数理逻辑-一阶谓词逻辑
数理逻辑
Ch2. 形式命题演算
2.2 完备性定理 (The Adequacy Theorem for L)
– Proposition 2.14 可靠性定理(The Soundness Theorem):L的定理都是重言式 – 证明思路: L的三条公理可靠 推演规则(三段论)可靠 由归纳法可知,L的所有定理可靠
Ch2. 形式命题演算
– Remark: 演绎定理的逆定理是平凡的: – 若有Г┣A B则一定有Г∪{A}┣A B – 同时显然有Г∪{A}┣A – 使用一次MP就可以得到Г∪{A}┣B
Ch2. 形式命题演算
– Corollary 2.10 {(A B), (B C)}┣(A C)
(HS, (1) (2) (3) (4) (5) Hypothetical Syllogism,假言三段论) (A B) assumption (B C) assumption A assumption B (1),(3)MP C (2),(4)MP
Ch2. 形式命题演算
– Lemma:设∑是命题变元或其否定形式的集合, 对于任何一个真值赋值v,令其对应的∑为: 若v(pi) = T则令pi∈∑, 否则~pi∈∑ – v(A)=T则∑┣A, v(A)=F则∑┣(~A) – 证明: 施归纳法于A的结构 归纳奠基 若A为命题变元pi,则显然正确 归纳奠基: 归纳证明 根据A的构成方法分两种情况: 归纳证明:
Ch2. 形式命题演算
问题起源:当命题形式的连接词过多时,我 们的直觉并不一定很准确,希望建立一个简 单的系统来对应直觉.这也符合我们计算机 的思维. "如果A不正确蕴涵 正确那么 一定正确" 不正确蕴涵A正确那么 一定正确" 如果 不正确蕴涵 正确那么A一定正确
数理逻辑中的一阶逻辑与高阶逻辑的推理规则
数理逻辑中的一阶逻辑与高阶逻辑的推理规则数理逻辑是研究形式系统的一门学科，其中包括一阶逻辑和高阶逻辑两种推理规则。
本文将分别介绍一阶逻辑和高阶逻辑的定义、基本概念以及推理规则。
一、一阶逻辑一阶逻辑是形式逻辑中的一种基本逻辑形式，也被称为一阶谓词逻辑或一阶一周理论。
它的推理规则包括以下几个方面：1. 命题逻辑命题逻辑是一阶逻辑的基础，它研究命题之间的逻辑关系以及对命题进行推理的规则。
命题逻辑中的推理规则主要涉及命题的合取、析取、否定等逻辑操作。
2. 量化一阶逻辑引入了变量和量词的概念，通过引入全称量词和存在量词，可以对一阶逻辑中的命题进行更加精确的描述。
量化的推理规则包括全称推广、全称规约、存在引入和存在消解等。
3. 假言推理假言推理是一阶逻辑中常见的一种推理形式，它通过条件语句的前提和结论之间的逻辑关系进行推理。
常用的假言推理规则有蕴涵引入、蕴涵消解、假言推广和假言规约等。
4. 等价推理等价推理是一阶逻辑中常用的一种推理形式，它通过等价命题之间的逻辑关系进行推理。
等价推理的规则包括等价引入、等价消解、双重否定引入和双重否定消解等。
二、高阶逻辑高阶逻辑是一种在一阶逻辑的基础上进行扩展的逻辑形式，它涉及到更高级别的量词和谓词的运用。
高阶逻辑中的推理规则包括以下几个方面：1. 高阶量词高阶逻辑引入了更高级别的量词，如二阶量词、三阶量词等，通过这些量词可以对更复杂的命题进行描述和推理。
高阶量词的推理规则包括量词引入和量词消解等。
2. 谓词高阶逻辑中的谓词可以是一阶逻辑中的命题或者函数，通过对谓词的运用可以进行更加精确的推理。
谓词的推理规则包括谓词引入、谓词消解等。
3. 广义命题高阶逻辑中的广义命题是指一个命题包含了其他命题作为子命题，通过对广义命题的推理可以对复杂的逻辑关系进行推理。
广义命题的推理规则包括广义命题引入和广义命题消解等。
总结：数理逻辑中的一阶逻辑和高阶逻辑是逻辑推理的重要分支，它们通过不同的推理规则对不同级别的命题进行推理和描述。
[数理逻辑]一阶谓词演算自然推演系统N_{l}常见公式总结
![[数理逻辑]一阶谓词演算自然推演系统N_{l}常见公式总结](https://img.taocdn.com/s3/m/22fe71eef605cc1755270722192e453610665b11.png)
3. ∀ ∃ 和 ∧ ∨ 的量词移位： 对 于 ∀ 而 言 ： x 不 在 α 中 自 由 出 现 ： α ∧ ∀xβ | − ∀x(α ∧ β)∀x(α ∧ β) | − α ∧ ∀xβ 恒 成 立 x 不 在 β 中 自 由 出 现 :α ∨ ∀xβ | − | ∀x(α ∨ β) 对 于 ∃ 而 言 ： x 不 在 α
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[数理逻辑 ]一阶谓词演算自然推演系统 N_{lห้องสมุดไป่ตู้常见公式总结
一阶谓词演算自然推演系统NL 中常见公式总结 以 下 是 对 “ 自 由 出 现 ” 和 “ 自 由 " 的 个 人 理 解 ： 1.x 在 α 在 β 中 若 有 自 由 出 现 ， 可 以 认 为 α 和 β 公 式 的 真 假 与 x 有 关 ， 即 原 公 式 成 立 或 否 对 x 有
关于量词移位
1. ∀ ∃ 和 ⟶ 的量词移位： ∀x(α ⟶ β)： 当 x 不 在 α 自 由 出 现 时 ： ∀x(α ⟶ β) | − | α ⟶ ∀xβ 当 x 不 在 β 自 由 出 现 时 ： ∀x(α ⟶ β) | − | ∃xα ⟶ βx 在 α 对 β 是 否 自 由 出 现 未 知 ： ∀x(α ⟶ β) | − | ∀xα ⟶ ∃x(α ⟶ β)： x 在 α 中 没 有 自 由 出 现 ： ∃x(α ⟶ β) | − α ⟶ ∃βα ⟶ ∃β | − ∃x(α ⟶ β) 恒 成 立 x 在 β 中 没 有 自 由 出 现 ： ∃x(α ⟶ β) | − ∀xα ⟶ β∀xα ⟶ β | − ∃x(α ⟶ β) 恒 成 立
给出你对一阶谓词逻辑知识表示方法的理解。
给出你对一阶谓词逻辑知识表示方法的理解。
一阶谓词逻辑（First-Order Predicate Logic）是一种形式化的表示方法，用于描述现实世界中的事物、关系和属性。
它是数理逻辑的一种分支，也是人工智能领域中知识表示和推理的重要工具。
一阶谓词逻辑的基本元素包括常量、变量、谓词和量词。
常量表示具体的个体，如"John"、"Mary"；变量表示未知的个体，如"x"、"y"；谓词表示个体之间的关系或属性，如"父亲"、"大于"；量词用于限定变量的范围，如"存在"、"对于所有"。
通过将这些元素进行组合和约束，可以构建复杂的逻辑表达式来描述问题的语义。
一阶谓词逻辑使用符号来表示逻辑表达式，如∀表示"对于所有"，∃表示"存在"，∧表示"逻辑与"，∨表示"逻辑或"，¬表示"逻辑非"，→表示"蕴含"等。
这些符号的组合形成了一阶谓词逻辑的语法规则，用于构建合法的逻辑表达式。
一阶谓词逻辑的应用非常广泛。
它可以用来描述事实、规则和约束，用于知识表示和推理。
在人工智能领域中，一阶谓词逻辑常用于构建知识库和专家系统，用于表达和推理关于世界的知识。
例如，可以使用一阶谓词逻辑来描述"父亲"和"母亲"的关系，以及根据这一关系推理出"祖父"和"祖母"的关系。
一阶谓词逻辑还可以用于形式化推理和证明。
通过使用逻辑推理规则和推理机制，可以根据已知的事实和规则推导出新的结论。
这种推理过程可以用于解决各种问题，如谓词逻辑的合一和归结问题。
一阶谓词逻辑还具有表达能力强、灵活性高的特点。
一阶谓词逻辑表示法
人工智能一阶谓词逻辑表示法一阶谓词逻辑表示法是一种重要的知识表示方法，它以数理逻辑为基础，是到目前为止能够表达人类思维活动规律的一种最精准形式语言。
它与人类的自然语言比较接近，又可方便存储到计算机中去，并被计算机进行精确处理。
因此，它是一种最早应用于人工智能中的表示方法。
1，知识的谓词逻辑表示法人类的一条知识一般可以由具有完整意义的一句话或几句话表示出来，而这些知识要用谓词逻辑表示出来，一般是一个谓词公式。
所谓谓词公式就是用谓词联接符号将一些谓词联接起来所形成的公式。
用谓词公式既可以表示事物的状态、属性和概念等事实性的知识，也可以表示事物间具有确定因果关系的规则性知识。
对事实性知识，谓词逻辑的表示法通常是由以合取符号（∧）和析取符号（∨）联接形成的谓词公式来表示。
例如，对事实性知识“张三是学生，李四也是学生”，可以表示为：ISSTUDENT（张三）∧ ISSTUDENT（李四）这里，ISSTUDENT（x）是一个谓词，表示x是学生；对规则性知识，谓词逻辑表示法通常由以蕴涵符号（→）联接形成的谓词公式（即蕴涵式）来表示。
例如，对于规则：如果x，则y可以用下列的谓词公式进行表示：x→y一阶谓词逻辑2，用谓词公式表示知识的步骤由上述介绍可知，可以用以合取符号（∧）和析取符号（∨）联接形成的谓词公式表示事实件知识，也可以用蕴涵符号（→）联接形成的谓词公式表示规则性知识。
下面是用谓词公式表示知识的步骤。
①定义谓词及个体，确定每个谓词及个体的确切含义。
②根据所要表达的事物或概念，为每个谓词中的变。
③根据所要表达的知识的语义，用适当的联接符号将各个谓词联接起来，形成谓词公式。
一阶逻辑字母表3，谓词公式表示知识的举例设有下列事实性知识：张晓辉是一名计算系的学生，但他不喜欢编程序。
李晓鹏比他父亲长得高。
请用谓词公式表示这些知识。
解：按照表示知识的步骤，用谓词公式表示上述知识。
首先定义谓词如下：COMPUTER（x）：x是计算机系的学生。
数理逻辑-大纲
数理逻辑一、说明(一) 课程性质《数理逻辑》是数学与应用数学专业的方向选修课。
数理逻辑又称符号逻辑、理论逻辑，是数学的一个分支，它是采用数学的方法来研究推理的形式结构和推理规律的数学学科，数理逻辑研究的中心问题是推理。
所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。
用数学的方法研究逻辑的系统思想一般追溯到莱布尼茨，他认为经典的传统逻辑必须改造和发展，使之更为精确和便于演算。
总的来说，数理逻辑就是精确化、数学化的形式逻辑，它是现代计算机技术的基础。
(二) 教学目的本课程的教学应使得学生熟练掌握有关命题逻辑、一阶谓词逻辑的基本知识，理解并能初步运用形式化的逻辑推理和数学证明，训练学生的逻辑思维方式，提高其数学解题能力。
(三) 教学内容及学时数本课程主要讲授命题逻辑的基本概念，命题逻辑的等值和推理演算，谓词逻辑的基本概念，谓词逻辑的等值和推理理论等内容，共计30学时。
序号内容学时数（30 ）课堂学时数实践学时数1 命题逻辑的基本概念 6 02 命题逻辑的等值和推理演算7 33 谓词逻辑的基本概念 6 04 谓词逻辑的等值和推理理论 6 2合计25 5 (四) 教学方式数理逻辑是一门理论性课程，主要采用讲授法、研究探索法授课，讲授数理逻辑的内容时建议采用多媒体教学。
(五) 考核要求1. 考核的方式及成绩评定本课程的考核方式一般采用笔试，成绩评定100分制，其中平时成绩占50%，期末考试成绩占50%，其中平时成按数学系课堂“五个环节”评分细则进行评定。
2. 考题设计(1) 考题设计原则：考题要全面，符合大纲要求，同时要做到体现重点，题量适度，难度适中，题量和难度的梯度按照教学的三个不同层次，并能够反映出数理逻辑的思想方法、解决基本问题能力的知识点来安排，不过分强调综合。
(2) 考题难度比例：基础知识（或基本概念）约35%、根据学生实际水平确定中等难度知识点约50%，稍有难度知识点15%范围以内。
4.1一阶谓词逻辑基本概念
(1) (2) (3)
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
(7)
(8) (9) (10) (11) (12)
x(J(x)→L(x)) (4) x(L(x)∧S(x)) (5) x(J(x)∧O(x)∧V(x)) (6) (7) J(j)∧O(j)∧V(j) (8) x(L(x)→J(x)) (9) x(S(x)∧L(x)∧C(x)) (10) x(C(x)∧V(x)) (11) x((C(x)∧O(x))→L(x)) (12) x(W(x)∧C(x)∧H(x)) x(W(x)∧J(x)∧C(x)) x(L(x)→y(J(y)∧A(x,y))) x(S(x)∧y(L(y)→A(x,y)))
◦ 由一个谓词和若干个个体变元组成的命题形式称为简单命 题函数，表示为P(x1,x2,…,xn)。由一个或若干个简单命题函 数以及逻辑联结词组成的命题形式称为复合命题函数
◦ 命题函数不是命题，没有确定真值，但其中谓词是谓词常量时，可 通过个体指派使其成为命题。如：若简单命题函数P(X)表示“x是 质数”，则P(1)为F，P(2)为T。
(1) 5是质数 (2) 张明生于北京 (3) 7=3×2
P(5)
G(a,b)
H(7,3,2)
P(x)：x是质数
G(x, y)： x生于y ，a：张明，b：北京
H(x, y, z) ：x=y×z
谓词 个体词 谓词函数
例 将下列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值。 (1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6.
除个体指派外，还常用“量”作出判断，如：“所有的人都是要死 的”、“有的数是质数”。这种表述在数理逻辑目标语言中需要引 入量词，当然量化与个体指派之间是有联系的，数理逻辑中常用量 词有两个——全称量词和存在量词。
一阶谓词逻辑的基本概念与原理
一阶谓词逻辑的基本概念与原理一阶谓词逻辑是数学逻辑的一个重要分支，它是对自然语言中的命题进行形式化描述和推理的工具。
在数理逻辑中，一阶谓词逻辑也被称为一阶逻辑或一阶谓词演算。
本文将介绍一阶谓词逻辑的基本概念与原理。
一、命题逻辑与谓词逻辑的区别在介绍一阶谓词逻辑之前，我们先来了解一下命题逻辑与谓词逻辑的区别。
命题逻辑是研究命题之间的关系和推理规则的逻辑系统，它只关注命题的真值（真或假）以及命题之间的逻辑连接词（如与、或、非等）。
而谓词逻辑则引入了谓词和量词的概念，可以描述对象之间的关系和属性，以及量化的概念。
二、一阶谓词逻辑的基本概念1. 语言一阶谓词逻辑的语言包括常量、变量、函数和谓词。
常量是指代具体对象的符号，如"1"、"2"等；变量是占位符号，可以代表任意对象，如"x"、"y"等；函数是将一组对象映射到另一组对象的符号，如"f(x)"、"g(x, y)"等；谓词是描述对象之间关系或属性的符号，如"P(x)"、"Q(x, y)"等。
2. 公式一阶谓词逻辑的公式由谓词、变量、常量、函数和逻辑连接词构成。
常见的逻辑连接词有否定、合取、析取、蕴含和等价等。
例如，"¬P(x)"表示谓词P对于变量x的否定，"P(x)∧Q(x)"表示谓词P和Q对于变量x的合取。
3. 全称量词和存在量词一阶谓词逻辑引入了全称量词和存在量词，用于对变量进行量化。
全称量词∀表示对所有对象都成立，存在量词∃表示存在至少一个对象成立。
例如，∀xP(x)表示谓词P对于所有的x都成立，∃xP(x)表示谓词P至少存在一个x成立。
三、一阶谓词逻辑的推理原理一阶谓词逻辑的推理基于一些基本规则和推理规则。
1. 基本规则一阶谓词逻辑的基本规则包括等词规则、全称推广规则、全称特化规则、存在引入规则和存在消去规则等。