上,|MC |>r ?点M 在圆C 内, 其中|MC |=2 02 0b)-(y a)-(x +. (3)直线和圆的位置关系 ①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系 直线与圆相交?有两个公共点 直线与圆相切?有一个公共点 直线与圆相离?没有公共点 ②直线和圆的位置关系的判定 (i)判别式法 (ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离d= 2 2 C Bb Aa B A +++与半径r 的大小关系来判 定.

高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项:圆锥曲线 1. 如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A ,点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M 是该平面上的一个动点,M 在l1上的射影点是N ,且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系,求动点M 的轨迹C 的方程. (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点G 、H 满足: ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围. 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在x 轴上,离心率 23=e ,已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4,求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ;双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x -5y=0. (Ⅰ)求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率; (Ⅱ)在第一象限内取双曲线C2上一点P ,连结AP 交椭圆C1于点M ,连结PB 并延长交椭圆C1于点N ,若=. 求证:.0=? B A D M B N l2 l1

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45°的直线交椭圆于A ,B 两点.设AB 中点为M ,直线AB 与OM 的夹角为αa. (1)用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; (2)若2

高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结

高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义:第一定义:平面内到两定点F1(-c,0),F2(c,0)的距离和为定值(大于两定点间的距离|F1F2|)2a的点的轨迹叫椭圆,两定点叫椭圆的焦点,两焦点间的距离叫焦距,与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义:平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e(0

圆锥曲线弦长公式

圆锥曲线弦长公式 关于直线与圆锥曲线相交求弦长,通用方法是将直线代入曲线方程,化为关于x的一元二次方程,设出交点坐标,利用韦达定理及弦长公式求出弦长,这种整体代换,设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的,然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,利用圆锥曲线定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷。. 椭圆的焦点弦长若椭圆方程为,半焦距为,焦点,设过的直线的倾斜角为交椭圆于A、B两点,求弦长。解:连结,设,由椭圆定义得,由余弦定理得 ,整理可得,同理可求得,则弦长 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为(a为长半轴,b为短半轴,c为半焦距) 结论:椭圆过焦点弦长公式: 二

. 双曲线的焦点弦长 设双曲线,其中两焦点坐标为 ,过的直线的倾斜角为,交双曲线于A、B两点,求弦长|AB|。 。 解:(1)当时,(如图2)直线与双曲线的两个交点A、B在同一交点上,连,设,由双曲线定义可得,由余弦定理可得 整理可得,同理,则可求得弦长

(2)当或时,如图3,直线l与双曲线交点A、B在两支上,连,设,则,,由余弦定理可得, 整理可得,则 因此焦点在x轴的焦点弦长为 同理可得焦点在y轴上的焦点弦长公式 三

其中a为实半轴,b为虚半轴,c为半焦距,为AB的倾斜角。. 抛物线的焦点弦长 若抛物线与过焦点的直线相交于A、B两点,若的倾斜角为,求弦长|AB|(图4) 解:过A、B两点分别向x轴作垂线为垂足,设,,则点A的横坐标为,点B横坐标为,由抛物线定义可得 即 则 同理的焦点弦长为

的焦点弦长为,所以抛物线的焦点弦长为 由以上三种情况可知利用直线倾斜角求过焦点的弦长,非常简单明确,应予以掌握。 一

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=(a >0,b >0)的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切,则该双曲线的离心率等于( C ) (A (B )2 (C (D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ,点A l ∈,线段AF 交C 于点B ,若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线,该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C .若1 2 AB BC =,则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ,右顶点为A ,点B 在椭圆上,且BF x ⊥轴, 直 线AB 交y 轴于点P .若2AP PB =,则椭圆的离心率是( ) A B .2 C .13 D .12 5.点P 在直线:1l y x =-上,若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点,且 |||PA AB =,则称点P 为“ 点”,那么下列结论中正确的是 ( ) A .直线l 上的所有点都是“点” B .直线l 上仅有有限个点是“点” C .直线l 上的所有点都不是“ 点” D .直线l 上有无穷多个点(点不是所有的点)是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点,则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

高中数学圆锥曲线专题-理科

圆锥曲线专题 【考纲要求】 一、直线 1.掌握直线的点方向式方程、点法向式方程、点斜式方程,认识坐标法在建立形与数的关 系中的作用; 2.会求直线的一般式方程,理解方程中字母系数表示斜率和截距的几何意义:懂得一元二 次方程的图像是直线; 3.会用直线方程判定两条直线间的平行或垂直关系(方向向量、法向量); 4.会求两条相交直线的交点坐标和夹角,掌握点到直线的距离公式。 二、圆锥曲线 1.理解曲线的方程与方程的曲线的意义,并能由此利用代数方法判定点是否在曲线上,以 及求曲线交点; 2.掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,并理解上述曲线在直角坐标系中的标准方程的 推导过程; 3.理解椭圆、双曲线、抛物线的有关概念及简单的几何特性,掌握求这些曲线方程的基本 方法,并能根据曲线方程的关系解决简单的直线与上述曲线有两个交点情况下的有关问题; 4.能利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们之间的位置关系,并能利用 解析法解决相应的几何问题。 【知识导图】【精解名题】 一、弦长问题 例1 如图,已知椭圆 2 21 2 x y +=及点B(0, -2),过点B引椭圆的割线(与椭圆相交的直线)BD与椭圆交于C、D两点 (1)确定直线BD斜率的取值范围 (2)若割线BD过椭圆的左焦点 12 ,F F是椭圆的右焦点,求 2 CDF ?的面积 y x B C D F1F2 O

二、轨迹问题 例2 如图,已知平行四边形ABCO ,O 是坐标原点,点A 在线段MN 上移动,x=4,y=t (33)t -≤≤上移动,点C 在双曲线 22 1169 x y -=上移动,求点B 的轨迹方程 三、对称问题 例3 已知直线l :22 2,: 1169 x y y kx C =++=,问椭圆上是否存在相异两点A 、B ,关于直线l 对称,请说明理由 四、最值问题 例4 已知抛物线2 :2()C x y m =--,点A 、B 及P(2, 4)均在抛物线上,且直线PA 与PB 的倾斜角互补 (1)求证:直线AB 的斜率为定值 (2)当直线AB 在y 轴上的截距为正值时,求ABP ?面积的最大值 五、参数的取值范围 例5 已知(,0),(1,),a x b y → → == ()a → +⊥()a → - (1)求点P (x, y )的轨迹C 的方程 (2)直线:(0,0)l y kx m k m =+≠≠与曲线C 交于A 、B 两点,且在以点D (0,-1)为圆 心的同一圆上,求m 的取值范围 六、探索性问题 例6 设x, y ∈R ,,i j →→ 为直角坐标平面内x, y 轴正方向上的单位向量,若向量 (2)a x i y j → →→=++,且(2)b x i y j →→→=+-且8a b →→ += (1)求点M (x, y )的轨迹方程 (2)过点(0,3)作直线l 与曲线C 交于A 、B 两点,设OP OA OB → → → =+,是否存在这样的直线l ,使得四边形OAPB 是矩形?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,请说明理由

全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项:圆锥曲线大题集 1. 如图,直线11与12是同一平面两条互相垂直的直线, 交点是A ,点B 、D 在直线11上(B 、 D 位于点A 右侧),且|AB|=4 , |AD|=1 , M 是该平面上的一个动点, M 在l i 上的射影点 是 N ,且 |BN|=2|DM|. (I )建立适当的坐标系,求动点 M 的轨迹C 的方程. (II )过点D 且不与11、12垂直的直线1交(I )中的轨迹C 于E 、F 两点;另外平面上的点 G 、 求点G 的横坐标的取值围. M ___ B ___________________ A D N B 11 、3 e 2. 设椭圆的中心是坐标原点,焦点在 x 轴上,离心率 2,已知 点P(0,3) 到这个椭圆 上的点的最远距离是 4,求这个椭圆的方程. H 满足: AD( R); G E G F 2G H ; G H E F 0. 12

2 2 C x y 1( b 0) 3. 已知椭圆/ b2的一条准线方程是25 , 4其左、右顶点分别

(I) 求椭圆C i的方程及双曲线C2的离心率; (H)在第一象限取双曲线C2上一点P,连结AP交椭圆C i于点M,连结PB并延长交椭 圆C i于点N,若AM MP.求证:MN ?AB 0. 4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F (c,0)到相应准线的距离为1,倾斜角为45。的直线交 椭圆于A, B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为 a. (1) 用半焦距c表示椭圆的方程及tan ; (2) 若2b>0)的离心率 3 ,过点A (0, -b)和B (a, 0)的直线 ,3 与原点的距离为 2 (1)求椭圆的方程 (2)已知定点E (-1, 0),若直线y= kx + 2 (k乒0与椭圆交于C D两点问:是否存在k的值,使以CD 为直径的圆过E点?请说明理由 2 2 C x y 是A、B;双曲线, a2b2 1 的一条渐近线方程为3x- 5y=0. 2 x 2 5.已知椭圆a

江苏高考数学圆锥曲线性质总结

高考数学圆锥曲线性质总结 椭圆与双曲线的对偶性质 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2,则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为 122tan 2 F PF S b γ ?=.

8. 椭圆22 221x y a b +=(a >b >0)的焦半径公式: 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线 于M 、N 两点,则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点,A 1P 和A 2Q 交于点M ,A 2P 和A 1Q 交于点N , 则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22221x y a b +=的不平行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则2 2OM AB b k k a ?=-, 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b +=+. 双曲线 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的角.

历年高考数学圆锥曲线第二轮专题复习

高考数学试题圆锥曲线 一. 选择题: 1.又曲线22 221x y a b ==(a >0,b >0)的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点, 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.(已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上,那么点P 到点Q (2,-1)的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时,点P 的坐标为( A ) A. ( 41 ,-1) B. (4 1 ,1) C. (1,2) D. (1,-2) 3.如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行,最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行,若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,给出下列式子: ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④ 11c a <22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.若双曲线22221x y a b -=(a >0,b >0)上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于它 到左准线的距离,则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是C A .(0,1) B .1 (0,]2 C . D . 6.已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点,则点P 到点(0,2)的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为( A )

高考★圆锥曲线★的基本公式推导(学长整合版)

圆锥曲线的几大大题特征公式:焦半径、准线、弦长、切线方程、弦中点公式、极线方程 /*另外,针对“计算不好”的同学,本人提供“硬解定理”供大家无脑使用。具体的请参考本目录下的【硬解定理的推导和使用】文章。*/ 圆锥 曲线 的切 线 方程 在 历年高考题中出现,但是在高中教材及资料都涉及较少。本文主要探索圆锥曲线的切线方程及其应用。从而为解这一类题提供统一、清晰、简捷的解法。 【基础知识1:切线方程、极线方程】 【1-0】公式小结:x 2换成xx 0,y 2换成yy 0,x 换成(x+x 0)/2,y 换成(y+y 0)/2. 【1-1】 椭圆的切线方程 : ①椭圆 12222=+b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=+b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=+b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=+b yy a xx 。 ③椭圆122 22=+b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是02 2222=-+C b B a A (也就是下篇文档所讲的硬解定理公式△=0的充要条件) 【1-2】双曲线的切线方程: ①双曲线12222=-b y a x 上一点),(00y x P 处的切线方程是 12020=-b yy a xx 。 ②过椭圆 12222=-b y a x 外一点),(00y x P 所引两条切线的切点弦方程是 12020=-b yy a xx 。 ③椭圆122 22=-b y a x 与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是022222=--C b B a A 【1-3】抛物线的切线方程: ② 物线 px y 22 = 上一点),(00y x P 处的切线方程是 )(200x x p yy += ②过抛物线 px y 22 =外一点 处所引两条切线是)(200x x p yy += ③抛物线 px y 22=与直线0=++C Bx Ax 相切的条件是AC pB 22 = 【1-4】 基础知识的证明: 【公式一:曲线C 上切点公式证明】 1、第1种证明思路:过曲线上一点的切线方程 设曲线C 上某一点处 ),(00y x P 的 切 线 方 程 为)(00x x k y y -=-, 联立方程,令 0=?,得到k 的表达式,再代入原始式,最后得切线方程式1)()(22 02202020=+= +b y a x b yy a xx (注: k 的表达式可以在草稿中巧用点差法求,具体见下) 2、第2种证明思路:点差法(求斜率,其余跟第一种方法一样) 证明:设某直线与曲线C 交于M 、N 两点坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,中点P ),(00y x

数学高考圆锥曲线压轴题

数学高考圆锥曲线压轴 题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

数学高考圆锥曲线压轴题经典预测一、圆锥曲线中的定值问题 ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的离心率e= 3 2,a+b=3. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)如图,A,B,D是椭圆C的顶点,P是椭圆C上除顶点外的任意点,直线DP交x轴于点N直线AD交BP于点M,设BP的斜率为k,MN的斜率为m,证明2m-k为定值. ★★如图,椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)经过点P(1, 3 2),离心率e= 1 2,直 线l的方程为x=4. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)AB是经过右焦点F的任一弦(不经过点P),设直线AB与直线l相交于点M,记PA,PB,PM的斜率分别为k1,k2,k3.问:是否存在常数λ,使得k1+k2=λk3若存在,求λ的值;若不存在,说明理由. ★★椭圆C:x2 a2+ y2 b2=1(a>b>0)的左右焦点分别是F1,F2,离心率为 3 2,过 F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点,连接PF1,PF2,设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m,0),求m的取值范围; (Ⅲ)在(2)的条件下,过点P作斜率为k的直线l,使得l与椭圆C有且只 有一个公共点,设直线PF1,PF2的斜率分别为k1,k2,若k≠0,试证明 1 kk1+ 1 kk2 为定值,并求出这个定值. - 2 -

二、圆锥曲线中的最值问题 +y2 b2=1( a>b>0)的离心率为 (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D在椭圆C上,且A D⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值; (ii)求△OMN面积的最大值. - 3 -

高考理科数学-圆锥曲线专题训练

高三圆锥曲线选填训练 一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分) 1.椭圆12222=+b y a x (a >b>0)离心率为23,则双曲线12222=-b y a x 的离心率为 ( ) A .45 B .25 C .32 D .45 2.椭圆13 122 2=+y x 的焦点为F 1和F 2,点P 在椭圆上,如果线段PF 1中点在y 轴上,那么|PF 1|是|PF 2| 的 ( ) A .7倍 B .5倍 C .4倍 D .3倍 3.过双曲线x 2 -22 y =1的右焦点F 作直线l 交双曲线于A , B 两点,若|AB |=4,则这样的直线l 有 ( ) A .1条 B .2条 C .3条 D .4条 4.如果双曲线 136 642 2=-y x 上的一点P 到双曲线的右焦点的距离是8,那么点P 到右准线的距离是 ( ) A .10 B .7 7 32 C .27 D .5 32 5.若抛物线y 2=2p x 上的一点A (6,y )到焦点F 的距离为10,则p 等于 ( ) A .4 B .8 C .16 D .32 6.如图,过抛物线)(022>=p px y 的焦点F 的直线l 交抛物线于点A .B ,交其准线于点C ,若 BF BC 2=,且3=AF ,则此抛物线的方程为 A .x y 23 2= B .x y 32= C .x y 2 9 2= D .x y 92= 7.曲线 19252 2 =+y x 与曲线)925(19252 2 ≠<=-+-k k k y k x 且 有相同的( A .长、短轴 B .焦距 C .离心率 D .准线 8.过椭圆22 2214x y a a += (a>0)的焦点F 作一直线交椭圆于P, Q 两点,若线段PF 与QF 的长分别为 p, q ,则11p q +等于( ) A .4a B .1 2a C .4a D .2a 9.椭圆13 22 =+y x 上的点到直线x -y+6=0的距离的最小值是 . 10.已知双曲线C 的渐近线方程是x y 32±=,且经过点M ()1,2 9 -,则双曲线C 的方程是 . 11.AB 是抛物线y =x 2的一条弦,若AB 的中点到x 轴的距离为1,则弦AB 的长度的最大值 为 .

圆锥曲线的相关公式

圆锥曲线的相关公式 注:平面内到定点F(1,1)和到定直线l:x+2y=3距离相等的点的轨迹是?过定点F垂直直线l的一条直线 当A为短轴端点时,角最大,面积也最大,为bc,椭圆中焦点三角形的周长为2(a+c) 计算a,b,c相关值时,要对应标准方程,所以记得化为标准方程的形式 附录:定理1(椭圆中点弦的斜率公式): y x M F1F2 O A B

设00(,)M x y 为椭圆22221x y a b +=弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有:2 2AB OM b k k a ?=- 证明:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有1212 AB y y k x x -=-,22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?+=????+=?? 两式相减得:22221212220x x y y a b --+=整理得:22 21222 212y y b x x a -=--,即2 121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=-+-,因为00(,)M x y 是弦AB 的中点,所以0012 0012 22OM y x y y k x y x x +=== +,所以22AB OM b k k a ?=- 定理2(双曲线中点弦的斜率公式): 设00(,)M x y 为双曲线22221x y a b -=弦AB (AB 不平行y 轴)的中点,则有2 2AB OM b k k a ?= 证明:设11(,)A x y ,22(,)B x y ,则有1212 AB y y k x x -=-,22 1122 22 2222 11x y a b x y a b ?-=????-=?? 两式相减得:22221212220x x y y a b ---=整理得:22 2 1222 212y y b x x a -=-,即2121221212()()()()y y y y b x x x x a +-=+-,因为00(,)M x y 是弦AB 的中点,所以0012 0012 22OM y x y y k x y x x +=== +,所以22AB OM b k k a ?= 定理3(抛物线中点弦斜率公式) 在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中,若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN 的中点,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则m y k MN =?0.(斜率存在并有两个交点) 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有?????==) 2(.2) 1(,222212 1 m x y m x y )2()1(-,得).(2212 221x x m y y -=- .2)(121 21 2m y y x x y y =+?--∴ 又0121 21 22,y y y x x y y k MN =+--= .

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