第五章 频率法
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第五章频率法
52 设系统开环传递函数为： [例]设系统开环传递函数为：Gk ( s ) = ，试用 2 ( s + 1)( s + 2 s + 5)
乃氏判据判断闭环系统的稳定性。 乃氏判据判断闭环系统的稳定性。 [解]：开环极点为 − 1 ，
− 1 ± j 2都在s左半平面， 都在s左半平面， 所以 。0 P =乃氏图如 右。
第五章
第一步：确定转折频率（惯性和一阶微分环节为1/T、 第一步：确定转折频率（惯性和一阶微分环节为1/T、振 1/T 轴上； 荡和二阶微分环节为ωn) ，标注在ω轴上； 第二步： 确定低频段Bode图位置，包括高度和斜率。 Bode图位置 第二步： 确定低频段Bode图位置，包括高度和斜率。
小于最低转折频率的频率范围为低频段。） （ω小于最低转折频率的频率范围为低频段。）
了 系 具 较 的定 能 快 性 希L 曲 为 使 统 有 好 稳 性 和 速 ， 望 (ω) 线 在 c附 的 率 − 20dB/ dec， 且 尽 能 高 c的 。 并 要 可 提 ω 值 ω 近 斜 为
ω 3.高频段： 3.高频段： ω >10 c 高频段
系统的抗干扰能力由高频段决定。 系统的抗干扰能力由高频段决定。
如下图所示， [例]某Ⅱ型系统的开环频率特性 如下图所示，且s右半平面 无开环极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 无开环极点，试用乃氏判据判断闭环系统稳定性。 [解]：首先画出完整的乃氏 曲线的映射曲线。如右图： 曲线的映射曲线。如右图： 从图上可以看出：映射曲线顺时 从图上可以看出： 针包围( 1,j0)两圈 两圈。 针包围(-1,j0)两圈。因 P = 0 ， 所以 Z = P − N = 0−(−2) = 2 ， 闭环系统是不稳定的。 闭环系统是不稳定的。
第五章 频率法
2
2 G ( j ) arctan 2 2 1
二阶微分的极坐标图
二阶微分的Bode标图
7.时滞环节（延迟环节）
G( s) e
r (t )
s
s
G( j ) e
j
r(t)
y (t )
t
0 y(t) t 0
e
时滞环节极坐标图
| G( j ) || e j | 1
0°
8.非最小相位环节
1 G( s) Ts 1 1 G( j ) jT 1
பைடு நூலகம்
1 一个正实数极点 T
| G ( j ) |
1
2T 2 1
G ( j ) 180 arctan T
U( )=
1 T 1
2 2
T V( )= 2 2 T 1
-0.5
非最小相位环节Bode图
1 G( s) s 1
相角裕度
G( j ) H ( j )与单位圆相交的角频率计为c 剪切频率
| G( jc ) H ( jc ) | 1
Im
-1
0
1 Re
0
c
G( jc ) H ( jc ) 180
G( j ) H ( j )
2T 1 180 arctan 2 2 , 1 2T 2 0 T 1 T
低频与高频渐进对数幅频特性
低频段 1 T , T 1
20 lg (1 2T 2 ) 2 (2T ) 2 20 lg1 0dB 0dB的水平线
高频段 1 T , T 1
G( j ) H ( j )
1 幅值裕度 K g | G ( j g ) H ( j g ) |
自动控制原理 第五章 频率法
频率特性
在稳态下输出：e2 = E2Sin(wt +υ ) 仍是正弦信号, 频率不变, 幅值和相角发生变化. 变化与w有关. 1/jwC 1 写成矢量形式：e2 = ————— e1 = ———— e1 R + 1/jwC 1+jwRC e2 1
-— = ———— e1 1+jwRC
与电路参数RC有关、与输入电压的频率有关
自动控制原理
蒋大明
幅相特性与传递函数之间的关系
输出输入的振幅比（幅频特性）： A(w) = Ac/Ar = | G(jw)| = G(S) | 输出输入的相位差（相频特性）： υ (w) = υ - 0 =∠G(jw) =∠G(S) | 所以：G(jw) = G(S)|S=jw 频率特性 传递函数 证毕
自动控制原理
蒋大明
一阶不稳定环节
一阶不稳定环节的对数幅频特性与惯性环节的完全一样；相频则有所 不同，是在-180至-90范围内变化.
L ( )
0 -20
1
10
(a )
( )
0o
90o
(b)
180o
图5-20 一阶不稳定环节 的对数频率特性
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
传递函数： G(S) = e-τ
S
幅相频率特性：
G(jw) = e-jτ
A(w) = 1 υ (w) = -τ w
w
自动控制原理
蒋大明
时滞环节
对数频率特性： L(w) = 20 lg A(w) = 20lg 1 = 0 υ (w) = -τ w
（横坐标对数分度，曲线）
自动控制原理
蒋大明
第三节
1.
第五章频率法(12学时)
本章主要内容 本章介绍了控制系统 频率分析法的相关概念和 基本原理。包括频率特性 的基本概念和定义、开环 频率特性的奈氏图表示法、 波特图表示法、控制系统 稳定性的频率特性分析法 及其应用、控制系统闭环 频率特性、闭环频率特性 与时域性能的关系等。
本章重点 通过本章学习， 应重点掌握频率特性 的概念与性质、典型 环节及系统开环频率 特性的奈氏图和波特 图的绘制和分析方法、 控制系统稳定性的频 域分析法、系统稳定 裕度的概念和求法、 闭环系统性能指标的 频域分析法等。
传递函数：
X c ( s) 1 W ( s) X r ( s) 1 Ts
频率特性： （1） W ( j )
1 1 T j 2 2 1 jT 1 T 1 T 2 2
1 1 T 2 2
1 1 T 2 2
e j arctan T
（2） L( ) 20lg A( ) 20lg
以后每遇到一个交接频率，就改变一次渐进线斜率。 1 每当遇到 环节的交接频率时，
jT j 1
渐进线斜率增加-20dB/十倍频；
每当遇到 ( jTi 1) 环节的交接频率时， 斜率增加+20dB/十倍频； 每当遇到
2 n 2 ( j ) 2 2 n j n
环节的交接频率时，
奈 氏 图
Bode图
5. 惯性环节
传递函数：
1 W ( s) 2 2 T s 2Ts 1
频率特性：
1 1 2 Tj T 2 2
（1） W ( j )
1 (1 T 2 2 ) 2 (2 T ) 2
e
arctan(
2 T 1T
第五章 频率法
其中，s1 , s2 ,, sn是系统的闭环极点。要 使系统稳定， 则si 必须都具有负实部。
假设s1 , s2 ,, sn为互异的极点，则有
C ( s) ( s) R( s)
B( s) A 2 r 2 ( s s1 )( s s2 )( s sn ) s
3
（） 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )
幅值相乘变为相加，简化作图。
L() 20 lg A() 20 lg | G( j) |
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第五章
频率法
由于横坐标采用了对 数分度，因此零频率， 即=0不可能在横坐 标上表示出来，横坐 标表示的最低频率 一般由我们感兴趣的 频率范围来定。
结论
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
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第五章
频率法
9
频率特性
幅频特性：输出与输入稳态振荡的振幅比。
A( )
Ac ( j ) Ar
相频特性：输出与输入稳态振荡的相位差角。
( j ) Ar sin(t ( j ))
结论：
线性定常系统对正弦输入信号的稳态反映为与输入 信号同频率的正弦信号。 振幅： Ac ( j ) Ar 相位： t ( j )
4
频率特性的概念
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
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对数频率特性曲线
假设s1 , s2 ,, sn为互异的极点，则有
C ( s) ( s) R( s)
B( s) A 2 r 2 ( s s1 )( s s2 )( s sn ) s
3
（） 1 ( ) 2 ( ) 3 ( )
幅值相乘变为相加，简化作图。
L() 20 lg A() 20 lg | G( j) |
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第五章
频率法
由于横坐标采用了对 数分度，因此零频率， 即=0不可能在横坐 标上表示出来，横坐 标表示的最低频率 一般由我们感兴趣的 频率范围来定。
结论
给稳定的系统输入一个正弦，其稳态输出是与输入 同频率的正弦，幅值随ω而变，相角也是ω的函数。
Ar=1 ω=0.5
ω=1
ω=2
ω=2.5
ω=4
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第五章
频率法
9
频率特性
幅频特性：输出与输入稳态振荡的振幅比。
A( )
Ac ( j ) Ar
相频特性：输出与输入稳态振荡的相位差角。
( j ) Ar sin(t ( j ))
结论：
线性定常系统对正弦输入信号的稳态反映为与输入 信号同频率的正弦信号。 振幅： Ac ( j ) Ar 相位： t ( j )
4
频率特性的概念
设系统结构如图，由劳斯判据知系统稳定。
给系统输入一个幅值不变频率不断增大的正弦， 曲线如下:
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对数频率特性曲线
5第五章__频率法
1 o 称为转折频率或交换频率。 T
可以用这两个渐近线近似表示惯性环节的对数幅频特性。
第五章 频率法
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
第五章 频率法
( )
180
相频特性：
( ) 0
180
第五章 频率法
1 1 二、惯性环节的频率特性： G ( s ) G ( j ) j T 1 Ts 1 1 A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 1 T P ( ) , Q( ) 2 2 1T 1 T 2 2 1.极坐标图： 0时： A(0) 1， (0) 0
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的 时域法在数学上是等价的。
第五章 频率法
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j 代替时，传递函数就转 变为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以 下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系 如下：
微分方程
第五章 频率法
输入 r ( t ) Ar sin t 稳态输出 c( t ) Ac sin(t ) 可用复数表示：
R Ar 0o ，C Ac
定义：频率特性就是系统稳态输出与输入正弦信号的复数 比。
C Ac Ac G ( j ) o R Aj dt
传递函数
频率特性
s j
第五章 频率法
频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得 出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应 cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而 且其规律性并不依赖于系统的稳定性。 因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正 弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。 所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频 率特性，但根据式
可以用这两个渐近线近似表示惯性环节的对数幅频特性。
第五章 频率法
10 渐近线 0 -10 -20 0° -45° -90° 1 20T
1 10T
1 5T
1 2T
1 T
2 T
5 T
10 T
20 T
图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。
第五章 频率法
( )
180
相频特性：
( ) 0
180
第五章 频率法
1 1 二、惯性环节的频率特性： G ( s ) G ( j ) j T 1 Ts 1 1 A( ) , ( ) tg 1T 1 T 2 2 1 T P ( ) , Q( ) 2 2 1T 1 T 2 2 1.极坐标图： 0时： A(0) 1， (0) 0
由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的 时域法在数学上是等价的。
第五章 频率法
[结论]：当传递函数中的复变量s用 j 代替时，传递函数就转 变为频率特性。反之亦然。
到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以 下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系 如下：
微分方程
第五章 频率法
输入 r ( t ) Ar sin t 稳态输出 c( t ) Ac sin(t ) 可用复数表示：
R Ar 0o ，C Ac
定义：频率特性就是系统稳态输出与输入正弦信号的复数 比。
C Ac Ac G ( j ) o R Aj dt
传递函数
频率特性
s j
第五章 频率法
频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得 出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应 cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。 但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而 且其规律性并不依赖于系统的稳定性。 因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正 弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。 所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频 率特性，但根据式
第5章 频率法
0
Bode Diagram of G(s)=1/(10s+1)
渐近线 ①
转折频率
精确曲线
渐近线 ②
- 20dB / dec
w = w1 L(w1) -20 lg Tw1
w
=
w 2
= 10w1
j (ω) (0 )
-30 -45 -60
L(w2 ) -20 lg10Tw1 = -20 - 20 lg Tw1
1
10 100 1000 w
实现横坐标非线性压缩， -20
频率越高，越压缩；
频率越低，越展开。
-40
便于在较大频率范围内反映频率特性变化情况。
21
对数幅频曲线：纵坐标按 20 lg | W ( jw) |线性分度的优点：
例：
G1 ( s)
G2 (s)
G3 (s)
G(s) = G1 (s)G2 (s)G3 (s)
因为频率特性与系统的参数和结构有关，故可用研究频率特性的方法， 把系统参数和结构的变化与过渡过程指标联系起来。
5 .当系统在某些频率范围存在严重噪声时，应用频率分析法可设计出能 满意地抑制这些噪声的系统。
6 .频率分析法不仅适用于线性定常系统，还可以推广应用于某些非线性 系统。
3
5.1 频率特性的基本概念
传递函数
微分方程 系统
s = jw
频率特性
jw = d
dt
11
尽管频率特性是一种稳态响应，但系统的频率特性与传递函 数一样包含了系统或元部件的全部动态结构参数，因此，系 统动态过程的规律性也全寓于其中。频率特性同传递函数一 样，表征系统的运动规律，成为系统频域分析的理论依据。
应用频率特性分析系统性能的基本思路：实际施加于控制系 统的周期或非周期信号都可表示成由许多谐波分量组成的傅 立叶级数或用傅立叶积分表示的连续频谱函数，因此根据控 制系统对于正弦谐波函数这类典型信号的响应可以推算出它 在任意周期信号或非周期信号作用下的运动情况。
自动控制原理简明版第5章频率法课件
03
相角裕度是指系统相角特性曲线在穿越频率处的相角与-180°之间的 差值，它反映了系统对相位滞后的容忍程度。
04
幅值裕度是指系统幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与0dB之间的差 值，它反映了系统对幅值变化的容忍程度。
04
CATALOGUE
闭环系统性能分析
闭环系统时域性能指标
上升时间 峰值时间
超调量 调节时间
频率法校正设计
超前校正设计原理及方法
原理
通过引入一个相位超前的校正环节，以改善系统的动态性能。超前校正环节具有正的相角特性，可以 补偿系统中由于惯性环节、滞后环节等引起的相位滞后，从而提高系统的相位裕度和截止频率，使系 统具有更好的稳定性和快速性。
方法
超前校正设计通常包括确定超前校正环节的传递函数、选择适当的超前时间常数和超前角等步骤。具 体实现时，可以根据系统的性能指标要求，通过试凑法或解析法确定超前校正环节的参数。
对数频率特性曲线（Bode图）
包括对数幅频特性和对数相频特性两部分。对数幅频特性表示系统对正弦输入信号的放大倍数随频率变化的情况 ；对数相频特性表示系统对正弦输入信号的相位滞后随频率变化的情况。通过Bode图可以直观地了解系统的频 率响应特性。
03
CATALOGUE
频率域稳定性判据
奈奎斯特稳定判据
02 通过研究系统的频率特性，可以深入了解系统的 性能，并为系统设计提供指导。
03 频率法还可以用于控制系统的设计和优化，提高 系统的性能指标。
02
CATALOGUE
线性系统频率特性
传递函数与频率特性关系
传递函数定义
描述线性定常系统动态特性的数学模型，表达了系统输出 与输入之间的复数域关系。
频率特性定义
相角裕度是指系统相角特性曲线在穿越频率处的相角与-180°之间的 差值，它反映了系统对相位滞后的容忍程度。
04
幅值裕度是指系统幅频特性曲线在穿越频率处的幅值与0dB之间的差 值，它反映了系统对幅值变化的容忍程度。
04
CATALOGUE
闭环系统性能分析
闭环系统时域性能指标
上升时间 峰值时间
超调量 调节时间
频率法校正设计
超前校正设计原理及方法
原理
通过引入一个相位超前的校正环节，以改善系统的动态性能。超前校正环节具有正的相角特性，可以 补偿系统中由于惯性环节、滞后环节等引起的相位滞后，从而提高系统的相位裕度和截止频率，使系 统具有更好的稳定性和快速性。
方法
超前校正设计通常包括确定超前校正环节的传递函数、选择适当的超前时间常数和超前角等步骤。具 体实现时，可以根据系统的性能指标要求，通过试凑法或解析法确定超前校正环节的参数。
对数频率特性曲线（Bode图）
包括对数幅频特性和对数相频特性两部分。对数幅频特性表示系统对正弦输入信号的放大倍数随频率变化的情况 ；对数相频特性表示系统对正弦输入信号的相位滞后随频率变化的情况。通过Bode图可以直观地了解系统的频 率响应特性。
03
CATALOGUE
频率域稳定性判据
奈奎斯特稳定判据
02 通过研究系统的频率特性，可以深入了解系统的 性能，并为系统设计提供指导。
03 频率法还可以用于控制系统的设计和优化，提高 系统的性能指标。
02
CATALOGUE
线性系统频率特性
传递函数与频率特性关系
传递函数定义
描述线性定常系统动态特性的数学模型，表达了系统输出 与输入之间的复数域关系。
频率特性定义
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Bode Diagram 0
-10
-20
-30
-40 0
Magnitude (dB)
Phase (deg)
-45
-90
-2
-1
0
1
2
10
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
3. 对数幅相特性曲线
对数幅相特性曲线又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图（Nichols图）， 它将对数幅频特性和对数相频特性合并成一张图，纵坐标为对数幅 值L(ω)，单位为dB，横坐标为对应相角φ(ω)。
自动控制原理 第5章 频率特性法
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
1 频率法的思路是： 建立频率特性 → 作为一种数模 → 相应的系统分析方法→ 频 率指标 → 利用与时域指标的对应关系 → 转换成时域指标
2 频率法的特点： (1) 应用奈氏稳定判据，根据系统的开环频率特性研究闭环稳
定性，而不必解特征方程的根； (2) 系统的频率特性可用实验方法测出； (3) 用频率法设计系统，可使噪声忽略或达到规定的程度； (4) 频率法可用某些非线性系统。
出现峰值，称为谐振峰值Mr。
令 dA() 0 d
可得谐振频率r n 1 2 2
当0<ξ<0.707时有极值存在，将ωr代入幅频特性表达式可得。
Mr 2
1 12
5.2.7 二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2 当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞； 当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1 2 ，然后单调增至∞。
A
1
0
0.0.40.60.8.0
1
2
3
G=tf(21，[2/T 1]/T)；/T
4 / T
5 / T
ω-1°-8°-6°-2°-4° °00000°00
1 / T1
2 / T
3 / T
4 / T
5ω / T
0.8
t=0：0.01：20；
0.6
0.4
ur=sin(t)；
0.2
0
uc=lsim(G，ur，t)；
-0.2
-0.4
plot(t，ur，'-r'，t，uc，'-k')--00；..86
grid
-1
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
5.1.2 频率特性的求取
对于一般线性定常系统，如何得到其幅频特性和相频特性 ？
G(s) C(s) b0sm b1sm1 R(s) a0sn a1sn1
因为含有一个积分环节，所以Nyquist曲线的起点在负虚轴上的无 穷远处，由n-m=3可知当ω→∞时，Nyquist曲线以-270°入射到原 点。这样的曲线和负实轴有交点。交点处虚部为零。
5.3.2 系统开环对数频率特性曲线 一个复杂的系统可以看成由多个典型环节串联构成 系统的对数幅频特性为
对数相频特性为
2j
2j
R G( j) e jtG( j) e jtG( j)
2j
R G( j) sint G( j)
R A()sint ()
幅频特性
A() G( j)
相频特性
() G(j)
幅频特性和相频特性都可以通过传递函数G(s)求出，只要 把s=jω代入G(s) ，即可得
G(j) G(s) A()ej() P() jQ() s j
Im
L / dB
精
3.01dB
00.1/T 1/T1确0/T20dB/dec
ω
ω Re
20=来后阶0 近是惯1似斜性， 率环在 为节转-的2折对0d频数B/率幅de以频c的前特-90°直0与性°线0.1/T曲0。d线B线通1重/常T合线1用0，/两T在端
5.2.5 一阶微分环节
0 12
1
-20dB
0
90°
0° 1
10
-90°
()
L2 () L1 ( )
L4 () L3 ()
2 () 1 ( )
4 () 3 ()
从作图过程可以看出，系统的开环对数频率特性具有以下特点。
(1) 低频段（第一个转折频率以前）的斜率和积分环节个 数v有关，如果开环传递函数里有个积分环节，则低频段 的斜率为-20vdB/dec。
实频特性
P() A()cos()
虚频特性 Q() A()sin()
幅频特性 相频特性
A() P2 () Q2 () () arctan Q()
P()
Im
Q A
O
G j
Re
G j
传递 函数
微分
方程 线性
定常
系统s=jω
频率 特性
5.1.3 频率特性的几种表示方法
1. 幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线是当ω变化时，表示频率特性的矢量 终端在复平面上移动的轨迹。幅相频率特性曲线又称极 坐标图或奈奎斯特（H. Nyquist）曲线，简称奈氏图。
Nyquist曲线的起点：
A(ω)=K，(v=0)
当ω=0时，
A(ω)→∞， (v>0)
n m 3 Im
Re
nm2
O
v2
n m 1
Im
v3
O
v 1
K Re
v0
【例5-1】 已知单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
T1s
K
1 T2
s
1
试概略画出系统的Nyquist曲线。
Im
解：该系统的频率特性可写成
其传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
ω= 0
-1
ω Im →
Re∞ O
0 20
0° -90° -180°
20dB/dec
小结：
各种典型环节的Nyquist曲线和Bode图可通过对其幅频 特性和相频特性分析画出。
熟练掌握典型环节的频率特性曲线有利于分析复杂的系 统。
一阶环节和二阶环节的Bode图可以用直线渐近线来近似 ，需要掌握转折频率和斜率。
频率特性为
幅频特性为
相频特性为
Im
Re O
L / dB
20dB/dec
0 0. 1
-210
900°0°. 1
1
如果两个最小相位环节的频率特性互为倒数，则 它们的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线 关于0°线对称。
5.2.4 惯性环节 惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
L / dB
K Re
20lg K
0 0.1 1
O
/
频率特性 不随ω变
0°0.1 1
化，始终
为定值
5.2.2 积分环节
积分环节的传递函数为
频率特性为
幅频特性为
相频特性为
Im Re
O
L() / dB
20
20dB/dec
0 0.1
1
ω
/
ω
0 0.1
1
90
5.2.3 微分环节
微分环节的传递函数为
Re ω→∞
O
Q()
1
2 P()
Im ω=0
2. 对数频率特性曲线
对数频率特性曲线又称为伯德（Bode）图，包括系统的幅 频特性曲线和相频特性曲线。它们的横坐标均采用对数分 度，以的实际值标定，单位是rad/s (弧度/秒)。
用对数坐标绘制幅频特性曲线的优点如下:
(1) 能展宽视野。横坐标采用对数分度以后，在高频段可 以表示更宽的频率范围，频率增大10倍，横坐标只要增加 一个十倍频程。 (2) 可以用叠加的方法作图。 (3) 绘制容易。工程上往往用直线段渐近线代替实际的幅频 特性曲线，绘制很容易。
5.1.1 频率特性
对线性定常系统输入不同频率的正弦信号，稳态时 输出信号的频率不变，振幅和相位发生变化，用系统的 频率特性描述输入和稳态时输出之间关系。
R
1
ur t
C
uc t
G(s) Uc (s) sC 1 Ur (s) R 1 Ts 1
sC
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
0.4
ω
ωn>0，0<ξ<1
（1）当ω<<ωn时，L(ω)≈20lg1=0dB ，在低频段，振荡环节的对数幅频特性
曲线可用0dB线近似。
（2）当ω>>ωn时L，()
20
lg
2 n2
40
lg
n
在高频段，其对数幅频特性曲线
可用–40dB/dec的曲线近似。
当ξ比较小的时候，特性曲线会
一阶微分环节传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
ω
Im
→
∞ω
=R0e O1
L / dB
20
0
0.1
90° 0° 0.1
精确 曲线
20dB/dec
1
10
1
10
5.2.6 振荡环节 振荡环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
ω→ ∞
Im O
0.8
ω =0
Re 1
0.6
ω=
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
1
s2
R
2
取拉氏反变换，得出输出时域解为
-10
-20
-30
-40 0
Magnitude (dB)
Phase (deg)
-45
-90
-2
-1
0
1
2
10
10
10
10
10
Frequency (rad/sec)
3. 对数幅相特性曲线
对数幅相特性曲线又称尼科尔斯曲线或尼科尔斯图（Nichols图）， 它将对数幅频特性和对数相频特性合并成一张图，纵坐标为对数幅 值L(ω)，单位为dB，横坐标为对应相角φ(ω)。
自动控制原理 第5章 频率特性法
输入
偏差
+-
控制器
输出 被控对象
反馈元件
1 频率法的思路是： 建立频率特性 → 作为一种数模 → 相应的系统分析方法→ 频 率指标 → 利用与时域指标的对应关系 → 转换成时域指标
2 频率法的特点： (1) 应用奈氏稳定判据，根据系统的开环频率特性研究闭环稳
定性，而不必解特征方程的根； (2) 系统的频率特性可用实验方法测出； (3) 用频率法设计系统，可使噪声忽略或达到规定的程度； (4) 频率法可用某些非线性系统。
出现峰值，称为谐振峰值Mr。
令 dA() 0 d
可得谐振频率r n 1 2 2
当0<ξ<0.707时有极值存在，将ωr代入幅频特性表达式可得。
Mr 2
1 12
5.2.7 二阶微分环节 二阶微分环节的传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
可得极值点 r n 1 2 2 当0.707<ζ<1时，A（ω）从1单调增至∞； 当0<ζ<0.707时，A（ω）在ωr处有最小值 Ar 2 1 2 ，然后单调增至∞。
A
1
0
0.0.40.60.8.0
1
2
3
G=tf(21，[2/T 1]/T)；/T
4 / T
5 / T
ω-1°-8°-6°-2°-4° °00000°00
1 / T1
2 / T
3 / T
4 / T
5ω / T
0.8
t=0：0.01：20；
0.6
0.4
ur=sin(t)；
0.2
0
uc=lsim(G，ur，t)；
-0.2
-0.4
plot(t，ur，'-r'，t，uc，'-k')--00；..86
grid
-1
0
2
4
6
8 10 12 14 16 18 20
5.1.2 频率特性的求取
对于一般线性定常系统，如何得到其幅频特性和相频特性 ？
G(s) C(s) b0sm b1sm1 R(s) a0sn a1sn1
因为含有一个积分环节，所以Nyquist曲线的起点在负虚轴上的无 穷远处，由n-m=3可知当ω→∞时，Nyquist曲线以-270°入射到原 点。这样的曲线和负实轴有交点。交点处虚部为零。
5.3.2 系统开环对数频率特性曲线 一个复杂的系统可以看成由多个典型环节串联构成 系统的对数幅频特性为
对数相频特性为
2j
2j
R G( j) e jtG( j) e jtG( j)
2j
R G( j) sint G( j)
R A()sint ()
幅频特性
A() G( j)
相频特性
() G(j)
幅频特性和相频特性都可以通过传递函数G(s)求出，只要 把s=jω代入G(s) ，即可得
G(j) G(s) A()ej() P() jQ() s j
Im
L / dB
精
3.01dB
00.1/T 1/T1确0/T20dB/dec
ω
ω Re
20=来后阶0 近是惯1似斜性， 率环在 为节转-的2折对0d频数B/率幅de以频c的前特-90°直0与性°线0.1/T曲0。d线B线通1重/常T合线1用0，/两T在端
5.2.5 一阶微分环节
0 12
1
-20dB
0
90°
0° 1
10
-90°
()
L2 () L1 ( )
L4 () L3 ()
2 () 1 ( )
4 () 3 ()
从作图过程可以看出，系统的开环对数频率特性具有以下特点。
(1) 低频段（第一个转折频率以前）的斜率和积分环节个 数v有关，如果开环传递函数里有个积分环节，则低频段 的斜率为-20vdB/dec。
实频特性
P() A()cos()
虚频特性 Q() A()sin()
幅频特性 相频特性
A() P2 () Q2 () () arctan Q()
P()
Im
Q A
O
G j
Re
G j
传递 函数
微分
方程 线性
定常
系统s=jω
频率 特性
5.1.3 频率特性的几种表示方法
1. 幅相频率特性曲线
幅相频率特性曲线是当ω变化时，表示频率特性的矢量 终端在复平面上移动的轨迹。幅相频率特性曲线又称极 坐标图或奈奎斯特（H. Nyquist）曲线，简称奈氏图。
Nyquist曲线的起点：
A(ω)=K，(v=0)
当ω=0时，
A(ω)→∞， (v>0)
n m 3 Im
Re
nm2
O
v2
n m 1
Im
v3
O
v 1
K Re
v0
【例5-1】 已知单位反馈系统的开环传递函数为
G
s
T1s
K
1 T2
s
1
试概略画出系统的Nyquist曲线。
Im
解：该系统的频率特性可写成
其传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
ω= 0
-1
ω Im →
Re∞ O
0 20
0° -90° -180°
20dB/dec
小结：
各种典型环节的Nyquist曲线和Bode图可通过对其幅频 特性和相频特性分析画出。
熟练掌握典型环节的频率特性曲线有利于分析复杂的系 统。
一阶环节和二阶环节的Bode图可以用直线渐近线来近似 ，需要掌握转折频率和斜率。
频率特性为
幅频特性为
相频特性为
Im
Re O
L / dB
20dB/dec
0 0. 1
-210
900°0°. 1
1
如果两个最小相位环节的频率特性互为倒数，则 它们的对数幅频特性曲线关于0dB线对称，相频特性曲线 关于0°线对称。
5.2.4 惯性环节 惯性环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
Im
L / dB
K Re
20lg K
0 0.1 1
O
/
频率特性 不随ω变
0°0.1 1
化，始终
为定值
5.2.2 积分环节
积分环节的传递函数为
频率特性为
幅频特性为
相频特性为
Im Re
O
L() / dB
20
20dB/dec
0 0.1
1
ω
/
ω
0 0.1
1
90
5.2.3 微分环节
微分环节的传递函数为
Re ω→∞
O
Q()
1
2 P()
Im ω=0
2. 对数频率特性曲线
对数频率特性曲线又称为伯德（Bode）图，包括系统的幅 频特性曲线和相频特性曲线。它们的横坐标均采用对数分 度，以的实际值标定，单位是rad/s (弧度/秒)。
用对数坐标绘制幅频特性曲线的优点如下:
(1) 能展宽视野。横坐标采用对数分度以后，在高频段可 以表示更宽的频率范围，频率增大10倍，横坐标只要增加 一个十倍频程。 (2) 可以用叠加的方法作图。 (3) 绘制容易。工程上往往用直线段渐近线代替实际的幅频 特性曲线，绘制很容易。
5.1.1 频率特性
对线性定常系统输入不同频率的正弦信号，稳态时 输出信号的频率不变，振幅和相位发生变化，用系统的 频率特性描述输入和稳态时输出之间关系。
R
1
ur t
C
uc t
G(s) Uc (s) sC 1 Ur (s) R 1 Ts 1
sC
ur (t) Rsint
当初始条件为0时，输出电压的拉氏变换为
0.4
ω
ωn>0，0<ξ<1
（1）当ω<<ωn时，L(ω)≈20lg1=0dB ，在低频段，振荡环节的对数幅频特性
曲线可用0dB线近似。
（2）当ω>>ωn时L，()
20
lg
2 n2
40
lg
n
在高频段，其对数幅频特性曲线
可用–40dB/dec的曲线近似。
当ξ比较小的时候，特性曲线会
一阶微分环节传递函数为 频率特性为
幅频特性为
相频特性为
ω
Im
→
∞ω
=R0e O1
L / dB
20
0
0.1
90° 0° 0.1
精确 曲线
20dB/dec
1
10
1
10
5.2.6 振荡环节 振荡环节的传递函数为 频率特性为 幅频特性为
相频特性为
ω→ ∞
Im O
0.8
ω =0
Re 1
0.6
ω=
Uc
(s)
1 Ts
1Ur
(s)
1 Ts
1
s2
R
2
取拉氏反变换，得出输出时域解为