管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
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运输问题 表上作业法
A B C 销量（ 销量（bj）
第一步：从表4 中找出最小运价“1”， 第一步：从表4-1中找出最小运价“1”， 最小运 价所确定的供应关系为（ ），在 价所确定的供应关系为（B，甲），在（B，甲） 的交叉格处填上“3”，形成表4 的交叉格处填上“3”，形成表4-2；将运价表的 甲列运价划去得表4 甲列运价划去得表4-3.
8.伏格尔法 8.伏格尔法
伏格尔法的基本步骤： 伏格尔法的基本步骤： 1.计算每行、列两个最小运价的差； 1.计算每行、列两个最小运价的差； 计算每行 2.找出最大差所在的行或列 找出最大差所在的行或列； 2.找出最大差所在的行或列； 3.找出该行或列的最小运价 确定供求关系， 找出该行或列的最小运价， 3.找出该行或列的最小运价，确定供求关系，最大量 的供应 ； 4.划掉已满足要求的行或 4.划掉已满足要求的行或 (和) 列，如果需要同时划 去行和列， 去行和列，必须要在该行或列的任意位置填个 0”； “0”； 5.在剩余的运价表中重复1~4步 在剩余的运价表中重复1~4 5.在剩余的运价表中重复1~4步，直到得到初始基可 行解。 行解。
2.表上作业法与单纯形法的关系 2.表上作业法与单纯形法的关系
表上作业法中的最小元素法和伏格尔法实质 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 上是在求单纯形表中的初始基可行解； 表上作业法中的“位势法” 表上作业法中的“位势法”实质上是在求单 纯形表中的检验数； 纯形表中的检验数； 调运方案表中数字格的数实质上就是单纯形 法中基变量的值； 法中基变量的值； 调运方案表上的“闭回路法” 调运方案表上的“闭回路法”实质上是在做 单纯形表上的换基迭代。 单纯形表上的换基迭代。
甲 A B C 销量（ 销量（bj） 表4-14 A B C
两最小元素之差
运输问题表上作业法
v1
v2
v3
以初始调运方案为例，设置对偶变量 和 ui ， v j 然后构造下面的方程组：
u1 v1 c11 90
uu12
v3 v2
c13 c22
100 65
u2 v3 c23 75
在 式 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100 ， u2=-25，v2=90，于是 σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20 σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15 与前面用闭回路法求得的结果相同。
在 式 中 ， 令 u1=0 ， 则 可 解 得 v1=90 ， v3=100 ， u2=-25，v2=90，于是 σ12=c12-（u1+v2）=70-（0+90）=-20 σ21=c21-（u2+v1）=80-（-25+90）=15 与前面用闭回路法求得的结果相同。
复习比较检验数计算的两种方法 闭回路法计算非基变量xij检验数的公式： ij =（闭回路上奇数次顶点运距或运价之和）
（一）解改进的步骤为：
1．（如存在多个非基变量的检验数为负 时，以最小负检验数所在空格对应的变 量）为换入变量，找出它在运输表中的 闭回路； 2．以这个空格为第一个奇数顶点，沿闭 回路的顺（或逆）时针方向前进，对闭 回路上的每个折点依次编号；
解的改进步骤续：
3．在闭回路的所有偶数折点中，找出运输量 最小的一个折点，以该格中的变量为换出变量； 4．将闭回路上所有奇数折点的运输量都增加 这一换出变量值，所有偶数折点处的运输量都 减去这一数值，最终得出一个新的运输方案。 对得出的新方案再进行最优性检验，如不是最 优解，就重复以上步骤继续进行调整，一直到 得出最优解为止。
第二节运输问题求解表上作业法-PPT精品
规则来选取 xij ，则得到不同的方
法，较常用的方法有西北角法、最
小元素法和Vogel法。
7
1、西北角法： 从西北角（左上角）格开始，在
格内的右下角标上允许取得的最大数。 然后按行（列）标下一格的数。若某 行（列）的产量（销量）已满足，则 把该行（列）的其他格划去。如此进 行下去，直至得到一个基本可行解。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法——表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
1
一、初始基本可行解的确定 根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找到
27
由于有m + n 个变量（ ui , vj ）， m + n - 1 个方程（基变量个数），
故有一个自由变量，位势不唯一。
利用位势求检验数：
ij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n
28
前例，位势法求检验数：
step 1 从任意基变量对应的 cij 开始, 任取 ui 或 vj ，然后利用公式 cij = ui + vj 依次找出 m + n 个 ui , vj 从 c14 = 10 开始
19
可以证明，如果对闭回路的方向不 加区别（即只要起点及其他所有顶点完 全相同，而不区别行进方向），那么以 每一个非基变量为起始顶点的闭回路就 存在而且唯一。因此，对每一个非基变 量可以找到而且只能找到唯一的一个闭 回路。
表 4-10 中 用 虚 线 画 出 以 非 基 变 量
x22 为起始顶点的闭回路。
法，较常用的方法有西北角法、最
小元素法和Vogel法。
7
1、西北角法： 从西北角（左上角）格开始，在
格内的右下角标上允许取得的最大数。 然后按行（列）标下一格的数。若某 行（列）的产量（销量）已满足，则 把该行（列）的其他格划去。如此进 行下去，直至得到一个基本可行解。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法——表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
1
一、初始基本可行解的确定 根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找到
27
由于有m + n 个变量（ ui , vj ）， m + n - 1 个方程（基变量个数），
故有一个自由变量，位势不唯一。
利用位势求检验数：
ij = cij - ui - vj i = 1, … , m ; j = 1, … , n
28
前例，位势法求检验数：
step 1 从任意基变量对应的 cij 开始, 任取 ui 或 vj ，然后利用公式 cij = ui + vj 依次找出 m + n 个 ui , vj 从 c14 = 10 开始
19
可以证明，如果对闭回路的方向不 加区别（即只要起点及其他所有顶点完 全相同，而不区别行进方向），那么以 每一个非基变量为起始顶点的闭回路就 存在而且唯一。因此，对每一个非基变 量可以找到而且只能找到唯一的一个闭 回路。
表 4-10 中 用 虚 线 画 出 以 非 基 变 量
x22 为起始顶点的闭回路。
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
THANKS FOR WATCHING
果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
第二节运输问题求解表上作业法
2
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
即从 Ai 向 Bj 运最大量(使行或列在 允许的范围内尽量饱和，即使一个约 束方程得以满足),填入 xij 的相应位 置； (2) 从 ai 或 bj 中分别减去 xij 的值，即调整 Ai 的拥有量及 Bj 的需 求量；
3
(3) 若 ai = 0 ，则划去对应的行（把 拥有的量全部运走），若 bj = 0 则划去 对应的列（把需要的量全部运来），且每 次只划去一行或一列（即每次要去掉且只 去掉一个约束）；
—表上作业法
我们已经介绍过，可以通过增加虚 设产地或销地（加、减松弛变量）把问 题转换成产销平衡问题。
1.产量大于销量的情况
考虑 si > dj 的运输问题，得到的数学模 型为
i=1 j=1
39
m
n
2.运输问题求解
—表上作业法
Min f =
n m i=1 j=1
n
cij xij
s.t. xij si i = 1,2,…,m
10
应用西北角法、最小元素法和 Vogel法，每次填完数，都只划去一 行或一列，只有最后一个元例外（同 时划去一行和一列）。当填上一个数 后行、列同时饱和时，也应任意划去 一行（列），在保留的列（行）中没 被划去的格内标一个0。
11
表1
12
13
14
15
16
二、基本可行解的最优性检验
最优性检验就是检查所得到的方 案是不是最优方案。 检查的方法----计算检验数 由于目标要求极小，因此，当所 有的检验数都大于或等于零时该调运 方案就是最优方案；否则就不是最优， 需要进行调整。
第二节 运输问题求解 —表上作业法
运输问题的方法 —— 表上作业法： 1、确定一个初始基本可行解； 2 、根据最优性判别准则来检查这 个基本可行解是不是最优的。如果 是则计算结束；如果不是，则至3 3、换基，直至求出最优解为止。
《管理运筹学》02-7运输问题
在运输问题中，混合整数规划可以处理更为复 杂的约束条件和多阶段决策过程。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
通过将问题分解为多个子问题，并应用分支定 界法等算法，可以找到满足所有约束条件的整 数解，实现运输资源的合理配置。
04运Leabharlann 问题的实际案例物资调拨案例
总结词
物资调拨案例是运输问题中常见的一种，主要涉及如何优化物资从供应地到需 求地的调配。
02
动态运输问题需要考虑运输过 程中的不确定性，如交通拥堵 、天气变化等，需要建立动态 优化模型来应对这些变化。
03
解决动态运输问题需要采用实 时优化算法，根据实际情况不 断调整运输计划，以实现最优 的运输效果。
多式联运问题
1
多式联运是指将不同运输方式组合起来完成一个 完整的运输任务，需要考虑不同运输方式之间的 衔接和配合。
生产计划案例
总结词
生产计划案例主要关注如何根据市场需求和生产能力制定合理的生产计划。
详细描述
生产计划案例需要考虑市场需求、产品特性、生产成本、生产周期等因素。通过 优化生产计划，可以提高生产效率、降低生产成本，并确保产品按时交付给客户 。
05
运输问题的扩展研究
动态运输问题
01
动态运输问题是指运输需求随 时间变化而变化的运输问题， 需要考虑时间因素对运输计划 的影响。
2
多式联运问题需要考虑不同运输方式的成本、时 间、能力等因素，需要建立多目标优化模型来平 衡这些因素。
3
解决多式联运问题需要采用混合整数规划或遗传 算法等算法，以实现多目标优化的效果。
逆向物流问题
1
逆向物流是指对废旧物品进行回收、处 理和再利用的物流活动，需要考虑废旧 物品的回收、分类、处理和再利用等环 节。
的情况。如果存在这些问题，就需要进行调整，直到找到最优解为止。
管理运筹学第七章运输问题之表上作业法
10 （12）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
8 1
01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
5 3
9
销量
3
6
5
6
20
最小检验数原则，确定进基变量
最小偶点原则，确定出基变量和调整量
+1
-1
+1
-1
四、方案调整
B1
B2
B3
B4
产量ai
A1
3
11
3 5
10 2
7
A2
1 3
9
2
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01
最优值：
01
f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
01
四、方案调整
闭回路调整法步骤：
01
入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽快减少）
02
出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个基变量出基，其它基变量都为正）
三、最优性检验
三、最优性检验
若让x11＝1，则总运费变化：3–3+2–1＝1 。
B1
B2
B3
B4
产量
A1
3
11
3 4
10 3
7
A2
1 3
9
2 1
8
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
9
2
8 1
4
A3
7
4 6
10
5 3
9
销量bj
3
6
5
6
20
如上例中的最优方案就不唯一：
（0）
管理运筹学 第7章 运输问题
转运站）
x14+ x24 = x45 + x46+ x47 + x48 （天津销售公司，
转运站）
x35+ x45 = 200 （南京的销量） x36+ x46 = 150 （济南的销量） x37+ x47 = 350 （南昌的销量） x38+ x48 + x28 = 300 （青岛的销量） xij ≥ 0 , i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8
用最小？
解：增加一个 虚设的销地 运输费用为0
A 1 A 2 销 量
B 1 6 6 150
B 2 4 5 150
B 3 6 5 200
产 量 300 300
600 500
A1 A2 销 量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3
B4
产 量
6
0
300
5
0
300
200 100
600
600
管理运筹学
4
管理运筹学
15
1月 0.3 15 16 M M M M M M
M M M M 104
2月 0.5 15.3 16.3 14 15 M M M M
M M M M 75
3月 0.7 15.5 16.5 14.3 15.3 13.5 14.5 M M
M M M M 115
4月 0.9 15.7 16.7 14.5 15.5 13.8 14.8 13.0 14.0
x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把
x14+ x24 = x45 + x46+ x47 + x48 （天津销售公司，
转运站）
x35+ x45 = 200 （南京的销量） x36+ x46 = 150 （济南的销量） x37+ x47 = 350 （南昌的销量） x38+ x48 + x28 = 300 （青岛的销量） xij ≥ 0 , i,j = 1,2,3,4,5,6,7,8
用最小？
解：增加一个 虚设的销地 运输费用为0
A 1 A 2 销 量
B 1 6 6 150
B 2 4 5 150
B 3 6 5 200
产 量 300 300
600 500
A1 A2 销 量
B1 6 6 150
B2 4 5 150
B3
B4
产 量
6
0
300
5
0
300
200 100
600
600
管理运筹学
4
管理运筹学
15
1月 0.3 15 16 M M M M M M
M M M M 104
2月 0.5 15.3 16.3 14 15 M M M M
M M M M 75
3月 0.7 15.5 16.5 14.3 15.3 13.5 14.5 M M
M M M M 115
4月 0.9 15.7 16.7 14.5 15.5 13.8 14.8 13.0 14.0
x23 +11.4 x24 +11.0 x33 +11.15 x34 +11.3 x44
把第 i 季度生产的柴油机数目看作第 i 个生产厂的产量；把
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2、位势法计算式： ij = cij - ui – vj
四、方案调整
B1 B2 B3 10 4+1 8 1-1 （-1） +1 3-1 B4
产量
7 4 9 20
3 11 最小偶点原则， 3 A1 （1） （2） 确定出基变量和 1 2 调整量 9 A
2
3
（1）
A3
7
4 （10）
5 6 （12） 最小检验数
位势法：设产地Ai对应的位势量为ui ，销地 Bj对应的位势量为vj， 检验数ij =cij –ui-vj。
三、最优性检验
B1 B2 11 9 3 7 3 v1 4 6 6 v2 5 v3 6 v4 10 3 4 1 2 1 5 3 8 B3 B4 10 3 产量 ui
A1
A2
3
7
4
u1
u2
A3 销量 vj
一、运输问题模型及其求解思路
我们关心的量均在运价表和运量表中，
故将两表和为作业表：
B1 B2 4 x11 6 x21 150 5 x22 150 x12 5 x23 200 6 x13 B3 产量 6
A1 A2
销量
200 300
一、运输问题模型及其求解思路
表上作业法的总体思路和单纯形法类似：
一、运输问题模型及其求解思路
B1 A1 A2 销量 6 6 150 B2 4 5 150 B3 6 5 200 产量 200 300
一、运输问题模型及其求解思路
2、产销平衡运输问题模型的特点 从模型的建立可知：
列数为2（产地数）×3（销地数）＝6；
行数为2（产地数）+3（销地数）＝5；
二、确定初始基本可行解
为保证基变量的个数有m+n-1个，注意： 1、每次填完数，只能划去一行或一列，只有 最后一个格子例外。 2、用最小元素法时，可能会出现基变量个数 还差两个以上但只剩下一行或一列的情况， 此时不能将剩下行或列按空格划掉，应在剩 下的空格中标上0。（退化的基本可行解）
二、确定初始基本可行解
练习题
已知如下运价表，用表上作业法求解：
产销地 A1 A2 A3 销量 B1 6 4 7 2 B2 5 4 6 4 B3 3 7 5 3 B4 4 5 8 4 产量 4 6 3 13
初始解对应目标值为 3×3+4×1+4×2+4×4+8×3＝61
产销地 B1 6 4 7 2 3 (3) 5 4 6 B2 (2) 3 7 5 B3 3 4 5 8 4 4 B4 1 产量 ui 0 1 4
10
3
销量
3
6 原则，确定 6 5
进基变量
四、方案调整
得到新的基变量：x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3。重新计算检验数。
B1
A1 3
B2
B3
B4
产量ai
7 4
A2
A3 销量bj
1
7
11 3 10 （0） （2） 5 2 9 2 8 3 1 （2） （1） 4 10 5 （9） 6 （12） 3 3 6 5 6
如上例中的最优方案就不唯一：
B1 B2 B3 B4 产量ai 7 4 9 20
11 3 10 +2 （0） （2） 5 2-2 A2 1 9 2 8 3-2 1 +2 （2） （1） A3 7 4最小偶点为出基 10 5 检验数为0 （9） 6 （12） 3 者进基 变量和调整量 3 6 5 6 销量bj
五、运输问题的几种特殊情况
3、退化情况
一个或多个基变量等于0。
思考：运输问题是否存在无界解情况？
第七章 运输问题 之表上作业法
一、运输问题模型及其求解 思路 二、确定初始基本可行解 三、最优性检验 四、方案调整 五、几种特殊情况
一、运输问题模型及其求解思路
1、问题的提出： 某公司从两个产地A1、A2将物品运往三
个销地B1、B2、B3。 各产地的产量、各销地的销量和各产地 运往各销地每件物品的运费如下表所示。 问：应如何调运可使总运输费用最小？
B4
4 0 (2) 4 4
产量
4
ui
0 1 2
A2
A3 销量 vj
6
3 13
五、运输问题的几种特殊情况
1、多个最优方案的情况：
若最优表中有非基变量的检验数为0，则为多 个最优方案的情况。 这种情况下，可将检验数为0的非基变量作为 进基变量，即可得到另一个最优方案。
五、运输问题的几种特殊情况
A1
3
五、运输问题的几种特殊情况
得到另一个最优方案： x11 = 2, x13 = 5, x21 = 1, x24 = 3, x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0； 最优值仍然为 f* = 85
五、运输问题的几种特殊情况
2、无解情况：
当某个产地Ai不能向某个销地Bj供应产品时， 设相应的运费为M（类似于大M法），然后 求最优解。 在最优解中，若相应xij的取值为0 ，则此最优 解为原问题的最优解；若xij的取值不为0，则 原问题无解。
基本可行解
是否最优解
是
结束
否
换基
每个步骤 都充分利 用运输表 的特点
一、运输问题模型及其求解思路
例：某食品公司下属的A1、A2、A3 ，3个厂 生产方便食品，要运输到B1、B2、B3、B4 ， 4个销售点，数据如下表，求最优运输方案。 A1 A2 A3 销量 B1 3 1 7 3 B2 11 9 4 6 B3 3 2 10 5 B4 10 8 5 6 产量 7 4 9 20
9
20
四、方案调整
经过一次基变换，所有ij ≥ 0，已得到最优解： x13 = 5, x14 = 2, x21 = 3, x24 = 1, x32 = 6, x34 = 3， 其它为0。 最优值： f* =3×5+10×2+1×3+8×1+4×6+5×3 = 85
四、方案调整
闭回路调整法步骤： 1、入基变量的确定：选负检验数中最小者 rk，那么 xrk 作为进基变量；（使总运费尽 快减少） 2、出基变量的确定：在进基变量xrk 的闭回 路上，选取偶数顶点上调运量最小的值，将 其对应的运量作为出基变量。（刚好有一个 基变量出基，其它基变量都为正）
四、方案调整
即求=Min{xij闭回路上的偶数顶点的xij}= xpq。那么确定xpq为出基变量，为调整量； 3、换基调整：对闭回路的奇数顶点运量调整 为：xij+，对各偶数顶点运量调整为：xij-， 特别 xpq-=0，xpq变为非基变量。 重复以上步骤，直到所有检验数均非负，即 得到最优解。
再观察模型的系数矩阵：
一、运输问题模型及其求解思路
1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 200 300 150 150 200
前2行之和＝后3行之和
一、运输问题模型及其求解思路
对于产销平衡的运输问题，若产地为m
个，销地为n个， 则变量个数为m×n个，线性无关的约束 条件个数为m+n-1， 故基本解中的基变量个数为m+n-1。
一、运输问题模型及其求解思路
3、运输问题求解思路——表上作业法 由于运输规划系数矩阵的特殊性，如果
直接使用线性规划单纯形法求解计算， 则无法利用这些有利条件。 人们在分析运输规划系数矩阵特征的基 础上建立了针对运输问题的表上作业法。
三、最优性检验
每一个非基变量都有唯一的闭回路
B1 A1 A2 3 11
B2 3
B3 10 4
B4 3
产量
7 4
1
3 7 3
9
4
2
1 10
8
5
A3
销量6Biblioteka 6 5 639
20
三、最优性检验
观察x24的闭回路： 若让第一个顶点非基变量x24的取值变为1， 为了保持产销平衡，其闭回路上的顶点运量 都要调整，基数顶点+1，偶数顶点-1。 上述调整使总的运输费用发生的变化为 8 – 10 + 3 – 2 ＝ -1 ，这就说明原方案还不是最优 方案，需要进行调整。
二、确定初始基本可行解
1、西北（左上）角法
每次找最西北角的元素，让其运输量尽
可能的满足一个约束条件。
二、确定初始基本可行解
B1 A1 A2 B2 3 B3 4 B4 产量 7 4 6 6
3
1
11
9
3
2
10 2
3 5 8
2
6
A3
销量
7
3
4
10
5
9
20
二、确定初始基本可行解
这样得到的初始基本可行解为： x11=3, x12=4, x22=2, x23=2, x33=3, x34=6，其 余均为0。 对应的总运费为： 3×3+4×11+2×9+2×2+3×10+6×5＝135
使目标函数值增加的数量。 运输问题中目标函数值要求最小化，因 此，当所有的检验数都大于或等于零时 该调运方案就是最优方案；否则不是。 下面介绍两种计算检验数的方法：
三、最优性检验
1、闭回路法 闭回路：在已给出基本解的运输表上，从一 个非基变量出发，沿水平或竖直方向前进， 只有碰到基变量，才能向右或向左转90o (当 然也可以不改变方向）继续前进。 这样继续下去，总能回到出发的那个非基变 量，由此路线形成的封闭曲线，叫闭回路。